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INGENIERIA DE PROCESOS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA METALÚRGICA DISEÑO EXPERIMENTALES METALURGICOS TEMA: DOCENTE: ING. ALVARES SOTO LUIS ALBERTO ALUMNO: CHICAÑA NINA, DENYS MIGUEL

AREQUIPA - 2019

1.- Se toman 8 medidas del diámetro interno de los anillos para pistones del motor de un automóvil. Los datos (en mm) son:

74,001

74.003

74.015

74.000

74.005

74.002

74.005

74.004

Construya un diagrama de puntos y realice un comentario con respecto a los datos.

DIAGRAMA DE PUNTOS 2.5

2

1.5

1

0.5

0 74

74

74

74

74

74

74

74

74

74

COMENTARIO: Observando, el grafico nos damos cuenta de que el diámetro de 74.005mm, su frecuencia es 2, por lo tanto, este es la moda. Hay cierta lejanía si hablamos del diámetro de 74.015mm, pero a pesar de eso su frecuencia es 1.

2.- En una prueba de Laboratorio se mide la fuerza de tirantez de un conector. Los siguientes son los datos obtenidos (y registrados en orden) para 40 muestras bajo prueba (de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha).

241

220

249

209

258 237

194 245

251 238

212 185

210 194 225 248 203

209 201 195 255 245

210 198 199 183 213

187 218 190 175 178

195 249

235 220

236 245

175 190

a.- Construya una gráfica de series de tiempo, para estos datos. Comente el resultado.

GRAFICA DE SERIES DE TIEMPO 300

FUERZA DE TIRANTEZ

250 200 150 100 50 0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

ORDEN DE MEDICIONES

COMENTARIO: En esta grafica nos da a conocer que a lo largo del tiempo representado en años se ha visto una distribución en líneas generales normales ninguno presenta anomalías, se puede apreciar que hasta el año 22 se puede ver la mayor fuerza de los tirantes de un conector. Los 3 próximos intervalos muestran un deceso en esta fuerza de los tirantes, luego esta vuelve a descender, siendo esta última parte la más baja en el gráfico.

3.- Un artículo publicado en una revista de ingeniería, presenta datos de viscosidad de un lote de cierto proceso químico. La siguiente es una muestra de estos datos.

13.3

14.5

15.3

15.3

14.3

14.8

15.2

14.5

14.6

14.1

14.3

16.1

13.1

15.5

12.6

14.6

14.3

15.4

15.2

16.8

14.9

13.7

15.2

14.5

15.3

15.6

15.8

13.3

14.1

15.4

15.2

15.2

15.9

16.5

14.8

15.1

17.0

14.9

14.8

14.0

15.8

13.7

15.1

13.4

14.1

14.8

14.3

14.3

16.4

16.9

14.2

16.9

14.9

15.2

14.4

15.2

14.6

16.4

14.2

15.7

16.0

14.9

13.6

15.3

14.3

15.6

16.1

13.9

15.2

14.4

14.0

14.4

13.7

13.8

15.6

14.5

12.8

16.1

16.6

15.6

a) Construya una tabla de frecuencias con los datos de viscosidad del proceso químico. Límite

Límite

Frecuencia

Frecuencia

Frecuencia

Inferior

Superior

Frecuencia

Relativa

Acumulada

Rel. Acum.

menor o igual

12.0

0

0.0000

0

0.0000

1

12.0

12.625

12.3125

1

0.0125

1

0.0125

2

12.625

13.25

12.9375

2

0.0250

3

0.0375

3

13.25

13.875

13.5625

8

0.1000

11

0.1375

4

13.875

14.5

14.1875

21

0.2625

32

0.4000

5

14.5

15.125

14.8125

13

0.1625

45

0.5625

6

15.125

15.75

15.4375

20

0.2500

65

0.8125

7

15.75

16.375

16.0625

7

0.0875

72

0.9000

8

16.375

17.0

16.6875

8

0.1000

80

1.0000

mayor de

17.0

0

0.0000

80

1.0000

Clase

Punto Medio

b) Grafique un histograma con la tabla de frecuencia anterior. Histograma

24

frecuencia

20 16 12 8 4 0 12

13

14

15

16

17

viscosidad

COMENTARIO: En el presente histograma se aprecia una menor viscosidad en el primer intervalo, pero una mayor en el cuarto. c) Grafique una ojiva de frecuencia acumulada, y determine el valor aproximado que corresponde al valor del 80 % de los datos para la viscosidad.

OJIVA DE FRECUENCIA ACUMULADA

100

porcentaje

80

60 40

20

0 12

•

13

14 15 VISCOSIDAD

16

17

EL VALOR APROXIMADO AL 80% DE LOS DATOS PARA VISCOSIDAD ES 15,8.

d) Determine el percentil 30 y percentil 70. Para hallar el percentil 30: Fórmula para hallar el percentil: 𝑋 𝑃𝑋 = 𝑛 ( ) + 0.5 100  entonces: 30 𝑃30 = 80 ( ) + 0.5 100

𝑷𝟑𝟎 = 𝟐𝟒. 𝟓 Ordenando los datos adyacente, se tomarán las posiciones 24 y 25, donde se encuentras los números 14.3 y 14.3 respectivamente, la suma y división entre 2 de estos es el P30, que es 14.3. Para hallar el percentil 70:

 entonces: 70 P70 = 80 ( ) + 0.5 100

𝑷𝟕𝟎 = 𝟓𝟔. 𝟓 Se tomarán las posiciones 56 y 57, donde se encuentran los números 15.3 y 15.3 respectivamente. La suma y división entre 2 de estos es el P70, que es 15.3. e) ¿Cuál es el valor del rango intercuartílico? Comente el resultado.

Rango

4.4

Cuartil Inferior

14.3

Cuartil Superior

15.55

Rango Intercuartílico

1.25

COMENTARIO: la diferencia entre el cuartil superior y el inferior. El número que se encuentra entre estos datos es la media por lo cual decimos que estos datos están en plena relación y con una amplitud deseada. El rango intercuartílico es pequeño, lo que indica que los datos no están muy dispersos

f)

Construya un diagrama de caja, con los datos de la tabla anterior.

Gráfico de Caja y Bigotes

17

viscosidad

16 15 14 13

12

g) ¿Cuál es el valor del promedio de los datos? PROMEDIO: 14.8988 h) Determine el valor de la desviación Estándar muestral. DESVIACIÓN ESTÁNDAR: 0.980376 i)

Determine el valor de la mediana. Compare con el promedio. Explique si hubiera diferencia. MEDIANA: 14.9 Existe una mínima diferencia entre estos valores, y estos datos no presentan una distribución normal, por más mínima que sea la diferencia.

j)

¿Cuál es el valor del coeficiente de asimetría? ¿Qué implica este valor? Comente COEFICIENTE DE ASIMETRÍA: 0.079137889 Se refiere a si la curva que forman los valores de la serie presenta la misma forma a izquierda y derecha de un valor central (media aritmética). En este caso g > 0 por lo tanto presenta una distribución asimétrica positiva; existe mayor concentración de valores a la derecha de la media que a su izquierda

k) Determine el valor de la curtosis. ¿Este valor se puede vincular con alguna propiedad de los datos? CURTOSIS: -0.262819 •Está relacionada al coeficiente de asimetría, ya que la curtosis es la medida de forma que mide cuan achatada o escarpada esta una curva o distribución, y como sabemos el coeficiente de asimetría es la curva que forman los valores.

4.- Se analizan los discos de policarbonato de un proveedor para determinar su resistencia a las rayaduras y a los golpes. A continuación, se resumen los resultados obtenidos al analizar 100 muestras.

Resistencia rayadura

alta baja

Resistencia golpes alta baja 80 9 6 5

Sean A: el evento donde el disco tiene una alta resistencia a los golpes y B evento donde el disco tiene una alta resistencia a las rayaduras. Determine a) El número de discos en A ∩ B,

b) El número de discos en A’

c) El número de discos en A U B. Dibuje un diagrama de Venn que represente los datos, en cada uno de los casos.

d) Determine la probabilidad de: • P(A) 0.80+0.06=0.86 • P(A’) 0.09+0.05=0.14 • P(A∩B)’ 0.09+0.05+0.06=0.2 • P(AUB) 0.80+0.06+0.09=0.95 • P(A’UB) 0.80+0.09+0.05=0.94

5.- Se inspecciona un lote de 140 chips mediante la selección de una muestra de cinco de ellos. Suponga que 10 chips no cumplen con los requerimientos del cliente.

a) ¿Cuántas muestras de cinco contienen exactamente un chip que no cumple con los buenas 130 requerimientos? malas = 10

30

0=

113588800 formas distintas

a) ¿Cuántas muestras de cinco contienen exactamente un chip que cumple con los requerimientos?

30

0=

formas distintas

27300

6.- En el problema 2, se realiza una prueba de Laboratorio y se mide la fuerza de tirantez de un conector. Los siguientes son los datos obtenidos ( y registrados en orden ) para 40 muestras bajo prueba ( de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha ), determine si los datos proviene de una distribución normal. 241

220

249

209

258

194

251

212

237

245

238

185

210

209

210

187

194

201

198

218

225

195

199

190

248

255

183

175

203

245

213

178

195

235

236

175

249

220

245

190

PRUEBA DE NORMALIDAD 2.5

2

1.5

1

0.5

0 0

50

100

150

200

250

300

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

En la grafico podemos apreciar la existencia de una alta probabilidad de que los datos obtenidos provengan de una distribución normal, debido a su comportamiento visto, son datos con un comportamiento estables.

7.- Se utilizan dos máquinas para llenar botellas de plástico con detergente para maquinas lavaplatos. Se sabe que las desviaciones estándar del volumen de llenado son σ1 = 0.10 onzas de líquido, y σ2 = 0.15 onzas de líquido para las dos máquinas respectivamente., Se toman dos muestras aleatorias n1 = 12 botellas de la maquina 1 y n2 = 10 botellas de la maquina 2. Los volúmenes promedio de llenado son ẍ 1 = 30.87 onzas de líquido y ẍ2 = 30 .68 onzas de líquido. ¿Las dos máquinas tienen igual volumen de llenado de detergente? a) Construya un intervalo de confianza bilateral del 90 % para la diferencia entre las medias del volumen de llenado. Nivel de confianza

90%

Z(α/2)

1.64485363

Limite inferior

0.09866494

Limite superior

0.28133506

COMENTARIO: Las dos máquinas no tienen el mismo volumen, ya que el intervalo de confianza al 90% no incluye el valor del 0, en ningún momento estas distribuciones son iguales; ósea la diferencia de medias no es igual.

b) Construya un intervalo de confianza bilateral del 95 % para la diferencia entre las medias de volumen de llenado. Compare el ancho de este intervalo con el ancho del calculado en el inciso a.

Nivel de confianza

95%

Z(α/2)

1.95996398

Límite inferior

0.08116457

Límite superior

0.29883243

Las dos máquinas no tienen el mismo volumen de llenado, ya que el intervalo al 95% no incluye el valor del 0, por consiguiente, estas distribuciones no son iguales y la diferencia de medias no es igual.

c) Construya un intervalo de confianza superior del 95 %, para la diferencia de medias del volumen de llenado.

Nivel de confianza

99%

z(α/2)

2.5758293

Límite Inferior

0.04696994

Limite Superior

0.333.3006

COMENTARIO: Al 99%, los volúmenes de llenado no son iguales, ya que en el intervalo de confianza no incluye al valor del 0, lo que implica que sus distribuciones son distintas y sus medias no son iguales al igual que su deferencia.

8.- Se piensa que la concentración del ingrediente activo de flotación es afectada por el tipo de catalizador utilizada en el proceso de fabricación. Se sabe que la desviación estándar de la concentración activa es de 3 gr/l, sin importar el tipo de catalizador utilizado. Se realizan 10 observaciones con cada catalizador, y se obtiene los datos siguientes:

Catalizador 1

57.9

66.2

65.4

65.4

65.2

62.6

67.6

63.7

67.2

71.0

Catalizador 2

66.4

71.7

70.3

69.3

64.8

69.6

68.6

69.4

65.3

68.8

Suponga que la concentración activa está distribuida normalmente y que la varianza de la concentración activa de ambos tipos de catalizadores es desconocida.

a) Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para la diferencia entre las medias de las concentraciones activas suponiendo que ambas varianzas son iguales.

catalizador 1

catalizador 2

Sp

2.8991569

PROMEDIO

65.22

68.42

t (α/2, n1+n2-2)

2.100922

VARIANZA

11.864

4.94622

límite inferior

-5.92393

N

10

10

-0.476065 límite superior

Las distribuciones no son iguales al 95% de confianza ya que en el intervalo no se encuentra el valor de 0; por lo tanto, sus respectivos promedios no se demuestran que lleguen a ser iguales. b) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las concentraciones activas promedio, suponiendo que las varianzas no son iguales.

catalizador 1

catalizador 2

Sp

2.1199052

PROMEDIO

65.22

68.42

t(α/2,n1+n2-2)

16.813864

VARIANZA

11.864

4.94622

limite inferior

-5.9485471

N

10

10

limite superior

-0.4514528

c) Compare la longitud del intervalo de confianza calculado en el inciso (a) con la longitud del intervalo de confianza obtenido, con los datos y consideraciones anteriores (b); que intervalo es mayor y por qué? La longitud del intervalo de confianza del inciso “a” es 5.44786906 y la longitud del intervalo del inciso “b” es 5.497094397. Se calcula que mayor intervalo de confianza tiene el inciso “b” porque en este caso se asume que las varianzas son diferentes, y es lo más correcto asumir en estos casos ya que teóricamente se comprueba que estas varianzas si son diferentes generando un mayor intervalo, pero aun así nos demostramos que las distribuciones lleguen hacer iguales.

9.- Se investiga la temperatura de deflexión bajo carga para dos tipos diferentes de tubería de plástico. Para ello se toman dos muestras aleatorias, cada una de 15 especímenes, anotando las temperaturas de deflexión observadas ( oF ) . Los resultados son los siguientes: Tipo 1

Tipo 2

206

193

192

177

176

198

188

207

210

197

185

188

205

185

194

206

200

189

187

189

178

201

197

203

194

213

205

180

192

192

a) ¿Los datos apoyan la afirmación de que la temperatura de deflexión bajo carga para la tubería de tipo 2 es mayor que para la tubería de tipo 1?. Para llegar a una conclusión utilice α = 0.05 y suponga que las varianzas de ambas poblaciones son iguales.

µ Ho H1 α

Temp. De deflexion bajo carga µ1 = µ2 µ1 > µ2 0.05

Rechazamos Ho si: ItoI > t(α,n1+n2-2) 1.19002349 > 1.70113093 Entonces NO rechazamos Ho

COMENTARIO: No rechazamos Ho al 95% ósea aceptamos que las distribuciones pueden ser iguales, asimismo estos datos no dicen nada acerca de la tubería de deflexión 2 sea mayor que la tubería 1. b) Calcule un valor P para la prueba del inciso a.

P-valor

0.873086637

c) Construya diagramas de caja para las dos muestras. ¿Estas graficas apoyan la hipótesis de que las varianzas son iguales? Escriba una interpretación práctica para estas gráficas.

Gráfico Caja y Bigotes

220

210

200

190

180

170 TIPO 1

TIPO 2

COEMENTARIO: Al ser esta una medida de dispersión, para comprobar su igualdad con estas graficas al menos el promedio o la mediana deben ser iguales, al no ser el caso se dice que las varianzas no son iguales y teóricamente también está comprobado

10.- El motor de un cohete se fabrica al unir dos tipos de propulsores; uno de encendido y uno de impulso. Se piensa que la resistencia al esfuerzo cortante de la unión es una función lineal de la edad en semanas del propulsor cuando se arma el motor. En la tabla siguiente aparece la información recolectada. Numero de observación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Resistencia y (psi) 2158.70 1678.15 2316.00 2061.30 2207.50 1708.30 1784.70 2575.00 2357.90 2277.70 2165.20 2399.55 1779.80 2336.75 1765.30 2053.50 2414.40 2200.50 2654.20 1753.70

Edad x (semanas) 15.50 23.75 8.00 17.00 5.00 19.00 24.00 2.50 7.50 11.00 13.00 3.75 25.00 9.75 22.00 18.00 6.00 12.50 2.00 21.50

a) Dibuje un diagrama de dispersión de los datos ¿Parece plausible utilizar como modelo de regresión una línea recta? Motor de un Cohete Resistencia (PSI) = 2625.39 - 36.9618*Edad (Semanas) 2800

Resistencia (PSI)

2600 2400 2200 2000 1800 1600 0

5

10 15 Edad (Semanas)

20

25

b) Encuentre las estimaciones de mínimos cuadrados para la pendiente y la ordenada al origen del modelo de regresión lineal simple.

𝜷𝟏 𝛽0

PENDIENTE INTERCEPTO

-36.9617966 2625.38546

Mínimos Cuadrados

Estándar

Estadístico

Parámetro

Estimado

Error

T

Valor-P

Intercepto

2625.39

45.3468

57.8957

0.0000

Pendiente

-36.9618

2.96681

-12.4584

0.0000

c) Estime σ2 y los errores estándar de β0 y β1 de los regresores del modelo lineal.

Mínimos Cuadrados

Estándar

Estadístico

Parámetro

Estimado

Error

T

Valor-P

Intercepto

2625.39

45.3468

57.8957

0.0000

Pendiente

-36.9618

2.96681

-12.4584

0.0000

𝝈𝟐

8828.09113

Regresión Simple - RESISTENCIA (PSI) vs. EDAD (SEMANAS) Variable dependiente: RESISTENCIA (PSI) (Y) Variable independiente: EDAD (SEMANAS) (X) Lineal: Y = a + b*X Coeficientes

Mínimos Cuadrados

Estándar

Estadístico

Parámetro

Estimado

Error

T

Valor-P

Intercepto

2625.39

45.3468

57.8957

0.0000

Pendiente

-36.9618

2.96681

-12.4584

0.0000

Razón-F

Valor-P

155.21

0.0000

Análisis de Varianza Fuente Modelo Residuo Total (Corr.)

Suma de Cuadrados

Gl

Cuadrado Medio

1.52282E6

1

1.52282E6

176602.

18

9811.21

1.69942E6

19

Coeficiente de Correlación = -0.946616 R-cuadrada = 89.6081 porciento R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 89.0308 porciento Error estándar del est. = 99.0516 Error absoluto medio = 74.2133 Estadístico Durbin-Watson = 1.80601 (P=0.3569) Autocorrelación de residuos en retraso 1 = 0.0482611