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• Espuma Lopez

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EVENTOS INDEPENDIENTES Dos eventos 𝐴 y 𝐵 son independientes si el conocimiento de la incidencia de uno de ellos no tiene efecto en la probabilidad de ocurrencia del otro, esto es: P ( ) = P (B) • • • •

Supóngase que se toman dos cartas sucesivamente, sin reemplazo, de una baraja estándar de 52 cartas. Determina la probabilidad de que la primera carta seleccionada sea una reina ( Q )y la segunda carta sea una figura J, Q, K (recuerda que la baraja tiene un total de 12 figuras). Sea Q₁ el evento de que la primera carta seleccionada sea reina y F₂ el evento que la segunda carta sea cualquier figura. Como la primera carta seleccionada fue una reina (figura) y no se reemplaza, es decir no se regresa, antes de que se tome la segunda carta, el monto de las cartas se reduce a 51 cartas, de las cuales 11 son figuras. Por lo tanto Como la primera carta seleccionada fue una reina (figura) y no se reemplaza, es decir no se regresa, antes de que se tome la segunda carta, el monto de las cartas se reduce a 51 cartas, de las cuales 11 son figuras. Por lo tanto :

P (Q₁ y F₁ ) = P (Q₁) X P ( ) =

x

x=

=

= 0.017

REGLA ESPECIAL DE LA MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES Siempre que dos eventos A y B son independientes, la probabilidad condicional y no condicional son iguales. Es decir, P ( ) será igual a P(B) , por lo que la condición puede ignorarse en el cálculo de la probabilidad. Regla especial de la multiplicación de probabilidades si 𝐴 y 𝐵 son dos eventos independientes, entonces : P (A y B)= P(A)x P(B) o P( A ∩ B )= P(A)x P(B) Ejemplo. Si se toman dos cartas con reemplazo de una baraja estándar de 52 cartas, determina la probabilidad de que la primera carta sea una reina y la segunda una figura, ahora se hace con reemplazo; es decir que cuando se toma la primera carta, ésta se regresa al montón. De modo que cuando se saca la segunda carta, están disponibles las 52 cartas, incluidas las 12 figuras. EJEMPLO Sea Q₁ el evento de que la primera carta seleccionada sea reina y F₂ el evento que la segunda carta sea cualquier figura. Los eventos son independientes, ya que el hecho de que el experimento se haga con reemplazo no condiciona de ninguna manera la extracción de la segunda carta. Siendo así, se utiliza la regla particular de la multiplicación de probabilidades. • P ( Q₁ y F₂ ) = P (Q₁) x P(F₂) = •

x

=

=

= 0.018

Ejemplo. Lupita toma tres bolas, sin reemplazo, de la urna mostrada en la figura. Determina la probabilidad de que las bolas que obtenga sean negra, blanca y roja, en ese orden. EJEMPLO Utilizando las letras apropiadas, el evento que buscamos puede simbolizarse por N₁, B₂ y R₃. De modo que por la regla general de la multiplicación; la probabilidad de que la primera bola sea negra, la segunda blanca y la tercera roja se determina de la siguiente manera: La probabilidad de que la primera bola sea negra

, por la probabilidad de que la segunda bola sea blanca,

probabilidad de que la tercera bola sea roja, P( N₁, B₂ y R₃ ) = P (N₁) x P(B₂) x P(R₃) =

x

x

=

=

= 0.0307

, por la

TEOREMA DE BAYES Proporciona la distribución de probabilidad condicional de un evento « A «, dado otro evento « B « ( probabilidad posteriori ),en función de la distribución de probabilidad condicional del evento «B» dado «A». Supongamos que 𝐴 , 𝐴 , 𝐴 , , 𝐴𝑛 es una partición del espacio muestral 𝑆 y que 𝐵 es cualquier evento. Entonces para cualquier evento 𝐴ᵢ. EJEMPLO Tres máquinas , producen respectivamente 50%, 30% y 20% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son 3%, 4% y 5% respectivamente. Si se selecciona al azar un artículo, ¿cuál es la probabilidad de que el artículo sea defectuoso? EJEMPLO Sea el evento el artículo sea defectuoso, entonces por la regla general de la multiplicación se tiene la suma de los productos de las probabilidades del porcentaje de producción de cada máquina y la probabilidad de que el artículo defectuoso dado salga de dicha máquina.

EJEMPLO P(D) = P(A) P( ) + P(B) P( ) + P(C) P( ) P(D) = (0.50) (0.03) + (0.30) (0.04) + (0.20) (0.05) = 0.037

Suponga ahora que se selecciona un artículo al azar y resulta ser defectuoso. Hallar la probabilidad de que el artículo fue producido por la máquina ; esto es, hallar P (D). Observa que el problema, además de ser una tarea de dos etapas como lo muestra el diagrama de árbol, está manejando una condicionante, “que el artículo que fue elegido al azar es defectuoso”, es decir, dado que sucedió el evento D, determina la posibilidad de que haya salido de la màquina A. •

(

)

=

= 0.4054