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• Diego Bravo

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CIV 234 ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS II MSC. ING. ADHEMAR FLORES VALDIVIA

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CONTENIDO DE LA MATERIA • Unidad I: Método de la Rigidez – Estructuras 2D • Unidad II: Tópicos Especiales • Unidad III: Ecuaciones Características

• Unidad IV: Estructuras Espaciales

Resumen de Plan de Estudio.

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METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.1 - INTRODUCCION.Dentro los métodos clásicos para el análisis de estructuras indeterminadas se puede identificar a los métodos de fuerzas y métodos de desplazamientos. Los métodos de fuerzas especifican las fuerzas redundantes externas o internas y luego se las determina mediante condiciones de compatibilidad de desplazamientos. Por otra parte, el análisis Matricial de estructuras es un método de análisis de desplazamientos donde se requiere la identificación de los grados de libertad, la determinación de los desplazamientos a partir de ecuaciones de equilibrio y la determinación de fuerzas externas e internas a partir de relaciones de compatibilidad y de carga-desplazamiento.

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METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.1 - INTRODUCCION.Las características mas importantes del método de la Rigidez: - No diferencia entre estructuras isostáticas e hiperestáticas. - No discrimina entre análisis de viga, pórtico espacial. - Solución simultanea de todas las barras de la estructura.

- Permite introducir acciones especiales: temperatura, apoyos elásticos, etc.

Asentamientos,

Cambios

- Método destinado a la automatización mediante código de programación.

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por

METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.2.- METODO DE LA RIGIDEZ.Es un método fácilmente programable que fusiona el análisis de estructuras clásico con el algebra lineal. Su estudio se basa en analizar una estructura cualquiera partiendo del análisis individual de sus elementos (barras) de manera que se pueda conocer fácilmente su comportamiento y a partir de ahí reconstruir el comportamiento de toda la estructura. Cada extremo de las barras tienen 3 esfuerzos y 3 desplazamiento. Se debe cumplir las condiciones de equilibrio estático (Fuerzas externas y esfuerzo internos) y la compatibilidad de desplazamientos de los elementos que se conectan a cada nudo. 𝐹 =𝐾∗∆ CIV - 234

F: Vector Fuerza (Tn) K: Matriz de Rigidez (Tn/m). ∆: Vector de Desplazamiento (m.)

METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.2.- METODO DE LA RIGIDEZ.- La rigidez de un objeto es la capacidad mediante la cual este resiste a la deformación en respuesta a la aplicación de una carga. - “El termino rigidez se conceptualizara como la fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario” Ing. Tomas Aleman, Análisis Matricial de Estructuras,

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METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.3.- CRITERIOS FUNDAMENTALES.La acción de las carga externas sometidas en los nudos serán absorbidas por la barras produciendo esfuerzos internos distribuidos a los largo de cada barra. Estos esfuerzos provocaran desplazamientos longitudinales y transversales propios de cada pieza, los cuales al interactuar con la otras barras definirán la deformación global de la estructura.

METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.3.- CRITERIOS FUNDAMENTALES.ΔH = Desplazamiento Horizontal

ΔV = Desplazamiento Vertical θ = Rotación o Giro

METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.3.- CRITERIOS FUNDAMENTALES.• PRIMERO: Se realiza un desensamblado de las barras: - En los extremos de cada barra se colocaran apoyos internos compatibles con los esfuerzos internos. - Los desplazamientos de cada elemento deben ser compatibles con los desplazamientos de cada barra en el pórtico sin desarmar. - En los nudos de corte se deberá verificar el equilibrio estático. • SEGUNDO: Una vez desensamblada la estructura, se debe clasificar las barras según los apoyos internos: - Empotrado – Empotrado. - Empotrado – Articulado. - Articulado – Articulado.

Con estas tres clases de barras se pueden formar cualquier tipo de estructura. CIV - 234

METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.3.- CRITERIOS FUNDAMENTALES.• TERCERO: Se asume para todos los desplazamientos en una dirección especifica un mismo sentido durante todo el análisis. Desplazamientos Horizontales – Derecha Desplazamiento Verticales – Arriba Rotaciones o giros – Sentido antihorario

• CUARTO: Cada Barra estará sujeta a tres tipos de desplazamientos (Axial, transversal y rotacional) sin importar el Angulo de inclinación del elemento. • QUINTO: Se considerara inicialmente de 3 desplazamiento en ambos extremos a pesar de los desplazamiento nulos debido a restricciones de apoyo, esto con el fin de analizar la dependencia entre esfuerzos internos y desplazamientos. CIV - 234

METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.3.- CRITERIOS FUNDAMENTALES.• SEXTO: Una vez determinadas las ecuaciones que relacionen los esfuerzos internos con los desplazamientos se establecerá un equilibrio estático de estos con las cargas aplicadas en los nudos. (Se debe rotar los esfuerzos internos para que coincidan con las cargas externas) • SEPTIMO: Se debe definir un sentido únicos para las direcciones de las fuerzas externas, internas y desplazamientos (Ejes cartesianos XYZ)

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METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.4.- NUMERACION OPTIMA.Se refiere a aquella numeración que nos permite tener la mínima diferencia aritmética entre los números asignados a los nudos en cada extremo de las barras.

1.5.- VECTOR DE INDIDENCIA.El vector de incidencia es un indicador de referencia que nos ayuda definir: - El Angulo de inclinación de las barras a un eje (X – Y) - El orden que se deben ir calculando los distintos elementos.

- El inicio y fin de cada Barra (Del nudo menor al mayor). - El sentido de los esfuerzos normales y deformaciones axiales.

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METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.7.- ESPACIO VECTORIAL - EJES GLOBALES: Ejes de referencia de la estructura, nos ayuda a conocer: - Las direcciones y sentido de las cargas puntuales aplicadas en los nudos. - Direcciones y sentido de las reacciones calculadas.

- Direcciones y sentido de los desplazamientos de los nudos. Se adopta dos vectores lineales y uno rotacional (estructuras 2D) - Elementos unidireccionales – 1 eje global de referencia. - Vigas con Cargas Transversales – 2 ejes globales de referencia. - Vigas con Cargas Axiales y transversales – 3 ejes globales de referencia.

- Pórticos - 3 ejes globales de referencia. - Reticulados - 2 ejes globales de referencia. CIV - 234

METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.7.- ESPACIO VECTORIAL - EJES LOCALES: Los ejes locales conforman un sistema vectorial de referencia cuyas direcciones y sentidos varían según el Angulo de inclinación de cada barra y la numeración de la misma, adoptando 3 direcciones ortogonales al elemento. El sentido de los ejes locales se determinan según lo siguiente: - El eje axial “u” paralelo a la barra tendrá el mismo sentido que el vector de incidencia.

- El eje transversal “v” se direccionara perpendicular al eje “u” y tendrá el mismo sentido que el vector de incidencia cuando este este rotado 90 grados antihorario. - El eje rotación “w” será antihorario.

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METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.8.- EJES GLOBALES EN LOS NUDOS DE UNA ESTRUCTURA Se definirá un sistema de vectores globales de referencia en cada nudo de la estructura. Dirección Horizontal: 3*n-2 Dirección Vertical: 3*n-1 Dirección de Giro: 3*n

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METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.8.- EJES GLOBALES EN LOS NUDOS DE UNA ESTRUCTURA VECTOR DE FUERZA Y DESPLAZAMIENTO: Vector Fuerza: Matriz columna de todas las fuerzas externas actuante en los nudos, teniendo en cuenta el sentido indicado anteriormente (Incluye las reacciones de los apoyos en forma de incógnitas)

Vector Desplazamiento: Matriz columna que corresponde a los desplazamientos de los nudos. Primero se especifica el componente horizontal, luego vertical y rotacional de cada nudo. 𝐹1 𝐹2 𝐹3 𝐹 = 𝐹4 𝐹5 𝐹6 … CIV - 234

F1, F2 y F3: Fuerzas actuantes en nudo 1.

∆1 ∆2 ∆3 Δ= ∆4 ∆5 ∆6 …

Δ1, Δ2 y Δ3: Fuerzas actuantes en nudo 1.

METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.9.- EJES LOCALES EN LOS EXTREMOS DE LAS BARRAS Se determina los ejes locales en cada extremo de las barras considerando los siguientes puntos:

-Vector de Incidencia debe esta definido. -Se define la cantidad ejes necesarios para describir el comportamiento de los esfuerzos internos (3 para pórticos y uno para reticulados). -En cada barra se introducirá 3 ejes por nudo de los extremos. -Ejes en el nudo inicial (1, 2y 3) y ejes en el nudo final (4, 5 y 6). -Direcciones consistentes para ambos extremos.

METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.9.- EJES LOCALES EN LOS EXTREMOS DE LAS BARRAS - VECTOR DE ESFUERZO INTERNO. 𝑃 =𝑘∗𝛿 Donde: P = Vector de Esfuerzos en ambos extremos de la barra. k = Matriz de rigidez de la barra (local) δ = Vector de desplazamiento en direcciones locales. 𝑃1 𝑁1 𝑃1−2 CIV - 234

𝑃2 𝑄2 𝑃3 𝑀3 = 𝑃4 = 𝑁2 𝑃5 𝑄2 𝑃6 𝑀2

P1, P2 y P3: Fuerzas actuantes en nudo 1.

METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.10.- MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL Es un sistema de ecuaciones que relacionan los esfuerzos internos de los extremos de una barra con sus respectivos desplazamientos en ejes locales. Esta relación se consigue a través de una análisis de fuerza y deformación que se efectúa para las distintas condiciones de apoyo. 𝐸∗𝐴 𝐿 0 𝑘=

0 −𝐸 ∗ 𝐴 𝐿 0

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0

0

0

12 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼 𝐿3 6∗𝐸∗𝐼 𝐿2

6∗𝐸∗𝐼 𝐿2 4∗𝐸∗𝐼 𝐿

0

0

−12 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼 𝐿3 6∗𝐸∗𝐼 𝐿2

−6 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼 𝐿2 2∗𝐸∗𝐼 𝐿

−𝐸 ∗ 𝐴 𝐿 0 0 𝐸∗𝐴 𝐿 0 0

0

0

−12 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼 𝐿3 −6 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼 𝐿2

6∗𝐸∗𝐼 𝐿2 2∗𝐸∗𝐼 𝐿

0

0

12 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼 𝐿3 −6 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼 𝐿2

−6 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼 𝐿2 4∗𝐸∗𝐼 𝐿

METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.10.- MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL - Primer cuadrante relaciona los 3 esfuerzos internos del extremo i con los desplazamientos del extremo i. - Segundo cuadrante relaciona los 3 esfuerzos internos del extremo i con los desplazamientos del extremo j. - Tercer cuadrante relaciona los 3 esfuerzos internos del extremo j con los desplazamientos del extremo i. - Cuarto cuadrante relaciona los 3 esfuerzos internos del extremo j con los desplazamientos del extremo j.

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METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.10.- MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL Generalizando se puede indicar que el ki-j es la fuerza necesaria en la dirección i para producir un desplazamiento unitario en la dirección j. Primer subíndice especifica la dirección de la fuerza y el segundo el desplazamiento.

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METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.11.- ROTACION DE LOS EJES DE REFERENCIA Una vez determinado el análisis de cada elemento es necesario rotar los vectores y matrices que fueron deducidos en ejes locales y convertirlos a ejes Globales. La matriz de rotación nos permite rotar Vectores de Fuerza, Vectores de Desplazamientos y Matrices de Rigidez de un sistema a otro: - Se debe calcular el Angulo entre el vector de incidencia y el eje X (es positivo cuando el giro es en sentido antihorario). - Descomponer los eje locales con respecto a los Globales. 𝑥 cos α 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛α 𝑧 0 CIV - 234

−𝑠𝑒𝑛α cos α 0

0 0 1

𝑢 × 𝑣 𝑤

G = R*L

G = Vector Global R = Matriz de Rotación L = Vector Local

METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.11.- ROTACION DE LOS EJES DE REFERENCIA Generalizando para un nudo se tiene:

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F = R*P

cos α −𝑠𝑒𝑛α 𝐹𝑥 𝐹𝑦 = 𝑠𝑒𝑛α cos α 0 0 𝐹𝑧

0 0 1

𝑃𝑢 × 𝑃𝑣 𝑃𝑤

F = Vector Fuerza R = Matriz de Rotación P = Vector Esfuerzos Internos

Δ = R*δ

Δ𝑥 cos α −𝑠𝑒𝑛α Δ𝑦 = 𝑠𝑒𝑛α cos α Δ𝑧 0 0

0 0 1

δ𝑢 × δ𝑣 δ𝑤

Δ = Vector Desplazamiento Globales R = Matriz de Rotación δ= Vector Desplazamientos Locales

P = RT*F

𝑃𝑢 cos α 𝑠𝑒𝑛α 𝑃𝑣 = −𝑠𝑒𝑛α cos α 𝑃𝑤 0 0

0 0 1

𝐹𝑥 × 𝐹𝑦 𝐹𝑧

δ = RT*Δ

cos α δ𝑢 δ𝑣 = −𝑠𝑒𝑛α 0 δ𝑤

0 0 1

Δ𝑥 × Δ𝑦 Δ𝑧

𝑠𝑒𝑛α cos α 0

METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.11.- ROTACION DE LOS EJES DE REFERENCIA Realizando un arreglo matricial para tomar en cuenta los dos nudos de una barra se tiene:

𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑧𝑖 = 𝑥𝑗 𝑦𝑗 𝑧𝑗

cos α 𝑠𝑒𝑛α 0 0 0 0

0 −𝑠𝑒𝑛α 0 0 0 0 cos α 0 0 0 0 0 1 0 0 0 cos α −𝑠𝑒𝑛α 0 0 0 𝑠𝑒𝑛α cos α 0 0 0 0 0 0 1

MATRIZ DE ROTACION DE LA BARRA = R CIV - 234

𝑢𝑖 𝑣𝑖 𝑤𝑖 𝑢𝑗 𝑣𝑗 𝑤𝑗

METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.11.- ROTACION DE LOS EJES DE REFERENCIA Rotación de la Matriz de Rigidez local:

Δ = R*δ

Ecuación Global de Rigidez Ecuación de transformación de desplazamientos locales a Globales

F = R*P

Ecuación de transformación de fuerzas locales a Globales

𝑃 =𝑘∗𝛿

Ecuación Local de Rigidez

F = K*Δ

K = R*k*RT

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Ecuación de transformación de una matriz de rigidez local a Global.

METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.12.- MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE UNA ESTRUCTURA La matriz de rigidez global de una estructura depende de todas las características geométricas y mecánicas que poseen las barras que la componen. Una matriz de rigidez global relaciona las fuerzas y los desplazamientos de los distintos nudos que componen la estructura. Una vez determinada la matriz de rigidez local de cada barra, se debe realizar la rotación utilizando lo expuesto anteriormente.

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METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.12.- MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE UNA ESTRUCTURA El armado de la matriz de rigidez global se realizara de manera ordenada de acuerdo a la numeración de sus respectivos índices. Los componentes que se solapan son debido a que en dichos nudos dos o mas barras son concurrentes y su rigidez se define por simple adición de estas componentes. 𝐾2,2 = 𝐾2,2,(1−2) + 𝐾2,2(2−3)

𝐾2,2,(1−2) Submatriz de rigidez K2,2 perteneciente a la barra 1-2 𝐾2,2(2−3) CIV - 234

Submatriz de rigidez K2,2 perteneciente a la barra 2-3

METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.12.- MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE UNA ESTRUCTURA Una matriz de Rigidez Global semidesarrollada tiene la siguiente dimensión: 𝑛 ∗𝑛

Donde n es el numero de nudos.

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METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.12.- MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE UNA ESTRUCTURA

Una matriz de Rigidez Global desarrollada tiene la siguiente dimensión: CIV - 234

𝑚 ∗𝑚

Donde m= e*n e: numero de ejes globales necesarios. n: numero de nudos de la estructura

METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.12.- MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE UNA ESTRUCTURA Para el pórtico mostrado anteriormente, la matriz de rigidez se reduce de la siguiente manera:

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METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.14.- ECUACION DE RIGIDEZ F = K*Δ

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Donde: F = Vector de Fuerzas de la estructura. K = Matriz de rigidez Global de la estructura Δ = Vector de desplazamiento.

METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.14.- ECUACION DE RIGIDEZ F = K*Δ

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Donde: F = Vector de Fuerzas de la estructura. K = Matriz de rigidez Global de la estructura Δ = Vector de desplazamiento.

METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.15.- CONDICIONES DE BORDE –ECUACION DE TIGIDEZ REDUCIDA Fr = Kr*Δr

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Donde: Fr = Vector de Fuerzas reducido. Kr = Matriz de rigidez Global reducida. Δr = Vector de desplazamientos reducido.

METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.15.- CONDICIONES DE BORDE –ECUACION DE TIGIDEZ REDUCIDA En el vector desplazamiento se debe reemplazar aquellas translaciones que debido a la restricción que poseen son nulas. Cuando una de las direcciones de un nudo no se desplaza, se considera que el desplazamiento en esta dirección es incógnita y que por lo tanto se puede prescindir de su correspondiente ecuación.

Fr = Kr*Δr Δr = Kr-1*Fr CIV - 234

METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.16.- ESFUERZOS INTERNOS EN LOS EXTREMOS DE LAS BARRAS δ = RT*Δ

𝑃 =𝑘∗𝛿

𝑃 = 𝑘 ∗ RT ∗ Δ Los esfuerzos internos en los extremos de cada barra se obtienen en ejes locales. El vector Δ de desplazamiento que se considera es aquel que contiene los 6 desplazamientos concernientes a la barra, es decir los desplazamientos en ejes globales del nudo inicial y del nudo final. Se tiene que tomar en cuenta que cuando el vector de incidencia tiene un Angulo de 0 grados con la horizontal (Barra horizontal), la matriz RT y R son matrices identidad y no es necesario realizar la rotacion. CIV - 234

METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.17.- PROCEDIMIENTO GENERAL DE CALCULO ▪ Desensamblar la estructura: Empotrado – Empotrado Empotrado – Articulado Articulado – Articulado. ▪ Matriz de Rigidez Local (k). ▪ Matriz de Rigidez Rotada: K = R*k*RT ▪ Ecuación de Rigidez (K). ▪ Calculo de Desplazamientos: Δr = Kr-1*Fr ▪ Calculo de Reacciones: Δ = K-1*F ▪ Calculo de Esfuerzos Internos: 𝑃 = 𝑘 ∗ RT ∗ Δ ▪ Representación Grafica.

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METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.18.- DESPLAZAMIENTOS LIBRES EN APOYOS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN - Como calculamos los desplazamientos en los nudos que tienen direcciones libres? - Se utiliza la matriz de rigidez local para barra Empotrado – Empotrado sin importar el tipo de barra. - No se puede emplear cuando se tiene una articulación o rotula. - En el vector reacciones se especifica las reacciones que son nulas. - Se realiza el mismo procedimiento descrito anteriormente.

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METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.19.- ESTRUCTURAS COMPUESTAS Son estructuras que resultan de la combinación de dos o mas estructuras simples. Para resolver estas estructuras se utilizan las matrices de rigidez local sin hacer reducción alguna.

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METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.20.- BARRAS EN VOLADIZO Para analizar barras en voladizo se deben seguir los siguientes pasos: 1) Sin importar las cargas en el extremo libre, se debe utilizar la matriz de rigidez para miembros “Empotrados – Empotrados”. 2) Si la barra es un voladizo es aislada, se deben eliminar las filas y columnas de aquellas direcciones que correspondan a las reacciones. Luego se resuelve con el procedimiento descrito anteriormente. 3) Si la barra forma parte de un sistema de pórtico plano, se debe ensamblar esta al sistema de barras y se debe eliminar las filas y columnas de aquellas direcciones globales que correspondan a los apoyos, es decir que no se eliminara ninguna fila ni columna de la barra en voladizo.

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METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.21.- CARGAS DISTRIBUIDAS Si se restringen las tres direcciones (horizontal, vertical y rotacional) de los nudos 2 y 3, las reacciones en cada dirección tendrán la magnitud suficiente para reducir estos desplazamientos a cero. Pero al mismo tiempo serán las fuerzas que al ser reemplazadas con sentido contrario en la estructura produzcan desplazamientos en los nudos 2 y 3.

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METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.21.- CARGAS DISTRIBUIDAS Pasos a seguir: 1) Desensamblar la estructura y determinar las reacciones. Determinar el Vector fi-j:

f i-j= CIV - 234

𝑓1 𝑓2 𝑓𝑖 𝑓3 = 𝑓4 𝑓5 𝑓𝑗 𝑓6

METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.21.- CARGAS DISTRIBUIDAS Pasos a seguir: 2) Rotar el vector f i-j.

𝐹 (𝑖 − 𝑗) = −𝑅 ∗ 𝑓 (𝑖 − 𝑗) 3) Ensamblar el vector F.

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METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.21.- CARGAS DISTRIBUIDAS Pasos a seguir: 4) Determinar el Vector R, incluir las reacciones correspondientes de la estructura 5) Calculo de desplazamientos nodales: Se determinan matrices reducidas simplificando filas y columnas. 𝐹+𝑅 =𝐾∗∆

6) Calculo de reacciones: Una vez determinados los desplazamientos 𝑅 = 𝐾∗∆−𝐹

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METODO DE LA RIGIDEZ – ESTRUCTURAS 2D 1.22.- ESFUERZOS INTERNOS CON CARGAS DISTRIBUIDAS Los esfuerzos internos en los extremos de las barras serán producto de la carga distribuida que actúa sobre la misma y por otro lado debido a los desplazamientos que experimentan los extremos.

𝑃𝑖−𝑗 = 𝑓𝑖−𝑗 + 𝑘𝑖−𝑗 ∗ 𝑅 𝑇 ∗ ∆𝑖−𝑗

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