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• Jhonathan Romero Paucar

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EXAMEN SUSTITUTORIO DEL CURSO DINÁMICA 1.- El Pasador P está unido a la rueda que se muestra y desliza en la ranura cortada en la barra BD. La rueda gira hacia la derecha sin deslizamiento con una velocidad angular constante de 20 rad/s. Si se sabe que x = 480 mm cuando θ = 0°. Usando coordenadas polares, determine la aceleración angular de la barra BD y la aceleración relativa del pasador P con respecto a la barra, para θ = 0°. Solución 1).- Orientación de los vectores unitarios e identificación de los parámetros que definen el movimiento en coordenadas polares con punto de referencia en B. eφ

φ

ρ

eρ

P

0.14 m

φ

B

φ = 30°

A

0.48 m

0.2 m

Ci

ρ = 0.482 + 0.142 = 0.5 m φ
= ? ρ
= ?

φ

= ?

ρ

= ?

2).- Cálculo de la velocidad y aceleración de P, usando coordenadas polares y tomando como punto de referencia a B: VP = ρ
eρ + ρ φ
eφ = ρ
eρ + 0.5 φ
eφ ……………………………………………(1)

(

)

(

)

(

)

(

)



+ ρφ

eφ = ρ

− 0.5 φ
2 eρ + 2 ρφ

+ 0.5 φ

eφ ……….(2) aP = ρ

− ρφ
2 eρ + 2 ρφ 3).- Cálculo de la velocidad y aceleración de P, como parte del disco que rueda: a).- Cálculo de la velocidad: VP = −ω∂ eZ × rC iP = −20 eZ × 0.34 ( sen16.26° eρ + cos16.26° eφ ) VP = 6.528 eρ − 1.9 eφ ………………………………………………………….....(3)

(1) = (3) e igualando componentes:

ρ
= 6.528 m/s 0.5 φ
= −1.9

→

φ
= −3.8 rad/s

b).- Cálculo de la aceleración: 0  aP = a A − ω∂2 rAP = −400*0.14 ( sen16.26° eρ + cos16.26° eφ )

aP = −15.68 eρ − 53.76 eφ ……………………………………………………(4) (2) = (4), reemplazando valores e igualando componentes:

ρ

− 0.5*3.82 = −15.68 →

ρ

= −8.46 m/s2

(Aceleración relativa de P respecto a la barra)

2*6.528*(−3.8) + 0.5 φ

= −53.76

φ

= −8.28 rad/s2

(Aceleración angular de la barra BD)

2.- Un disco de 6 in (pulgada) de radio gira a la velocidad constante ω2 = 5 rad/s con respecto al brazo AB, que a su vez gira a la velocidad constante ω1 = 3 rad/seg. Para la posición que se muestra, determine la velocidad y aceleración del punto D.

Solución

El Disco tiene un movimiento general en el espacio 1).- Cálculo de la velocidad y aceleración angulares del disco:

ω∂ = ω1 + ω2 = 3 j + 5 k (rad/s)

(Teorema de adición)

ω
∂ = ω1 × ω2 = 3 j × 5 k = 15 i (rad/s2)

(Derivada de un vector en distintos marcos de referencia)

2).- Cálculo de la velocidad y aceleración de D: VD = VB + ω∂ × rBD = 3 j × 3.75 i + ( 3 j + 5 k ) × ( −6 j ) VD = 30 i − 11.25 k (plg/s) i 30  
aD = aB + ω∂ × rBD + ω∂ × (ω∂ × rBD )

Donde:

aB = −ω12 rOB = −9 ( 3.75 i ) = −33.75 i (plg/s2)

ω
∂ × rBD = 15 i × ( −6 j ) = −90 k (plg/s2)

ω∂ × (ω∂ × rBD ) = ( 3 j + 5 k ) × 30 i = 150 j − 90 k (plg/s2) Luego: aD = −33.75 i + 150 j − 180 k (plg/s2) 3.- Tres cilindros están conectados entre sí mediante barras ligeras. Los cilindros A tienen una masa de 5 kg cada uno y el cilindro B tiene una masa de 3 kg. Si no existe deslizamiento en ningún punto y el sistema parte del reposo. Usando la teoría de la cinética de los sistemas de partículas, responda a las siguientes interrogantes: a).- ¿Cuál será la velocidad del sistema después de recorrer 0.8 m? b).- ¿Cuáles serán las fuerzas de rozamiento que se produce entre el terreno y cada uno de los cilindros A? Solución

1).- D.S.F., representando al sistema en un plano:

Y

WB

G WA

B

D WA

X G

500 N

A

N

f

N

f

2).- Por el principio de trabajo y energía cinética en el sistema. W1− 2 = ∆EK

a).- Cálculo de la energía cinética del sistema de partículas cilindro:

Si : EK =

n 1 1 mVG2 + ∑ m i ρ
G2 i = EK G + EK rel 2 i =1 2

i).- Cálculo de la velocidad de la partícula iésima: Vi = VG + ω k × rG i = VG + ω r u

∴ ρ
G2 i = (ω r )

2

ii).- Determinación de la masa diferencial:

G

dr ds r dθ i θ

ρ=

m m = → dm = ρ dA A π R2

R

dm = ρ dr ds = ρ r dr dθ

iii).- Cálculo de la energía cinética relativa al centro de masa: EK rel =

2π R 2π 1 n 1 m i ρ
G2 i = ∫ ∫ ω 2 r 2 ρ r dr dθ = ρ ω 2 R ∫ dθ ∑ 0 0 0 2 i =1 8

EK rel =

1 m R 2ω 2 4

4i).- Energía cinética de uno de los cilindros A:

EK A =

1 1 1 1 2   3 mAVG2 A + mA rA2ω A2 = mA (ω A rA ) + rA2ω 2  = mA rA2ω A2 2 4 2 2   4

5i).- Energía cinética del cilindro B:

EK B =

1 1 mBVB2 + mB rB2ωB2 2 4

Si: VA = V¨ B

(por estar conectadas por barras)

VD = VA + ω A k × rA

ω A k × rA = ωb k × rB

y

VD = VB + ωB k × rB

→ ω A rA = ωB rB → ωB =

rA ωA rB

ωB =

0.3 ωA 0.2

→ ωB = 1.5 ω A

Luego: 2

EK B

r  1 1 3 2 = mB (ω A rA ) + mB rB2  A ω A  = mB rA2ω A2 2 4 4  rB 

3).- Por el principio de trabajo y energía cinética: 0  W1− 2 = EK 2 − EK 1 = 2 EK A + EK B

3 3 500*0.8 = 2* *5*0.32 * ω A2 + *3*0.32 * ω A2 = 0.8775 ω A2 4 4

ω A = 21.35 rad/s Luego: VG A = ω A rA = 21.35*0.3 = 6.405 m/s 4).- Por el principio de trabajo y energía cinética del centro de masa:

∫

2

1

0  ( ∑ F ) ⋅ drG = EK G 2 − EK G1

1 −2 f *0.8 + 500*0.8 = *13*6.4052 2 f = 83.34 N 4.- El sistema que se representa, se ha diseñado para arrastrar el cursor H de masa m por la pared lisa vertical. La barra ①, de masa 2m, gira con una velocidad angular ω y aceleración angular α, ambas conocidas. El sólido ② está formado por una barra BD de masa 2m, que tiene soldada perpendicularmente, en C; otra barra CF de masa m. La masa de la barra ③ se considera despreciable. En el instante en cuestión el sólido BD es perpendicular a la barra ①. Determinar el momento flector en el punto C de la barra ② en función de la tensión T del cable FH. Solución

1).- D.C.L. de la barra seccionada:

V

↺

N

F

G

MF C

θ

T

mg

2).- Relaciones cinemáticas.- El cuerpo BCDF tiene un movimiento de traslación. aB = aC = aF = a a = α k × rAB − ω 2 rAB = α k × 2 i − ω 2 ( 2 i

)

a = −2ω 2 i + 2α j (Unidades de aceleración) 3).- Relaciones cinéticas:

∑M

C

k = ρCG × ma =

M F − mg

 i × m ( −2ω 2 i + 2α j ) =  2 mα k 2

 − T cos θ = mα  2 2

 + mα  2 + T  cos θ (Unidades de Momento) 2 5.- Si la masa de las poleas mostradas en la figura son pequeñas y la cuerda es inextensibles encuentre la frecuencia circular natural del sistema. M F = mg

Solución

1).- D.C.L.(s) Ka X A T

T

T

T

X

T

Kb X B

mg

(a)

(b)

(c)

2).- Relaciones cinemáticas: X = 2 X A + 2 X B …………………………………………………………………(1) 3).- Relaciones cinéticas.

En (a):

∑F

V

= 0 → 2T − K b X B = 0 → X B =

2T Kb

En (b):

∑F

V

= 0 → 2T − K a X A = 0 → X A =

2T Ka

En (1): 1 Ke

    1  Kb + K a  1  + X = 4T   = T 4  K K a b    K a Kb  En (c), siendo este un sistema simple masa – resorte: mX

+ K e X = 0 Luego:

ωn =

Ke K a Kb = (rad/s) m 4m ( K a + K b )