• Author / Uploaded
• Erick Machado

Citation preview

ETAPA 2 – MODELAR EL SISTEMA DINÁMICO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Luis Manuel Fonseca Palomino Código: 77.192.697

Grupo: 243005

Tutor:

Universidad Nacional Abierta y a Distancia Escuela: ciencias Básicas Tecnologías e Ingeniería Curso: Sistemas Dinámicos Valledupar 2019

INTRODUCCIÓN. En el estudio de fenómenos de muy distinta índole se busca una ley que rija el comportamiento de los estados de un determinado sistema dependiendo de una determinada magnitud que denominaremos variable independiente. Frecuentemente la variable independiente representa el tiempo, pero otras magnitudes pueden jugar también este papel. Entenderemos que el conjunto de estados es un espacio geométrico (variedad) que representa todos los posibles valores de las características que deseamos analizar en el fenómeno a estudiar. Cuando la evolución de los estados queda unívocamente determinada a tiempos pasados y futuros por su configuración presente, decimos que tenemos un sistema dinámico. Los errores en un sistema de control, se pueden atribuir a muchos factores. Los cambios en la entrada de referencia provocan errores inevitables durante los períodos transitorios y también pueden producir errores en estado estable. Las imperfecciones en los componentes del sistema, tales como fricción estática, juego o bamboleo, deriva térmica, envejecimiento o deterioro, pueden provocar errores en el estado estacionario. Sin embargo, no estudiaremos los errores producidos por las imperfecciones de los componentes del sistema, sino que analizaremos un tipo de error en estado estacionario, provocado por la incapacidad del sistema de seguir ciertos tipos de entradas. Un sistema puede no tener un error en estado estacionario para una entrada escalón, pero el mismo sistema puede exhibir un error en estado estable diferente de cero ante una entrada rampa. El que un sistema determinado exhiba un error en estado estable para un tipo específico de entrada depende de la Función de transferencia de Lazo Abierto del sistema. En general, los errores en estado estable de sistemas de control lineales, dependen del tipo de señal de referencia y del tipo del sistema (que se verá más adelante). Cualquier sistema físico de control sufre, por naturaleza un error en estado estable en respuesta a ciertos tipos de entrada. La única forma de eliminar este error para estado estable, es modificar la estructura del sistema.

Actividades a desarrollar – Individual Esta actividad consiste en realizar la conversión del modelo matemático hallado en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia para determinar la función de transferencia del sistema seleccionado en el Anexo 1, para lo cual se solicita desarrollar:

1. Cada estudiante participa en el foro de interacción y producción de la unidad indicando el circuito seleccionado del Anexo 1 con el cual desarrolló la Etapa 1.

2. Estudiar las referencias bibliográficas de la unidad 2 resaltando la información que considere aporta al desarrollo del problema planteado, la consolida en un documento y lo comparte en el foro, referenciando bajo normas APA. Error en Estado Estacionario:

El error en estado estacionario es una medida de la exactitud de un sistema de control para seguir una entrada dada, después de desaparecer la respuesta

transitoria. Se analizará el error en estado estacionario provocado por la incapacidad del sistema de seguir determinados tipos de entradas. El que un sistema dado presente o no un error en estado estacionario ante determinado tipo de señal de entrada, depende del tipo de función de transferencia de lazo abierto del sistema. Clasificación de los sistemas de control Los sistemas de control se clasifican de acuerdo con su capacidad de seguir entradas escalón, rampa, parábola, etc. Considere el sistema de control con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia en lazo abierto G(s):

Este sistema contiene el término 𝑠 𝑁 en el denominador, que representa un polo de multiplicidad N en el origen. El esquema de clasificación se basa en la cantidad de integraciones (términos s 1) indicadas por la función de transferencia en lazo abierto. Un sistema se denomina de tipo 0, si N = 0, de tipo 1, si N = 1, de tipo 2, si N = 2, …etc.

El error en un sistema de control es la diferencia entre el valor deseado r(t) y el valor actual c(t), de la variable controlada. El error en estado estacionario es aquel error que permanece después de que ha desaparecido el transitorio.

Puede observarse que el error depende:  

De la entrada: R(S) De las características del sistema de lazo abierto GH(S)

Para el siguiente sistema de control, la función de transferencia de lazo cerrado es

ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS DINÁMICOS La estabilidad de los sistemas dinámicos se refiere a que pequeñas perturbaciones en las condiciones iniciales o en alguna de las variables que intervienen en la ecuación del movimiento produzca un comportamiento suficientemente similar al comportamiento sin dichas perturbaciones. Para sistemas deterministas descritos por ecuaciones diferenciales la estabilidad del dicho sistema de ecuaciones obviamente implica la estabilidad del sistema. 3. Para el circuito seleccionado desarrollar las siguientes actividades teóricas para encontrar el modelo matemático del sistema en el dominio de la frecuencia: 3.1

Hallar el modelo matemático del sistema linealizado mediante la ecuación de la función de transferencia.

Utilizando la ecuación diferencial aportada por el tutor procedemos a obtener la función de transferencia del sistema. 𝑑𝑉𝑐(𝑡) 3 4 5 = ( ) 𝐼𝐿(𝑡) − ( ) 𝑉𝑐(𝑡) + ( ) 𝑉(𝑡) 𝑑𝑡 2 3 6 𝑑𝐼𝐿(𝑡) 4 2 3 = − ( ) 𝐼𝐿(𝑡) − ( ) 𝑉𝑐(𝑡) + ( ) 𝑉(𝑡) 𝑑𝑡 3 3 2 𝐿 = 3𝐻 𝑉𝑙(𝑡) = 𝑉𝑙(𝑠) 𝑌(𝑠) 𝐼𝐿(𝑡) = 𝐼𝐿(𝑠) 𝑑𝑣𝑐(𝑡) = 𝑠 ∗ 𝑉𝑐(𝑠) 𝑑𝑡 𝑑𝐼𝐿(𝑡) = 𝑠 ∗ 𝐼𝐿(𝑠) 𝑑𝑡 𝑑𝐼𝐿(𝑡) 𝑉(𝑡) = 𝐿 ( ) 𝑑𝑡

𝑉𝑙(𝑠) = 𝐿 ∗ 𝑠 ∗ 𝐼𝐿(𝑠) = 𝑌(𝑠) Reemplazamos en la ecuación (1) por su equivalente en (s) 𝑑𝑉𝑐(𝑡) 3 4 5 = ( ) 𝐼𝐿(𝑡) − ( ) 𝑉𝑐(𝑡) + ( ) 𝑉(𝑡) 𝑑𝑡 2 3 6 3 4 5 𝑠 ∗ 𝑉𝑐(𝑠) = ( ) 𝐼𝐿(𝑠) − ( ) 𝑉𝑐(𝑠) + ( ) 𝑉(𝑠) 2 3 6 Reemplazamos en la ecuación (2) por su equivalente en (s) 𝑑𝐼𝐿(𝑡) 4 2 3 = − ( ) 𝐼𝐿(𝑡) − ( ) 𝑉𝑐(𝑡) + ( ) 𝑉(𝑡) 𝑑𝑡 3 3 2 4 2 3 𝑠 ∗ 𝐼𝐿(𝑠) = − ( ) 𝐼𝐿(𝑠) − ( ) 𝑉𝑐(𝑠) + ( ) 𝑉(𝑠) 3 3 2 En la ecuación (1) despejamos 𝑉𝑐(𝑠) 4 3 5 𝑠 ∗ 𝑉𝑐(𝑠) + ( ) 𝑉𝑐(𝑠) = ( ) 𝐼𝐿(𝑠) + ( ) 𝑉(𝑠) 3 2 6 4 3 5 𝑉𝑐(𝑠) ∗ (𝑠 + ( )) = ( ) 𝐼𝐿(𝑠) + ( ) 𝑉(𝑠) 3 2 6 𝑉𝑐(𝑠) =

3 5 (2) 𝐼𝐿(𝑠) + (6) 𝑉(𝑠) 4 (𝑠 + (3))

Reemplazamos el valor de 𝑉𝑐(𝑠) en la ecuación (2) 3 5 4 2 (2) 𝐼𝐿(𝑠) + (6) 𝑉(𝑠) 3 𝑠 ∗ 𝐼𝐿(𝑠) = − ( ) 𝐼𝐿(𝑠) − ( ) + ( ) 𝑉(𝑠) 3 3 2 4 (𝑠 + (3)) ( ) 5 𝐼𝐿(𝑠) + (9) 𝑉(𝑠) 4 3 𝑠 ∗ 𝐼𝐿(𝑠) = − ( ) 𝐼𝐿(𝑠) − + ( ) 𝑉(𝑠) 3 2 4 (𝑠 + (3)) ( )

4 𝑠 ∗ 𝐼𝐿(𝑠) = − ( ) 𝐼𝐿(𝑠) − 3

4 𝑠 ∗ 𝐼𝐿(𝑠) = 𝐼𝐿(𝑠) − ( ) − 3 (

𝐼𝐿(𝑠) 4 (𝑠 + (3))

−

5 (9) 𝑉(𝑠) 4 (𝑠 + (3))

3 + ( ) 𝑉(𝑠) 2

5 (9) 3 − + ( ) 𝑉(𝑠) 2 4 4 (𝑠 + (3)) (𝑠 + (3)) ) ( )

𝑠 ∗ 𝐼𝐿(𝑠) = 𝐼𝐿(𝑠) (−1.3 −

1

1 0.55 )−( + 1.5) 𝑉(𝑠) (𝑠 + 1.3) (𝑠 + 1.3)

−1.3𝑠 − 1.69 − 1 0.55 + 1.5𝑠 + 1.95 𝑠 ∗ 𝐼𝐿(𝑠) = 𝐼𝐿(𝑠) ( ) −( ) 𝑉(𝑠) 𝑠 + 1.3 𝑠 + 1.3 Multiplicamos toda la ecuación por 3 (valor de la inductancia para tener la expresión de la forma 𝑉𝑙(𝑠) = 𝐿 ∗ 𝑠 ∗ 𝐼𝐿(𝑠) = 𝑌(𝑠)) −1.3𝑠 − 1.69 − 1 0.55 + 1.5𝑠 + 1.95 3 ∗ (𝑠 ∗ 𝐼𝐿(𝑠) = 𝐼𝐿(𝑠) ( ) −( ) 𝑉(𝑠)) 𝑠 + 1.3 𝑠 + 1.3 Tenemos la expresión 𝑉𝑙(𝑠) = 𝐿 ∗ 𝑠 ∗ 𝐼𝐿(𝑠) = 3 ∗ 𝑠 ∗ 𝐼𝐿(𝑠) 𝑉𝐿(𝑠) = 𝐼𝐿(𝑠) (

−3.9𝑠 − 8.07 4.5𝑠 + 7.5 ) −( ) 𝑉(𝑠) 𝑠 + 1.3 𝑠 + 1.3

3.9𝑠 + 8.07 4.5𝑠 + 7.5 𝑉𝐿(𝑠) = −𝐼𝐿(𝑠) ( ) − 𝑉(𝑠) ( ) 𝑠 + 1.3 𝑠 + 1.3 𝑉𝐿(𝑠)(𝑠 + 1.3) = −𝐼𝐿(𝑠)(3.9𝑠 + 8.07) − 𝑉(𝑠)(4.5𝑠 + 7.5) 𝑉𝐿(𝑠)(𝑠 + 1.3) = −3.9𝑠𝐼𝐿(𝑠) − 8.07𝐼𝐿(𝑠) − 𝑉(𝑠)(4.5𝑠 + 7.5) 𝑉𝐿(𝑠)(𝑠 + 1.3) = −1.3 ∗ 3𝑠𝐼𝐿(𝑠) − 8.07𝐼𝐿(𝑠) − 𝑉(𝑠)(4.5𝑠 + 7.5) 𝑉𝐿(𝑠)(𝑠 + 1.3) = −1.3𝑉𝐿(𝑠) − 8.07𝐼𝐿(𝑠) − 𝑉(𝑠)(4.5𝑠 + 7.5) 𝑉𝐿(𝑠)(𝑠 + 1.3) + 1.3𝑉𝐿(𝑠) = −8.07𝐼𝐿(𝑠) − 𝑉(𝑠)(4.5𝑠 + 7.5) 𝑉𝐿(𝑠)(𝑠 + 1.3 + 1.3) = −8.07𝐼𝐿(𝑠) − 𝑉(𝑠)(4.5𝑠 + 7.5) 𝑉𝐿(𝑠)(𝑠 + 2.69) = −8.07𝐼𝐿(𝑠) − 𝑉(𝑠)(4.5𝑠 + 7.5) Multiplicamos todo por s 𝑉𝐿(𝑠)(𝑠 2 + 2.69𝑠) = −8.07𝑠𝐼𝐿(𝑠) − 𝑉(𝑠)(4.5𝑠 2 + 7.5𝑠) 𝑉𝐿(𝑠)(𝑠 2 + 2.69𝑠) = −2.69 ∗ 3𝑠𝐼𝐿(𝑠) − 𝑉(𝑠)(4.5𝑠 2 + 7.5𝑠)

𝑉𝐿(𝑠)(𝑠 2 + 2.69𝑠) = −2.69𝑉𝐿(𝑠) − 𝑉(𝑠)(4.5𝑠 2 + 7.5𝑠) 𝑉𝐿(𝑠)(𝑠 2 + 2.69𝑠 + 2.69) = −𝑉(𝑠)(1.5𝑠 2 + 2.5𝑠) 𝑉𝐿(𝑠)(𝑠 2 + 2.69𝑠 + 2.69) = 𝑉(𝑠)(−4.5𝑠 2 − 7.5𝑠)

(−4.5𝑠 2 − 7.5𝑠) 𝑌(𝑠) = 2 𝑈(𝑠) (𝑠 + 2.69𝑠 + 2.69)

3.2

Encontrar el error en estado estacionario del sistema hallado cuando se aplica una señal de perturbación tipo escalón unitario. (−4.5𝑠 2 − 7.5𝑠) 𝑘𝑝 = lim 2 𝑠→0 (𝑠 + 2.69𝑠 + 2.69) (−4.5(0)2 − 7.5(0)) 𝑘𝑝 = lim 𝑠→0 ((0)2 + 2.69(0) + 2.69) 0 = 0% 𝑠→0 2.692

𝑘𝑝 = lim El sistema no tiene error de posición 3.3

A partir de la ecuación característica del sistema, determinar la estabilidad del mismo.

Para determinar la estabilidad del sistema tendremos que encontrar las raíces del denominador para verificar que los polos se encuentran en el lado negativo del eje x, lo que determinaría que el sistema es estable.

(−4.5𝑠 2 − 7.5𝑠) 𝑌(𝑠) = 2 𝑈(𝑠) (𝑠 + 2.69𝑠 + 2.69) (𝑠 2 + 2.69𝑠 + 2.69)

𝑝1 =

−2.69 ± √2.692 − 4(1) ∗ (2.69) = 2(1)

𝑝2 =

−1.3450 + 0.9386𝑖

−2.69 ± √2.692 − 4(1) ∗ (2.69) = −1.3450 − 0.9386𝑖 2(1)

Podemos observar que el sistema tiene dos polos reales negativos por lo que se determina que el sistema es estable. 4. Teniendo en cuenta el desarrollo del numeral 3, realizar las siguientes actividades prácticas de acuerdo al modelo matemático obtenido: 4.1

Representar la función de transferencia mediante un diagrama de bloques.

Utilizamos la herramienta de simulink de Matlab para representar la función de transferencia en un bloque

4.2

Utilice MATLAB® para simular la función de transferencia hallada y grafique la salida del sistema cuando se aplica una entrada constante 𝑉(𝑡) = 12 𝑉 durante los primeros 5 segundos y en ese momento se aplica una entrada escalón unitario durante 10 segundos más, de manera que la simulación dura 15 segundos.

En simulink utilizamos el bloque “signal Builder” para construir la señal con los valores de amplitud t tiempo indicados.

Conectamos este bloque a la entrada de nuestro bloque de función de transferencia y a la salida conectamos un “scope” para ver las dos señales de entrada y salida del bloque de nuestro sistema.

Tenemos la señal de entrada (Roja) y la señal de salida de nuestro sistema (azul) 4.1

Cada estudiante elabora un video de la simulación obtenida en MATLAB® donde explique el funcionamiento y comportamiento del modelo hallado en el dominio de la frecuencia, debe estar en su página de youtube y hace entrega del enlace del video en el foro de interacción y producción de la unidad.

Los aportes los debe subir al foro de la Etapa 1 que se encuentra en el Entorno de Aprendizaje Colaborativo

CONCLUSIONES Se obtuvo una metodología para el análisis de estabilidad de Sistemas de en el dominio de la frecuencia de orden n. Se obtuvo la metodología para analizar la estabilidad de un sistema dinámico a través de la ecuación de transferencia del sistema. Se simulo la respuesta de un sistema por medio de una entrada escalón que nos permitió observar el comportamiento del nuestro modelo. La metodología fue verificada con un caso de estudio de la literatura, obteniéndose resultados dentro de los mismos rangos de estabilidad e inestabilidad establecidos en el artículo utilizado.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS       

[1]. Michael T. Rosenstein J. Collins CJ. A practical method for calculating largest Lyapunov. Boston University: s.n., 1992. [2]. Navarro J. Ponencia en Congreso Psicología Social. Dinámicas No Lineales: Algunas Técnicas de Análisis y Software Libre. Cádiz. España : s.n., 2007. [3]. Wolf A, Swift JB, Harry L. Swinney JA. Determining Lyapunov exponents from a time series. Vastano. North-Holland, Amsterdam : Physica 16D, 1985, Vols. 16, pp. 285-317. [4]. Groller E, Löffelmann H, Wegenkittl R. Visualization of dynamical systems. Elsevier Science Publishers B. Amsterdam, 15(1). (1999). [5]. Edelstein L. Mathematical models in Biology (1st ed.). United States: Random House. (1988). [6]. Stewart J. Cálculo con Trascendentes Tempranas (Cuarta ed. Vol. 3): internacional Thomson Editors. (2002). [7]. Solé RV, Manrubia SC . Orden y caos en sistemas complejos. Fundamentos. Edicions UPC, 84, 8301-8430-8300. (2001).