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Examen de Auxiliatura Fecha: 26/02/08 Mat – 207 1.Sea H el pie de la perpendicular del origen O sobre la tangente de algún punto P de la curva y sea Q el pie de la perpendicular de H sobre el segmento OP .Conociendo que OQ tiene valor constante igual a ‘r’.

2. Resolver

y' '+ y =

1 ; y ( π ) =0 , y ' ( π )=0 4+tg (t−π ) 2

3. Resolver por series alrededor de x 0=0

( 1+ x 2 ) y' ' −2 x ( x−1 ) y ' + x2 y=0 y ( 0 )=1 , y ' ( 0 )=2

4. Resolver y ' ' −2 y ' +2 y=f (t ) ,sabiendo que

5. De la ecuación de Bessel :

z 2 y ' ' + z y ' + ( z 2−r 2 ) y=0 a) Plantear el sistema dinámico con c.v: u1= y , u2=zy '

b) Plantear un método para resolver el sistema dinámico

Universidad Mayor de San Andrés

Mat-207 Ecuaciones Diferenciales

Facultad de Ingeniería

Examen de Competencia

Curso Intensivo de Verano 2010

24-Diciembre-2009

1. Hallar la transformada inversa de F ( s ) = Inversa de la place. f ( t )=L

−1

[ F( s) ] =

1 , aplicando solamente la definición de transformada s2

1 F (s )e st ds 2 πj ∮

2. Hallar las soluciones de la ecuación diferencial applicando el método de frobenius :

2 x2 ( x+ 1 ) y ' ' +3 x (1+ x)3 y ' −( 1−x 2 ) y=0

3. Calcular la transformada de La Place de : f ( t )=|t 2−4 tµ(t−2)|

4. Resolver la ecuación diferencial: x y ' ' ' + ( x 2 + x +3 ) y ' ' + ( 4 x+ 2 ) y ' +2 y =0

5. Resolver la ecuación diferencial: k f

'

( 1x )+ f ( x ) =x k ≠ 1

Examen de ayudantía Ecuaciones Diferenciales

1. Resolver la ecuación diferencial y ' ' ( t )−2 y ' ( t−1 ) + y ( t−2 )=f (t),con las condiciones

y ( 0 )= y ' ( 0 )=1, además f (t) es una función de periodo T. f(t)

A

T

2T

3T 4T

5T

t

2. Resolver y ' cos ( 2 x )=2+ f ' ( x ) sen ( 2 x )−2 y [ f ' ( x ) +cosec ( 2 x ) ]+ y 2 f ' ( x ) sen ( 2 x ), donde f (x) es una función conocida y sabiendo que admite dos soluciones particulares cuyo producto es uno.

3. Determinar la curva de tal manera que la proyección sobre el radio vector es una constante ‘’a’’ de la recta normal (terminada en el eje x)a la curva en el punto P.

t

4. Determinar f (t) de la expresión

∫ uF ( u ) cos ( t−u ) du=t e−t−sent 0

5. Resolver el sistema de ecuaciones : 0

x

y 1 ( x )=2+∫ ( t−x ) y 1 ( t ) dt −4 ∫ y 2 ( t ) dt x

0

x

0

y 2 ( x ) =1−∫ y 1 (t) dt+∫ (t−x ) y 2 ( t ) dt 0

x

Examen de Ayudantía MAT 207

ECUACIONES

DIFERENCIALES

GESTION 2001 1. Resolver la ecuación diferencial:

y' '+

2 ' 1 ' y − y −2 xy=0 x y

2. Si se conoce que:

( 1−x 2 ) y ' ' −x y ' + 9 y=0 Si una solución particular es un polinomio de tercer grado ,determinar dicho polinomio y resolver la ecuación diferencial .

t − ( a+b ) t

3. Si f ( t )=f 1 ( t ) +∫ f ( c ) dc , discutir la solución para f 1 ( t )=e 0

4. Resolver la ecuación:

y ' −( tgx +3 cosx ) y + y 2 cos2 x=−2

x1 k

k m1

Θ

m2 x2

EXAMEN

207

1. Si M ( x , y ) dx+ N ( x , y ) dy=0 es homogénea Demostrar que el factor integrante es:

u ( x , y )=

1 xM ( x , y )+ yN (x , y)

2. xy ( y ' )2 + ( x 2− y 2 −a2 ) y ' −xy=0

(Resolver)

3.Resolver

2 ( x+1 ) x ' ' +2( x ' )2 + x 2+ 2 x=secy

4.Determinar un factor integrante común a las ecuaciones diferenciales .

( 3 y +4 x y 2 ) dx + ( 4 x +5 x 2 y ) dy =0 ( 6 y + x 2 y 2 ) dx + ( 8 x + x 3 y ) dy =0

5.Resolver:

y ' ' ( t )+ y ( t−1 )=t 2

con y ( t ) =0 ; t ≤ 0

Ecuaciones

Diferenciales

Examen de Ayudantía 1. Demuestre que las curvas solución de

y'=

− y (2 x3 − y 3) x (2 y 3−x 3 )

son de la forma x 3+ y 3=3 Cx

y grafíquelas

2. Sean y 1 , y 2 dos soluciones de p ( x ) y ' ' + q ( x ) y ' + r ( x ) y=0 en un intervalo abierto I en el que p,q,r son continuas p ( x ) =0 a) Sea W =W ( y 1 , y 2) .Demuestre:

p ( x)

dW = y 1 ( p ( x ) y ' '2 ) − y 2 ( p ( x ) y '' 1 ) dx

3. Resolver x y ' ' +2 y ' +9 xy=0

−1

4. Demuestre que L

1 e √s

−1 s

{ }

=

1 cos 2 √t √ πt

5. Explique el método de putzer para calcular e At y explíquelo a un ejemplo

Examen de ecuaciones diferenciales

1. Resolver:

d x dx

1−x 2 ' 1 y − y + 4 y=2 x √1−x 2 x x

[( )

]

2. Si z= A x 3 +Bx (x−1) es solución de:

x 2 ( x−2 ) y ' + x2 ( x−2 ) y 2−2 x ( 2 x −3 ) y +6 ( x−1 )=0

3. Resolver el sistema de ecuaciones:

dx =x2 + xy +9 x dt dy = y 2+ xy+ 9 y dt Para determinar x (t) en forma implícita