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• Railly Hugo

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Eventos independientes Los eventos A y B son independientes si la ocurrencia de B no altera la probabilidad de que haya ocurrido A, es decir, los eventos A y B son independientes si: P( A B ) = P( A)

Si dos eventos no son independientes, se dice que son dependientes. Regla multiplicativa para eventos independientes Si los eventos A y B son independientes, la probabilidad de la intersección de A y B es igual al producto de las probabilidades de A y B, es decir, P( A �B) = P( A) P( B) Generalizando para los eventos independientes

E1 , E2 ,⋯, E k .

P( E1 �E2 �...Ek ) = P( E1 ) P( E2 ) L P( Ek )

Propiedades Si los eventos A y B son independientes, entonces también son independientes:   

AC y BC esto es P(ACBC) = P(AC) P(BC) AC y B esto es P(ACB) = P(AC) P(B) A y BC esto es P(ABC) = P(A) P(BC)

Ejemplo Un sistema electrónico está compuesto por tres subsistemas A, B y C, de tal manera que las probabilidades de fallar de cada uno son 0,15; 0,20 y 0,35. Si los subsistemas funcionan de manera independiente, definir los eventos y calcular: a. La probabilidad de que al menos uno de los subsistemas falle. b. La probabilidad de solo dos de los subsistemas funcionen. Aplicación al sistema de componentes: Confiabilidad de Sistemas Podemos aplicar el concepto de la independencia de eventos al caso en que se tenga un sistema de componentes electrónicos acoplados en serie o en paralelo. Sistema en serie: Un sistema de componentes acopladas en serie funciona si todos sus componentes funcionan. Sea F A = La componente A funciona; F B = La componente B funciona Para que el sistema funcione F S , ambos deben funcionar.

FB

P( F S ) = P( F A ∩ ) = P( F A ) P( F B ¿

Sistema en paralelo: Un sistema de componentes acoplada en paralelo funciona, si al menos una de sus componentes funciona. El sistema funcionará si alguno, C o D funcionan. P ( FS ) = 1 -

P( NF C )P(N F D )

Ejercicio Un sistema eléctrico consta de cuatro componentes. El sistema funciona si los componentes A y B funcionan, y si funciona cualquiera de los componentes C o D. La confiabilidad (probabilidad de que funcionen) de cada uno de los componentes también se muestra en la figura. Suponga que los cuatro componentes funcionan de manera independiente.

Calcule la probabilidad de que el sistema completo funcione. Probabilidad Total y el Teorema de Bayes Probabilidad Total Sean los eventos

A 1 , A2 , . .. , A k

,los cuales forman una partición del espacio muestral 

mutuamente excluyentes y exhaustivos y sea E otro evento cualquiera de , se cumple:

P( E ) = P( A1 ) P ( E / A1 ) + P ( A2 ) P( E / A2 ) + ......... + P( Ak ) P( E / Ak ) Donde a la P(E) se le conoce como la probabilidad total. Teorema de Bayes Si los eventos A 1 , A2 , . .. , A k , constituyen una partición del espacio muestral , entonces para cualquier evento E de  la P(Ai|E) es:

P( Ai | E ) = P( Ai | E ) =

P( Ai �E ) P( E )

para i=1 , 2 , ⋯ , k

P( Ai ) P( E Ai ) P( A1 ) P( E A1 ) + P( A2 ) P( E A2 ) + ... + P( Ak ) P( E Ak )

Ejemplo Una cadena de tiendas de suministros de construcción vende tres marcas diferentes de teodolitos. De sus ventas de teodolitos, 50% son de la marca 1 (la menos cara), 30% son de la marca 2 y 20% son de la marca 3. Cada fabricante ofrece 1 año de garantía en las partes y mano de obra. Se sabe que 25% de los teodolitos de la marca 1 requieren trabajo de reparación dentro del periodo de garantía, mientras que los porcentajes correspondientes de las marcas 2 y 3 son 20% y 10%, respectivamente. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un comprador seleccionado al azar haya comprado un teodolito que necesitará reparación mientras se encuentra dentro de garantía? b. Si un cliente regresa a la tienda con un teodolito que necesita reparación dentro de garantía, ¿cuál es la probabilidad de que sea un teodolito marca 1? ¿Un teodolito marca 2? ¿Un teodolito marca 3?

Actividad calificada Pregunta 1 Una empresa se encuentra estudiando la posibilidad de importar para el próximo año un nuevo modelo de celular de última generación. Al estudiar la situación económica del próximo año se contemplan tres posibilidades: inflación, estabilidad o crecimiento, estimando dichas alternativas con las siguientes probabilidades: 0,55; 0,35 y 0,10 respectivamente. La probabilidad de importar el nuevo modelo de celular es 0,25 si existiera inflación, 0,40 si existiera estabilidad y 0,65 si existiera crecimiento. a. ¿Cuál es la probabilidad de importar el nuevo modelo de celular para el próximo año? b. Asumiendo que la empresa decidió importar el nuevo modelo de celular, ¿cuál es la probabilidad que existiera inflación en la economía? Pregunta 2 Consideremos que tres máquinas Alpha, Beta y Gamma producen respectivamente el 50%, el 30% y el 20% del número total de artículos de una fábrica. Si la proporción de artículos defectuosos que produce cada una de estas máquinas es 0,03 0,04 y 0,05 respectivamente y se selecciona un artículo aleatoriamente: a. b.

Calcule la probabilidad de que el artículo sea defectuoso. Calcula la probabilidad de que el artículo seleccionado al azar haya sido producido por la máquina Alpha o la máquina Beta, si se sabe que este es defectuoso.

Pregunta 3 Considere el sistema de componentes electrónicos conectados como se muestra en la figura. Los componentes funcionan de manera independiente uno del otro, y la probabilidad de que cada componente funcione es 0,90; ¿cuál es la probabilidad de que el sistema electrónico funcione?

Pregunta 4

Se tiene un sistema antiguo compuesto de varios componentes que funcionan en forma independiente y la probabilidad de falla de cada componente es 0,4. Para que el sistema funcione basta que funcione al menos uno de los componentes, ¿cuántos componentes debe tener el sistema para tener una probabilidad de 0,98 de que el sistema funcione?