Examen Parcial (2012-1)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de ingeniería mecánica Periodo académico: 2012 - I EXAMEN PARCIAL DE CÁLCU

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de ingeniería mecánica

Periodo académico: 2012 - I

EXAMEN PARCIAL DE CÁLCULO VECTORIAL (MB148)

1.- Sean las curvas: (Cálculo) 2

C1 : f(t) = ( ln(t + 2) ; et + 1 ; C2 : g(t) = ( ln(2t) ; 3t 2 − 1 ;

5 ) t+1

5 + 5t ) 2

Determine la componente normal del vector aceleración de la curva C1, en el instante en que intercepta a C2. 2.- Dada la función: (Teórico) xy 4 − x 4 y ; x ≠ −y f (x ; y) = { x 3 + y 3 0 ; x = −y a) Calcule fx (0 ; 0) y fy (0 ; 0). b) ¿Es fxy (0 ; 0) = fyx (0 ; 0)? Justifique su respuesta. 3.- El lado de un rectángulo de 20 m aumenta con velocidad constante de 5 m/s y el otro lado de 30 m disminuye a una velocidad de 4 m/s. ¿A qué velocidad varían el perímetro y el área? (Regla de la cadena) 4.- La ecuación de la superficie de una montaña es z = 1200 - 3x 2 - 2y 2 donde la distancia se mide en metros, el eje x apunta hacia el este y el eje y hacia el norte. Una alpinista se encuentra en el punto que corresponde a (-10 ; 5 ; 850). (Derivada direccional) a) ¿Cuál es la dirección de máxima inclinación? b) Si la alpinista se desplaza en la dirección este. ¿Ella asciende o desciende, y a qué razón de cambio? c) Si la alpinista se desplaza en la dirección sur-oeste. ¿Ella asciende o desciende, y a qué razón de cambio? 5.- En negocios, un índice de utilidad U es una función que produce una medida de la satisfacción obtenida a partir de la compra de cantidades variables, x e y, de los productos que venden 1

regularmente. Si U (x , y) = x ⁄3 .y sujetos a: x + 6y = 18. (Lagrange)

2⁄ 3

es un índice de utilidad, determine el o los valores extremos