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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO” EXTENSIÓN MATURÍN

ESTRU CTURA ESTATI CAME NTE INDET ERMIN ADA

Autor: Génesis Lucas Profesor: Ing. Lorenzo Mantilla

Maturín, Mayo de 2015

INTRODUCCIÓN Cuando se habla de solucionar una estructura hablamos de encontrar las relaciones entre las fuerzas aplicadas y las fuerzas de reacción, las fuerzas internas en todos los puntos y las deformaciones. Para estructuras estáticas solo es necesario plantear las ecuaciones de equilibrio para encontrar fuerzas de reacción ya que estas no sobrepasan en número a las ecuaciones de equilibrio. Una vez tengamos las reacciones procedemos a encontrar las fuerzas internas por equilibrio de secciones y de ahí encontramos las deformaciones por los métodos de la doble integración o trabajo virtual. En la solución de estructuras estáticamente indeterminadas tenemos que solucionar simultáneamente las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad de deformaciones y las de relaciones de fuerzas y desplazamientos (leyes constitutivas del material). Observe que para las estructuras estáticas los métodos de encontrar las deformaciones involucran la compatibilidad y las relaciones fuerza-desplazamiento concluyendo que estas ecuaciones se deben cumplir en todo tipo de estructura. La manera como se manipulan estos tres tipos de ecuaciones en el proceso de solución determina el método. Por ejemplo, en el método de las fuerzas vimos que planteamos unas ecuaciones de compatibilidad de deformaciones en el sentido de las redundantes y después reemplazamos en estas ecuaciones, los desplazamientos en función de las fuerzas redundantes, quedando como incógnitas a solucionar las fuerzas redundantes. Note que aquí se ha resuelto parte de la estructura, o sea, solo la parte de llevarla a ser estáticamente determinada, de ahí debemos completar la solución por medio de las ecuaciones de equilibrio estático. En conclusión, se plantean tantas ecuaciones como redundantes halla, por lo tanto en este método el numero de incógnitas es el número de redundantes, y las matrices a resolver son de ese orden. El otro método que plantearemos en este capitulo es el de la rigidez o de los desplazamientos. Se llama de rigidez porque las

ecuaciones finales a solucionar tienen como incógnitas desplazamientos en función de las rigideces de los elementos.

los

En cualquiera de los dos métodos que planteemos se utiliza el principio de superposición, el cual se cumple para sistemas lineales, elásticos y que experimenten desplazamientos pequeños, o sea que las tangentes son iguales a los ángulos. Debido a que en el método de la rigidez se trabaja con los desplazamientos en un punto determinado es importante definir lo que es un grado de libertad.

Definición Estructuras Estáticamente indeterminadas: Se denomina de esta manera a una barra sujeta a carga lateral; perpendicular a su eje longitudinal, en la que el número de reacciones en los soportes superan al número de ecuaciones disponibles del equilibrio estático, esta puede serlo por condición interna, externa o ambas a la vez.

INDETERMINACIÓN ESTATICA. Se define como el número de acciones redundantes o exceso de reacciones internas y externas, que no es posible determinar por medio del equilibrio estático. Se puede decir que es la diferencia entre el número de incógnitas y ecuaciones disponibles de equilibrio estático. Por ejemplo si en una viga se tiene tres reacciones

desconocidas y solo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio, la viga es indeterminada en grado 1: Número de incógnitas = NI = 3 Ecuaciones de equilibrio = EE = 2 Grado de indeterminación = GI = NI - EE = 3 - 2 = 1 NI = Reacciones verticales y momento en el empotramiento = 5 EE = Equilibrio. Vertical y suma de momentos = 2 GI = 5 - 2 = 3 En ambos casos los GI representan el número de ecuaciones adicionales para su solución. 1.3. SOLUCION DE VIGAS HIPERESTATICAS. Se analizan vigas estáticamente indeterminadas con objeto de conocer las reacciones externas e internas en los soportes, así como las deformaciones angulares y lineales que ocurren a través de su longitud cuando se les somete a carga externa. Las deformaciones angulares son las rotaciones o pendientes que se miden mediante una tangente trazada a la curva elástica (Diagrama de deformación) y las lineales son los desplazamientos verticales que se miden entre el eje original de la viga y el eje cuando la barra se flexiona. La figura 3 muestra esta condición. P = Carga aplicada. * = Rotación o pendiente. * = Deformación lineal o flecha.

Procedimiento para el Estáticamente Indeterminadas

cálculo

de

Estructuras

1. Se determina el grado de indeterminación estática. 2. Se debe eleccionar una de las reacciones como redundantes, la estructura primaria debe ser estable y estáticamente indeterminada.

3. Aplicar las cargas externas sobre la estructura primaria se dibuja la deformada y se muestra la deflexión en el punto de la redundante. 4. Aplicar la redundante sobre la estructura primaria, con un valor unitario de la fuerza en el punto y dirección positiva del elemento redundante. Se dibuja la deformada y asigna F como coeficiente de flexibilidad, el cual representa la deflexión o pendiente en el punto de aplicación, la deflexión o pendiente es igual a la redundante por F (coeficiente de flexibilidad) 5. Se escribe la ecuación de compatibilidad, igualando deformación de la estructura primaria con cargas en al deformación de la estructura primaria con incógnitas, la suma algebraica de la deflexión o rotación se igualan a O (cero). Si hay movimiento en el apoyo se iguala al movimiento prescrito, por ejemplo asentamiento diferencial. 6. Calcular las deflexiones por las cargas y por la carga unitaria en el punto de aplicación de la redundante. 7. Reemplazar el valor anterior en la ecuación de compatibilidad y hallar la redundante. 8. Hallar las otras ecuaciones usando las ecuaciones de equilibrio. 9. Realizar los diagramas de Corte(v) y Momento (m)

Ej: ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS

Datos: N° de elementos= 2 N° de reacciones= 5 N° de nudos= 3 N° de condiciones especiales= 0 GIE=3NE+NR+3NN-C=2

Solución: Estructura primaria:

∑ MA=MA−Fc × 2 L−Rc × L+ ∑ Fy=RA+ Rc−wL ∑ Fx=FA−Fc−wL

Tramo AB: ( 0≤X≤L)

w L2 + w L2 2

+∑ M w L2 =M +wLX + −RcL−Fc ( L+ X )=0 Corte 2 ¿ M =RcL+ Fc ( L+ X )−wLX −

Tramo BC : (0≤X≤

w L2 2

√2 L )

 Desplazamientos:

Definición de Equilibrio Un cuerpo está en equilibrio cuando se encuentra en reposo o tiene un movimiento uniforme. Analíticamente se expresa cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es nula, se afirma así que el sistema de fuerzas no produce efecto alguno sobre el cuerpo y se dice que el sistema de fuerzas está en equilibrio. R = ∑F = 0 Para evaluar la situación de equilibrio en un cuerpo determinado, se hace un gráfico del mismo llamado Diagrama de cuerpo libre. Este diagrama consiste en aislar completamente el cuerpo o parte del mismo y señalar todas las fuerzas ejercidas sobre él, ya sean por contacto con otro cuerpo o por su propio peso. Luego se aplican las condiciones de equilibrio, las cuales se pueden expresar en forma de ecuaciones que se denominan ecuaciones generales de equilibrio, también llamadas ecuaciones básicas de la estática: 1. La suma algebraica de fuerzas en el eje X que se denominan Fx, o fuerzas con dirección horizontal, es cero. ΣFx = 0 → Σ Fh = 0 2. La suma algebraica de fuerzas en el eje Y denominadas Fy, o fuerzas con dirección vertical, es cero. ΣFy = 0 → ΣFv = 0 3. La suma algebraica de momentos M, o tendencias de giro respecto a un punto determinado en equilibrio, es cero. ΣM = 0 Es importante recordar que la convención de signos adoptada, en el presente material, para la aplicación de las ecuaciones generales de equilibrio para fuerzas y momentos, en todos los casos

y ejemplos, es la siguiente:

 Ecuaciones de equilibrio: El equilibrio es uno de los requisitos que debe cumplir una estructura, lo cual implica que la resultante de las fuerzas externas es cero y no existe un par de fuerzas; al descomponer en un plano cada fuerza y cada par en sus componentes rectangulares, se encuentra las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido se pueden expresar también por las tres ecuaciones siguientes:

Estas ecuaciones expresan el hecho de que las componentes de las fuerzas externas en las direcciones x y y, así como los momentos de las fuerzas externas están en equilibrio. Por tanto, el sistema de fuerzas externas no impartirá ni movimiento de traslación ni de rotación al cuerpo rígido considerado.

Ejemplo:

 Condiciones de equilibrio estructuras planas

y

determinación

en

Si el No. De reacciones = No de ecuaciones estáticas más ecuaciones de condición: hay estabilidad Si el No. reacciones < No. Ecuaciones; es inestable. Si el No. De reacciones No. >De ecuaciones, es estáticamente indeterminado o hiperestático y su grado de in determinación estatica externa se determina por: GI externo= No. Reacciones – No. Ecuaciones.

 Aplicación de las ecuaciones de equilibrio Determinación de reacciones por proporciones: Para determinar las reacciones en vigas sometidas a cargas puntuales podemos aplicar la siguiente regla:

Siempre la relación de un lado será igual a la carga puntual multiplicada por la distancia de la carga al apoyo contrario dividido la longitud del elemento.

Para determinar las reacciones debidas a momentos iguales aplicamos que el momento externo debe ser compensado por un par de fuerzas en los apoyos, cuya magnitud es el momento externo dividido por la separación entre las fuerzas y su dirección es tal que produzca un momento contrario al aplicado externamente. Estas dos reacciones cumplen con la ecuación de sumatoria de fuerzas verticales igual a 0. Estas dos reglas junto con el principio de superposición nos ayudaran bastante en la determinación de las reacciones en vigas simplemente apoyadas.

Definición de Compatibilidad

El método de compatibilidad toma las fuerzas como incógnitas del problema. Las ecuaciones de equilibrio se escriben en función de las fuerzas aplicadas y de las reacciones. En una estructura hiperestática, el número de reacciones o fuerzas internas desconocidas excede el número de ecuaciones independientes de equilibrio en un número que, como hemos visto, se llama grado de hiperestatismo. Se selecciona un conjunto de fuerzas incógnitas redundantes (reacciones o internas), se liberan las condiciones de apoyo o de enlaces correspondientes y se suponen las fuerzas redundantes actuando sobre la estructura como si esta fuese isostática. Se escribe entonces una ecuación de compatibilidad por cada punto donde se ha liberado un apoyo o enlace; esta ecuación debe imponer que los movimientos de la estructura “liberada” sean idénticos a los de la estructura original. Estas ecuaciones se expresan en función de las incógnitas hiperestáticas, cuya resolución permite determinar aquellas.

Relación Fuerza-Desplazamiento

Un papel muy importante en el análisis de estructuras lo juega la relación entre las fuerzas y los desplazamientos. Consideremos un resorte linealmente elástico, sometido a la acción de una fuerza (A), en este caso de compresión.

Como se puede observar najo la acción de (A) el resorte sufre un desplazamiento (D) y la relación entre (A) y (D) viene expresada por la ecuación de desplazamiento de la siguiente manera: D= FxA Donde: D= Desplazamiento A= Acción F= Flexibilidad del resorte.

La flexibilidad del resorte (F) se define como el desplazamiento producido por un valor unitario de la acción (A). la relación entre (A) y (D) también se puede expresar por: A= KxD Siendo K la rigidez del resorte es la acción necesaria para producir un desplazamiento unitario.

Ejemplos:

En el primer caso, el desplazamiento D es causado por la fuerza A y a la vez se encuentra ubicado en el punto donde actúa dicha fuerza. La flexibilidad (f) es el desplazamiento producido por un valor unitario de carga. La rigidez K es la carga que produce un valor unitario del desplazamiento.

Condiciones a satisfacer en la resolución de Estructuras Estáticamente Indeterminadas

Las condiciones que, en principio debe satisfacer todo análisis estructural son las de equilibrio y las de compatibilidad teniendo en cuenta el comportamiento tenso-deformacionales de los materiales. Generalmente, las condiciones de compatibilidad o las relaciones tenso-deformacionales de los materiales resultan difíciles de satisfacer estrictamente, por lo que pueden adoptarse soluciones en que estas condiciones se cumplan parcialmente, siempre que sean equilibradas y que satisfagan a posterior las condiciones de ductilidad apropiadas. Las estructuras deben satisfacer cuatro criterios básicos:  Funcionalidad: toda estructura debe servir para aquello para lo que ha sido concebida.  Seguridad: toda estructura debe soportar las cargas a las que se ve sometida durante su vida útil Economía: toda estructura debe construirse aprovechando los recursos materiales.  Estética: toda estructura debe tener una apariencia exterior adecuada.

Métodos Generales de Análisis de Estructuras Estáticamente Indeterminadas

Existen dos métodos generales para analizar las estructuras indeterminadas:

Si se analiza la estructura desde el punto de vista de la estática, aplicaremos el método de flexibilidades y si analizamos la

estructura desde el punto de vista de la cinemática, aplicaremos el método de las rigideces. En el método de las flexibilidades las incógnitas son las fuerzas redundantes cuyas presencia indica el grado de hiperstacidad de la estructura. En el método de rigideces las incógnitas son los desplazamientos de las juntas que son tantos como grados de indeterminación cinemática tenga la estructura. El sistema de ecuaciones está constituido por las ecuaciones de equilibrio. Estos métodos son aplicables a toda clase de estructuras y la formulación de los dos métodos se hace mediante álgebra matrical lo cual permite plantear el problema de una forma ideal para la programación en una computadora digital. Debe comprenderse también que los métodos de flexibilidades y de rigideces pueden organizarse hasta formar un procedimiento altamente sistematizado para el análisis de una estructura.

Conclusión

Estos modelos de análisis, permiten dar un gran paso en el proceso de análisis de las estructuras, específicamente en las Estructuras Estáticamente Indeterminadas, a las cuales enfrentaremos como futuros profesionales de la Ingeniería Civil, obteniendo experiencia y conocimientos cada día en la práctica del diseño y una plena comprensión del comportamiento de las estructuras, bien sean, estas de un simple armado hasta de una estructura tridimensional de formas complejas, por lo que se debe conocer las técnicas analíticas asociadas a los necesarios cálculos. Además, estas técnicas habrán de ser utilizadas en el contexto de las normativas cuya aplicación garantizará la estandarización de los métodos, el cálculo matemático y el control de los resultados. Este conocimiento simultaneo de los métodos y técnicas deben ser requisito fundamental para abordar el estudio correspondiente a la etapa del diseño. Por lo que es de gran relevancia la capacitación como estudiantes de ingeniería civil en el uso y comprensión de los modelos matemáticos que permiten resolver el cálculo estructural y determinar las solicitaciones, debido a que como futuros ingenieros el objetivo principal es el de servir a la sociedad en obras de

infraestructuras, que le permita resolver los problemas de vivienda, salud, educación y vialidad y todas estas obras que requieren de un esqueleto que les sirva como soporte, conocido como el nombre de Estructutas.