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TABLA A.1 VIGA APOYADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA

P, q y segmentos en valor absoluto

SOLICITACION

DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES MOMENTO MAXIMO

DIAGRAMA DE ESFUERZOS CORTANTES REACCIONES EN APOYOS Pb L Pa L

RA

M

Pab L

RB

FLECHAS MAXIMAS ÁNGULOS DE GIRO EXTREMOS

1

P a ª b L  a º 2 » « 3L EI ¬ 3 ¼

3

1

3

ª b L  a º 2 » ; f « 3 ¼ ¬

ab ; XB

ª a L  b º 2 P b ª a L  b º 2 » » ; f « « 3 3L EI ¬ 3 ¼ ¼ ¬ P a b L  b P a b L  a ; TB 6 L EI 6 L EI

a!b ; XA

TA

M

RA

PL 4

RB

P 2

XA

L 2

XB

TA

M

RA

Pa

RB

P XA

L 2

XB

M

RA

PL 2

RB

3P 2

XA

TA

n

L a

n

2k

;

M

n

2k 1 ;

M

n PL 8 2 n 1 PL 8n

RA

RB

n 1 P 2 XA

19 P 3 ˜ L 384 EI

f

;

5 P L2 32 EI

TB

n

2k ;

n

2k 1 ; f

f

5 n 2  4 P L3 ˜ 384 n EI

5 n  1 n  1 ˜ P L 2

TA TB

n

L a

n

2k

;

M

n

2k 1 ;

M

n PL 8 2 n 1 PL 8n

RA

RB

n P 2 XA

XB

2

384 n 3

3

EI

n 2  1 P L2 ˜ 24 n EI

n 4  6n 3  2n 2  4n  4 P L3 ˜ EI 384 n 2

n

2k ; f

n

2k 1 ; f

L 2

TA TB

FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre



P a L  a 2 EI

L 2

XB



Pa 3L2  4a 2 24 EI

f

;

L 2

XB

P L2 16 EI

TB

T A TB

P L3 48 EI

f

;

5n 4  2n 2  1 P L3 ˜ EI 384 n 3

2 n 2  1 P L2 ˜ 48 n EI

TABLA A.2 VIGA APOYADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA

P, q y segmentos en valor absoluto

SOLICITACION

DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES MOMENTO MAXIMO 1 2 qL 8

M

DIAGRAMA DE ESFUERZOS CORTANTES REACCIONES EN APOYOS qL R A RB 2

FLECHAS MAXIMAS ÁNGULOS DE GIRO EXTREMOS

XA

L 2

XB

TA

RA a L  b

XD

2L

;M

q a 2 L  b 2 8 L2

RB

q a L  b 2L qa

2

2L

q c L  c 2

RA

RB

l/2

ª 2 L2  a 2 º qa2 « » ;f 6 6 »¼ ¬« 58,575 L  8,575 a ; a ! 0,4531 L ; X B 100 4 qL § · a ¨¨13,5734  0,5526 ¸¸ f L 10 3 EI © ¹ q a2 L § a· ¨ 2  ¸¸ L¹ 24 EI ¨©

XA

L

XB

M

2ac ; L § b  c ac ·  2 ¸¸ 2 q a c¨¨ L ¹ © L ac

M

q L2 12

RA RB

2 q c L  a L 2 q c L  b L

TA

RA

RB

q b c L §¨ b2 c2 · 1 2  2 ¸ ; TB 3 EI ¨© L L ¸¹

qL 4 XA

L 2

XB

;

TB

3/ 2

q c L3 ª c 2 § c ·º «1  ¨ 2  ¸¸» 24 EI «¬ L2 ¨© L ¹»¼

q c L2 §¨ c2 34 2 24 EI ¨© L

TA

FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre

; TB

f

;

2

ª 2 L2  a 2 º « » 6 »¼ ¬«

q a 2 L §¨ a2 · 2 2 ¸ 24 EI ¨© L ¸¹

2

qc

T A TB

XD

q L3 24 EI

TB

a  0,4531 L ; X B

TA

M

5 q L4 ˜ 384 EI

f

;

· ¸ ¸ ¹

q a c L §¨ a2 c2 · 1 2  2 ¸ 3 EI ¨© L L ¸¹

f

5 q L3 196 EI

q L4 120 EI

TABLA A.3. VIGA APOYADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA

P, q y segmentos en valor absoluto

SOLICITACION

DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES MOMENTO MAXIMO

DIAGRAMA DE ESFUERZOS CORTANTES REACCIONES EN APOYOS

1/ 2

XD

§ 3L  2a · ¸ a¨ ¨ 3L ¸ © ¹

M

q a2 § 3L  2a · ¨ ¸ 3 ¨© 3 L ¸¹

; 3/ 2

FLECHAS MAXIMAS ÁNGULOS DE GIRO EXTREMOS

RA

q a3 L  2 a 6L

a  0,4607 L; X B

RB

q a2 3L

a ! 0,4607 L ;

XE

M

qb 6L q b 3 L  b 6L 2

RA RB

f

TA

5 q L2 48

12 a

RA

RB



 45 a L  40 L2 q a 2

2

360 EI L

b  0,4396 ˜ L ;

f

M

q b 2 ª 10 L2  3 b 2 « 18 EI L «¬ 30

a!b ; M

mb L ma L

RA

 RB

10 L

2



 3b 2 q b 2

· ¸ ¸ ¹

ba; XB

§ L2  3 b 2 L¨ ¨ 3 ©

· ¸ ¸ ¹



6 EI L



90 EI L

l/2

;

2

f



 15 b L  3 b 2 q b 2 360 EI L

61q L4 5,760 EI

q L3 30 EI

TB

§ L2  3 a 2 L¨ ¨ 3 ©

m L2  3 b 2

20 L

;

ab; XA

TA

FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre

; TB

L 2

XB

º » »¼



 3a 2 q a 2

2

§ b· ¨¨1,2527  0,7334 L ¸¸ L ; © ¹

XA

360 EI L

XA

3/ 2

3/ 2

q L4 § · b ¨¨ 8,267 L  1,745 ¸¸ 10 3 EI © ¹

qL 3

m L

º » »¼

5 L

; TB

ª 10 L2  3 b 2 « 30 «¬

XA

TA

ab ; M

qa 2 ª 5L2  3a 2 º « » 9 LEI ¬« 15 ¼»

;f

§ · a ¨¨1,593  1,0737 ¸¸ L ; L © ¹

Xa

b ! 0,4396 ˜ L ;

Carga parabólica

l/2

q L4 § a· ¨¨ 4,117  2,405 L ¸¸ 10 3 EI © ¹

f

TA

§ b ·¸ ; b¨¨1  ¨ 3 L ¸¸ ¹ © 3/ 2 ª § b · º» qb2 « a ¸  2¨¨ ¸ » 6 «L 3 L ¹ ¼» © ¬«

ª 5L2  3a 2 º « » 15 ¬« ¼»

1/ 2

;f

m §¨ L2  3 a 2 3 EI L ¨© 3

· ¸ ¸ ¹

;f

m 3 EI L

§ L2  3 b 2 ¨ ¨ 3 ©

· ¸ ¸ ¹

1/ 2

; TB



m L2  3 a 2 6 EI L



3/ 2

3/ 2

TABLA A.4 VIGA EMPOTRADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA

P, q y segmentos en valor absoluto SOLICITACION

MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO

REACCIONES EN LOS APOYOS

P ab2

M AE

L

2

M BE

P a2 b



L2

M AE

PL 8

M BE



PL 8

M AE

P a L  a L

M BE



RA

p

b2 § b· ¨¨ 3  2 ¸¸ L¹ L2 ©

RB

p

a2 § a· ¨¨ 3  2 ¸¸ L¹ L2 ©

RA

P 2

RB

P 2

RA

P

RB

P

P a L  a L

M AE

5P L 16

M BE



5P L 16

RA

3P 2

RB

3P 2

n° de fuerzas = n-1



M BE



P L n2 1 12 n

M AE







P L n2 1 12 n

RA

n 1 P 2

RB

n 1 P 2

n° de fuerzas = n-1 M AE

M BE





M AE

M BE M AE

M BE



P L 2n2 1 24 n





P L 2n2 1 24 n

q L2 12 

q L2 12

q a2 ª a§ a ·º «6  ¨¨ 8  3 ¸¸» 12 ¬« L© L ¹¼» 

q a3 § a· ¨ 4  3 ¸¸ 12 L ¨© L¹

RA

n P 2

RB

n P 2

RA

qL 2

RB

qL 2

RA

qa ª a2 § a ·º «2  2 ¨¨ 2  ¸¸» L ¹»¼ 2 ¬« L ©

RB

q a3 § a· ¨¨ 2  ¸¸ L¹ 2 L2 ©

DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES

FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre

TABLA A.5 VIGA EMPOTRADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA

P, q y segmentos en valor absoluto SOLICITACION

MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO



M AE

qc 3 L2  4 c 2 12 L

M BE







qc 3 L2  4 c 2 12 L



M AE

§ b 2 c 2 3b  L · ¸ 2qc¨a 2  2 ˜ ¨ L 3 ¸¹ L ©

M BE

§ a 2 c2 3a  L · ¸ 2 q c ¨ b 2  2 ˜ ¨ L 3 ¸¹ L ©

M AE

5 q L2 96

M BE



RA RB

q L2 30

M BE



RA

qc

RB

qc

ª a2 c2 a § a2 c2 2 q c «1  3 2  2  2 ¨ 2  2 « L ¨© L L L L ¬ 2 2 ·º ª a2 c2 § a a c 2 q c «3 2  2  2 ¨ 2  2 ¸» « L L ¨© L L L ¸¹»¼ ¬

5 q L2 96

M AE

q L2 20

RA

qL 4

RB

qL 4

RA

3 qL 20

RB

7 qL 20

RA

qa ª a2 § a ·º «10  2 ¨¨15  8 ¸¸» L ¹»¼ 20 «¬ L ©

q a3 § a· ¨ 5  4 ¸¸ L¹ 20 L ¨©

RB

q a3 § a· ¨¨15  8 ¸¸ L¹ 20 L2 ©

M AE

q b3 § b· ¨ 5  3 ¸¸ 60 L ¨© L¹

RA

q b3 § b· ¨¨ 5  2 L ¸¸ 20 L2 © ¹

M BE



RB

qb ª b2 § b ·º «10  2 ¨¨ 5  2 ¸¸» L ¹»¼ 20 «¬ L ©

M AE

q a2 30

M BE



ª a§ a ·º «10  ¨¨15  6 ¸¸» L© L ¹»¼ «¬

qb2 60

§ b2 a· ¨3  10 ¸ ¨ L2 L ¸¹ ©

Carga parabólica M AE

q L2 15

M BE



q L2 15

RA

qL 3

RB

qL 3

M AE

m

b§ b· ¨ 2  3 ¸¸ L ¨© L¹

RA

m

M BE

m

a§ a· ¨ 2  3 ¸¸ L ¨© L¹

RB

m

FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre

DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES

REACCIONES EN LOS APOYOS

6ab L3 6ab L3

·º ¸» ¸» ¹¼

TABLA A.6 VIGA APOYADA EMPOTRADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA

P, q y segmentos en valor absoluto SOLICITACION

MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO

REACCIONES EN LOS APOYOS

P a b L  b

ME

RA

P b §¨ b2 · 3 2 ¸ 2 L ¨© L ¸¹

RB

P a2 § a· ¨¨ 3  ¸¸ L¹ 2 L2 ©

2 L2

RA

11 P 16

RB

5 P 16

3 PL 16

ME

3 P a L  a 2L

ME

RA

Pª a§ a ·º «2  3 ¨¨1  ¸¸» L© L ¹»¼ 2 ¬«

RB

P 2

ª a§ a ·º «2  3 ¨¨1  ¸¸» L© L ¹»¼ «¬ RA

63 P 32

RB

33 P 32

15 PL 32

ME

n° de fuerzas = n-1 RA

n  1 5 n  1 P

RB

n  1 3 n  1 P

8n

n2 1 PL 8n

ME

8n

n° de fuerzas = n-1 10 n 2  1 P 16 n

RB

6n2 1 P 16 n

2n 1 PL 16 n

ME

ME

ME

RA 2

RA

5 qL 8

RB

3 qL 8

1 2 qL 8

q a 2 L  b

RA

q a §¨ b2 ·§ b· 5  2 ¸ ¨¨1  ¸¸ 8 ¨© L¹ L ¸¹ ©

RB

q a3 § a· ¨¨ 4  ¸¸ L¹ 8 L2 ©

2

8 L2

FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre

DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES

TABLA A.7 VIGA APOYADA EMPOTRADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA P, q y segmentos en valor absoluto

SOLICITACION

MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO

RA

q b §¨ b · 6 2 ¸ 8 L ¨© L ¸¹

RB

qb ª b§ b 2 ·¸º «8  ¨ 6  » 8 « L ¨© L2 ¸¹»¼ ¬

2

qb

ME

2 L

2

2

8 L2

 b2



qc 3 L2  4 c 2 8L

ME

qbc

ME

L2

M

RA RB

q c §¨ c2 · 11  4 2 ¸ 8 ¨© L ¸¹

RB

q c §¨ c2 54 2 8 ¨© L

RA

21 qL 64

RB

11 qL 64

RA

9 qL 40

RB

11 qL 40

RA

2 qL 5

7 q L2 120

q L2 25 RB

ME

qa 120

2

ME

2 § ¨5  3 b 2 ¨ L ©

10

qa ª a2 § a ·º «20  2 ¨¨15  4 ¸¸» L ¹»¼ 20 ¬« L ©

RB

q a3 § a· ¨¨15  4 L ¸¸ 40 L2 © ¹ 2 · § ¨5  b ¸ 2 ¸ ¨ L © ¹

RA

q b2 10 L

RB

qb ª b§ b 2 ·¸º «5  ¨ 5  » 10 « L ¨© L2 ¸¹»¼ ¬

· ¸ ¸ ¹

FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre

qL

RA

ª a§ a ·º «40  3 ¨¨15  4 ¸¸» L© L ¹»¼ «¬

qb2 30

· ¸ ¸ ¹

ª a2 c2 a § a2 c2 q c «2  3 2  2  ¨ 2  2 « L ¨© L L L L ¬ 2 2 ª a2 c2 a§a c ·º q c «3 2  2  ¨ 2  2 ¸» « L L ¨© L L L ¸¹»¼ ¬

5 q L2 64

ME

2

RA



2

E

ME



>a L  b  c @

DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES

REACCIONES EN LOS APOYOS

·º ¸» ¸» ¹¼

TABLA A.8 VIGA APOYADA EMPOTRADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA P, q y segmentos en valor absoluto

SOLICITACION

MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO

qb2 120

ME

ME

2 § ¨10  3 b 2 ¨ L ©

REACCIONES EN LOS APOYOS

RA

q b 2 §¨ b2 · 10  2 ¸ 40 L ¨© L ¸¹

RB

qb ª b§ b 2 ·¸º » «20  ¨10  40 « L ¨© L2 ¸¹»¼ ¬

RA

qa ª a2 § a ·º «20  2 ¨¨ 5  ¸¸» L ¹»¼ 40 ¬« L ©

RB

q a3 § a· ¨¨ 5  L ¸¸ 40 L2 © ¹

· ¸ ¸ ¹

qa ª a§ a ·º «20  3 ¨¨ 5  ¸¸» 120 ¬« L© L ¹»¼ 2

DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES

Carga parabólica

ME

M

E

m §¨ b2 1 3 2 2 ¨© L

M

RA

13 qL 30

RB

7 qL 30

q L2 10

E

· ¸ ¸ ¹

RA

a· 3 ma § ¨ 2  ¸¸ ˜ L¹ 2 L2 ¨©

RB



m 2

a· 3 ma § ¨ 2  ¸¸ ˜ L¹ 2 L2 ¨©

RA

3 m ˜ 2 L

RB



3 m ˜ 2 L

CALCULO DE MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO DE UNA VIGA APOYADA-EMPOTRADA EN FUNCIÓN DE LOS MOMENTOS DE EMPO TRAMIENTO PERFECTO.

ME

M AE  E B ˜ M BE

ME

M AE 

FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre

1 E MB 2

TABLA A.9 VIGA EN VOLADIZO DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA P, q y segmentos en valor absoluto

SOLICITACION

DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES MOMENTO MAXIMO M

M

M

M

M

M

M

M

DIAGRAMA DE ESFUERZOS CORTANTES REACCION EN APOYO

Pa

R

PL

1 2 qL 2

1 q a2 2

2qca

1 2 qL 6

1 2 qL 6

m2

R

R

R

R

FLECHAS MAXIMAS ÁNGULO DE GIRO EXTREMO

P

f

Pa2

T

P a2 2 EI

P

qa

1 qL 2

R

P L3 3 EI

T

P L2 2 EI

f

q L4 8 EI

T

q L3 6 EI

f

q a3

T

q a3 6 EI

0

4L  a 24 EI

f

§ q c a 2 ª §¨ c 2 ·¸ c 2 ·º «L 3   a ¨1  2 ¸ » ¨ 3 EI « ¨© a 2 ¸¹ a ¸¹»¼ © ¬

T

q a 3  15 c 3  3 a c a  c 6 EI

>

@

1 qL 2

R

f

qL

2qc

R

3L  a 6 EI

f

q L4 30 EI

T

q L3 24 EI

f

q a3 5 L  a 120 EI

T

q a3 24 EI

f

ma 2 L  a 2 EI

T

ma EI