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ACADEMIA PRE UNIVERSITARIA “VESALIUS”

EXCELENCIA 2012

PROFESOR: Erick Vásquez Llanos

ASIGNATURA: GEOMETRÍA

FECHA: 21 – 07 – 2012

Nº 03 – TRIÁNGULOS I. TRIANGULOS: Se denomina triángulo a una región del plano limitada por tres rectas que se cortan dos a dos. B 2 B1 A

3.

Desigualdad de longitudes de sus lados. B

B2

a

c 3

1

A

C

ba a  bc ac  bac

En general el triángulo se denota como: ABC. II. ELEMENTOS Los elementos de un triángulo son:  Vértices: Son los extremos comunes A, B, C de los segmentos rectilíneos que forman el triángulo ABC.   

ba c  ba

4.

Relación de Lado - Angulo B

Lados: Son los segmentos AB, BC y AC limitados por los

PROPIEDADES FUNDAMENTALES EN EL TRIANGULO, ANGULOS FORMADOS POR LINEAS NOTABLES. 1.

A

a



 b

C

bac

si :

     

5.

“P” un punto interior cualquiera: B

Suma de los ángulos interiores: x

B

y





A C

A

z C

b

si : p  x  y  z  (2p)

      180

donde: (2p) : perímetro p : semiperímetro

Medida de un ángulo exterior: z°

a

c



2.



c

vértices A, B y C. Angulos interiores: (1, 2, 3) son los ángulos formados por dos lados y el vértice común. Angulos exteriores: Son los ángulos que se forman mediante un lado, un vértice y la prolongación del lado adyacente (1, 2, 3).

III.

C

b

B3

B

 

A



y° C

x°

x      y      z    

2.1. COROLARIO: Propiedad del cuadrilátero cóncavo.

01. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Un triángulo es congruente con otro, si y sólo sí, existe una correspondencia entre sus vértices de modo que sus lados y ángulos sean respectivamente congruentes con los lados y ángulos del otro. Según esto se tiene:

 

 x°

x       



AB  DE A  D  ABC  DEF  BC  EF y B  E AC  DF C  F 

Tercer Caso LLL (Lado- Lado – Lado) Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes sus tres lados, entonces dichos triángulos son congruentes

La notación: ∆ABC  ∆DEF, se lee: triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF. OBSERVACIONES: 

En el lenguaje corriente se dice que dos figuras son congruentes si tienen exactamente la misma forma e

ABCDEF

igual tamaño.

Cuarto Caso ALL (Ángulo - Lado- Lado) 

Al nombrar triángulos congruentes asegure hacerlo en el orden correcto, lo que permitirá identificar lados

Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes

correspondientes

dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos es

y

ángulos

correspondientes

sin

necesidad de mirar las figuras. Por ejemplo, cuando escribimos: ∆ABC  ∆DEF, queremos decir que: AB  DE

BC  EF

AC  DF

A  D

A  D

A  D

respectivamente

congruente,

entonces

dichos

triángulos son congruentes.

02. CRITERIOS DE CONGRUENCIA Son las condiciones mínimas para que dos triángulos sean congruentes.

OBSERVACION:

Primer Caso- LAL (Lado- ángulo- lado)

Si dos triángulos son congruentes se cumplirá que a los lados iguales se oponen ángulos iguales, a la vez que a ángulos iguales se opondrán lados iguales.

Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes dos lados y el ángulo comprendido, entonces dichos triángulos son congruentes

ABCDEF

Segundo Caso – ALA (ángulo – lado- ángulo) Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes un lado y los ángulos adyacentes a este lado, entonces dichos triángulos son congruentes.

ABCDEF

07.

Práctica de clase

Hallar el mayor valor entero de “x”, en la figura adjunta.

Existencia y unicidad 01.

Sean dos triángulos obtusángulos ABC y ADC, con sus ángulos obtusos en A y C. Si AD + BC = 10u y AC = 2u. ¿Cuántos valores enteros puede tomar la suma de las longitudes de AB y CD ?

a) sólo un valor c) 3 valores e) ningún valor entero

02.

b) 2 valores d) más de 3 valores

En un triángulo ABC, si m A  4m C . Calcular el mayor valor entero de BC, si AB = 2u.

a) 3u d) 7u

b) 4u e) 9u

a) 19 d) 27

b) 21 e) 29

c) 25

08. En la figura mostrada, si: BD = 4 y BC = 6, hallar AD.

c) 5u

03. Si en un triángulo PQR, PQ+QR=30 cm y PR=20 cm, entonces el menor valor entero que puede tomar la ceviana QM , en cm, es: a) 3 d) 6

b) 4

[UNT – 11 – I] c) 5

e) 7

04. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B. Si desde

a) 10 d) 13

b) 9 e) 8

c) 12

09. En la figura, halle el menor valor entero de AD

el punto A se traza la bisectriz interior que divide al cateto opuesto en segmentos de 3 y 5 unidades respectivamente, entonces el valor de su hipotenusa, es: [Excel – 11 – II] a) 9

b) 10

d) 12

e) 13

c) 11

05. Sobre el cateto BC de un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se construye exteriormente el triángulo equilátero

a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

BCD. Si P, Q y R son puntos medios de AD, BD y BC respectivamente, la medida del ángulo PQR, en grados sexagesimal, es: a) 20º

b) 30º

d) 45º

e) 60º

10. En el triángulo ABC, AB = 8, se traza la bisectriz

[Excel – 11 – II]

= 2.B, la medida de

c) 37º

máximo es:

AD , cuando BC

BD ,  A

toma su valor

06. En un terreno triangular sus vértices son señalados por A, B y C. Las medidas de sus lados son AB=24m; BC=16m y AC=20m. Si desde el vértice B se trazan la bisectriz interior BM y la bisectriz exterior BE, (E en la prolongación de AC), entonces la distancia de M a E, es: [Excel – 11 – II] a) 52 m.

b) 51 m.

d) 49 m.

e) 48 m.

c) 50 m.

a) 6

b) 7

d) 9

e) 10

[UNT – 10 – II] c) 8

11. Del gráfico obtener “x” si KH toma su mínimo valor entero.

a) 65º d) 68º

b) 66º e) 72º

c) 67º

Ángulo

12.

b) ICE e) IBC

a) 7,5º

b) 15º

d) 30º

e) 36º

c) 22,5

16. En la figura siguiente, halle ”x”

El ángulo BID es congruente con:

a)BAC d) DIE

15. En la figura, halle “x”

c) EIC

a) 20º

b) 24º

d) 36º

e) 40º

c) 30º

Isósceles Congruencia

13. Halle “x” en la figura siguiente:

17. Del gráfico hallar “x”

a) 12º d) 18º

b) 15º e) 20º

c) 16º

Ángulos notables

a) 15º

b) 18º

d) 30º

e) 10º

c) 22º 30’

18. Calcular “x”

14. En la figura siguiente, halle ”x”

a) 10º d) 20º

b) 15º e) 30º

c) 18º

a) 10º d) 18º

b) 12º e) 22º30’

c) 15º

23. Calcular “x” 19.

En el gráfico, AC = 2 (BP), calcule mBCP.

a) 30º d) 45º

b) 40º e) 37º

a) 9º

b) 10º

d) 15º

e) 18º

c) 12º

c) 18º

24.

En el gráfico, AB = PC. Calcular “ACB”

20. Si MN = NP, halle “x”

a) 20º

25. a)

72º

b) 75º

d) 84º

b) 24º

c) 25º

d) 30º

e) 37º

En el gráfico, halle “x”

c) 80º

e) 90º

21. En la figura, halle la mC

a) 72º d) 84º

26. a) 60º d) 90º

e) 100º

b) 72º

b) 75º e) 90º

c) 80º

En el gráfico, halle “x”

c) 84º

22. Halle “x” en: a) 10º

b) 15º

d) 20º

e) 30º

c) 18º

27. Halle el valor de “x” en:

a) 10º

b) 15º

d) 20º

e) 30º

c) 18º

a) 10º

b) 15º

d) 20º

e) 30º

c) 18º

28. Si M es punto medio de BC, halle el valor de “x” en:

03. En un triángulo ABC. Si BC = 7.AB y

AC = 48. Hallar el

valor entero de AB.

a) 5u d) 8u

b) 6u e) 7u

c) 9u

04. Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión aritmética de razón 5. Hallar el mínimo valor entero que puede asumir el perímetro de dicho triángulo.

a) 30u d) 33u a) 10º

b) 15º

d) 20º

e) 30º

c) 18º

b) 31u e) 32u

c) 29u

05. Se tiene un triángulo tal que dos de sus lados miden 9 y 18. Un posible valor del perímetro del triángulo es:

a) 45u d) 32u

29. Halle el valor de “x” en:

b) 36u c) 18u e) dos respuestas

06. En la figura, si AC = 5u,, BD = 7u y

AB = 16u.

Hallar el mayor valor entero de CD. C B

A D

a) 26u d) 27u

b) 5u e) 30u

c) 6u

07. Se tiene un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en B, si AC a) 10º

b) 15º

d) 20º

e) 30º

= 10 y BC = 2. Hallar AB, si su valor es entero.

c) 18º

a) 8u d) 11u

b) 9u e) 12u

c) 10u

30. Halle el valor de “x” 08.

En

un

triángulo

ABC,

m C  10º , sean los punto M  AC y

modo que AB = BQ = AM. Calcule m QMC . a) 30º d) 55º

b) 35º e) 70º

09.

m A  60º ; Q  BC de

c) 45º

En la figura: AD = AB + BC y BC = CD

Halle x. C

a) 10º

b) 15º

d) 20º

e) 30º

B

c) 18º

70º

AB = 2.

Calcular BC, si se sabe que es entero. a) 1 d) 2

b) 3 e) 4

60º

A

TAREA DOMICILIARIA 01. En un triángulo ABC, m A  2m C ;

x

c) 5

a) 100º d) 135º

10.

D

b) 120º e) 140º En

un

c) 130º

triángulo

m MAC .

02. Los lado AB y BC de un triángulo ABC miden 4cm y 6cm respectivamente. Sobre el lado AC se construye el triángulo equilátero AFC, exterior al triángulo ABC, hallar el mayor valor entero del perímetro del triángulo AFC. a) 21u d) 29u

b) 24u e) 30u

c) 27u

ABC,

m ACB  30º ;

m ABC  105º , sea M punto medio de BC . Calcule

a) 15º d) 45º/2

b) 20º e) 18º

c) 30º

11.

En un triángulo ABC, en AB y AC se ubican E y D respectivamente. Si m EAD  20º ; m AED  40º y ED = DC = BC, calcule m B

a) 20º d) 80º

b) 40º e) 100º

c) 60º

12. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la bisectriz interior AD , la mediatriz de CD interseca a AC y a la prolongación de AD en P y Q respectivamente. Si BD = PC, calcule m AQP . 45 2 d) 37

a)

13.

c) 25

b) 48º e) 60º

c) 50º

b) 22º e) 45º

c) 25º

19. Calcular “x”

e) 53

Exteriormente y relativo al cateto BC del triángulo rectángulo ABC, se ubica D, tal que: m ADC  m ABC  90 Si m CAD  15 y m BCD  15 . Calcule la razón entre AB y la distancia de  D hacia AB .

a) 3 d) 2

14.

b) 30

a) 42º d) 52º

b) 2 e) 3

c) 2 3

a) 15º d) 30º

20. Calcular “x”

En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, en AB y AC se ubican los puntos N y M respectivamente, tal que m NMA  90 y los triángulos NMA y NBC son congruentes, calcule m NCM .

a) 36 d) 45

b) 30 e) 50

c) 37

15.

En el triángulo ABC, la mediatriz de BC interseca a AC en Q, tal que: AB = 2(QC) y m ACB  45 . Calcule m BAC a) 20 d) 30

16.

b) 53 e) 36

b) 10º

d) 15º

e) 18º

c) 12º

c) 37

En el triángulo ABC, obtuso en B se cumple m BAC  8 y AB  5 BC  . Calcule m BCA .

a) 45 d) 30

17.

b) 25 e) 36

a) 9º

21. L es mediatriz de BC, luego el valor de “x” es:

c) 37

En la figura AC = BD, halle el valor de 

a) 10º

b) 15º

d) 20º

e) 30º

c) 18º

22. Halle el valor de “x” en: a) 32º d) 42º

18.

b) 38º e) 48º

c) 40º

En la figura AD = BC, halle el valor de 

a) 10º

b) 12º

d) 20º

e) 30º

c) 18º