• Author / Uploaded
• Kevin Padilla Lopez

Citation preview

EXAMEN DE AYUDANTÍA

CIV 2205

Or., 16 de Febrero de 2016

P1.- Resolver la estructura mostrada en la Fig. 1 con los siguientes datos: 1 −3 3 3 ⋅ .2⋅ .4 = 1.067 × 10 I1 := r1 := 5⋅ 10 A1 := .2⋅ .4 = 0.08 12

6

E1 := 2.4⋅ 10

P2.- Explicar el procedimiento a seguir para resolver la estructura si el nudo 2 solamente pudiera desplazarse verticalmente un máximo de 0.1 cm, como se muestra en la Fig. 2.

α := atan 

1 .- CÁLCULOS PREVIOS L52 := F1 :=

3 cos ( α) 1 2

=5

⋅ 3⋅ 4 = 6

4



 3

L63 := L52

L23 := 5

F2 := 5

M := 3

αg := α⋅

180

= 53.13

π

β := atan 

4



βg := β ⋅

 2

3

L26 :=

EI := E1 ⋅ I1 = 2.56 × 10

180 π 2

cos ( β )

2 .-ESTRUCTURA DESPLAZADA DESPLAZAMIENTO 1.b1 :=

1 tan ( α)

= 0.75

b3 :=

1 sin ( α)

a :=

= 1.25

1 tan ( β )

= 0.5

b4 :=

1 sin ( β )

= 1.118

D321( d1) := d1⋅ ( a + b1 ) flotante , 4 → 1.25⋅ d1

D631( d1) := d1⋅ b3 flotante , 4 → 1.25⋅ d1

D621( d1) := d1⋅ b4 flotante , 4 → 1.118⋅ d1

R21( d1) := −d1⋅ a⋅ sin ( α) flotante , 4 → −0.4⋅ d1

R11( d1) := 0

R31( d1) := 0

DESPLAZAMIENTO 2.v1 :=

1 tan ( α)

= 0.75

v2 :=

1 sin ( α)

= 1.25

v3 :=

1 tan ( β )

= 0.5

v4 :=

1 sin ( β )

= 1.118

D322( d2) := d2⋅ ( v1 + v3) flotante , 4 → 1.25⋅ d2

D632( d2) := d2⋅ v2 flotante , 4 → 1.25⋅ d2

D622( d2) := ( d2⋅ v4) flotante , 4 → 1.118⋅ d2 π + β  flotante , 4 → −1.0⋅ d2 R22( d2) := −d2⋅ v4⋅ cos  α − 2

R12( d2) := −d2



DESPLAZAMIENTO 3.-



D323( d3) := 0

D633( d3) := 0

= 63.435

R32( d2) := 0

αg + βg − 90 = 26.565

D623( d3) := 0

R13( d3) := 0

= 4.472

R23( d3) := −d3⋅ cos ( α) flotante , 4 → −0.6⋅ d3

R33( d3) := d3

D32( d1 , d2 , d3) := D321( d1) + D322( d2) + D323( d3) flotante , 4 → 1.25⋅ d1 + 1.25⋅ d2

RESUMEN .DESNIVELES.-

D63( d1 , d2 , d3) := D631( d1) + D632( d2) + D633( d3) flotante , 4 → 1.25⋅ d1 + 1.25⋅ d2 D62( d1 , d2 , d3) := D621( d1) + D622( d2) + D623( d3) flotante , 4 → 1.118⋅ d1 + 1.118⋅ d2

DEFORMACIÓN DE LOS RESORTES y FUERZA EN LOS MISMOS.R1( d1 , d2 , d3) := R11( d1) + R12( d2) + R33( d3) flotante , 4 → −1.0⋅ d2 + d3 F1( d1 , d2 , d3) := R1( d1 , d2 , d3) ⋅ r1 flotante , 4 → −5000.0⋅ d2 + 5000.0⋅ d3

R2( d1 , d2 , d3) := R21( d1) + R22( d2) + R23( d3) flotante , 4 → −0.4⋅ d1 + −1.0⋅ d2 + −0.6⋅ d3 F2( d1 , d2 , d3) := R2( d1 , d2 , d3) ⋅ r1 flotante , 4 → −2000.0⋅ d1 + −5000.0⋅ d2 + −3000.0⋅ d3 R3( d1 , d2 , d3) := R31( d1) + R32( d2) + R33( d3) flotante , 4 → d3 F3( d1 , d2 , d3) := R3( d1 , d2 , d3) ⋅ r1 flotante , 4 → 5000.0⋅ d3

3 .- ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE FUERZAS.-Como son tres desplazamientos independientes, se necesitan tres ecuaciones para hallar dichos desplazamientos incógnita. Los desplazamientos d1 y d2 afectan a todas las barras excepto al resorte R3, por tanto el equilibrio debe ser planteado sobre el cuerpo libre logrado cortando los resorte R1 y R2. Puede verse que en este cuerpo existen tres fuerzas incognitas y tres ecuaciones por tanto es una subestructura isostática exteriormente, y como no se han cortado las barras del triángulo no interviene los giros θ2 y θ3. En consecuencia, de este cuerpo libre se determinan las fuerzas R1, R2 y V6. Para el desplazamiento d3, como solo afecta a los resortes R2 y R3, el cuerpo libre a estudiar sera obtenido aislando el nudo 5, entonces solo pueden plantearse dos ecuaciones de equilibrio, el sistema de fuerzas es concurrente, las incógnitas ahora son R1 y V5 (ya se conoce R2), por tanto se puede conocer R1, con lo cual se conoce la fuerza en los tres resortes. Toda vez que estos resortes solo dependen de los desplazamientos d1, d2, d3, estas incognitas se pueden calcular independientemente de los giros. NOTA .- ESTE ES UN CASO PARTICULAR, NORMALMENTE LOS DESPLAZAMIENTOS TRASLACIONALES Y ROTACIONES FORMAN UN SISTEMÁ DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS

CUERPO LIBRE No 1 ΣFh=0

R1 +R2*cos α = 0

ΣMx = 0 h := 2⋅ tan ( α) = 2.667

CUERPO LIBRE No 2.-

RR1 :=

−1 h

R1*h+6*2+5*3-2*M=0

⋅ ( 6⋅ 2 + 5⋅ 3 − 2⋅ M ) = −7.875

ΣFh=0

Donde h=2*tan α RR2 :=

R3-R2*cos α =0

−RR1 cos ( α)

= 13.125

RR3 := RR2⋅ cos ( α) = 7.875

4.- SOLUCIÓN DE LOS DESPLAZAMIENTOS LINEALES d1 := .1

d2 := .2

Dado F1( d1 , d2 , d3)

RR1

F2( d1 , d2 , d3)

RR2

F3( d1 , d2 , d3)

RR3

 dd1   dd2  := Find ( d1 , d2 , d3)    dd3 

d3 := .3

dd1 = −0.017

−3

dd2 = 3.15 × 10

−3

dd3 = 1.575 × 10

4.1.- DESPLAZAMIENTO VERTICAL DEL PUNTO 2.- Considerando positivo hacia arriba, en metros: −3

d2h := −a⋅ dd1 − v3⋅ dd2 = 6.825 × 10

5.- MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO BARRA 26.M := −3

1

b :=

2

⋅ L26 = 2.236

M26F :=

M 2



 3⋅ b 2

− 1 = 0.375

⋅

 

 2  L26

BARRA 36.- Esbiarticulada no tiene momentos de extremo α :=

BARRA 23.2

RR :=

p ⋅L 60

2

3 5

2

L := 5

= 0.6

(

) = 7.248

2

⋅ α ⋅ 20 − 15α + 3α

LL :=

p := 4

M23F :=

1 3

p ⋅L 60

2

(

2

⋅ α ⋅ 10 − 3α

) = 5.352

M32F :=

⋅ ( 2⋅ LL − RR) = 1.152

−1 3

⋅ ( 2⋅ RR − LL) = −3.048

6.- DESNIVELES FINALES DE LAS BARRAS D63F := D63( dd1 , dd2 , dd3) = −0.017

D32F := D32( dd1 , dd2 , dd3) = −0.017

D62F := D62( dd1 , dd2 , dd3) = −0.015

7.- MOMENTOS TOTALES EN BARRAS BARRA 23. Es biempotrada.M23( t2 , t3) := M23F + 4⋅

M32( t2 , t3) := M32F + 2⋅

EI L23 EI L23

⋅ t2 + 2⋅

⋅ t2 + 4⋅

EI L23 EI L23

⋅ t3 −

6⋅ EI 2

⋅ D32F flotante , 4 → 2048.0⋅ t2 + 1024.0⋅ t3 + 11.64

L23 ⋅ t3 −

6⋅ EI 2

⋅ D32F flotante , 4 → 1024.0⋅ t2 + 2048.0⋅ t3 + 7.435

L23

t6 := 0

BARRA 62. Es empotrada/articulada M26( t2) := M26F +

3⋅ EI L26

⋅ t2 + 0⋅ t6 −

3⋅ EI 2

M62 := 0

⋅ D62F flotante , 4 → 1717.0⋅ t2 + 6.235

L26

M63 := 0

BARRA 63.- Es bi articulada por tanto o tiene momentos de extremo

M36 := 0

8 .-ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE MOMENTOS EN NUDOS NUDO 2.- BARRAS 23 Y 26 SM2( t2 , t3) := M23( t2 , t3) + M26( t2) flotante , 4 → 3765.0⋅ t2 + 1024.0⋅ t3 + 17.87

NUDO 3.- BARRAS 32 Y 36 SM3( t2 , t3) := M32( t2 , t3) + M36 flotante , 4 → 1024.0⋅ t2 + 2048.0⋅ t3 + 7.435

9 .- SOLUCIÓN DE LAS ROTACIONES.- Como se ha indicado, en este caso particular, los desplazamientos traslacionales han sido ya determinados, por tanto las ecuaciones de momentos están disgregadas y sirven para calcular los giros. t2 := 0.01 Dado SM2( t2 , t3)

t3 := 0.01 0

SM3( t2 , t3)

 tt2  := Find ( t2 , t3)    tt3 

0 −3

tt2 = −4.351 × 10

−3

tt3 = −1.455 × 10

10.- MOMENTOS FINALES EN BARRAS M23F := M23( tt2 , tt3) = 1.24

M32F := M32( tt2 , tt3) = 0

M26F := M26( tt2) = −1.235

PROBLEMA 2.- EL NUDO 2 TIENE UN DESPLAZAMIENTO LIMITADO En el problema 1 se ha establecido que el desplazamiento del nudo 2, cuando no esta limitado, es de 6.8 mm hacia arriba, ahora bien, en este caso dicho desplazamiento no puede ser mayor que 1 mm, como se muestra en el gráfico Cuerpo Libre No 3, por tanto se genera la restricción V2 indicada y la subestructura no es más isostática, es el caso general en el que las incógnitas a determinar son los desplazamientos d1, d2, d3, aunque las fuerzas RR1, RR2 y RR3 en los resortes no estén conocidas explicitamente. Como se dijo, en el Cuerpo Libre C. L. No 3, se tienen cuatro incógnitas de fuerza y en el C. L. No 1 otras 2, más las tres incógnitas de desplazamiento suman nueve incógnitas, Las ecuaciones disponibles son: tres ecuaciones de equilibrio en el C. L. No 3 y dos en el No 1, tres ecuaciones de las fuerzas en los resortes en función de los desplazamientos y una que es el desplazamiento del nudo 2. De estas nueve incógnitas solamente interesan los tres desplazamientos, entonces se deben escoger cuidadosamente las ecuaciones necesarias para dicho fin, y no necesariamente las nueve. Entonces, como ecuaciones a plantear se usaran: 3 ec. de las fuerzas Fi en función de los desplazamientos, en particular, el C. L. No1 solamente se usará la suma de fuerzas horizontales por cuanto V5 no interesa. En el C. L. No3 se volverán a plantear: suma de fuerzas horizontales y suma de momentos en X, a diferencia con el caso anterior, en esta última ecuación aparece V2, lo que imposibilita calcular directamente las fuerzas en los resortes, por tanto se debe incluir una ecuación adicional para esta fuerza, logicamente la limitación impuesta por el apoyo .

1 .- CÁLCULO DE LOS DESPLAZAMIENTOS TRASLACIONALES d1 := 0.1

d2 := 0.1

d3 := 0.3

V2 := 1

Dado

CUERPÒ LIBRE No 3.2) Σ M=0

1) ΣFh=0

F1( d1 , d2 , d3) + F2( d1 , d2 , d3) ⋅ cos ( α)

F1( d1 , d2 , d3) h + 6⋅ 2 + 5⋅ 3 − 2⋅ M − V2⋅ 2

CUERPO LIBRE No 2.- 3) ΣFh=0

0

F3( d1 , d2 , d3) − F2( d1 , d2 , d3) ⋅ cos ( α)

CONDICION DE DESPLAZAMIENTO VERTICAL.- (4)

0

−a⋅ d1 − v3⋅ d2

−3

1⋅ 10

0

 dd12   dd22  := Find ( d1 , d2 , d3 , V2)  dd32   V2   

−3

dd12 = −2.531 × 10

−4

dd22 = 5.313 × 10

−4

dd32 = 2.656 × 10

V2 = 14.729

2 .- CÁLCULO DE LOS DESPLAZAMIENTOS ROTACIONALES 2.1.- DESNIVELES TOTALES DE LAS BARRAS −3

−3

D63F2 := D63( dd12 , dd22 , dd32) = −2.5 × 10

D32F2 := D32( dd12 , dd22 , dd32) = −2.5 × 10

−3

D62F2 := D62( dd12 , dd22 , dd32) = −2.236 × 10

2.2 .- MOMENTOS TOTALES EN BARRAS.BARRA 23. Es biempotrada.M232( t22 , t32) := M23F + 4⋅

M322( t22 , t32) := M32F + 2⋅

EI L23 EI L23

⋅ t22 + 2⋅

⋅ t22 + 4⋅

EI L23 EI L23

⋅ t32 −

6⋅ EI 2

⋅ t32 −

6⋅ EI 2

3⋅ EI L26

⋅ D32F2 flotante , 4 → 1024.0⋅ t22 + 2048.0⋅ t32 + 1.536

L23

t62 := 0

BARRA 62. Es empotrada/articulada M262( t22) := M26F +

⋅ D32F2 flotante , 4 → 2048.0⋅ t22 + 1024.0⋅ t32 + 2.776

L23

3⋅ EI

⋅ t22 + 0⋅ t62 −

2

M622 := 0

⋅ D62F2 flotante , 4 → 1717.0⋅ t22 − 0.3764

L26

M632 := 0

BARRA 63.- Es bi articulada por tanto o tiene momentos de extremo

M362 := 0

2.3 .-ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE MOMENTOS EN NUDOS NUDO 2.- BARRAS 23 Y 26 SM2( t22 , t32) := M232( t22 , t32) + M262( t22) flotante , 4 → 3765.0⋅ t22 + 1024.0⋅ t32 + 2.4

NUDO 3.- BARRAS 32 Y 36 SM3( t22 , t32) := M322( t22 , t32) + M362 flotante , 4 → 1024.0⋅ t22 + 2048.0⋅ t32 + 1.536

2.4 .- SOLUCIÓN DE LAS ROTACIONES.- Como se ha indicado, en este caso particular, los desplazamientos traslacionales han sido ya determinados, por tanto las ecuaciones de momentos están disgregadas y sirven para calcular los giros. t22 := 0.01 Dado

t32 := 0.01

SM2( t22 , t32)

0

SM3( t22 , t32)

 tt22    := Find ( t22 , t32)  tt32 

0 −3

tt2 = −4.351 × 10

−3

tt3 = −1.455 × 10

2.5.- MOMENTOS FINALES EN BARRAS M23F2 := M232( tt22 , tt32) = 1.237

M32F2 := M322( tt22 , tt32) = 0

M26F2 := M262( tt22) = −1.238

3 .- FUERZAS EN LOS RESORTES.F1( dd12 , dd22 , dd32) = −1.328

F2( dd12 , dd22 , dd32) = 1.609

F3( dd12 , dd22 , dd32) = 1.328