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• Paola Navarlaz

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EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

TEMA 1 - R APELLIDO Y NOMBRE I.- En cada una de las opciones que plantea cada ejercicio, Ud. deberá tachar la o las palabras en mayúscula fija y/o completar los espacios de puntos suspensivos, con la información que se solicite, de manera que la expresión resultante sea verdadera. 1) Se puede afirmar que: a) Cuando es posible analizar todos los elementos de una población se dice que se realiza un CENSO / ESTUDIO MUESTRAL, y las conclusiones del análisis se denominan PARÁMETROS / ESTIMADORES DE PARÁMETROS. 2

b) En la parábola y = 5x - 3x la ordenada del vértice resulta igual a . .. -9/20 . . c) Si se cuenta con una población de n elementos diferentes, las combinaciones con repetición de dicha población tomados de a p resultan igual a las combinaciones simples de . n+p-1 . . . . . . . . . . . . elementos tomados de a p. n

d) Para que la sumatoria

3

i

resulte igual a 3.280, n debe adoptar el valor . 7 .

i 0

7

 3i  30  31  32  33  34  35  36  37  3280 i0

n

e) Dada la expresión 4

 3 i los factores de su desarrollo

constituyen una PROGRESIÓN ARIT-

i 0

MÉTICA / PROGRESIÓN GEOMÉTRICA / SUCESIÓN QUE NO ES UNA PROGRESIÓN. 2) Si en una progresión geométrica de 20 términos se ha observado que a1 = -q y que a20 = p, siendo q y p valores naturales, se puede afirmar que: a) El signo de la razón de esta progresión ES POSITIVO / ES NEGATIVO / NO SE PUEDE PRECISAR. b) El producto entre el tercero y el décimo términos resulta MAYOR / MENOR / IGUAL que 1. c) Si |-q| > p es porque el valor absoluto de la razón ES / NO ES un número decimal de parte entera nula. d) El resultado que se obtiene al multiplicar a17 con a4 ES IGUAL A . DE DETERMINAR.

a1.a20= -q.p .. / NO SE PUE-

e) Si la progresión fuera oscilante explosiva, el valor absoluto de la razón debería ser MAYOR MENOR / IGUAL que la unidad y en tal caso resultaría: |-q|

> p ; |-q| < p ;

/

|-q| = p.

3) Si los términos sexto y décimo de una progresión suman idéntico valor que los términos cuarto y décimo segundo, puede decirse que: a) Que la progresión en cuestión es una / PROGRESIÓN ARITMÉTICA / PROGRESIÓN GEOMÉTRICA / SUCESIÓN PERO NO SE PUEDE PRECISAR DE QUÉ TIPO. b) La progresión considerada cuenta al menos con . . 15 . términos. c) Si el sexto término fuera igual 17 logb a y el décimo a 29 logb a, LA SUMA DE SUS PRIMEROS 10 TÉRMINOS RESULTA IGUAL . 155 logb a .. / NO SE PUEDE DETERMINAR LA SUMA DE SUS PRIMEROS 10 TÉRMINOS. 1

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas d) En la situación planteada en c), si b < 1 y a > 1, la progresión será MONÓTONA CRECIENTE / . MONÓTONA DECRECIENTE / UNA PROGRESIÓN QUE NO SE SABE SI ES CRECIENTE O DECRECIENTE. e) Si el cuarto término de la progresión representara el monto que se obtendría al invertir una suma de $ 2550 a interés simple a una tasa del 3% mensual, durante 3 meses, en tanto que el término decimo segundo representara el monto que se obtendría de invertir idéntica suma a la misma tasa a interés simple, durante 11 meses, el valor del término cuarto sería igual a . . 2779,50 . y el del término décimo segundo igual a . 3391,50 . 4) Si se han hallado todos los grupos o muestras posibles de una población de n elementos, se puede afirmar que: a) si se observan elementos repetidos en la población n y en los elementos de la muestra, el tipo de análisis combinatorio aplicado es ARREGLOS / PERMUTACIONES ./ .PERMUTACIONES / COMBINACIONES / SIMPLES / CON REPETICIONES . b) si no hay elementos repetidos en la población, ni en la muestra, pero un grupo o muestra se considera distinto de otro sólo cuando difieren en al menos un elemento, el tipo de análisis combinatorio aplicado es ARREGLOS / PERMUTACIONES / COMBINACIONES / SIMPLES . / CON REPETICIÓN. c) si no hay elementos repetidos en la población, pero sí en la muestra, y un grupo o muestra se considera distinto de otro sólo cuando difieren en al menos un elemento, el tipo de análisis combinatorio aplicado es ARREGLOS / PERMUTACIONES / COMBINACIONES / SIMPLES / CON REPETICIÓN d) si no hay elementos repetidos en la población, pero sí en la muestra, y un grupo o muestra se considera distinto de otro cuando difieren en al menos un elemento o en el orden de aparición de los elementos no repetidos, el tipo de análisis combinatorio aplicado es ARREGLOS . / PERMUTACIONES / COMBINACIONES / SIMPLES / CON REPETICIÓN . . e) si el tamaño de la muestra coincide con el valor de n, no se observa repetición en los elementos de la muestra y un grupo es diferente de otro cuando cambia el orden de aparición de los elementos dentro de la muestra, el tipo de análisis combinatorio aplicado es ARREGLOS / PERMUTACIÓN . .PERMUTACIONES / COMBINACIONES / SIMPLE / CON REPETICIÓN. 5) Se ha inaugurado un local que se especializa en ensaladas, las que vende en porciones individuales, cuyos ingredientes pueden ser elegidos por el cliente en el momento de la compra. En base a esta información se puede decir que: a) Si se ofrece una ensalada vegetariana a precio promocional que el cliente puede armar eligiendo un tipo de lechuga entre las cuatro existentes (mantecosa, capuchina, morada y francesa) y un tipo de tomate entre los tres posibles (cherry, perita y redondo), a los que puede agregar como máximo tres verduras más a elección entre zanahoria, cebolla, rabanito, pepino y palta, entonces la cantidad de ensaladas diferentes que el cliente puede armar con ingredientes diferentes, resulta igual a . .. .

C14 .C13  C14 .C13 .C15  C14 .C13 .C52  C14 .C13 .C53  312 . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... b) Si se ofrece una ensalada tipo casera que puede armarse con al menos tres vegetales cocidos a elección entre papas, zanahorias, arvejas, zucchinis y berenjenas, a lo que le puede agregar opcionalmente un ingrediente más no vegetal, como huevo duro, queso o pollo, entonces la cantidad de ensaladas distintas que pueden armarse con ingredientes diferentes, resulta igual a: . .

C53  C45  C55  C53 .C13  C45 .C13  C55 .C13  64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

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SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas c) Si Juan fue a comprar ensaladas para él y sus tres compañeros de trabajo de las descriptas en el ítem b), pero que no contengan zucchinis, ni berenjenas, la cantidad de ensaladas diferentes que puede comprar será igual a . .

C 33  C 33 .C13  4 . . . . .

d) Teniendo en cuenta lo expuesto en c), si Juan compró para él y sus tres compañeros de trabajo dos ensaladas iguales con pollo, una con queso y otra con huevo duro, la cantidad de formas diferentes en que pueden repartirse las ensaladas resulta igual a .

P42,1,1  12 . . . . . . . .

e) En las condiciones descriptas en d), la probabilidad que a Juan le toque la ensalada con huevo duro resulta igual a . .

1 ............ 4

II.- Efectúe el desarrollo de la siguiente consigna EN UNA HOJA APARTE que deberá entregar firmada conjuntamente con este texto. 2

Dada la función y = p x + q x + r , siendo p distinto de cero, se solicita: a) efectuar los pasos necesarios para expresarla en la forma canónica, explicando debidamente qué realiza en cada uno de ellos. Luego, b) encontrar la ecuación que tiene como vértice el punto A(5; 2) y además su gráfica pasa por los puntos B (2 ; 8) y C (6 ; 8/3), detallando los pasos de su determinación; 𝒚 𝒙 c) si la ecuación hallada en b) formara con la ecuación + = 𝟏 un sistema, determinar qué 𝟓 𝟑 tipo es el sistema según su solución, fundamentando su respuesta. SOLUCIÓN: a) efectuar los pasos necesarios para expresarla en la forma canónica, explicando debidamente qué realiza en cada uno de ellos. 2

y=px +qx+r Saco factor común p

y  p( x 2 

q r x ) p p

A partir de este trinomio que tiene un cuadrado perfecto, completándolo se puede lograr un trinomio cuadrado perfecto. Buscamos un número tal que lo denominamos z, que verifique:

q2 q q El cuadrado faltante en el trinomio anterior sería 2zx  x  z  p 2p 4p 2 Sumo y resto este término en el trinomio anterior

y  p( x 2 

q r q2 q2 x  2  2) p p 4p 4p

Lo podemos escribir como:

 q q2 q2 r y  p ( x 2  x  2 )  2   p p  4p 4p 

3

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Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

 q q2 r  y  p ( x  ) 2  ( 2  ) 2p p  4p  q q2 r y  p( x  ) 2  p(  2  ) 2p p 4p

y  p( x 

q 2 q2 )  (  r ) Llegando a la expresión canónica de la ecuación dada 2p 4p

b) Encontrar la ecuación que tiene como vértice el punto A(5; 2) y además su gráfica pasa por los puntos B (2 ; 8) y C (6 ; 8/3); Sabemos que: h=5 y k=2

y  p(x  5) 2  2 Pero además sabemos que pasa por los puntos B (2; 8) y C (6; 8/3) Reemplazo los puntos en la ecuación

8  p(2  5) 2  2 Resolvemos y llegamos a que p=2/3

La ecuación :

y

2 ( x  5) 2  2 3

Otra forma: 2

y = p x + q x + r Reemplazo los puntos en la ecuación

 2 2  p(5)  q(5)  r  2 8  p(2)  q(2)  r 8   p(6) 2  q(6)  r 3 Resuelvo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y obtengo r=56/3

p=2/3; q=-20/3 y

2

La ecuación : y =2/3 x -20/3x+56/3 c) Si la ecuación hallada en b) formara con la ecuación tipo es el sistema según su solución.

y x  5  3  1   y  2 ( x  5) 2  2 Despejo y de ambas ecuaciones  3

𝒚 𝟓

𝒙

+ = 𝟏 un sistema, determinar qué 𝟑

y  5 y

5x 3

2 ( x  5) 2  2 3

4

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Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas Igualo

5

5x 2  ( x  5) 2  2 3 3

y obtengo

2 2 15 41 x  x  0  no tiene solución (dos 3 3 3

raíces complejas conjugadas).

EL SISTEMA ES INCONSISTENTE . 2

2 41  15    4. .  0 EL SISTEMA ES IN3 3  3

O también calculando el discriminante: b2- 4.a. c =   CONSISTENTE

5

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Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

TEMA 2 – R APELLIDO Y NOMBRE I.- En cada una de las opciones que plantea cada ejercicio, Ud. deberá tachar la o las palabras en mayúscula fija y/o completar los espacios de puntos suspensivos, con la información que se solicite, de manera que la expresión resultante sea verdadera. 1) Si se han hallado todos los grupos o muestras posibles de una población de n elementos, se puede afirmar que: a) si el tamaño de la muestra coincide con el valor de n, no se observa repetición en los elementos de la muestra y un grupo es diferente de otro cuando cambia el orden de aparición de los elementos dentro de la muestra, el tipo de análisis combinatorio aplicado es ARREGLOS / PERMUTACIONES / COMBINACIONES / SIMPLES / CON REPETICIÓN. b) si no hay elementos repetidos en la población, ni en la muestra, pero un grupo o muestra se considera distinto de otro sólo cuando difieren en al menos un elemento, el tipo de análisis combinatorio aplicado es ARREGLOS / PERMUTACIONES / COMBINACIONES / SIMPLES / CON REPETICIÓN. c) si no hay elementos repetidos en la población, pero sí en la muestra, y un grupo o muestra se considera distinto de otro sólo cuando difieren en al menos un elemento, el tipo de análisis combinatorio aplicado es ARREGLOS / PERMUTACIONES / COMBINACIONES / SIMPLES / CON REPETICIÓN. d) si no hay elementos repetidos en la población, pero sí en la muestra, y un grupo o muestra se considera distinto de otro cuando difieren en al menos un elemento o en el orden de aparición de los elementos no repetidos, el tipo de análisis combinatorio aplicado es ARREGLOS / PERMUTACIONES / COMBINACIONES / SIMPLES / CON REPETICIÓN. e) si el tamaño de la muestra coincide con el valor de n, se observa repetición en los elementos de la población y de la muestra, y un grupo es diferente de otro cuando cambia el orden de aparición de los elementos no repetidos dentro de la muestra, el tipo de análisis combinatorio aplicado es ARREGLOS / PERMUTACIONES / COMBINACIONES / SIMPLES / CON REPETICIÓN. 2) Se ha inaugurado un local que se especializa en ensaladas, las que vende en porciones individuales, para una persona, cuyos ingredientes pueden ser elegidos por el cliente en el momento de la compra. En base a esta información se puede decir que: a) Si se ofrece una ensalada vegetariana a precio promocional que el cliente puede armar eligiendo un tipo de lechuga entre las tres existentes (mantecosa, capuchina y francesa), un tipo de tomate entre los tres posibles (cherry, perita y redondo), a los que puede agregar como máximo tres verduras más a elección entre zanahoria, cebolla, rabanito, pepino, rúcula y palta, entonces la cantidad de ensaladas diferentes que el cliente puede armar con ingredientes diferentes, resulta igual a . . . . .

C13 .C13  C13 .C13 .C16  C13 .C13 .C26  C13 .C13 .C36  378 .. . . .. b) Si se ofrece una ensalada tipo casera que puede armarse con al menos tres vegetales cocidos a elección entre papas, zanahorias, arvejas, zucchinis y berenjenas, a lo que le puede agregar opcionalmente un ingrediente más no vegetal, como huevo duro, queso, atún o pollo, entonces la cantidad de ensaladas distintas que pueden armarse con ingredientes diferentes, resulta igual a: . . . . . . . .

C35  C54  C55  C35 .C14  C54 .C14  C55 .C14  80 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Si Juan fue a comprar ensaladas para él y sus cuatro compañeros de trabajo de las descriptas en el ítem b), pero que no contengan zucchinis, ni berenjenas, la cantidad de ensaladas diferentes que puede comprar será igual a C3  C3 .C 4  5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3

1

d) Teniendo en cuenta lo expuesto en c), si Juan compró para él y sus cuatro compañeros de trabajo dos ensaladas iguales con pollo, una con atún y dos con huevo duro, la cantidad de formas diferentes 2,1,2

en que pueden repartirse las ensaladas resulta igual a P5

 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

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SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas e) En las condiciones descriptas en d), la probabilidad que a Juan le toque la ensalada con atún resulta igual a 0,20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3) Si los términos quinto y décimo segundo de una progresión suman idéntico valor que los términos cuarto y décimo tercero, puede decirse que: a) Que la progresión en cuestión es una PROGRESIÓN ARITMÉTICA / PROGRESIÓN GEOMÉTRICA / SUCESIÓN PERO NO SE PUEDE PRECISAR DE QUÉ TIPO. b) La progresión considerada cuenta al menos con 16 . . . . . . . términos. c) Si el quinto término fuera igual 14 logb a y el décimo segundo 35 logb a, LA SUMA DE SUS PRIMEROS 12 TÉRMINOS RESULTA IGUAL 222 logb a . . / NO SE PUEDE DETERMINAR LA SUMA DE SUS PRIMEROS 12 TÉRMINOS. d) En la situación planteada en c), si b < 1 y a > 1, la progresión será MONÓTONA CRECIENTE / MONÓTONA DECRECIENTE / UNA PROGRESIÓN QUE NO SE SABE SI ES CRECIENTE O DECRECIENTE. e) Si el quinto término de la progresión representara el monto que se obtendría al invertir una suma de $ 2500 a interés simple a una tasa del 2% mensual, durante 4 meses, en tanto que el término décimo segundo representara el monto que se obtendría de invertir idéntica suma a la misma tasa a interés simple, durante 11 meses, el valor del término quinto sería igual a 2700 . . . . . . . . y el del término décimo segundo igual a 3050 . . . . . . . . 4) Se puede afirmar que: a) Cuando no es posible analizar todos los elementos de una población se dice que se realiza un CENSO / ESTUDIO MUESTRAL, y las conclusiones del análisis se denominan PARÁMETROS / ESTIMADORES DE PARÁMETROS. 2

b) En la parábola y = 3x - 4x la ordenada del vértice resulta igual a -4/3. . . . c) Si se cuenta con una población de n elementos diferentes, las combinaciones con repetición de dicha población tomados de a p resultan igual a las combinaciones simples de n+p-1. . . elementos tomados de a p. n

d) Para que la sumatoria

3

i

resulte igual a 9.841, n debe adoptar el valor 8. . .

i 0 n

e) Dada la expresión 4

 3 i , cuando n = 50, su resultado es igual a 0. . . . . . . . . . i 0

5) Si en una progresión geométrica de 16 términos se ha observado que a1 = p y que a16 = - t, siendo p y t valores naturales, se puede afirmar que: a) El signo de la razón de esta progresión ES POSITIVO / ES NEGATIVO / NO SE PUEDE PRECISAR. b) El producto entre el cuarto y el décimo términos resulta MAYOR / MENOR / IGUAL que 1. c) Si |-t| > p es porque el valor absoluto de la razón ES / NO ES un número decimal de parte entera nula. d) El resultado que se obtiene al multiplicar a13 con a4 ES IGUAL A DETERMINAR.

p (-t) . . . . / NO SE PUEDE

e) Si la progresión fuera oscilante explosiva, el valor absoluto de la razón debería ser MAYOR / MENOR / IGUAL que la unidad y en tal caso resultaría: |-t| > p ; |-t| < p ; |-t| = p.

II.- Responda la siguiente consigna EN UNA HOJA APARTE que deberá entregar firmada conjuntamente con este texto. 2

Dada la función y = m x + p x + q , siendo m distinto de cero, se solicita: a) efectuar los pasos necesarios para expresarla en la forma canónica, explicando debidamente qué realiza en cada uno de ellos. Luego, 7

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas b) encontrar la ecuación que tiene como vértice el punto A(5; -2) y además su gráfica pasa por los puntos B (2 ; 7) y C (6 ; -1); 𝒚 𝒙 c) si la ecuación hallada en b) formara con la ecuación + = 𝟏 un sistema, determinar −𝟒 −𝟏𝟎 de qué tipo es el sistema según su solución.

SOLUCIÒN a) Efectuar los pasos necesarios para expresarla en la forma canónica, explicando debidamente qué realiza en cada uno de ellos. Saco factor común m

y  m( x 2 

p q x ) m m

A partir de este trinomio que tiene un cuadrado perfecto, completándolo se puede lograr un trinomio cuadrado perfecto. Buscamos un número tal que lo denominamos z, que verifique:

2zx 

p2 p p El cuadrado faltante en el trinomio anterior sería xz m 2m 4m 2

Sumo y resto este término en el trinomio anterior

p q p2 p2 y  m( x  x    ) m m 4m 2 4m 2 2

Lo podemos escribir como:

 2 p p2 p2 q y  m ( x  x  )    m 4m 2 4m 2 m  

 p 2 p2 q  y  m ( x  )  (  ) 2m 4m 2 m   p 2 p2 q y  m( x  )  m(   ) 2m 4m 2 m

y  m( x 

p 2 p2 )  (  q) Llegando a la expresión canónica de la ecuación dada. 2m 4m

b) encontrar la ecuación que tiene como vértice el punto A(5; -2) y además su gráfica pasa por los puntos B (2 ; 7) y C (6 ; -1); Sabemos que: h=5 y k=-2

y  m( x  5)2  2

Pero además sabemos que pasa por los puntos B (2; 7) y C (6;-1)

Reemplazo los puntos en la ecuación

7  m(2  5)2  2 8

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas Resolvemos y llegamos a que m=1

La ecuación :

y  1( x  5) 2  2

Otra forma: 2

y =m x + p x + q Reemplazo los puntos en la ecuación

 2  m(5)2  p(5)  q  2 7  m(2)  p(2)  q  1  m(6) 2  p(6)  q  Resuelvo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y obtengo m= 1; p= -10 y q=23 2

La ecuación : y = 1 x -10x+23

c) si la ecuación hallada en a) formara con la ecuación

𝒚 −𝟒

+

𝒙 −𝟏𝟎

= 𝟏 un sistema, determinar

de qué tipo es el sistema según su solución.

x  y  1    4  10  y  1( x  5) 2  2 Despejo y de ambas ecuaciones 

Igualo

4

2x  1( x  5) 2  2 5

y obtengo x  2

y  4 

2x 5

y  1( x  5) 2  2 48 x  27  0  no tiene solución (dos 5

raíces complejas conjugadas).

EL SISTEMA ES INCONSISTENTE .

9

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SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

TEMA 3 – R APELLIDO Y NOMBRE I.- En cada una de las opciones que plantea cada ejercicio, Ud. deberá tachar la o las palabras en mayúscula fija y/o completar los espacios de puntos suspensivos, con la información que se solicite, de manera que la expresión resultante sea verdadera. 1) Se puede afirmar que: n

a) Para que la sumatoria

3

i

resulte igual a 1.093, n debe adoptar el valor SEIS

i 0

2

b) En la parábola y = 3x - 4x la ordenada del vértice ES / NO ES igual a una de sus raíces. c) Es VERDADERO / FALSO que toda función polinómica es una función cuadrática. 2

4

6

2n

d) Los factores que figuran entre paréntesis en la expresión: log (x . x . x . ... . x ) FORMAN / NO FORMAN una progresión. n

e) Dada la expresión 4

 5 i , cuando n = 45, su resultado es igual a .CERO i 0

2) Si los términos cuarto y décimo séptimo de una progresión suman idéntico valor que los términos tercero y décimo octavo, puede decirse que: a) Que la progresión en cuestión es una PROGRESIÓN ARITMÉTICA / PROGRESIÓN GEOMÉTRICA / SUCESIÓN PERO NO SE PUEDE PRECISAR DE QUÉ TIPO. b) La progresión considerada cuenta al menos con VEINTE términos. 3

3

c) Si el cuarto término fuera igual 9 x y el décimo séptimo 35 x , LA SUMA DE SUS PRIMEROS 17 3 TÉRMINOS RESULTA IGUAL 323 x / NO SE PUEDE DETERMINAR LA SUMA DE SUS PRIMEROS 17 TÉRMINOS. d) En la situación planteada en c), si x < 0, la progresión será MONÓTONA CRECIENTE / MONÓTONA DECRECIENTE / UNA PROGRESIÓN QUE NO SE SABE SI ES CRECIENTE O DECRECIENTE. e) Si el cuarto término de la progresión representara el monto que se obtendría al invertir una suma de $ 2800 a interés simple a una tasa del 3% mensual, durante 3 meses, en tanto que el término decimo séptimo representara el monto que se obtendría de invertir idéntica suma a la misma tasa a interés simple, durante 16 meses, el valor del término cuarto sería igual a 3052 y el del término décimo séptimo igual a 4144 3) Se ha inaugurado un local que se especializa en ensaladas, las que vende en porciones individuales, cuyos ingredientes pueden ser elegidos por el cliente en el momento de la compra. En base a esta información se puede decir que: a) Si se ofrece una ensalada vegetariana a precio promocional que el cliente puede armar eligiendo un tipo de lechuga entre las cuatro existentes (mantecosa, capuchina, morada y francesa) y un tipo de tomate entre los dos posibles (cherry y platense), a los que puede agregar como máximo tres verduras más a elección entre zanahoria, cebolla, rabanito, pepino, rúcula y palta, entonces la cantidad de ensaladas diferentes que el cliente puede armar con ingredientes diferentes, resulta igual a

C41 .C21  C41 .C21 .C61  C41 .C21 .C62  C41 .C21 .C63  336 b) Si se ofrece una ensalada tipo casera que puede armarse con al menos tres vegetales cocidos a elección entre papas, zanahorias, chauchas, porotos, zucchinis y berenjenas, a lo que le puede agregar opcionalmente un ingrediente más no vegetal, como huevo duro, queso, atún o pollo, entonces la cantidad de ensaladas distintas que pueden armarse con ingredientes diferentes, resulta igual a

C36  C64  C56  C66  C36 .C14  C64 .C14  C56 .C14  C66 .C14  210 10

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas c) Si Juan fue a comprar ensaladas para él y sus tres compañeros de trabajo de las descriptas en el ítem b), pero que no contengan zucchinis, ni berenjenas, la cantidad de ensaladas diferentes que puede comprar será igual a

C34  C34 .C14  C 44  C 44 .C14  25

d) Teniendo en cuenta lo expuesto en c), si Juan compró para él y sus tres compañeros de trabajo dos ensaladas iguales con pollo, una con atún y otra con huevo duro, la cantidad de formas diferentes en que pueden repartirse las ensaladas resulta igual a

P42,1,1  12

e) En las condiciones descriptas en d), la probabilidad que a Juan le toque la ensalada con atún resul𝟐,𝟏

ta igual a 25% ó ¼ ó

𝑷𝟑

𝟐,𝟏,𝟏 𝑷𝟒

4) Si se han hallado todos los grupos o muestras posibles de una población de n elementos, se puede afirmar que: a) si no hay elementos repetidos en la población, pero sí en la muestra, y un grupo o muestra se considera distinto de otro sólo cuando difieren en al menos un elemento, el tipo de análisis combinatorio aplicado es ARREGLOS / PERMUTACIONES / COMBINACIONES / SIMPLES / CON REPETICIÓN. b) si no hay elementos repetidos en la población, pero sí en la muestra, y un grupo o muestra se considera distinto de otro cuando difieren en al menos un elemento o en el orden de aparición de los elementos no repetidos, el tipo de análisis combinatorio aplicado es ARREGLOS / PERMUTACIONES / COMBINACIONES / SIMPLES / CON REPETICIÓN. c) si el tamaño de la muestra coincide con el valor de n, no se observa repetición en los elementos de la muestra y un grupo es diferente de otro cuando cambia el orden de aparición de los elementos dentro de la muestra, el tipo de análisis combinatorio aplicado es ARREGLOS / PERMUTACIONES / COMBINACIONES / SIMPLES / CON REPETICIÓN. d) si no hay elementos repetidos en la población, ni en la muestra, pero un grupo o muestra se considera distinto de otro sólo cuando difieren en al menos un elemento, el tipo de análisis combinatorio aplicado es ARREGLOS / PERMUTACIONES / COMBINACIONES / SIMPLES / CON REPETICIÓN. e) si el tamaño de la muestra coincide con el valor de n, se observa repetición en los elementos de la población y de la muestra, y un grupo es diferente de otro cuando cambia el orden de aparición de los elementos no repetidos dentro de la muestra, el tipo de análisis combinatorio aplicado es ARREGLOS / PERMUTACIONES / COMBINACIONES / SIMPLES / CON REPETICIÓN. 5) Si en una progresión geométrica de 14 términos se ha observado que a1 = - k y que a14 = - m, siendo k y m valores naturales, se puede afirmar que: a) El signo de la razón de esta progresión ES POSITIVO / ES NEGATIVO / NO SE PUEDE PRECISAR. b) El producto entre el cuarto y el décimo términos resulta MAYOR / MENOR / IGUAL que 1. c) Si |-k| > |-m| es porque el valor absoluto de la razón ES / NO ES un número decimal de parte entera nula. d) El resultado que se obtiene al multiplicar a11 con a4 ES IGUAL A k.m / NO SE PUEDE DETERMINAR. e) Si la progresión fuera creciente, el valor absoluto de la razón debería ser IGUAL que la unidad y en tal caso resultaría: |-m| > |-k| ; |-m| < |-k| ;

MAYOR / MENOR /

|-m| = |-k|.

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EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

II.- Responda la siguiente consigna EN UNA HOJA APARTE que deberá entregar firmada conjuntamente con este texto. 2

Dada la función y = t x + m x + q , siendo t distinto de cero, se solicita: a) efectuar los pasos necesarios para expresarla en la forma canónica, explicando debidamente qué realiza en cada uno de ellos. Luego, b) encontrar la ecuación que tiene como vértice el punto A(5; -4) y además su gráfica pasa por los puntos B (2 ; 5) y C (6 ; -3), detallando los pasos de su determinación; c) determinar el tipo de solución que tiene el sistema formado por la ecuación hallada en b) y la ecuación

𝐲

𝟓

𝐱

+ 𝟑 = 𝟏, fundamentando su respuesta.

SOLUCIÓN: d) efectuar los pasos necesarios para expresarla en la forma canónica, explicando debidamente qué realiza en cada uno de ellos. 2

y=tx +mx+q Saco factor común t

y  t(x 2 

m q x ) t t

A partir de este trinomio que tiene un cuadrado perfecto, completándolo se puede lograr un trinomio cuadrado perfecto. Buscamos un número tal que lo denominamos z, que verifique:

2 zx 

m2 m m El cuadrado faltante en el trinomio anterior sería 2 xz t 2t 4t

Sumo y resto este término en el trinomio anterior

y  t(x 2 

m q m2 m2 x  2  2) t t 4t 4t

Lo podemos escribir como:

 m m2 m2 q  y  t ( x 2  x  2 )  2   t t 4t 4t   m m2 q  y  t ( x  ) 2  (  2  )  2t t  4t  2 m m q y  t ( x  ) 2  t ( 2  ) 2t t 4t

y  t(x 

m 2 m2 )  (  q) Llegando a la expresión canónica de la ecuación dada 2t 4t

e) Encontrar la ecuación que tiene como vértice el punto A(5; -4) y además su gráfica pasa por los puntos B (2 ; 5) y C (6 ; -3); Sabemos que: h=5 y k=-4 12

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

y  p( x  5) 2  4 Pero además sabemos que pasa por los puntos B (2; 5) y C (6; -3) Reemplazo los puntos en la ecuación

5  p(2  5) 2  4 Resolvemos y llegamos a que p=1 La ecuación :

y  1( x  5) 2  4

Otra forma: 2

y = p x + q x + r Reemplazo los puntos en la ecuación

 4  p(5) 2  q(5)  r  2 5  p(2)  q(2)  r  3  p(6) 2  q(6)  r  Resuelvo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y obtengo p=1; q=-10 y r=21 2

La ecuación : y =x -10x+21 f)

Si la ecuación hallada en b) formara con la ecuación

𝒚 𝟓

𝒙

+ = 𝟏 un sistema, determinar qué 𝟑

tipo es el sistema según su solución.

y x   1 5 3  y  x 2  10 x  21 Despejo y de ambas ecuaciones 

y  5

5x 3

y  x 2  10 x  21

5 25 2 y obtengo x  5  x  x 2  10 x  21 x  16  0  tiene solución (dos 3 3 raíces reales distintas). x= 3 e y= 0 y además x=16/3 e y=-35/9 Igualo

con lo cual se puede concluir que:

Es un sistema consistente de solución múltiple

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EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

TEMA 1 – C APELLIDO Y NOMBRE I.- En cada una de las opciones que plantea cada ejercicio, Ud. deberá tachar la o las palabras en mayúscula fija y/o completar los espacios de puntos suspensivos, con la información que se solicite, de manera que la expresión resultante sea verdadera. 1) Se puede afirmar que: a)Siantilogb2,81 = a y antilogb 4,53 = c, siendo b, a y c números válidos para la operación indicada y b 1, entonces c es MAYOR / MENOR / IGUAL que a b)La igualdad k1 A - k2 A - k3 A = (k2 + k3 - k1 ) (-1) A, siendo k1 , k2 y k3 escalares cualesquiera y A una matriz cualquiera, ES / NO ES válida.. 2

c) En la parábola y = 3x - 4x la ordenada del vértice resulta igual a -4/3 ó -1,33… . . . n

d)Para que la sumatoria

3

k

resulte igual a 9.841, n debe adoptar el valor 8. . . .

k0

e)Si el valor de la tangente de  es un número negativo menor que -1, siendo  un ángulo en posición común menor a un giro, entonces es VERDADERO / FALSO que el valor de la función coseno de ( + ) será siempre positivo. 5)Dada la recta cuya ecuación es y = 5 x + 2 y la descripta por la ecuación: ay + bx = c, se puede decir que: a) Si a=2, para que ambas rectas resulten paralelas coincidentes, las constantes b y c deben asumir los valores . . -10.. . y….4.. . . . . ., respectivamente.. b) Ambas CONFORMAN / NO CONFORMAN un sistema de ecuaciones lineales de solución única cuando a y b son positivos. c) Si c fuera nulo, ambas rectas CORTARÍAN / NO CORTARÍAN al eje de ordenadas en igual punto. 𝟑 d) Si a=3, para que ambas rectas resulten perpendiculares entre sí, b debe asumir el valor . . . 𝟓 𝒄 e) La abscisa al origen de la recta ay + bx = c es igual a . . . . y la ordenada al origen de la misma 𝒃 𝒄 igual a . . . . 𝒂 II.- Efectúe el desarrollo de la siguiente consigna EN UNA HOJA APARTE que deberá entregar firmada conjuntamente con este texto. 2

Dada la función y = k x + m x + q, siendo k distinto de cero, se solicita: a) efectuar los pasos necesarios para expresarla en la forma canónica, explicando debidamente qué realiza en cada uno de ellos; b) encontrar la ecuación que tiene como vértice el punto A(5; -4) y además su gráfica pasa por los puntos B (2 ; 5) y C (6 ; -3), detallando los pasos de su determinación; c) determinar el tipo de solución que tiene el sistema formado por la ecuación hallada en b) y la 𝒚 𝒙 ecuación + = 𝟏, fundamentando su respuesta. −𝟒 −𝟏𝟎

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EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

SOLUCIÓN 2

a) Dada la función y = k x + m x + q, siendo k distinto de cero, 2

Estamos ante una parábola donde la forma canónica de expresarla es y = a(x-h) + k. Opción 1 mediante la utilización de fórmulas que representan los valores que conforman el vértice (h;k) de la función: Para el caso 𝐡

𝐛

= − 𝟐𝐚 y 𝒌 = 𝐜 −

(𝐛)² 𝟒𝐚

,

reemplazando con los valores de la función dada:

𝐡=− y

𝒌=𝐪− Resultando:

𝐦𝟐 𝟒𝐤

𝐦 𝟐𝐤 =

𝟒𝒌𝒒−𝒎𝟐 𝟒𝒌

𝐦 𝐦𝟐 𝒚 = 𝒌 [𝒙 − (− )] ² + 𝐪 − 𝟐𝐤 𝟒𝐤

Aplicando regla de signos al término elevado al cuadrado: 𝐦 𝐦𝟐 𝒚 = 𝒌(𝒙 + )² + 𝐪 − 𝟐𝐤 𝟒𝐤

Resolviendo la resta de fracciones encontramos la forma canónica: 𝒚 = 𝒌 (𝒙 +

𝐦 𝟐 𝟒𝒌𝒒 − 𝒎𝟐 ) + 𝟐𝐤 𝟒𝒌

Opción 2 mediante el desarrollo del cuadrado de un binomio partiendo de la función polinómica. 2

y=kx +mx+q Se extrae factor común k:

y = k( x2+

𝒎𝒙 𝒌

𝒒

+ 𝒌) (1)

Resultando ser x el primer término del binomio que se eleva al cuadrado. Luego se obtiene el segundo término cuadrático a partir de

𝒎𝒙 𝒌

considerando que esta expre-

sión resulta ser el doble producto del primero por el segundo término del binomio, agregándose como 2do. término un elemento llamado p:

𝒎𝒙 = 𝟐𝒙𝒑 𝒌

Simplificando y haciendo pasaje de términos para despejar p:

𝒎 =𝒑 𝟐𝒌 20

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas Si se eleva p al cuadrado tenemos:

𝒎 ) ² = 𝒑² 𝟐𝒌

(

𝒎² 𝟒𝒌²

= 𝒑²(2)

Sumando y restando en la expresión (1) el término hallado en (2) de manera que no se altere la expresión, se obtiene: 𝑚𝑥 𝑚²

y = k( x2+

𝑘

𝑚²

𝑞

+4𝑘² - 4𝑘²+ 𝑘) (3)

Agrupando los 3 primeros términos y por otro lado los 2 últimos del segundo miembro de la igualdad y aplicando propiedad distributiva:

y = k( x2+

𝑚𝑥 𝑘

𝑚²

𝑚²

𝑞

+4𝑘² ) + 𝑘( - 4𝑘²+ 𝑘) (4)

Surge de primer término del 2do miembro de la igualdad un binomio al cuadrado: 𝑚

𝑚²

𝑞

y = k( x+ 2𝑘)² + 𝑘( - 4𝑘²+ 𝑘) (5) Resolviendo el 2do. término del 2do. miembro de la igualdad sumando las fracciones y luego resolviendo el producto: 𝑚

y = k( x+ 2𝑘)² + 𝑘 (

−𝑚2 +4𝑘𝑞 4𝑘 2

) (6)

Simplificando el 2do. término del 2do. miembro de la igualdad: 𝑚

y = k( x+ 2𝑘)² + 𝑘( 𝐦 𝟐

−𝑚²+4𝑘𝑞

𝒚 = 𝒌 (𝒙 + 𝟐𝐤) +

4𝑘

) (7)

𝟒𝒌𝒒−𝒎𝟐 𝟒𝒌

(8)

Resultando equivalente a la forma canónica de la función dada encontrada en la opción 1

b) encontrar la ecuación que tiene como vértice el punto A(5; -4) y además su gráfica pasa por los puntos B (2 ; 5) y C (6 ; -3), detallando los pasos de su determinación;

Del punto A que coincide con el vértice sabemos los valores de h=5 y k=-4, donde: 𝐛

𝐛

𝐡 = − 𝟐𝐚 =>𝟓 = − 𝟐𝐚 Despejando b = -10a (1) y 𝐛

𝒌 = 𝐜 − 𝟒𝐚 =>−𝟒 = 𝐜 −

(𝐛)² 𝟒𝐚

Reemplazando b y Despejando c = - 4 + c=-4+

(−𝟏𝟎𝐚)²

c=-4+

(𝐛)² 𝟒𝐚

𝟒𝐚 𝟏𝟎𝟎𝐚² 𝟒𝐚

c = 𝟐𝟓𝐚 -4 (2) Por otro lado y a partir de la forma canónica, reemplazando los valores del vértice y los valores de x e y según el punto B (2;5) podemos encontrar el valor de a : 2

y = a(x-h) + k

->

2

y = a(x-5) + -4

->

2

5 = a(2-5) + -4

->

2

5 = a(-3) + -4 21

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas Operando y haciendo pasaje de términos para despejar a: 9 = a9 -> a=1 Reemplazando el valor de a en las expresiones (1) y (2): b = -10 (1) -> b= -10 c = 𝟐𝟓(𝟏) -4 -> c=21 La ecuación será: 2

y = 1 x + -10x + 21 Reemplazando los valores de x e y según por el punto C(6;-3) se comprueba que los mismos pertenecen a la función hallada 2 -3 = (1)6 + -10(6)+ + 21 -3 = 36 - 60+ + 21 -3 = 57 – 60 -3=-3 c) determinar el tipo de solución que tiene el sistema formado por la ecuación hallada en b) y la 𝒚 𝒙 ecuación + = 𝟏, fundamentando su respuesta. −𝟒 −𝟏𝟎 El sistema será: {

𝒚 = 𝒙² − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟏 𝑦 𝑥 + =1 −4 −10

{

𝒚 = 𝒙² − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟏 𝑦 𝑥 = 1− −4 −10

{

𝒚 = 𝒙² − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟏 𝑥 𝒚 = (1 − )−4 −10

𝒚 = 𝒙² − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟏 −4𝑥 { 𝒚=( )−4 10 𝒚 = 𝒙² − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟏 { −2𝑥 𝒚= −4 5 Igualando las expresiones del sistema: 𝒙² − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟏 =

−2𝑥 −4 5

Resolviendo y despejando para igualar la expresión a 0 (cero): 𝒙² − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟏 + 𝒙² + 𝟐𝟏 +

−2𝑥 +𝟒= 𝟎 5

−48𝑥 + 𝟐𝟓 = 𝟎 5

22

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas Si encontramos el discriminante de la expresión hallada sabremos si existen puntos en común o no y en caso afirmativo si existe sólo un punto en común o más de uno. 2

D = b - 4ac −48 𝟐 𝑫=( ) − 𝟒(𝟏)(𝟐𝟓) 5 2304 𝑫=( ) − 𝟏𝟎𝟎 25 2304 − 2500 𝑫=( ) 25 −196 𝑫=( ) 25 Como el Discriminante es negativo las funciones no tienen puntos en común. Esto se observa si hiciéramos la gráfica donde el punto mínimo de la parábola pasa por el valor y= - 4 y x=5 y la recta con ordenada al origen igual – 4 y pendiente negativa decrece pasando por un punto inferior al del vértice A(5;-4) para el valor 5 de x. Por lo tanto se trata e un sistema inconsistente o sin solución.

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SOLUCIONES

EXAMEN FINAL FEBRERO 2016 Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

TEMA 1 - R I.- En cada una de las opciones que plantea cada ejercicio, Ud. deberá tachar la o las palabras en mayúscula fija y/o completar los espacios de puntos suspensivos, con la información que se solicite, de manera que la expresión resultante sea verdadera. 1) Se puede afirmar que: a)Si se han hallado todos los grupos o muestras posibles de una población de n elementos diferentesy los grupos están conformados por 7 elementos cada uno, susceptibles de repetirse dentro del n n grupo, aunque sin interesar el orden de aparición de los mismos, estamos en presencia de C 7 ,r / A 7,r 7

/ C n ,r /

Pn7 / A 7n ,r / 𝑪𝒏𝟕 / 𝑪𝟕𝒏 / 𝑨𝒏𝟕 / 𝑨𝟕𝒏

b)La cantidad de combinaciones con repetición de 5 elementos tomados en grupos de 4 en 4 es MAYOR / MENOR / IGUAL que la cantidad de arreglos simples de 6 elementos tomados en grupos de 3 en 3 c) La ecuación de la función de segundo grado que tiene como vértice el punto A(5; 2) y además su gráfica pasa por el punto B (2 ; 8), expresada en la forma polinómica,es igual a. . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

y = 2/3 x2 – 20/3 x + 56/3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . n

d)Para que la expresión:

 (2k  3) resulte igual a 837 deben sumarse los primeros . . 27 . . .

tér-

k 1

minos de la sumatoria. n- 1

e)El resultado de la expresión

 (n - k) es MAYOR / MENOR / IGUAL al de la expresión (n-1)! k 1

2)La gráfica de la función de rendimiento de una inversión productiva responde a una forma parabólica, registrando en las abscisas, como variable independiente los montos a invertir, en millones de pesos, y, en el eje de ordenadas, como variable dependiente, los distintos porcentajes de rendimiento sobre la inversión realizada. Si la función presenta dos raíces reales distintas, 1 (uno) y 7 (siete), entonces puede afirmarse que: a) Si el máximo rendimiento fuera del 40%, dicho rendimiento se obtendría cuando el monto invertido fuera de $. 4.000.000 . . . .. b) El coeficiente del término cuadrático de la ecuación de la función deberá tener signo POSITIVO / NEGATIVO. c) En la forma canónica de la función el 40% indicado en el inciso a)es el valor que asume h / k / a / x/y d) El discriminante de la función bajo análisis PUEDE / NO PUEDE ser nulo e) Si el monto de la inversión productiva fuera de $ 5.000.000 y se deseara incrementarla en un 50%, el rendimiento a obtener sería MAYOR / MENOR / IGUAL a cero 3) La suma de los términos que ocupan los lugares pares de una progresión aritmética vale 266, mientras que la suma de los términos de la misma que ocupan los lugares impares alcanza a 231. Si la progresión tiene un total de 14 términos, entonces puede decirse que: a) La diferencia de la progresión es igual a. 5 . . . . . . . . b) El primer término de esta progresión es MAYOR / MENOR / IGUAL que la diferencia de la misma. c) Para que la suma de los primeros z términos resulte igual a 164, el valor de z debería ser . 8 . . . . d) El último término de la progresión resulta igual a . .

68 . . .

...

e) La suma de los primeros 10 términos de la progresión resulta igual a . . .

255 . . . .. 1

EXAMEN FINAL FEBRERO 2016

SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas 4) Se puede afirmar que: a) Una progresión geométrica de razón positiva y menor que la unidad, cuyo primer término es mayor que 5, será CRECIENTE / DECRECIENTE / OSCILANTE EXPLOSIVA / OSCILANTE ATENUADA. b) Una progresión geométrica de razón negativa de valor absoluto mayor que la unidad, será CRECIENTE / DECRECIENTE / OSCILANTE EXPLOSIVA / OSCILANTE ATENUADA. c) Si en una docena de empanadas, hay 5 de carne picante y 7 de carne dulce, pero no es posible identificarlas, la probabilidad de elegir una empanada de carne dulce resulta igual a . 7/12 ; 58,33% d) Siendo p y q dos números reales cualesquiera, el sistema formado por una función de segundo grado de coeficiente cuadrático positivo, cuya gráfica tiene vértice en el punto (p ; q), y la ecuación y = q – 5, es un sistema CONSISTENTE / INCONSISTENTE / DE SOLUCIÓN ÚNICA / DE SOLUCIÓN MÚLTIPLE e) El sistema formado por dos funciones de segundo grado, cuyas gráficas tienen vértice coincidente y sus coeficientes cuadráticos son iguales en valor absoluto, pero diferente signo, es un sistema CONSISTENTE / INCONSISTENTE / DE SOLUCIÓN ÚNICA / DE SOLUCIÓN MÚLTIPLE 5)El Departamento de Recursos Humanos de una empresa está realizando una selección de personal que ingresará a trabajar en dicha empresa. Si se han postulado 15 personas, se puede afirmar que: a) Si se decide tomar un examen escrito a los postulantes, pero en el espacio disponible para ello sólo caben 8 personas como máximo, las formas posibles que pueden organizarse los grupos para rendir, si se opta por hacer dos grupos, uno que rendirá el día lunes y otro el martes, será igual a 7 . C 88 + C158 . C 77 = 12870 C15

b) Si de los 15 postulantes, se decide citar para una entrevista individual a los 7 aspirantes que aprobaron el examen escrito, la cantidad de formas diferentes que se puede armar la lista de las entrevistas será igual a . 5.040 =.

P

7

. ... . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .

c)Si de los postulantes se seleccionan para ingresar 5 personas, de las cuales 1 irá al sector compras, 1 a cobranzas, 1 a la atención telefónica y 2 al sector ventas, la cantidad de formas diferentes en que se pueden distribuir las personas seleccionadas en la empresa será igual a . .60 =

P

2 ,1,1,1,

5,r

.

. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . d)Considerando lo expuesto en c), si las personas que ingresan se llaman Adela, Bibiana, Carlos, Daniel y Eduardo, y la atención telefónica será asignada a una mujer, la cantidad de formas diferentes de distribuir las personas en la empresa será igual a ..

24 =.

P

4

.. o C12 .P41,1,2 =

24. . . . . ..

....

e)En función de dicho en d), la probabilidad de que Bibiana sea asignada en el sector compras, resulta igual a: .

P31,2  3 / 24  1/ 8 C12 .P41,1,2

II.- Efectúe el desarrollo de la siguiente consigna EN UNA HOJA APARTE que deberá entregar firmada conjuntamente con este texto. Dada la propiedad que dice que: “La suma de dos términos de una progresión aritmética finita equidistantes de los extremos es igual a la suma de los términos extremos de la misma progresión”, se solicita: a) Demostrar su validez; b) Aplicando dicha propiedad hallar la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética, explicando y fundamentando cada paso realizado; c) Determinar la suma de los primeros 25 términos de una progresión aritmética sabiendo que el octavo término es igual 21 logb a y el décimo segundoes33 logb a, registrando debidamente las operaciones efectuadas. 2

SOLUCIONES

EXAMEN FINAL FEBRERO 2016 Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

SOLUCIÓN a)

(𝑎1 + 𝑎𝑛 ) = (𝑎2 + 𝑎𝑛−1 ) = (𝑎3 + 𝑎𝑛−2 ) = ⋯ = (𝑎𝑛−2 + 𝑎3 ) = (𝑎𝑛−1 + 𝑎2 ) = (𝑎𝑛 + 𝑎1 )

Expresado genéricamente seria: 𝑎1 + 𝑎𝑛 = 𝑎1+𝑘 + 𝑎𝑛−𝑘 O sea que, la suma de cualquier par de términos que equidistan de los extremos resulta igual a la suma de dichos extremos. Para demostrarlo: 𝑎1 + 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 = 𝑎1 + (1 + 𝑘 − 1)𝑑 + 𝑎1 + (𝑛 − 𝑘 − 1)𝑑 𝑎1 + 𝑎1 + 𝑛𝑑 − 𝑑 = 𝑎1 + 𝑑 + 𝑘𝑑 − 𝑑 + 𝑎1 + 𝑛𝑑 − 𝑘𝑑 − 𝑑 2𝑎1 + 𝑛𝑑 − 𝑑 = 2𝑎1 + 𝑛𝑑 − 𝑑 Con lo cual queda demostrado que: La suma de dos términos de una progresión aritmética finita equidistantes de los extremos es igual a la suma de los términos extremos de la misma progresión.

b) 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 Si en el segundo miembro se escriben los términos en orden inverso, resulta: 𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 + ⋯ + 𝑎3 + 𝑎2 + 𝑎1 Sumando miembro a miembro las igualdades anteriores, obtendremos: 2𝑆𝑛 = (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) + (𝑎2 + 𝑎𝑛−1 ) + (𝑎3 + 𝑎𝑛−2 ) + ⋯ + (𝑎𝑛−2 + 𝑎3 ) + (𝑎𝑛−1 + 𝑎2 ) + (𝑎𝑛 + 𝑎1 ) En cada paréntesis tenemos una suma de dos términos equidistantes de los extremos de la progresión, por lo tanto, todas estas sumas entre paréntesis son iguales entre si y cada una de ellas es igual la suma de los términos extremos (𝒂𝟏 + 𝒂𝒏 ). Siendo en total n paréntesis, es decir tantos como términos tiene la progresión o términos que sumamos de la progresión. Resulta: 𝟐𝑺𝒏 = (𝒂𝟏 + 𝒂𝒏 ). 𝒏

Despejando 𝑺𝒏 queda:

𝑺𝒏 =

𝒂𝟏 + 𝒂𝒏 𝒏 𝟐

La suma de los “n” primeros términos de una progresión aritmética es igual a la semisuma de los términos extremos multiplicada por el número de términos que se pretende sumar. c) Primero, encuentro la diferencia ‘d’ 𝑑=

33𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 − 21 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 4

𝑑 = 3 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 A partir del octavo término busco el primero: ‘a1’ 3

SOLUCIONES

EXAMEN FINAL FEBRERO 2016 Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

𝑎1 = 𝑎𝑛 − 𝑑(𝑛 − 1) 𝑎1 = 21𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 − 3𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 . (8 − 1) 𝑎1 = 21𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 − 21 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎

𝑎1 = 0

Busco ‘ a25’ 𝑎25 = 0 + 3𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 . 24

𝑎25 = 72 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 Calculo ‘S25’ 𝑆25 = 𝑆25 =

𝑎1 + 𝑎25 25 2

0 + 72 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 . 25 2

𝑆25 = 900 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎

4

EXAMEN FINAL FEBRERO 2016

SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

TEMA 2 - R I.- En cada una de las opciones que plantea cada ejercicio, Ud. deberá tachar la o las palabras en mayúscula fija y/o completar los espacios de puntos suspensivos, con la información que se solicite, de manera que la expresión resultante sea verdadera. 1) Se puede afirmar que: a) una progresión geométrica de razón mayor que la unidad, cuyo primer término es negativo, será CRECIENTE / DECRECIENTE / OSCILANTE EXPLOSIVA / OSCILANTE ATENUADA. b) una progresión geométrica de razón negativa de valor absoluto menor que la unidad, será CRECIENTE / DECRECIENTE / OSCILANTE EXPLOSIVA / OSCILANTE ATENUADA. c) si en una docena de alfajores, hay 8 de dulce de leche y 4 de fruta, pero no es posible identificarlos, la probabilidad de elegir un alfajor de fruta será igual a .4/12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d) Siendo p y q dos números reales cualesquiera, el sistema formado por una función de segundo grado de coeficiente cuadrático positivo, cuya gráfica tiene vértice en el punto (p ; q), y la ecuación y = q + 5, es un sistema CONSISTENTE / INCONSISTENTE / DE SOLUCIÓN ÚNICA / DE SOLUCIÓN MÚLTIPLE e) El sistema formado por dos funciones de segundo grado, cuyas gráficas tienen vértice coincidente y sus coeficientes cuadráticos son iguales, es un sistema CONSISTENTE / INCONSISTENTE / DE SOLUCIÓN ÚNICA / DE SOLUCIÓN MÚLTIPLE 2) El Departamento de Recursos Humanos de una empresa está realizando una selección de personal a incorporar a dicha empresa. Si se han postulado 14 personas, se puede afirmar que: a) Si se decide tomar un examen escrito a los postulantes, pero en el espacio disponible para ello sólo caben 8 personas como máximo, las formas posibles que pueden organizarse los grupos para rendir, si se opta por hacer dos grupos, uno que rendirá el día lunes y otro el martes, será igual a . . . .

𝑪𝟖𝟏𝟒 . 𝑪𝟔𝟔 + 𝑪𝟕𝟏𝟒 . 𝑪𝟕𝟕 + 𝑪𝟔𝟏𝟒 . 𝑪𝟖𝟖 = . . . 9438. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Si de los 14 postulantes, se decide citar para una entrevista individual a los 8 aspirantes que aprobaron el examen escrito, la cantidad de formas diferentes que se puede armar la lista de las entrevistas será igual a . .𝑷𝟖

= . 40320. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) Si de los postulantes se seleccionan para ingresar 6 personas, de las cuales 2 irán al sector compras, 1 a cobranzas, 1 a la atención telefónica y 2 al sector ventas, la cantidad de formas diferentes en que se pueden distribuir las personas seleccionadas en la empresa será igual a

𝑷𝟐,𝟏,𝟏,𝟐 .= 180 . . 𝟔

d) Considerando lo expuesto en c), si las personas que ingresan se llaman Adela, Bibiana, Carlos, Daniel, Eduardo y Felipe, y la atención telefónica será asignada a una mujer, la cantidad de formas diferentes de distribuir las personas en la empresa será igual a . .

𝑪𝟏𝟐 . 𝑷𝟐,𝟏,𝟐 = 𝟔𝟎. . . . . . . . . . . . . . . . 𝟓

e) En función de dicho en d), la probabilidad de que Bibiana sea asignada en el sector cobranzas, resulta igual a:

𝑪𝟏𝟏 . 𝑪𝟏𝟏 .𝑷𝟐,𝟐 𝟒 𝑪𝟏𝟐 .𝑷𝟐,𝟏,𝟐 𝟓

=

𝟔 𝟔𝟎

=

𝟏 𝟏𝟎

3) La suma de los términos que ocupan los lugares pares de una progresión aritmética vale 344, mientras que la suma de los términos de la misma que ocupan los lugares impares alcanza a 304. Si la progresión tiene un total de 16 términos, entonces puede decirse que: a) La diferencia de la progresión es igual a. .5 . . . . . . . . . . b) El primer término de esta progresión es MAYOR / MENOR / IGUAL que la diferencia de la misma. c) Para que la suma de los primeros z términos resulte igual a 207, el valor de z debería ser . . 9 . . . d) El último término de la progresión resulta igual a . 78. . . . . . . . . . . 5

EXAMEN FINAL FEBRERO 2016

SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas e) La suma de los primeros 12 términos de la progresión resulta igual a . 366. . . . . . . . . . . 4) Se puede afirmar que: a) Si se han hallado todos los grupos o muestras posibles de una población de n elementos diferentes y los grupos están conformados por 7 elementos diferentes cada uno, aunque sin interesar el n

orden de aparición de los mismos, estamos en presencia de C 7 ,r

n

/ A 7,r

7

/ C n ,r /

Pn7 / A 7n ,r /

𝑪𝒏𝟕 / 𝑪𝟕𝒏 / 𝑨𝒏𝟕 / 𝑨𝟕𝒏 b) La cantidad de combinaciones simples de 5 elementos tomados en grupos de 4 en 4 es MAYOR / MENOR / IGUAL que la cantidad de arreglos con repetición de 2 elementos tomados en grupos de 4 en 4 c) La ecuación de la función de segundo grado que tiene como vértice el punto A(5; 3) y además su gráfica pasa por el punto B (2 ; 9), expresada en la forma polinómica, es igual a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

y = 2/3 x2 – 20/3 x + 59/3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n

d) Para que la expresión:

 (3  2p) resulte igual a 780 deben sumarse los primeros . . .26 . . . . . p 1

términos de la sumatoria. n- 1

e) El resultado de la expresión

 (n - p) es MAYOR / MENOR / IGUAL al de la expresión (n)! p0

5) La gráfica de la función de rendimiento de una inversión productiva responde a una forma parabólica, registrando en las abscisas, como variable independiente los montos a invertir, en millones de pesos, y, en el eje de ordenadas, como variable dependiente, los distintos porcentajes de rendimiento sobre la inversión realizada. Si la función presenta dos raíces reales distintas, 1 (uno) y 8 (ocho), entonces puede afirmarse que: a) Si el máximo rendimiento fuera del 35%, dicho rendimiento se obtendría cuando el monto invertido fuera de $. 4.500.000. . . . . . . . . . . . . .. b) El coeficiente del término cuadrático de la ecuación de la función deberá tener signo POSITIVO / NEGATIVO. c) En la forma canónica de la función el 35% indicado en el inciso a) es el valor que asume h / k / a / x/y d) El discriminante de la función bajo análisis PUEDE / NO PUEDE ser nulo e) Si el monto de la inversión productiva fuera de $ 5.000.000 y se deseara incrementarla en un 50%, el rendimiento a obtener sería MAYOR / MENOR / IGUAL a cero

II.- Efectúe el desarrollo de la siguiente consigna EN UNA HOJA APARTE que deberá entregar firmada conjuntamente con este texto. Dada la propiedad que dice que: “La suma de dos términos de una progresión aritmética finita equidistantes de los extremos es igual a la suma de los términos extremos de la misma progresión”, se solicita: a) Demostrar su validez; b) Aplicando dicha propiedad hallar la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética, explicando y fundamentando cada paso realizado; c) Determinar la suma de los primeros 24 términos de una progresión aritmética sabiendo que el noveno término es igual 24 logb a y el décimo tercero es 36 logb a, registrando debidamente las operaciones efectuadas.

6

SOLUCIONES

EXAMEN FINAL FEBRERO 2016 Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

SOLUCIÓN a)

(𝑎1 + 𝑎𝑛 ) = (𝑎2 + 𝑎𝑛−1 ) = (𝑎3 + 𝑎𝑛−2 ) = ⋯ = (𝑎𝑛−2 + 𝑎3 ) = (𝑎𝑛−1 + 𝑎2 ) = (𝑎𝑛 + 𝑎1 )

Expresado genéricamente seria: 𝑎1 + 𝑎𝑛 = 𝑎1+𝑘 + 𝑎𝑛−𝑘 O sea que, la suma de cualquier par de términos que equidistan de los extremos resulta igual a la suma de dichos extremos. Para demostrarlo: 𝑎1 + 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 = 𝑎1 + (1 + 𝑘 − 1)𝑑 + 𝑎1 + (𝑛 − 𝑘 − 1)𝑑 𝑎1 + 𝑎1 + 𝑛𝑑 − 𝑑 = 𝑎1 + 𝑑 + 𝑘𝑑 − 𝑑 + 𝑎1 + 𝑛𝑑 − 𝑘𝑑 − 𝑑 2𝑎1 + 𝑛𝑑 − 𝑑 = 2𝑎1 + 𝑛𝑑 − 𝑑 Con lo cual queda demostrado que: La suma de dos términos de una progresión aritmética finita equidistantes de los extremos es igual a la suma de los términos extremos de la misma progresión.

b) 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 Si en el segundo miembro se escriben los términos en orden inverso, resulta: 𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 + ⋯ + 𝑎3 + 𝑎2 + 𝑎1 Sumando miembro a miembro las igualdades anteriores, obtendremos: 2𝑆𝑛 = (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) + (𝑎2 + 𝑎𝑛−1 ) + (𝑎3 + 𝑎𝑛−2 ) + ⋯ + (𝑎𝑛−2 + 𝑎3 ) + (𝑎𝑛−1 + 𝑎2 ) + (𝑎𝑛 + 𝑎1 ) En cada paréntesis tenemos una suma de dos términos equidistantes de los extremos de la progresión, por lo tanto, todas estas sumas entre paréntesis son iguales entre si y cada una de ellas es igual la suma de los términos extremos (𝒂𝟏 + 𝒂𝒏 ). Siendo en total n paréntesis, es decir tantos como términos tiene la progresión o términos que sumamos de la progresión. Resulta: 𝟐𝑺𝒏 = (𝒂𝟏 + 𝒂𝒏 ). 𝒏

Despejando 𝑺𝒏 queda:

𝑺𝒏 =

𝒂𝟏 + 𝒂𝒏 𝒏 𝟐

La suma de los “n” primeros términos de una progresión aritmética es igual a la semisuma de los términos extremos multiplicada por el número de términos que se pretende sumar. c) Primero, encuentro la diferencia ‘d’ 𝑑=

36𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 − 24 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 4

𝑑 = 3 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 7

SOLUCIONES

EXAMEN FINAL FEBRERO 2016 Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas A partir del noveno término busco el primero: ‘a1’

𝑎1 = 𝑎𝑛 − 𝑑(𝑛 − 1) 𝑎1 = 24𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 − 3𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 . (9 − 1) 𝑎1 = 24𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 − 24 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎

𝑎1 = 0

Busco ‘ a24’ 𝑎24 = 0 + 3𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 . 23

𝑎24 = 69 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 Calculo ‘S24’ 𝑆24 = 𝑆24 =

𝑎1 + 𝑎24 24 2

0 + 69 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 . 24 2

𝑆24 = 828 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎

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SOLUCIONES

EXAMEN FINAL FEBRERO 2016 Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

TEMA 1 – C I.- En cada una de las opciones que plantea cada ejercicio, Ud. deberá tachar la o las palabras en mayúscula fija y/o completar los espacios de puntos suspensivos, con la información que se solicite, de manera que la expresión resultante sea verdadera. 1) Se puede afirmar que: a) Si el ángulo  pertenece al segundo cuadrante, entonces las relaciones coseno y secante de  tienen IGUAL / DIFERENTE signo y valor que las mismas relaciones de un ángulo que, perteneciendo al tercer cuadrante, tiene igual ángulo de referencia. b) Si en una matriz A de orden 8 x 9 cuyo rango es 5, se reemplaza una de las columnas independientes de la matriz por la que resulta de restarle a ella otra columna independiente de la matriz premultiplicada por 1/2, el rango de la matriz resultante SE MODIFICA / NO SE MODIFICA. c) La expresión |𝐱 𝟐 − 𝐳| ≤ |𝐳 − 𝐱 𝟐 | + 𝟖 es una desigualdad ESTRICTA / NO ESTRICTA / ABSOLUTA / RELATIVA. d) Dadas las funciones 𝐟(𝐱) = 𝐞𝐱 y 𝐠(𝐱) = (𝟏⁄𝒆) IGUAL a g(x).

𝐱

para x > 0, resulta f(x) MAYOR / MENOR /

e) Si se han hallado todos los grupos o muestras posibles de una población de n elementos diferentes y los grupos están conformados por 7 elementos cada uno, susceptibles de repetirse dentro del grupo, interesando el orden de aparición de los mismos dentro del grupo, estamos en presencia de

C n7,r / A n7,r

7

/ C n ,r /

Pn7 / A 7n ,r / 𝑪𝒏𝟕 / 𝑪𝟕𝒏 / 𝑨𝒏𝟕 / 𝑨𝟕𝒏 .

2) Dado el esquema gráfico que se presenta a la derecha, donde la solución resulta ser la zona rayada, puede decirse que: a) El punto (2;4) PERTENECE / NO PERTENECE a la zona de solución. b) El límite de pendiente negativa de menor valor absoluto está representado por la 𝒚 𝒙 inecuación + ≥𝟏 𝟓

6

6

𝟏𝟎

c) El límite de pendiente nula está representado por la inecuación 𝒚 ≥ 𝟑 d) Si la solución perteneciera a un problema de programación lineal, cuya función objetivo fuera Z (Max) = 2 y + 3 x, el punto óptimo del problema sería ( 42/5 ; 3 ). e) Si la solución perteneciera a un problema de programación lineal, pero la función objetivo fuera Z (Min) = 2 y + 3 x, el punto óptimo del problema sería ( 0 ; 5 ).

 anti log 1 antilog2 (-1) antilog2 1  3) Dada la matriz A   anti log 1 antilog2 1 anti log2 0 puede afirmarse que: 5   antilog20 1 antilog3 0 anti log2 2 a) Tiene determinante NULO / NO NULO. b) TIENE / NO TIENE matriz inversa. c) PUEDE / NO PUEDE extraerse al menos un determinante de orden dos no nulo de la matriz A. 9

EXAMEN FINAL FEBRERO 2016

SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas d) Si A fuera la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales, dicho sistema SERÍA / NO SERÍA consistente determinado. e) Si A fuera la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales, dicho sistema sería CONSISTENTE / INCONSISTENTE. 4) Se puede afirmar que: a x  b y  c a) Dado el sistema:  donde a, b, c, p y q son constantes numéricas, si |a/b|  p el y  p x  q sistema tiene solución ÚNICA / MÚLTIPLE.

b) Si logb a = p y loga b = q, donde a, b, p y q asumen valores válidos para la operación indicada, y conociendo además que 1 > b > a, entonces logb a es MAYOR / IGUAL / MENOR que loga b. c) Una progresión geométrica de razón mayor que la unidad, cuyo primer término es negativo, será CRECIENTE / DECRECIENTE / OSCILANTE EXPLOSIVA / OSCILANTE ATENUADA. d) Siendo p y q dos números reales cualesquiera, el sistema formado por una función de segundo grado de coeficiente cuadrático positivo, cuya gráfica tiene vértice en el punto (p ; q), y la ecuación y = q + 5, es un sistema CONSISTENTE / INCONSISTENTE / DE SOLUCIÓN ÚNICA / DE SOLUCIÓN MÚLTIPLE. n- 1

e) El resultado de la expresión

 (n - p) es MAYOR / MENOR / IGUAL al de la expresión (n)! p0

5) La gráfica de la función de rendimiento de una inversión productiva responde a una forma parabólica, registrando en las abscisas, como variable independiente los montos a invertir, en millones de pesos, y, en el eje de ordenadas, como variable dependiente, los distintos porcentajes de rendimiento sobre la inversión realizada. Si la función presenta dos raíces reales distintas, 1 (uno) y 7 (siete), entonces puede afirmarse que: a) Si el máximo rendimiento fuera del 40%, dicho rendimiento se obtendría cuando el monto invertido fuera de $ 4.000.000 b) El coeficiente del término cuadrático de la ecuación de la función deberá tener signo POSITIVO / NEGATIVO. c) En la forma canónica de la función el 40% indicado en el inciso a) es el valor que asume h / k / a / x / y. d) El discriminante de la función bajo análisis PUEDE / NO PUEDE ser nulo. e) Si el monto de la inversión productiva fuera de $ 5.000.000 y se deseara incrementarla en un 50%, el rendimiento a obtener sería MAYOR / MENOR / IGUAL a cero.

II.- Efectúe el desarrollo de la siguiente consigna EN UNA HOJA APARTE que deberá entregar firmada conjuntamente con este texto. Dada la propiedad que dice que: “La suma de dos términos de una progresión aritmética finita equidistantes de los extremos es igual a la suma de los términos extremos de la misma progresión”, se solicita: a) Demostrar su validez; b) Aplicando dicha propiedad hallar la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética, explicando y fundamentando cada paso realizado; c) Determinar la suma de los primeros 25 términos de una progresión aritmética sabiendo que el octavo término es igual 21 logb a y el décimo segundo es 33 logb a, registrando debidamente las operaciones efectuadas.

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SOLUCIONES

EXAMEN FINAL FEBRERO 2016 Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

SOLUCIÓN a) (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) = (𝑎2 + 𝑎𝑛−1 ) = (𝑎3 + 𝑎𝑛−2 ) = ⋯ = (𝑎𝑛−2 + 𝑎3 ) = (𝑎𝑛−1 + 𝑎2 ) = (𝑎𝑛 + 𝑎1 ) Lo que expresado genéricamente seria: 𝑎1 + 𝑎𝑛 = 𝑎1+𝑘 + 𝑎𝑛−𝑘 o sea que, la suma de cualquier par de términos que equidistan de los extremos resulta igual a la suma de dichos extremos. Para demostrarlo: 𝑎1 + (1 + 𝑘 − 1)𝑑 + 𝑎1 + (𝑛 − 𝑘 − 1)𝑑 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 + 𝑎1 𝑎1 + 𝑑 + 𝑘𝑑 − 𝑑 + 𝑎1 + 𝑛𝑑 − 𝑘𝑑 − 𝑑 = 𝑎1 + 𝑛𝑑 − 𝑑 + 𝑎1 2𝑎1 + 𝑛𝑑 − 𝑑 = 2𝑎1 + 𝑛𝑑 − 𝑑 Esta última igualdad es una identidad, con lo cual queda demostrado que: La suma de dos términos de una progresión aritmética finita equidistantes de los extremos es igual a la suma de los términos extremos de la misma progresión.

b)

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛

Si en el segundo miembro se escriben los términos en orden inverso, resulta: 𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 + ⋯ + 𝑎3 + 𝑎2 + 𝑎1 Sumando miembro a miembro las igualdades anteriores, obtendremos: 2𝑆𝑛 = (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) + (𝑎2 + 𝑎𝑛−1 ) + (𝑎3 + 𝑎𝑛−2 ) + ⋯ + (𝑎𝑛−2 + 𝑎3 ) + (𝑎𝑛−1 + 𝑎2 ) + (𝑎𝑛 + 𝑎1 ) En cada paréntesis tenemos una suma de dos términos equidistantes de los extremos de la progresión, por lo tanto, todas estas sumas entre paréntesis son iguales entre si y cada una de ellas es igual la suma de los términos extremos (𝒂𝟏 + 𝒂𝒏 ). Siendo en total n paréntesis, es decir tantos como términos tiene la progresión o términos que sumamos de la progresión, resulta: de donde despejando 𝑺𝒏 queda:

𝟐𝑺𝒏 = (𝒂𝟏 + 𝒂𝒏 ). 𝒏 𝑺𝒏 =

𝒂𝟏 + 𝒂𝒏 𝒏 𝟐

De acuerdo a lo logrado podemos decir que: La suma de los “n” primeros términos de una progresión aritmética es igual a la semisuma de los términos extremos multiplicada por el número de términos que se pretende sumar.

c) La diferencia (d) es igual a: 𝑑=

33 log 𝑏 𝑎 − 24 log 𝑏 𝑎 4 𝑑 = 3 log 𝑏 𝑎

Se encuentra el primer término (a1) a partir del octavo (a8): 𝑎1 = 𝑎𝑛 − 𝑑(𝑛 − 1) 𝑎1 = 21 log 𝑏 𝑎 − 3 log 𝑏 𝑎 . (8 − 1) 11

SOLUCIONES

EXAMEN FINAL FEBRERO 2016 Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

𝑎1 = 21 log 𝑏 𝑎 − 21 log 𝑏 𝑎

𝑎1 = 0 El término a25 será:

𝑎25 = 0 + 3 log 𝑏 𝑎 . 24

𝑎25 = 72 log𝑏 𝑎 S25 será: 𝑆25 = 𝑆25 =

𝑎1 + 𝑎25 25 2

0 + 72 log 𝑏 𝑎 . 25 2

𝑆25 = 900 log𝑏 𝑎

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EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

TEMA 1 - R I.- En cada una de las opciones que plantea cada ejercicio, Ud. deberá tachar la o las palabras en mayúscula fija y/o completar los espacios de puntos suspensivos, con la información que se solicite, de manera que la expresión resultante sea verdadera. 1) Se puede afirmar que: k

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a) El resultado de la expresión

 sen 3 

es igual a cero

k 1

b) Si cinco personas forman una fila y tres de ellas tienen los ojos celestes, la probabilidad de que una persona de ojos celeste se ubique en el primer lugar de la fila es igual a 3/5 = 0,6 c) Siendo p y q dos números reales cualesquiera, el sistema formado por una función de segundo grado de coeficiente cuadrático negativo, cuya gráfica tiene vértice en el punto (p ; q), y la función de segundo grado de vértice en el punto (p ; q+3) y coeficiente cuadrático positivo, es un sistema CONSISTENTE / INCONSISTENTE / DE SOLUCIÓN ÚNICA / DE SOLUCIÓN MÚLTIPLE. d) El sistema formado por la ecuación y  (x  m)  p y la ecuación y = p es un sistema CONSISTENTE / INCONSISTENTE / DE SOLUCIÓN ÚNICA / DE SOLUCIÓN MÚLTIPLE. 2

2) Sabiendo que a1 = 1 – k

a3 = 1 – 5 k

a5 = k + 16

constituyen los términos indicados de una progresión aritmética, se puede asegurar que: a) El valor de k es igual a -1,5 b) El valor de la diferencia de la progresión es 3 c) Los cinco primeros términos de la progresión son, respectivamente 2,5 ; 5,5 ; 8,5 ; 11,5 ; 14,5 d) Si la progresión tuviera x términos, a1 + ax será MAYOR / MENOR / IGUAL a ax-z + a1+z siendo z un número natural menor que x. k

3) Dada la expresión:

a

i

puede decirse que:

i0

a) Los sumandos de su desarrollo CONFORMAN / NO CONFORMAN una progresión. b) Si cuando i = k el producto del último sumado por el primero resulta igual entonces el valor de a será igual a: 3

(𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟐𝟕)𝐤 ,

c) Tomando en consideración el valor hallado en b), el término que ocupa el quinto lugar en la 4 sumatoria es igual a 3 = 81 d) Tomando en consideración lo expuesto en b), el valor de la sumatoria, cuando k = 10, es igual a 88.573 4) Se puede afirmar que: 2

a) La expresión de la suma abreviada de las imágenes de la función f(x) = 5 x - 2, para valores enteros de – 1 ≤ x ≤ n, resulta igual a: 2

∑𝒏𝒙= −𝟏(𝟓 𝒙𝟐 − 𝟐)

b) En la parábola y = 2x – 3 x la ordenada del vértice resulta igual a

k=-

𝟗

𝟖 c) La expresión abreviada del producto de los números naturales pares menores a 100 resulta igual a: ∏𝟒𝟗 𝒏=𝟏(𝟐 𝒏) 1

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas d) La expresión 𝒚 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐 𝒙 − 𝟔 tiene un discriminante POSITIVO / NEGATIVO / NULO que permite asegurar que sus raíces son REALES / COMPLEJAS / IGUALES / DISTINTAS / CONJUGADAS 5) Una señora tiene seis maceteros rectangulares iguales que desea colocar en la galería de su casa, plantándole a cada uno petunias con flores. Si a dichos maceteros sólo es posible ubicarlos en una sola fila contra la pared de manera que el frente decorado quede a la vista, se puede afirmar que: a) Si decide plantar en cada macetero tres petunias color blanco, dos rojas y una amarilla en una misma fila, la cantidad de formas posibles de plantar las petunias en un macetero resultará 𝟑,𝟐,𝟏

igual a 𝑷𝟔

= 60

b) Si decide plantar un mismo color de petunias en cada macetero, optando por armar tres maceteros con petunias blancas y tres maceteros con petunias rojas, la cantidad de formas diferentes de colocar los maceteros en la galería será igual a

𝑷𝟑,𝟑 𝟔 = 20

c) Si ubicados los maceteros en la galería, la señora observa que, mirados de izquierda a derecha, cada macetero tiene una cantidad constante de petunias más que el macetero anterior, el número de petunias de cada macetero constituye una sucesión denominada progresión aritmética d) Si en la situación detallada en c) se observa que el segundo macetero tiene 5 petunias y el anteúltimo 14 petunias, entonces el total de petunias que plantó considerando todos los maceteros resulta igual a 57

II.- Efectúe el desarrollo de la siguiente consigna EN UNA HOJA APARTE que deberá entregar firmada conjuntamente con este texto. Si se han hallado todos los grupos o muestras posibles de una población de n elementos diferentes, se solicita: a) Indicar qué condiciones deben reunir dichos grupos o muestras para que resulten ser un arreglo simple de n elementos tomados de a p. Son aquellas muestras de p elementos distintos, tomados de una población de n elementos todos diferentes entre sí, siendo p < n , y considerando que una muestra es distinta de otra si tiene al menos un elemento diferente o si, siendo todos los elementos iguales, difieren en el orden de aparición en dicha muestra. Resumiendo las condiciones son:   

Que el tamaño de la muestra es inferior al tamaño de la población; Que no existe repetición dentro de los elementos de la muestra; Que interesa el orden de aparición de los elementos dentro de la muestra.

b) Efectuar la deducción de la fórmula que permita calcular la cantidad de arreglos simples de n elementos tomados de a p, detallando y explicando todos los pasos realizados; Si simbolizamos a los arreglos simples de n elementos tomados de a p, como A pn , para encontrar la fórmula que nos permita calcular el número de arreglos simples, pensemos primero en la situación que se nos daría si el valor de p fuera igual a 1 (uno). En esta situación, podremos encontrar tantas muestras distintas como la cantidad de elementos de la población, o sea: A1n  n Aumentemos ahora el tamaño de la muestra a p = 2.. Para lograr cada una de estas nuevas muestras bastaría con agregar a cada una de las muestras que se habían obtenido para el caso en que p = 1, uno cualquiera de los restantes elementos diferentes al ya existente en la misma, ya que la situación no admite repetición y por lo tanto de un grupo cualquiera de un único elemento se pueden lograr (n – 1) muestras. Por lo tanto si por cada grupo con un único elemento se obtienen (n – 1) grupos nuevos de 2 elementos, se podrá concluir que: 2

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

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An2  n(n  1) Para lograr las muestras de tres elementos, y conforme a lo expresado anteriormente, podría tomarse cada una de las muestras de dos elementos, y en ella agregar un tercer elemento, lógicamente distinto de cualquiera de los que ya están registrados en la misma. Como esto implica poder agregar (n – 2) elementos (cualquiera de los de la población menos los dos ya existentes), con razonamiento similar al anterior referido a la regla de tres simple aplicada se llega a que: An3  n(n  1)(n  2) Y con este esquema de razonamiento anterior, fácilmente puede deducirse que: An4  n(n  1)(n  2)(n  3) Observemos el comportamiento de las sucesivas fórmulas que hemos ido escribiendo precedentemente. Se podrá concluir que todas ellas resultan ser un producto de sucesivos números naturales cada vez menores en una unidad al anterior, y a partir del n que coincide con el tamaño de la población. Por otra parte, si contamos los factores de cada fórmula, veremos que esa cantidad coincide con el valor de p, o sea con el tamaño de la muestra. O sea: Apn  n(n  1)(n  2) ... n  (p  1)    p factores

lo que podría expresarse en forma definitiva como: Apn  n(n  1)(n  2) ... (n  p  1) Ahora bien, si recordamos el concepto de factorial de un número natural, caemos fácilmente en que la expresión o fórmula anterior, contiene precisamente los números iniciales de n!. Por otra parte, si multiplicáramos y dividiéramos a esta expresión por un mismo número natural, es evidente que su valor no se alteraría. Consideremos que el natural siguiente y una unidad menor al último que aparece en la última de las expresiones anteriores, resultaría ser precisamente (n – p). Si a esta expresión la multiplicamos y dividimos por (n – p)!, que es un natural, su valor no se alteraría pero quedaría expresada como: n(n  1)(n  2) ... (n  p  1)(n  p)! n! Apn   (n  p)! (n  p)! ya que la expresión definitiva del numerador puede resumirse en n!. De este modo se cuenta con una expresión más simple de recordar precisamente para determinar la cantidad de muestras diferentes que se pueden conseguir, cuando de una población de n elementos se pretenden formar, con las condiciones de arreglos simples, muestras de p elementos en cada una. c) Determinar la cantidad de arreglos simples de una población de 4 elementos diferentes tomados de a tres y detallar todos los grupos tomando como elementos de la población: A, B, C y D.

n=4 ABC BAC CAB DAB

p=3 ABD BAD CAD DAC

ACB BCA CBA DBA

4!

A43 = (4−3)! = 24 ACD BCD CBD DBC

ADB BDA CDA DCA

ADC BDC CDB DCB

3

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

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TEMA 2 – R I.- En cada una de las opciones que plantea cada ejercicio, Ud. deberá tachar la o las palabras en mayúscula fija y/o completar los espacios de puntos suspensivos, con la información que se solicite, de manera que la expresión resultante sea verdadera. 1) Se puede afirmar que: 2

a) La expresión de la suma abreviada de las imágenes de la función f(x) = 5 x + 2, para valores enteros de – 1 ≤ x ≤ p, resulta igual a:

∑𝒑𝒙=−𝟏(𝟓 𝒙𝟐 + 𝟐)

b) En la parábola y = 2x + 3 x la ordenada del vértice resulta igual a 2

𝟗

𝟖 c) La expresión abreviada del producto de los números naturales impares menores a 100 resulta igual a ∏𝟓𝟎 𝒏=𝟏( 𝟐 𝒏 − 𝟏) d) La expresión 𝒚 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐 𝒙 − 𝟔 tiene un discriminante POSITIVO / NEGATIVO / NULO que permite asegurar que sus raíces son REALES / COMPLEJAS / IGUALES / DISTINTAS / CONJUGADAS 2) Una señora tiene cinco maceteros rectangulares iguales que desea colocar en la galería de su casa, plantándole a cada uno petunias con flores. Si a dichos maceteros sólo es posible ubicarlos en una sola fila contra la pared de manera que el frente decorado quede a la vista, se puede afirmar que: a) Si decide plantar en cada macetero dos petunias color blanco, dos rojas y una amarilla en una misma fila, la cantidad de formas posibles de plantar las petunias en un macetero resultará 𝟐,𝟐,𝟏

igual a 𝑷𝟓

𝟓!

= 𝟐!𝟐!𝟏! = 30

b) Si decide plantar un mismo color de petunias en cada macetero, optando por armar tres maceteros con petunias blancas y dos maceteros con petunias rojas, la cantidad de formas diferentes de colocar los maceteros en la galería será igual a

𝟓!

𝑷𝟑,𝟐 𝟓 = 𝟑!𝟐! = 10

c) Si ubicados los maceteros en la galería, la señora observa que, mirados de izquierda a derecha, cada macetero tiene una cantidad constante de petunias más que el macetero anterior, el número de petunias de cada macetero constituye una sucesión denominada Progresión Aritmética d) Si en la situación detallada en c) se observa que el segundo macetero tiene 3 petunias y el anteúltimo 11 petunias, entonces el total de petunias que plantó considerando todos los maceteros resulta igual a 35 petunias. k

3) Dada la expresión:

z

i-1

puede decirse que:

i 2

a) Los sumandos de su desarrollo CONFORMAN / NO CONFORMAN una progresión. b) Si cuando i = k el producto del último sumado por el primero resulta igual entonces el valor de z será igual a: 4

(𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟖𝟏)𝐤 ,

c) Tomando en consideración el valor hallado en b), el término que ocupa el cuarto lugar en la 4 sumatoria es igual a 4 = 256 d) Tomando en consideración lo expuesto en b), el valor de la sumatoria, cuando k = 10, es igual a 349.524

4) Se puede afirmar que: 4

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas 10

a) El resultado de la expresión

k

 cos 2 

es igual a 1

k 1

b) Si cinco personas forman una fila y dos de ellas tienen los ojos celestes, la probabilidad de que una persona de ojos celeste se ubique en el primer lugar de la fila es igual a 2/5 = 0,4 c) Siendo p y q dos números reales cualesquiera, el sistema formado por una función de segundo grado de coeficiente cuadrático positivo, cuya gráfica tiene vértice en el punto (p ; q), y la función de segundo grado de vértice en el punto (p ; q+3) y coeficiente cuadrático negativo, es un sistema CONSISTENTE / INCONSISTENTE / DE SOLUCIÓN ÚNICA / DE SOLUCIÓN MÚLTIPLE. d) El sistema formado por la ecuación y  (x  m)  p y la ecuación y = p + 2 es un sistema CONSISTENTE / INCONSISTENTE / DE SOLUCIÓN ÚNICA / DE SOLUCIÓN MÚLTIPLE. 2

5) Sabiendo que a2 = 1 – k

a4 = 1 – 5 k

a6 = k + 16

constituyen los términos indicados de una progresión aritmética, se puede asegurar que: e) El valor de k es igual a -1,5 f) El valor de la diferencia de la progresión es 3 g) Los cinco primeros términos de la progresión son, respectivamente -0,5 ; 2,5 ; 5,5 ; 8,5 ; 11,5 h) Si la progresión tuviera x términos, a1 + ax será MAYOR / MENOR / IGUAL a ax-z + a1+z siendo z un número natural menor que x.

II.- Efectúe el desarrollo de la siguiente consigna EN UNA HOJA APARTE que deberá entregar firmada conjuntamente con este texto. Si se han hallado todos los grupos o muestras posibles de una población de n elementos diferentes, se solicita: b) Indicar qué condiciones deben reunir dichos grupos o muestras para que resulten ser un arreglo simple de n elementos tomados de a p. Son aquellas muestras de p elementos distintos, tomados de una población de n elementos todos diferentes entre sí, siendo p < n , y considerando que una muestra es distinta de otra si tiene al menos un elemento diferente o si, siendo todos los elementos iguales, difieren en el orden de aparición en dicha muestra. Resumiendo las condiciones son:  Que el tamaño de la muestra es inferior al tamaño de la población;  Que no existe repetición dentro de los elementos de la muestra;  Que interesa el orden de aparición de los elementos dentro de la muestra.

c) Efectuar la deducción de la fórmula que permita calcular la cantidad de arreglos simples de n elementos tomados de a p, detallando y explicando todos los pasos realizados; Si simbolizamos a los arreglos simples de n elementos tomados de a p, como A pn , para encontrar la fórmula que nos permita calcular el número de arreglos simples, pensemos primero en la situación que se nos daría si el valor de p fuera igual a 1 (uno). En esta situación, podremos encontrar tantas muestras distintas como la cantidad de elementos de la población, o sea: A1n  n 5

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas Aumentemos ahora el tamaño de la muestra a p = 2.. Para lograr cada una de estas nuevas muestras bastaría con agregar a cada una de las muestras que se habían obtenido para el caso en que p = 1, uno cualquiera de los restantes elementos diferentes al ya existente en la misma, ya que la situación no admite repetición y por lo tanto de un grupo cualquiera de un único elemento se pueden lograr (n – 1) muestras. Por lo tanto si por cada grupo con un único elemento se obtienen (n – 1) grupos nuevos de 2 elementos, se podrá concluir que: An2  n(n  1) Para lograr las muestras de tres elementos, y conforme a lo expresado anteriormente, podría tomarse cada una de las muestras de dos elementos, y en ella agregar un tercer elemento, lógicamente distinto de cualquiera de los que ya están registrados en la misma. Como esto implica poder agregar (n – 2) elementos (cualquiera de los de la población menos los dos ya existentes), con razonamiento similar al anterior referido a la regla de tres simple aplicada se llega a que: An3  n(n  1)(n  2) Y con este esquema de razonamiento anterior, fácilmente puede deducirse que: An4  n(n  1)(n  2)(n  3) Observemos el comportamiento de las sucesivas fórmulas que hemos ido escribiendo precedentemente. Se podrá concluir que todas ellas resultan ser un producto de sucesivos números naturales cada vez menores en una unidad al anterior, y a partir del n que coincide con el tamaño de la población. Por otra parte, si contamos los factores de cada fórmula, veremos que esa cantidad coincide con el valor de p, o sea con el tamaño de la muestra. O sea:

Apn  n(n  1)(n  2) ... n  (p  1)    p factores

lo que podría expresarse en forma definitiva como: Apn  n(n  1)(n  2) ... (n  p  1) Ahora bien, si recordamos el concepto de factorial de un número natural, caemos fácilmente en que la expresión o fórmula anterior, contiene precisamente los números iniciales de n!. Por otra parte, si multiplicáramos y dividiéramos a esta expresión por un mismo número natural, es evidente que su valor no se alteraría. Consideremos que el natural siguiente y una unidad menor al último que aparece en la última de las expresiones anteriores, resultaría ser precisamente (n – p). Si a esta expresión la multiplicamos y dividimos por (n – p)!, que es un natural, su valor no se alteraría pero quedaría expresada como: n(n  1)(n  2) ... (n  p  1)(n  p)! n! Apn   (n  p)! (n  p)! ya que la expresión definitiva del numerador puede resumirse en n!. De este modo se cuenta con una expresión más simple de recordar precisamente para determinar la cantidad de muestras diferentes que se pueden conseguir, cuando de una población de n elementos se pretenden formar, con las condiciones de arreglos simples, muestras de p elementos en cada una.

d) Determinar la cantidad de arreglos simples de una población de 4 elementos diferentes tomados de a tres y detallar todos los grupos tomando como elementos de la población: W, X, Y y Z. n=4

p=3 WXY WXZ WYX WYZ WZX WZY

3

𝟒!

A4 = (𝟒−𝟑)! = 24 XWY XWZ XYW XYZ XZW XZY

YWX YWZ YXW YXZ YZW YZX

ZWX ZWY ZXW ZXY ZYX ZYW

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EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

TEMA 1 – C I.- En cada una de las opciones que plantea cada ejercicio, Ud. deberá tachar la o las palabras en mayúscula fija y/o completar los espacios de puntos suspensivos, con la información que se solicite, de manera que la expresión resultante sea verdadera.

1) Se puede afirmar que: 2

2

2

2

a) la expresión (a + x) = a + 2 a x + x , cuando a = 1, ES / NO ES una ecuación b) La expresión

y x   1 ES / NO ES una ecuación lineal. log 3 27 log 3 81 10

c) El resultado de la expresión

 sen 3 

n

es igual a .

.0 . . . . . . . . . . .

n1

d) Si todos los elementos de una línea de un determinante A de orden 4 se multiplicaran por el escalar p el valor del nuevo determinante sería igual a 𝒑|𝑨| o el valor del determinante multiplicado por p. 2) Si se tiene un sistema conformado por las inecuaciones y +3 x  25 y a y + b x  42 y la ecuación: 2 y = 2 h x + 6, se puede decir que: a) Si a = 1 y la línea de frontera de la inecuación a y + b x  42 es paralela a la de la inecuación y +3 x  25, el valor de b será igual a . . 3. . . . . . . . . . . b) Si la ecuación 2 y = 2 h x + 6 es perpendicular a la línea de frontera de la inecuación y +3 x  25, entonces h debe asumir el valor . .1/3 . . . . . . . . c) Según lo expuesto en los items a) y b) anteriores, el conjunto solución del sistema resulta ser UN PLANO / UN PUNTO / UN SEGMENTO DE RECTA / UN CONJUNTO VACIO. d) Tomando en consideración lo expuesto en los items a) y b) anteriores, si se incluyeran en el planteo las restricciones de no negatividad SE MODIFICARÍA / NO SE MODIFICARÍA la solución del sistema. 3) Dados los vectores a, b, c y d de tres componentes cada uno de ellos, que conforman el siguiente sistema vectorial:

a11 a12 a13

x1 +

b11 b12 b13

x2 +

c11 c12 c13

x3

=

d11 d12 d13

se puede afirmar que: a) Si el vector c es combinación lineal de los vectores a y b, el determinante de la matriz formada por los vectores a, b y c será NULO / NO NULO. b) Si los vectores c y d resultan ser combinación lineal de los vectores a y b, entonces existirá SOLO UN VALOR / MÁS DE UN VALOR / NINGÚN VALOR de x1, x2 y x3 que satisfagan el sistema. c) Si los vectores a, b y c son linealmente independientes entre sí, entonces el vector d ES / NO ES combinación lineal de los vectores a, b y c. d) Si los vectores a, b y c son linealmente independientes entre sí, entonces la matriz formada por los vectores a, b y c TIENE / NO TIENE inversa.

7

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas 4) Se puede afirmar que: a)

La expresión de la suma abreviada de las imágenes de la función f(x) = 5 x - 2, para

valores enteros de 0 ≤ x ≤ 50, resulta igual a: . . ∑𝟓𝟎 𝒏=𝟎(𝟓𝒙 − 𝟐). . . . . . . . . . . . . . b) Siendo  un ángulo en posición común menor a un giro, del cual se sabe que el valor de la tangente de  es un número negativo, entonces es VERDADERO / FALSO que el valor de la función coseno de ( + ) será siempre positivo. 𝟐

c) Para que la expresión 𝟒𝟗 + (√𝒙 + 𝟑) + . . . . . .. resulte un trinomio cuadrado perfecto debe agregarse sobre los puntos suspensivos la expresión . .𝟏𝟒(√𝒙 + 𝟑) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d) La expresión 𝒚 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐 𝒙 + 𝟔 tiene un discriminante POSITIVO / NEGATIVO / NULO que permite asegurar que sus raíces son REALES / COMPLEJAS / IGUALES / DISTINTAS / CONJUGADAS 5) Sabiendo que a1 = 1 – k

a3 = 1 – 5 k

a5 = k + 16

constituyen los términos indicados de una progresión aritmética, se puede asegurar que: i) j) k) l)

El valor de k es igual a . . -1,5. . . . . . El valor de la diferencia de la progresión es . .-2k = 3 . . . . . . . . Los cinco primeros términos de la progresión son, respectivamente 2,5 ; 5,5 ; 8,5 ; 11,5 ; 14,5. Si la progresión tuviera x términos, a1 + ax será MAYOR / MENOR / IGUAL a ax-z + a1+z, siendo z un número natural menor que x.

II.- Efectúe el desarrollo de la siguiente consigna EN UNA HOJA APARTE que deberá entregar firmada conjuntamente con este texto. Si se han hallado todos los grupos o muestras posibles de una población de n elementos diferentes, se solicita: d) Indicar qué condiciones deben reunir dichos grupos o muestras para que resulten ser un arreglo simple de n elementos tomados de a p. e) Efectuar la deducción de la fórmula que permita calcular la cantidad de arreglos simples de n elementos tomados de a p, detallando y explicando todos los pasos realizados; f) Determinar la cantidad de arreglos simples de una población de 4 elementos diferentes tomados de a tres y detallar todos los grupos tomando como elementos de la población: A, B, C y D.

II.- SOLUCION a) Indicar qué condiciones deben reunir dichos grupos o muestras para que resulten ser un arreglo simple de n elementos tomados de a p. Son aquellas muestras de p elementos distintos, tomados de una población de n elementos todos diferentes entre sí, siendo p < n , y considerando que una muestra es distinta de otra si tiene al menos un elemento diferente o si, siendo todos los elementos iguales, difieren en el orden de aparición en dicha muestra. Resumiendo las condiciones son:   

Que el tamaño de la muestra es inferior al tamaño de la población; Que no existe repetición dentro de los elementos de la muestra; Que interesa el orden de aparición de los elementos dentro de la muestra.

b) Efectuar la deducción de la fórmula que permita calcular la cantidad de arreglos simples de n elementos tomados de a p, detallando y explicando todos los pasos realizados; 8

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

Álgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas Si simbolizamos a los arreglos simples de n elementos tomados de a p, como A pn , para encontrar la fórmula que nos permita calcular el número de arreglos simples, pensemos primero en la situación que se nos daría si el valor de p fuera igual a 1 (uno). En esta situación, podremos encontrar tantas muestras distintas como la cantidad de elementos de la población, o sea: A1n  n Aumentemos ahora el tamaño de la muestra a p = 2.. Para lograr cada una de estas nuevas muestras bastaría con agregar a cada una de las muestras que se habían obtenido para el caso en que p = 1, uno cualquiera de los restantes elementos diferentes al ya existente en la misma, ya que la situación no admite repetición y por lo tanto de un grupo cualquiera de un único elemento se pueden lograr (n – 1) muestras. Por lo tanto si por cada grupo con un único elemento se obtienen (n – 1) grupos nuevos de 2 elementos, se podrá concluir que: An2  n(n  1) Para lograr las muestras de tres elementos, y conforme a lo expresado anteriormente, podría tomarse cada una de las muestras de dos elementos, y en ella agregar un tercer elemento, lógicamente distinto de cualquiera de los que ya están registrados en la misma. Como esto implica poder agregar (n – 2) elementos (cualquiera de los de la población menos los dos ya existentes), con razonamiento similar al anterior referido a la regla de tres simple aplicada se llega a que: An3  n(n  1)(n  2) Y con este esquema de razonamiento anterior, fácilmente puede deducirse que: An4  n(n  1)(n  2)(n  3) Observemos el comportamiento de las sucesivas fórmulas que hemos ido escribiendo precedentemente. Se podrá concluir que todas ellas resultan ser un producto de sucesivos números naturales cada vez menores en una unidad al anterior, y a partir del n que coincide con el tamaño de la población. Por otra parte, si contamos los factores de cada fórmula, veremos que esa cantidad coincide con el valor de p, o sea con el tamaño de la muestra. O sea:

Apn  n(n  1)(n  2) ... n  (p  1)    p factores

lo que podría expresarse en forma definitiva como: Apn  n(n  1)(n  2) ... (n  p  1) Ahora bien, si recordamos el concepto de factorial de un número natural, caemos fácilmente en que la expresión o fórmula anterior, contiene precisamente los números iniciales de n!. Por otra parte, si multiplicáramos y dividiéramos a esta expresión por un mismo número natural, es evidente que su valor no se alteraría. Consideremos que el natural siguiente y una unidad menor al último que aparece en la última de las expresiones anteriores, resultaría ser precisamente (n – p). Si a esta expresión la multiplicamos y dividimos por (n – p)!, que es un natural, su valor no se alteraría pero quedaría expresada como: n(n  1)(n  2) ... (n  p  1)(n  p)! n! Apn   (n  p)! (n  p)! ya que la expresión definitiva del numerador puede resumirse en n!. De este modo se cuenta con una expresión más simple de recordar precisamente para determinar la cantidad de muestras diferentes que se pueden conseguir, cuando de una población de n elementos se pretenden formar, con las condiciones de arreglos simples, muestras de p elementos en cada una. c) Determinar la cantidad de arreglos simples de una población de 4 elementos diferentes tomados de a tres y detallar todos los grupos tomando como elementos de la población: A, B, C y D. 𝑨𝟑𝟒 = 𝟐𝟒 ABC ABD ACB ACD ADB ADC

BAC BAD BCA BCD BDA BDC

CAB CAD CBA CBD CDA CDB

DAB DAC DBA DBC DCA DCB|

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EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

lgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

PUNTAJES PARA LOS EXÁMENES COMPLETOS: Parte I: cada inciso de los ejercicios 1), 2) y 4) vale 0,40 puntos. Los ejercicios 3) y 5) valen 1,60 puntos c/u sólo si son resueltos completos correctamente. Parte II: los incisos a) y b) valen 0,75 c/u y el inciso c) 0,5 punto.

TEMA 1 – C APELLIDO Y NOMBRE I.- En cada una de las opciones que plantea cada ejercicio, Ud. deberá tachar la o las palabras en mayúscula fija y/o completar los espacios de puntos suspensivos, con la información que se solicite, de manera que la expresión resultante sea verdadera.

1) Se puede afirmar que: a) Si se suma una misma cantidad a ambos miembros de una ecuación, su solución SE ALTERA / NO SE ALTERA b) La expresión de la suma abreviada de (𝟏 − 1

𝟏 )+ 𝟐𝟐

𝟏

𝟏

𝟏

(𝟏 − 𝟑𝟐) + (𝟏 − 𝟒𝟐) + ⋯ + (𝟏 − 𝟐𝟗𝟐)

1

28 es igual a . .∑29 𝑖=2 (1 − 2 ) .ó ∑𝑛=1(1 − (𝑛+1)2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 𝑖

8

c) El resultado de la expresión

 k 1

a1 a 2 d) Si A = b 1

b2

c1 c 2

a3

k

 3   tg   es igual a . . 1. . . . . . . . . . .  4  a1

a2

b 3  6 , entonces, b b 1 2 c3 c1 c2

1 a3 2 1 3 1 ES / NO ES igual a ( ) 6 b3 2 2 1 c3 2

a 11 x1 + a 12 x 2 + a 13 x 3  2) Dado el siguiente sistema de ecuaciones: a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 a x + a x + a x 32 2 33 3  31 1 constantes numéricas y xj son las variables, puede afirmarse que:

= b1 = b 2 donde aij y bi son = b3

a) Para que pueda resolverse aplicando el método de Jordan Gauss, el sistema debería ser CONSISTENTE DETERMINADO / CONSISTENTE INDETERMINADO / INCONSISTENTE. b) Si se quisiera hallar la inversa de la matriz de coeficientes del sistema dado por el método de operaciones elementales, SE PODRÍA / NO SE PODRÍA alterar el orden de las columnas en el proceso. c) Si los coeficientes de la variable x1 fueran iguales a dos veces los coeficientes de la variable x2 en las mismas ecuaciones y los términos independientes fueran combinación lineal de los coeficientes de la variable x1 el sistema sería CONSISTENTE DETERMINADO / CONSISTENTE INDETERMINADO / INCONSISTENTE. d) En el supuesto descripto en b) el orden del determinante de mayor orden no nulo que puede ser extraído de la matriz de coeficientes del sistema SERÁ / NO SERÁ mayor que dos. 3) Se tiene una matriz A cuadrada de orden 3 y de determinante de valor -4, en la que todos sus elementos son significativos (no nulos). Al premultiplicarla por una matriz B dio por resultado la matriz C, que es diagonal escalar, siendo el determinante de este resultado de valor 1. Puede decirse que: 1

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

lgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas a) La matriz B es de orden . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) La matriz B es la ADJUNTA / INVERSA / OPUESTA de la matriz A. c) El producto AxB RESULTA / NO RESULTA igual al producto BxA. d) El determinante del producto de A por su adjunta es igual a (−4)3

= - 64

4) Se puede afirmar que: a) Dado un ángulo cualquiera , b) Si el dominio de la función y 

cos - β ES / NO ES igual a cos β x x

es el conjunto de los números enteros excluido el cero,

entonces el rango de la función está conformado por 1 y - 1. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . c) Si x representa el entero impar menor, la traducción al lenguaje algebraico de la expresión “La suma de los cuadrados de tres números enteros impares positivos consecutivos es 683” es igual a

𝑥 2 + (𝑥 + 2)2 + (𝑥 + 4)2 = 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d) Los tres números enteros impares positivos a los que alude el ítem anterior son: 13 ; 15; 17

5) Una mujer y su marido, planean invitar a cenar a 4 parejas. Como la mesa del comedor es rectangular decidieron que la anfitriona se sentará en la cabecera cercana a la cocina, el anfitrión en la cabecera opuesta y 4 invitados de cada lado de la mesa. En base a esta información se puede concluir que: a) La cantidad de formas posibles de sentar a los invitados surge de la expresión 𝑃8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (expresarlo simbólicamente, sin resolver). b) Si los integrantes de cada pareja invitadas se sientan juntos en el mismo lado de la mesa, las formas posibles de sentar los invitados será igual a . 𝑃4 . 𝑃2 = 48. . . . . . . . . . . . . . . c) Si las cuatro mujeres se sientan en los cuatro lugares más cercanos a la anfitriona y los hombres en los restantes lugares, las distintas formas en que pueden ubicarse los invitados 2 ES / NO ES igual a (P4) . d) Si a la derecha de la anfitriona se siente siempre una mujer y a la derecha del anfitrión se ubica siempre un hombre, las posibles formas de sentar los invitados será igual a . 𝐴14 . 𝐴14 . 𝑃6 .= 11.520. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.- Efectúe el desarrollo de la siguiente consigna EN UNA HOJA APARTE que deberá entregar firmada conjuntamente con este texto. Se solicita: a) Indicar qué condiciones debe reunir una sucesión para considerarse una progresión geométrica, cite cuáles son los elementos característicos de una progresión geométrica y formule un ejemplo de una progresión de este tipo. b) Efectuar la deducción de la fórmula que permita calcular el valor de un término cualquiera de la progresión geométrica en función del primero, explicando debidamente cada paso realizado. c) Determinar cuántos años enteros deben transcurrir, como mínimo, para que una inversión de U$S 20.000 colocada al 4% anual de interés compuesto, supere la suma de U$S 30.700.

SOLUCIÓN: 2

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

lgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas a) Indicar qué condiciones debe reunir una sucesión para considerarse una progresión geométrica, cite cuáles son los elementos característicos de una progresión geométrica y formule un ejemplo de una progresión de este tipo.

Una sucesión de números en la que cada término, excepto el primero, resulta igual al término anterior multiplicado por un valor constante recibe el nombre de progresión geométrica o sucesión geométrica Los elementos caracteristicos de una progresión geométrica son: 1) Término general o enésimo término: an 2) Primer término: a 1 3) La razón: r 4) El número de términos de una progresión finita o del subíndice que le corresponde a un término cualquiera de la progresión: n 5) La suma de los n primeros términos de la progresión: S n Ejemplo de una progresión geométrica: 27;9;3;1;1/3 donde a1=27 ; r=1/3 y n=5

b) Efectuar la deducción de la fórmula que permita calcular el valor de un término cualquiera de la progresión geométrica en función del primero, explicando debidamente cada paso realizado. Supongamos la progresión geométrica: a1 , a2 , a3 , a4 , . . . , an cuya razón es r. Si tomamos en consideración el concepto de progresión geométrica que dice que cualquier término, excepto el primero, es igual al anterior por un valor constante llamado razón, conociendo el primer término a1 y la razón r podríamos calcular el resto de los términos de la misma, de la siguiente manera: a2 = a1 . r 2

a3 = a2 . r = a1 . r . r = a1 . r 2

3

a4 = a3 . r = a1 . r . r = a1 . r 3

4

a5 = a4 . r = a1 . r . r = a1 . r y así sucesivamente.

Observando lo anterior podemos concluir, que para obtener un término cualquiera de la progresión, hay que multiplicar al primer término por la razón de la progresión elevada a un exponente igual a la cantidad de términos precedentes. El número de términos que preceden al que se quiere calcular es igual al subíndice de dicho término menos una unidad. Por lo tanto, en general podemos expresar: (n – 1)

an = a1 . r

c) Determinar cuántos años enteros deben transcurrir, como mínimo, para que una inversión de U$S 20.000 colocada al 4% anual de interés compuesto, supere la suma de U$S 30.700.

30.700 = 20.000 (1.04)n 30.700 / 20.000 = (1.04)n 1.535 = (1.04)n 3

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

lgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

log 1.535 = n x log 1.04 0.186108 / 0.01703 = n n = 10,92 Deben transcurrir 11 años como mínimo.

4

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

lgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

TEMA 2 – C APELLIDO Y NOMBRE I.- En cada una de las opciones que plantea cada ejercicio, Ud. deberá tachar la o las palabras en mayúscula fija y/o completar los espacios de puntos suspensivos, con la información que se solicite, de manera que la expresión resultante sea verdadera. 1) Se puede afirmar que:

sen -   ES / NO ES igual a sen ( ) 1 c) Si el dominio de la función y  es el conjunto de los números reales excluido el cero, x b) Dado un ángulo cualquiera α,

entonces el rango de la función está conformado por EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES EXCLUIDO EL CERO. d) Si x representa el entero par menor, la traducción al lenguaje algebraico de la expresión “La suma de los cuadrados de tres números enteros pares positivos consecutivos es 200” es igual a . . .(𝐱)𝟐 + (𝐱 + 𝟐)𝟐 + (𝐱 + 𝟒)𝟐 = 𝟐𝟎𝟎. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................... d) Los tres números enteros pares positivos a los que alude el ítem anterior son 6 ,8 y 10. . ..................................................

2) Se puede afirmar que: a) Si se multiplica a ambos miembros de una ecuación por un mismo número real, su solución SE ALTERA / NO SE ALTERA 10 2(𝑛−1) b) La expresión ∑𝑛=1 se desarrolla como . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 𝑛 𝟐(𝟏 − 𝟏) 𝟐(𝟐 − 𝟏) 𝟐(𝟑 − 𝟏) 𝟐(𝟒 − 𝟏) 𝟐(𝟓 − 𝟏) 𝟐(𝟔 − 𝟏) 𝟐(𝟕 − 𝟏) 𝟐(𝟖 − 𝟏) 𝟐(𝟗 − 𝟏) 𝟐(𝟏𝟎 − 𝟏) + + + + + + + + + = 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖 𝟗 𝟏𝟎

𝟒

𝟔

𝟖

= 𝟎+𝟏+ + + +

𝟏𝟎

+

𝟏𝟐

+

𝟏𝟒

𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖 .......................................... 8

c) El resultado de la expresión

 k 1

a1 a 2 d) Si A = b 1

b2

c1 c 2

a3

+

𝟏𝟔 𝟗

+

𝟏𝟖 ............................. 𝟏𝟎

k

1    - sen   es igual a 1 . . . . . . . . . 2   1 a1 2

b 3  6 , entonces, b 1 c3 c1

1 a2 2 b2 c2

1 a3 2 1 b3 2 1 c3 2

ES / NO ES igual (

1 2

) 6

2

3) Un marido y su mujer planean invitar a cenar a 5 parejas. Como la mesa del comedor es rectangular decidieron que la anfitriona se sentará en la cabecera cercana a la cocina, el anfitrión en la cabecera opuesta y 5 invitados de cada lado de la mesa. En base a esta información se puede concluir que: a) La cantidad de formas posibles de sentar a los invitados surge de la expresión . P10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . (expresarlo simbólicamente, sin resolver) 5

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

lgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas b) Si los integrantes de cada pareja invitadas se sientan juntos en el mismo lado de la mesa, las formas posibles de sentar los invitados será igual a . P5 P2 = 240. . . . . . . . . . . c) Si las cinco mujeres se sientan en los cinco lugares más cercanos a la anfitriona y los hombres en los restantes lugares, las distintas formas en que pueden ubicarse los invitados 2 ES / NO ES igual a (P5) . d) Si a la derecha de la anfitriona se siente siempre una mujer y a la derecha del anfitrión se ubica siempre un hombre, las posibles formas de sentar los invitados será igual a . . . . . . . . . . 1

1

. P8 A5 . A5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 11 x1 + a 12 x 2 + a 13 x 3  4) Dado el siguiente sistema de ecuaciones: a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 a x + a x + a x 32 2 33 3  31 1 constantes numéricas y xj son las variables, puede afirmarse que:

= b1 = b 2 donde aij y bi son = b3

a) Para que pueda resolverse aplicando el método de Cramer, el sistema debería ser CONSISTENTE DETERMINADO / CONSISTENTE INDETERMINADO / INCONSISTENTE. b) Si los coeficientes de la variable x1 fueran iguales a dos veces los coeficientes de la variable x2 en las mismas ecuaciones y los términos independientes no fueran combinación lineal de los coeficientes de las variables, el sistema sería CONSISTENTE DETERMINADO / CONSISTENTE INDETERMINADO / INCONSISTENTE. c) Si el mayor orden del determinante no nulo que puede extraerse de la matriz de coeficientes del sistema es dos, SE PODRIA / NO SE PODRIA encontrar la matriz adjunta de la misma. d) En el supuesto descripto en b) el orden del determinante de mayor orden no nulo que puede ser extraído de la matriz de coeficientes del sistema SERÁ / NO SERÁ mayor que dos. 5) Se tiene una matriz A cuadrada de orden 4 y de determinante de valor -3, en la que todos sus elementos son significativos (no nulos). Al premultiplicarla por una matriz B dio por resultado la matriz C, que es diagonal escalar, siendo el determinante de este resultado de valor 81. Puede decirse que: a) La matriz B es de orden

4.....................

b) La matriz B es la ADJUNTA / INVERSA / OPUESTA de la matriz A. c) El producto AxB RESULTA / NO RESULTA igual al producto BxA. d) El determinante de la matriz inversa de A es igual a

−

𝟏 𝟑

………………

II.- Efectúe el desarrollo de la siguiente consigna EN UNA HOJA APARTE que deberá entregar firmada conjuntamente con este texto. Se solicita: d) Indicar qué condiciones debe reunir una sucesión para considerarse una progresión aritmética, cite cuáles son los elementos característicos de una progresión aritmética y formule un ejemplo de una progresión de este tipo. Para que una sucesión numérica pueda considerarse una progresión aritmética, cada término, excepto el primero surge de sumar al término inmediato anterior un valor constante llamado diferencia. Los elementos característicos son :  el primer término, a1  el valor de un término cualquiera, an  la diferencia, d 6

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

lgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas  la ubicación de un término cualquiera dentro de la progresión, o la cantidad de términos de la progresión (si fuera finita): n  la suma de todos los términos o de los n primeros términos, 𝑺𝒏 Ejemplo: a1=2; n=5; d=3; 2;5;8;11;14

e) Efectuar la deducción de la fórmula que permita calcular el valor de un término cualquiera de la progresión aritmética en función del primero, explicando debidamente cada paso realizado. Si el concepto de progresión aritmética dice que cada término, excepto el primero, es igual al anterior más un valor constante llamado diferencia “d”, partiendo de 𝑎1 podemos deducir el resto de los términos de la progresión de la siguiente manera: 𝑎2 = 𝑎1 + 𝑑 𝑎3 = 𝑎2 + 𝑑 = 𝑎1 + 𝑑 + 𝑑 = 𝑎1 + 2𝑑 𝑎4 = 𝑎3 + 𝑑 = 𝑎2 + 𝑑 + 𝑑 = 𝑎1 + 2𝑑 + 𝑑 = 𝑎1 + 3𝑑 y así sucesivamente. Observando lo anterior, podemos concluir que un término cualquiera es igual al primero, más tantas veces la diferencia como términos le anteceden. A su vez, el número de términos que anteceden al que se quiere calcular es igual al subíndice de este término menos uno. Lo expuesto es posible expresarlo genéricamente de la siguiente manera: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 Esta expresión recibe el nombre de fórmula del término general o del enésimo término de una progresión aritmética.

f)

Determinar cuántos años enteros deben transcurrir, como mínimo, desde el incio de una empresa que logra una facturación de $1.000.000 en su primer año de actividad, para que la misma disminuya en un 50%, si cada año decrece un 4% de lo facturado el primer año.

𝑎1 = 1.000.000 𝑑 = −1.000.000 × 0,04 → 𝑑 = −40.000 𝑎𝑛 = 1.000.000 × 0,50 → 𝑎𝑛 = 500.000 500.000 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 500.000 = 1.000.000 + (𝑛 − 1)(−40.000) 500.000 − 1.000.000 = (𝑛 − 1)(−40.000) 500.000 +1=𝑛 40.000 12,5 + 1 = 𝑛 → 13,5 = 𝑛

→

14 = 𝑛

7

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SOLUCIONES

lgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

PUNTAJES PARA LOS EXÁMENES REDUCIDOS: Parte I: cada inciso de los ejercicios 2) y 4) vale 0,50 puntos. Los ejercicios 1) y 3) valen 2 puntos c/u sólo si son resueltos completos correctamente. Parte II: los incisos a) y b) valen 0,75 c/u y el inciso c) 0,5 punto.

TEMA 1 – R APELLIDO Y NOMBRE I.- En cada una de las opciones que plantea cada ejercicio, Ud. deberá tachar la o las palabras en mayúscula fija y/o completar los espacios de puntos suspensivos, con la información que se solicite, de manera que la expresión resultante sea verdadera.

1) Una empresa para las fiestas obsequia a sus empleados una caja con artículos navideños. Este año dispuso que cada caja contendría dos botellas de champaña de igual o diferente tipo, un pan dulce, dos budines de diferente tipo y tres turrones, iguales o diferentes. Los encargados de armar las cajas disponen de cuatro tipos de champaña que pueden ser brut, extra-brut, sec o demi-sec, dos variedades de pan dulce con o sin frutas, cuatro tipos de budines, marmolado, de limón, de chocolate y de vainilla, en tanto que los turrones pueden ser de maní o de almendras. En base a esta información puede decirse que: a) La cantidad de cajas con contenido diferente que se pueden armar surge de: . . . . . . . . . . . . . . . .𝑪𝟐𝟒𝒓 . 𝑪𝟏𝟐 . 𝑪𝟐𝟒 . 𝑪𝟑𝟐,𝒓 . . . . .. . . . . . . . . . . . . (expresarlo simbólicamente sin resolver). b) Si Roberto recibió su caja, elegida al azar, la probabilidad que le toque una que contenga dos botellas de champaña demi-sec que es su preferida, es igual a . . .10% . . . . . . . . . . . .. c) En la oficina de Compras de la empresa reciben 6 cajas diferentes, la cantidad de formas posibles que se pueden distribuir entre los 6 empleados que trabajan allí es igual a . . . . . . . . . . . . .𝑷𝟔 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (expresarlo simbólicamente sin resolver). d) En otra oficina reciben 8 cajas distintas para los 8 empleados que trabajan allí, pero dos de ellos son diabéticos y no aceptan las cajas, por lo tanto la cantidad de formas diferentes en que se pueden repartir las cajas es igual a . .𝑨𝟔𝟖 .= 𝑪𝟔𝟖 . 𝑷𝟔 = 𝑷𝟐,𝟏,𝟏,𝟏,𝟏,𝟏,𝟏 = 20160. . . . . 𝟖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (las cajas sobrantes se devolverán luego que los seis empleados hayan tomado la suya). 2) Sean 𝒑(𝒒) = −𝟎, 𝟎𝟏𝒒𝟐 − 𝟎, 𝟐𝒒 + 𝟖 y p(𝒒) = 𝟎, 𝟎𝟏𝒒𝟐 + 𝟎, 𝟏𝒒 + 𝟑 la función de demanda y oferta respectivamente de un determinado bien no fraccionable, precio en función de la cantidad en ambos casos. El precio es unitario en miles de pesos y la cantidad demandada y ofrecida es mensual en miles de unidades. a) En el marco del problema el dominio de la función de oferta ES / NO ES el conjunto de los números reales y su rango ES / NO ES el conjunto de los racionales mayores o iguales a 3000. b) El precio a partir del cual los demandantes no estarían dispuestos a demandar el bien es de …$ 8000………………. c) La cantidad demandada y ofrecida es coincidente a un precio de $ …5.000……… y asciende a ……10.000. unidades. d) El eje de simetría de la ecuación 𝒑(𝒒) el punto extremo de la misma (-10 ; 9 ).

= −𝟎, 𝟎𝟏𝒒𝟐 − 𝟎, 𝟐𝒒 + 𝟖 es q = -10…………y

8

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

lgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas 3) Un pequeño ahorrista comienza con un monto “a” un fondo que planea regalarle a su único hijo para alguna fecha significativa. Cada año logra incrementar la suma ahorrada en un 5% respecto del período inmediato anterior, por lo que puede asegurarse que: a) Identificando con “M” al total ahorrado al inicio de un período cualquiera y “t” a los períodos de tiempo en años, la expresión que permite hallar el total ahorrado al inicio de un período cualquiera es igual a ……𝑀 = 𝑎(1 + 0,05).𝑡 …………… b) Si hubiera comenzado a ahorrar el día del nacimiento de su hijo, para el cumpleaños 33 del mismo, PODRÁ / NO PODRÁ entregarle una suma que al menos cuadruplique a la inicial “a”. c) El total ahorrado al momento de cumplir el niño 10 años de edad surge de la expresión ……………………..…𝑀 = 𝑎(1 + 0,05).10 ……………………………………………. . . d) Si el ahorro inicial hubiera sido igual al doble de “a”, el total ahorrado al inicio de un período cualquiera ES / NO ES igual al doble que lo que se lograría de haber iniciado con “a”.

n

4) Dada la expresión:

 (2i - 1)

2

puede decirse que:

i 0

a) Los primeros 5 términos de su desarrollo son (𝟐. 𝟎 − 𝟏)𝟐 +(𝟐. 𝟏 − 𝟏)𝟐 + (𝟐. 𝟐 − 𝟏)𝟐 +(𝟐. 𝟑 − 𝟏) + +(𝟐. 𝟒 − 1)2 = 1 + 1 + 9 + 25 + 49 𝟐

b) Los sumandos de su desarrollo CONFORMAN / NO CONFORMAN una progresión. c) Si n=10, el último término ocupa el lugar ……11……… y es igual a …361………... d) El séptimo término de la sumatoria ES / NO ES una potencia exacta de un número primo.

II.- Efectúe el desarrollo de la siguiente consigna EN UNA HOJA APARTE que deberá entregar firmada conjuntamente con este texto. Se solicita: Se solicita: a) Indicar qué condiciones debe reunir una sucesión para considerarse una progresión aritmética, cite cuáles son los elementos característicos de una progresión aritmética y formule un ejemplo donde pueda corroborarse lo expuesto. Para que una sucesión numérica pueda considerarse una progresión aritmética, cada término, excepto el primero surge de sumar al término inmediato anterior un valor constante llamado diferencia. Los elementos característicos son :  El primer término a1  el valor de un término cualquiera an,  la diferencia d,  la ubicación de un término cualquiera dentro de la progresión ,  la cantidad de términos de la progresión (si fuera finita) n;  la suma de todos los términos o de los n primeros términos 𝑺𝒏 Ejemplo:

𝑎1= 10 𝑑 = 3

𝑛 = 5

10; 13; 16; 19; 22 b) Efectuar la deducción de la fórmula que permita calcular el valor de un término cualquiera de la progresión aritmética en función del primero, explicando debidamente cada paso realizado.

9

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

lgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas Si el concepto de progresión aritmética dice que cada término, excepto el primero, es igual al anterior más un valor constante llamado diferencia “d”, partiendo de 𝑎1 podemos deducir el resto de los términos de la progresión de la siguiente manera:

𝑎2 = 𝑎1 + 𝑑 𝑎3 = 𝑎2 + 𝑑 = 𝑎1 + 𝑑 + 𝑑 = 𝑎1 + 2𝑑 𝑎4 = 𝑎3 + 𝑑 = 𝑎2 + 𝑑 + 𝑑 = 𝑎1 + 2𝑑 + 𝑑 = 𝑎1 + 3𝑑 y así sucesivamente. Observando lo anterior, podemos concluir que un término cualquiera es igual al primero, más tantas veces la diferencia como términos le anteceden. A su vez, el número de términos que anteceden al que se quiere calcular es igual al subíndice de este término menos uno. Lo expuesto es posible expresarlo genéricamente de la siguiente manera:

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 Esta expresión recibe el nombre de fórmula del término general o del enésimo término de una progresión aritmética.

c) Determine cuántos años enteros deben transcurrir, como mínimo, desde el incio de una empresa que logra una facturación de $1.000.000 en su primer año de actividad, para que la misma se reduzca en un 50%, si cada año disminuye un 3% de lo facturado en el primer año.

𝑎1 = 1.000.000 𝑑 = −1.000.000 × 0,03 → 𝑑 = −30.000 𝑎𝑛 = 1.000.000 × 0,50 → 𝑎𝑛 = 500.000 500.000 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 500.000 = 1.000.000 + (𝑛 − 1)(−30.000) 500.000 − 1.000.000 = (𝑛 − 1)(−30.000) 500.000 +1=𝑛 30.000 16,666 + 1 = 𝑛 → 17,6666 = 𝑛

→

18 = 𝑛

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SOLUCIONES

lgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

TEMA 2 – R APELLIDO Y NOMBRE I.- En cada una de las opciones que plantea cada ejercicio, Ud. deberá tachar la o las palabras en mayúscula fija y/o completar los espacios de puntos suspensivos, con la información que se solicite, de manera que la expresión resultante sea verdadera. 1) Un pequeño ahorrista comienza con un monto “a” un fondo que planea regalarle a su único hijo para alguna fecha significativa. Cada año logra incrementar la suma ahorrada en un 4% respecto del período inmediato anterior, por lo que puede asegurarse que: a) Identificando con “M” al total ahorrado al inicio de un período cualquiera y “t” a los períodos de tiempo en años, la expresión que permite hallar el total ahorrado al inicio de un período t cualquiera es igual a … M = a (1,04) b) Si hubiera comenzado a ahorrar el día del nacimiento de su hijo, para el cumpleaños 25 del mismo, PODRÁ / NO PODRÁ entregarle una suma que al menos quintuplique a la inicial “a”. c) El total ahorrado al momento de cumplir el niño 10 años de edad surge de la expresión 10 …………… M = a (1,04) d) Si el ahorro inicial hubiera sido igual al doble de “a”, el total ahorrado al inicio de un período cualquiera ES / NO ES igual al doble que lo que se lograría de haber iniciado con “a”. n

2) Dada la expresión:

 (2i - 3)

2

puede decirse que:

i 0

a) Los primeros 7 términos de su desarrollo son : 9+1+1+9+25+49+81 b) Los sumandos de su desarrollo CONFORMAN / NO CONFORMAN una progresión. c) Si n=11, el último término ocupa el lugar… 12… y es igual a …361 d) El noveno término de la sumatoria ES / NO ES una potencia exacta de un número primo.

3) Una empresa para las fiestas obsequia a sus empleados una caja con artículos navideños. Este año dispuso que cada caja contendría dos botellas de champaña de igual o diferente tipo, un pan dulce, dos budines de diferente tipo y tres turrones, iguales o diferentes. Los encargados de armar las cajas disponen de cuatro tipos de champaña que pueden ser brut, extra-brut, sec o demi-sec, dos variedades de pan dulce con o sin frutas, tres tipos de budines, marmolado, de limón, y de vainilla, en tanto que los turrones pueden ser de maní o de almendras. En base a esta información puede decirse que: e) La cantidad de cajas con contenido diferente que se pueden armar surge de . . . . . . . . . . . 𝟑 𝟐 𝐂𝟒,𝐫 𝐂𝟐𝟏 . 𝐂𝟑𝟐 . 𝐂𝟐,𝐫 =. . . . . . (expresarlo simbólicamente sin resolver).

f)

Si Roberto recibió su caja, elegida al azar, la probabilidad que le toque una que contenga dos budines de limón, es igual a . CERO. . . . . . .

g) En la oficina de Compras de la empresa reciben 8 cajas diferentes, la cantidad de formas posibles que se pueden distribuir entre los 8 empleados que trabajan allí es igual a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P8 . . . . . . . . . . . . . . . (expresarlo simbólicamente sin resolver). h) En otra oficina reciben 10 cajas distintas para los 10 empleados que trabajan allí, pero tres de ellos son diabéticos y no aceptan las cajas, por lo tanto la cantidad de formas dife𝟑,𝟏,𝟏,𝟏,𝟏,𝟏,𝟏,𝟏

rentes en que se pueden repartir las cajas es igual a . .𝑨𝟕 = 𝟔𝟎𝟒. 𝟖𝟎𝟎 𝟏𝟎 =𝑷𝟏𝟎 (las cajas sobrantes se devolverán luego que los siete empleados hayan tomado la suya)

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SOLUCIONES

lgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas 4) Sean 𝒑(𝒒) = −𝟎, 𝟎𝟐𝒒𝟐 − 𝟎, 𝟒𝒒 + 𝟏𝟔 y p(𝒒) = 𝟎, 𝟎𝟐𝒒𝟐 + 𝟎, 𝟐𝒒 + 𝟔 la función de demanda y oferta respectivamente de un determinado bien no fraccionable, precio en función de la cantidad en ambos casos. El precio es unitario en miles de pesos y la cantidad demandada y ofrecida es mensual en miles de unidades. a) En el marco del problema el dominio de la función de oferta ES / NO ES el conjunto de los números reales y su rango ES / NO ES el conjunto de los racionales mayores o iguales a 6000. b) El precio a partir del cual los demandantes no estarían dispuestos a demandar el bien es de $ ……16.000…………….……….………. c) La cantidad demandada y ofrecida es coincidente a un precio de $ 10.000 y asciende a …10.000 . unidades. d) El eje de simetría de la ecuación 𝒑(𝒒) = −𝟎, 𝟎𝟐𝒒𝟐 ………y el punto extremo de la misma (-10; 18).

− 𝟎, 𝟒𝒒 + 𝟏𝟔 es … q = -10

II.- Efectúe el desarrollo de la siguiente consigna EN UNA HOJA APARTE que deberá entregar firmada conjuntamente con este texto. Se solicita: d) Indicar qué condiciones debe reunir una sucesión para considerarse una progresión geométrica, cite cuáles son los elementos característicos de una progresión geométrica y formule un ejemplo de una progresión de este tipo.

Una sucesión de números en la que cada término, excepto el primero, resulta igual al término anterior multiplicado por un valor constante recibe el nombre de progresión geométrica o sucesión geométrica Los elementos caracteristicos de una progresión geométrica son: 1) Término general o enésimo término: an 2) Primer término: a 1 3) La razón: r 4) El número de términos de una progresión finita o del subíndice que le corresponde a un término cualquiera de la progresión: n 5) La suma de los n primeros términos de la progresión: S n Ejemplo de una progresión geométrica:

27;9;3;1;1/3 donde a1=27 ; r=1/3 y n=5 como la razón es menor que uno la progresión es decreciente

e) Efectuar la deducción de la fórmula que permita calcular el valor de un término cualquiera de la progresión geométrica en función del primero, explicando debidamente cada paso realizado. Supongamos la progresión geométrica: a1 , a2 , a3 , a4 , . . . , an cuya razón es r. Si tomamos en consideración el concepto de progresión geométrica que dice que cualquier término, excepto el primero, es igual al anterior por un valor constante llamado razón, conociendo el 12

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

lgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas primer término a1 y la razón r podríamos calcular el resto de los términos de la misma, de la siguiente manera:

a2 = a1 . r 2

a3 = a2 . r = a1 . r . r = a1 . r 2

3

a4 = a3 . r = a1 . r . r = a1 . r 3

4

a5 = a4 . r = a1 . r . r = a1 . r y así sucesivamente.

Observando lo anterior podemos concluir, que para obtener un término cualquiera de la progresión, hay que multiplicar al primer término por la razón de la progresión elevada a un exponente igual a la cantidad de términos precedentes. El número de términos que preceden al que se quiere calcular es igual al subíndice de dicho término menos una unidad. Por lo tanto, en general podemos expresar: (n – 1)

an = a1 . r f)

Determine cuántos años enteros deben transcurrir, como mínimo, para que una empresa que logra una facturación de $1.000.000 en su primer año de actividad, incremente la misma en un 50% si cada año crece un monto igual al 3% de lo facturado el año anterior.

1.500.000 = 1.000.000 (1.03)n 1.500.000 / 1.000.000 = (1.03)n 1.5 = (1.03)n log 1.5 = n x log 1.03 0.17609 / 0.012837 = n n = 13.717 Deben transcurrir 14 años para que la facturación del primer año aumente en un 50%

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EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

lgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

TEMA 3 – R APELLIDO Y NOMBRE I.- En cada una de las opciones que plantea cada ejercicio, Ud. deberá tachar la o las palabras en mayúscula fija y/o completar los espacios de puntos suspensivos, con la información que se solicite, de manera que la expresión resultante sea verdadera.

1) Una empresa para las fiestas obsequia a sus empleados una caja con artículos navideños. Este año dispuso que cada caja contendría tres botellas de champaña de igual o diferente tipo, un pan dulce, dos budines de diferente tipo y tres turrones, iguales o diferentes. Los encargados de armar las cajas disponen de tres tipos de champaña que pueden ser brut, extra-brut o demi-sec, dos variedades de pan dulce con o sin frutas, tres tipos de budines, marmolado, de limón y de vainilla, en tanto que los turrones pueden ser de maní o de almendras. En base a esta información puede decirse que: i)

La cantidad de cajas con contenido diferente que se pueden armar surge de . .. . . . . . .. . . . . . . .. resolver).

j)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (expresarlo simbólicamente sin

Si Roberto recibió su caja, elegida al azar, la probabilidad que le toque una que contenga tres botellas de champaña brut es igual a . . . 10%. . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .

k) En la oficina de Compras de la empresa reciben 7 cajas diferentes, la cantidad de formas posibles que se pueden distribuir entre los 7empleados que trabajan allí es igual a . . . . . . .. . . . . ........ . . . . . . . . . . . . . . (expresarlo simbólicamente sin resolver). l)

En otra oficina reciben 6 cajas distintas para los 6 empleados que trabajan allí, pero uno de ellos es diabético y no acepta la caja, por lo tanto la cantidad de formas diferentes en que se pueden repartir las cajas es igual a . . = 720 . . . . . . . . . . . . . (la caja sobrante se devolverá luego que los cinco empleados hayan tomado la suya) n

2) Dada la expresión:

 (2i - 5)

2

puede decirse que:

i 0

a)Los primeros 7 términos de su desarrollo son …25; 9; 1; 1; 9; 25; 49…………...……………... b) Los sumandos de su desarrollo CONFORMAN / NO CONFORMAN una progresión. c) Si n=9, el último término ocupa el lugar ……10……… y es igual a ……169……... d) El décimo primer término de la sumatoria ES / NO ES una potencia exacta de un número primo.

3) Un pequeño ahorrista comienza con un monto “a” un fondo que planea regalarle a su único hijo para alguna fecha significativa. Cada año logra incrementar la suma ahorrada en un 6% respecto del período inmediato anterior, por lo que puede asegurarse que: a) Identificando con “M” al total ahorrado al inicio de un período cualquiera y “t” a los períodos de tiempo en años, la expresión que permite hallar el total ahorrado al inicio de un período t cualquiera es igual a …M = a (1,06) …………………………………………………… b) Si hubiera comenzado a ahorrar el día del nacimiento de su hijo, para el cumpleaños 20 del mismo, PODRÁ / NO PODRÁ entregarle una suma que al menos triplique a la inicial “a”. c) El total ahorrado al momento de cumplir el niño 10 años de edad surge de la expresión 10 …………………M = a(1,06) .. d) Si el ahorro inicial hubiera sido igual al doble de “a”, el total ahorrado al inicio de un período cualquiera ES / NO ES igual al doble que lo que se lograría de haber iniciado con “a”. 14

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

lgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas

4) Sean y p la función de demanda y oferta respectivamente de un determinado bien no fraccionable, precio en función de la cantidad en ambos casos. El precio es unitario en miles de pesos y la cantidad demandada y ofrecida es mensual en miles de unidades. a) En el marco del problema el dominio de la función de oferta ES / NO ES el conjunto de los números reales y su rango ES / NO ES el conjunto de los racionales mayores o iguales a 9000. b) El precio a partir del cual los demandantes no estarían dispuestos a demandar el bien es de $ 24.000………………………………………. c) La cantidad demandada y ofrecida es coincidente a …15.000……………… y asciende a ……10.000………….. unidades. d)

El eje de simetría de la ecuación

un

precio

de

$

es

q = -10……………………y el punto extremo de la misma (…-10……..; ……27…….).

II.- Efectúe el desarrollo de la siguiente consigna EN UNA HOJA APARTE que deberá entregar firmada conjuntamente con este texto. Se solicita: g) Indique qué condiciones debe reunir una sucesión para considerarse una progresión aritmética, cite cuáles son los elementos característicos de una progresión aritmética y formule un ejemplo donde pueda corroborarse lo expuesto.

Una sucesión de números donde cada término, después del primero, se obtiene de sumar al témino anterior un valor constante se denomina progresión aritmética o sucesión aritmética. Los términos característicos son: a1 es el primer término an es el término que ocupa cualquier lugar d es la diferencia n es la cantidad de términos de la progresión o la ubicación de un términos dentro de la progresión  Sn es la suma de los n primeros términos de la progresión Un ejemplo de una progresión aritmética: 6, 9, 12, 15, 18 . . . donde el primer término es 6 y la diferencia también es 3 

  

h) Efectue la deducción de la fórmula que permite calcular el valor de un término cualquiera de la progresión aritmética en función del primero, explicando debidamente cada paso realizado. Cálculo del valor de un término cualquiera en función del primero: Supongamos la progresión aritmética: a1 , a2 , a3 , a4 , . . . , an cuya diferencia es d. Sabemos por definición que cualquier término de la progresión aritmética, excepto el primero, es igual al inmediato anterior más un valor constante, que justamente se denomina diferencia de la progresión. En consecuencia, si conocemos el primer término a1 y la diferencia d, podríamos calcular el resto de los términos de la misma, de la siguiente manera: 15

EXAMEN FINAL

SOLUCIONES

lgebra y Cálculo Numérico Fac. Cs. Económicas y Jurídicas a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2 d a4 = a3 + d = a1 + 2 d + d = a1 + 3 d a5 = a4 + d = a1 + 3 d + d = a1 + 4 d y así sucesivamente. Observando lo anterior, podemos concluir que un término cualquiera es igual al primero, más tantas veces la diferencia como términos le anteceden. A su vez, el número de términos que anteceden al que se quiere calcular es igual al subíndice de este término menos uno. Lo expuesto es posible expresarlo genéricamente de la siguiente manera: an = a1 + (n – 1) d Esta expresión recibe el nombre de fórmula del término general o del enésimo término de una progresión aritmética. i)

Determine cuántos años enteros deben transcurrir, como mínimo, desde el inicio de una empresa que logra una facturación de $1.000.000 en su primer año de actividad, para que la misma aumente en un 50%, si cada año crece un 6% de lo facturado el primer año.

a1 = 1.000.000 an = 1.500.000 como crece d = 60.000 n= ¿?

d= 6% 1.000.000

1.500.000 = 1.000.000 + (n – 1) (60.000) n = 500.000/60.000 + 1 = 9,333 10 años

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