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UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS ESTUDIANDO PARA LA PRIMERA SOLEMNE

1.- Si f ( x ) =

x x−5

g( x ) =

x+1 x

Encuentre: a) Encuentre el Dominio de f y g b) Encuentre la preimagen de 2 para la función f c) Encuentre la imagen del 1 para la función g d) Encuentre, si existen, x ∈ IR / f ( x ) = g ( x ) e) Encuentre, si existen, x ∈ IR / f ( − x ) = g ( 2 x + 1 ) Desarrollo: a) Para ambas funciones el único requisito es que el denominador no sea 0. Por lo tanto

Dom f : IR − { 5 } ; Dom g : IR − { 0 } b) f ( x ) = c) g ( 1 ) =

x = 2 por lo que despejando x se obtiene x = 10 x−5

1+1 =2 1

d) x ∈ IR / f ( x ) = g ( x )

x x +1 = ⇒ x 2 = ( x + 1)( x − 5) x−5 x

x 2 = x 2 − 4x − 5 − 4x − 5 = 0 x=

−5 4

e) f ( − x ) = g( 2 x + 1 ) 2x +1+ 1 −x = 2x +1 − x −5 −x 2x + 2 = − x − 5 2x +1 − x ( 2 x + 1 ) = ( 2 x + 2 )( − x − 5 ) − 2 x 2 − x = −2 x 2 − 10 x − 2 x − 10 − x = −12 x − 10 11x = −10 x=

− 10 11

2.- Un fabricante compra maquinaria por valor de US$20.000. Esta se deprecia linealmente, de manera que

después de 10 años su valor comercial será de US$1.000.a) Expresar el valor de la maquinaria como una función de su antigüedad b) Calcular el valor de la maquinaria después de 4 años. c) ¿Cuándo se depreciará totalmente esta maquinaria? Desarrollo: a) Considerando que se trata de una función lineal y que se conocen dos puntos, podemos establecer ecuación. Sea x : tiempo y : valor en US$ Se sabe que: (0 , 20.000 ) y (10 , 1.000 ) Reemplazamos en y = ax + b

20.000 = a ⋅ 0 + b 1.000 = a ⋅ 10 + b

⇒ b = 20.000 1.000 − 20.000 − 19.000 ⇒a= = = −1.900 10 10

Por lo tanto: y = −1.900 x + 20.000

b) Reemplazamos con x = 4 en y = −1.900 x + 20.000 y se obtiene y = 12.400 c) Reemplazamos cuando y = 0 en y = −1.900 x + 20.000 y se obtiene x = 10,5 años aprox.

3.- Se arrienda un local en $600.000, para montar un negocio de armado de bicicletas. Los materiales para armar cada bicicleta cuestan $25.000. Si cada bicicleta se vende a $175.000: a) Determinar la cantidad de bicicletas que se deben vender, para alcanzar el punto de equilibrio. (Punto de equilibrio es aquel en que no hay utilidades ni pérdidas). b) Determinar la utilidad o pérdida si se venden tres bicicletas c) Determinar la cantidad de bicicletas que se deben vender para alcanzar una utilidad de $450.000 Desarrollo: Costos: fijos: $600.000 , variables $25.000 por cada bicicleta. Por lo tanto la función Costo está dada por:

C = 25.000 ⋅ x + 600.000

Ingresos: $175.000 por cada bicicleta. Por lo tanto función Ingreso está dada por:

I = 175.000 ⋅ x

Por lo tanto, la función Utilidad

Utilidad= Ingresos – Costos

U = I − C = 175.000 x − 25.000 x − 600.000 = 150.000 x − 600.000

a) Se quiere que la U = 0

U = 150.000 x − 600.000 = 0 Resolviendo una ecuación de primer grado se obtiene: x = 4 b) Reemplazamos x = 3 en. U = 150.000 x − 600.000 Se obtiene:

U = 150.000 ⋅ 3 − 600.000 = −150.000

Por lo tanto se pierden $150.000 c) Se requiere que U = 450.000

U = 150.000 x − 600.000 = 450.000 . Se obtiene x = 7 bicicletas

4.- En una Compañía que se dedica a la fabricación de pelotas de tenis, se ha determinado que la utilidad neta “U” de vender cada pelota a un precio “p” está dada por la función U ( p ) = −3 p 2 + 40 p − 100 a) ¿A qué precio debería venderse cada pelota para que la utilidad fuese cero? b) ¿A qué precio debería venderse cada pelota para que la utilidad fuese máxima? c) ¿Cuál es la utilidad máxima?

Desarrollo: a) Se quiere que la U = 0 U ( p ) = −3 p 2 + 40 p − 100 = 0 Resolviendo una ecuación de segunda grado, se obtiene: p = 10 o p = 3.333 b) Para calcular Utilidad máxima, calculamos el vértice

−b  − b    − 40  − 40   V ( x , y ) = V  ; f ; f   =    = (6.666 ; f (6.666 )) = (6.666 ; 33.33)  2a    2 ⋅ − 3  2 ⋅ −3    2a Por lo tanto se deben vender 6.666 bicicletas

c) La Utilidad máxima es de $33.333

5.- En la Isapre Buena Salud se ha estimado que la función utilidad está definida por: U(x)= 32

2− 2 x

mientras que en

x − 12

; donde x representa el número de de personas incorporadas (en la Isapre Vida 8 está definida por U(x)= 8 miles) ¿Para cuántas personas ambas Isapres tienen la misma utilidad? Desarrollo: Se requiere que:

322− 2 x = 8 x −12

((2) )

5 2− 2 x

( )

= (2 )

3 x −12

(2)10−10 x = (2)3 x −36 Igualando base, se tiene que:

10 − 10 x = 3 x − 36 − 13 x = −46 x = 3.54 Por lo tanto, para aprox. 3540 personas las Isapres tienen igual utilidad.

6.- El costo unitario de fabricación de robots para el hogar (en dólares), en una empresa, se describe mediante la siguiente función: C = 15300 e −0.015 N + 870 Donde N : es el número de robots fabricados cada año. a) Determine el costo de producir 350 robots b) Si el costo unitario alcanzó los 1300 dólares ¿aproximadamente cuántos robots se fabricaron? Desarrollo: a) Reemplazamos N = 350 en C = 15300 e −0.015 N + 870

C = 15300 e −0.015 ⋅350 + 870 = 950.29 dólares b) Reemplazamos C = 1300 en C = 15300 e −0.015 N + 870

1300 = 15300 e −0.015 N + 870 430 = 15300 e − 0.015⋅ N 0.0281 = e − 0.015⋅ N ln( 0.0281 ) = −0.015 ⋅ N N = 238.13 Por lo tanto aprox. 238 robots