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• ANGELA ALEJANDRA ZAPATA MARTÍNEZ

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Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería Tipología Estructural Ing. Ronald Galindo

ESTRUCTURAS FUNICULARES

César Estuardo Camas Gómez – 201504269 Kevin Saúl Cortez Rodríguez – 201602848 Sergio Estuardo Oviedo Aguilar - 201603038 Byron Estuardo Morales Juárez – 201603211

Guatemala, 16 de abril de 2020

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ÍNDICE GENERAL

GLOSARIO ................................................................................................................... 3 INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 5 OBJETIVOS .................................................................................................................. 6 1.

ESTRUCTURAS FUNICULARES .................................................................... 7

1.1

Sistema de Arco............................................................................................... 8

1.1.1

Ejemplo de diseño de un arco ....................................................................... 12

1.2

Sistema de cables.......................................................................................... 15

1.2.1

Catenaria: ...................................................................................................... 19

1.2.2

Ejemplo de diseño de catenaria ..................................................................... 20

2.

APLICACIONES DE ESTRUCTURAS FUNICULARES ................................ 24

2.1

En el mundo ................................................................................................... 24

2.1.1

Cables en Catenaria ...................................................................................... 24

2.1.2

Caso de estudio de Curvatura Simple ........................................................... 27

2.1.3

Estructuras de doble cableado....................................................................... 28

2.2

En Guatemala ................................................................................................ 32

2.2.1

Diseño de estructura de Carpas .................................................................... 32

2.2.2

Diseño de estructuras con Arcos Acartelados ............................................... 33

2.2.3

Estructura de arcos acartelados en 3 dimensiones (domos) ......................... 34

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2.2.4

Bóvedas ......................................................................................................... 35

2.2.5

Cúpulas .......................................................................................................... 36

CONCLUSIONES ....................................................................................................... 37 RECOMENDACIONES ............................................................................................... 39 BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................... 40

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GLOSARIO Cargas

Son las fuerzas externas aplicadas a los elementos resistentes, o también su propio peso.

Momento

Es una magnitud vectorial que mide la capacidad que posee una fuerza para alterar la velocidad de giro de un cuerpo

Carga Muerta

Son todas las fuerzas que actúan en forma permanente así como los pesos propios de los elementos de la estructura.

Carga Viva

Son todas aquellas fuerzas que actúan en forma no permanente sobre los elementos que las soportan.

Esfuerzo de Compresión Es la resultante de las tensiones opresiones que existe dentro de un sólido deformable o medio continuo, caracterizada porque tiende a una reducción de volumen del cuerpo, y a un acortamiento del cuerpo en determinada dirección Voladizo

Es un elemento estructural rígido, como una viga, que está apoyado solo por un lado a un elemento, del que sobresale.

Baliza

Es un objeto señalizador, utilizado para indicar un lugar geográfico o una situación de peligro potencial.

Especificaciones

Son las normas generales y técnicas de construcción contenidas en un proyecto, disposiciones especiales o cualquier otro documento que se emita antes o durante la ejecución de un proyecto.

Estructuras

Son construcciones artificiales, en las cuales todos sus elementos están en equilibrio y reposo, los unos con relación a los otros.

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Vano

Puede referirse a cualquier apertura en una superficie compacta, también puede referirse a la distancia entre apoyos de un elemento estructural.

Mampostería

Obra de albañilería formada por bloques de concreto o arcilla unidas con mortero. La mampostería reforzada se da cuando se le agrega acero de refuerzo.

Isotrópico

Es la propiedad que posee un material de tener la misma resistencia y módulo de elasticidad en todas sus direcciones.

Cubierta

Es la parte de la edificación que cierra y protege superiormente al edificio, lo mismo que los muros perimetrales, contra las inclemencias del ambiente exterior.

Anclaje

Fijación que se realiza para transmisión de cargas o para desempeñar la función de asegurar un elemento sujeto a otro

Viga

Pieza de madera, hierro, piedra u otro material colocada horizontal o casi horizontal, para soportar una carga entre apoyos.

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INTRODUCCIÓN Resolver problemas funcionales y estructurales implica resolver todo un proceso de ejecución, la selección adecuada de los materiales, sistema estructural, seguridad a la construcción, y para ello es necesario comprender los conceptos básicos de los sistemas estructurales de los cuales se disponen hoy día. Actualmente en la mayoría de campos de ingeniería orientada al análisis estructural existe una gran variedad de elementos finitos que permiten modelar el comportamiento físico de los diferentes tipos estructurales. En el campo de la modelización de estructuras de cables existen diversos tipos de elementos finitos pero particularmente, en esta tipología estructural, nos encontramos con una buena colección de elementos de carácter analítico. Muchos nacen a partir de la solución directa del problema de equilibrio y compatibilidad que se plantea a partir de la física del problema, sin tener que recurrir a aproximaciones de tipo numérico. Para considerar diversos tipos de estructuras, así como la comprensión de los diferentes sistemas estructurales conocidos a la fecha, su razón de ser y campos de su aplicación, constituyen un sólido punto de partida en la resolución de problemas estructurales en los cuales el proyectista debe invertir sus conocimientos acerca de la comprensión de las estructuras para el logro de un buen resultado de diseño. Esto depende en gran medida del acierto que se haya tenido en adoptar el sistema estructural por ser el más adecuado. Esto se logra a través del conocimiento eficiente del comportamiento de las estructuras y los miembros que la conforman. Las estructuras funiculares son aquellas constituidas por sogas, cuerdas o cables que debido a su naturaleza no poseen rigidez, por lo que únicamente pueden absorber esfuerzos de tracción. Las cuerdas o cables poseen un momento de inercia extremadamente reducido con relación a su longitud, por lo que podríamos asimilar su comportamiento a piezas de “esbeltez infinita”, y por tanto, de “rigidez nula”.

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OBJETIVOS



GENERAL:  Definir una estructura funicular.



ESPECÍFICOS:  Determinar los distintos sistemas de estructuras funiculares.  Encontrar aplicaciones de estructuras funiculares en el mundo.  Localizar en Guatemala estructuras funiculares.

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1. ESTRUCTURAS FUNICULARES El destino final de las cargas aplicadas a una estructura es en todos los casos el suelo, en donde se opone la resistencia debida para contrarrestarlas, logrando así el equilibrio. Por supuesto el camino que siguen las cargas para llegar al suelo puede ser de muchísimas maneras, variando de lo simple a lo complicado. Cuanto más corto y libre sea ese recorrido más fluido es la transmisión de las cargas, es decir mientras menos obstáculos y cambios bruscos de dirección que encuentre la carga a su paso, siendo así más efectiva la transmisión de las mismas. Quizá ningún sistema estructural que se conocen en la actualidad sea tan eficiente en este aspecto como lo son las estructuras funiculares en que la carga fluye hacia el suelo con la mayor facilidad que se pueda concebir en las estructuras. Sin embargo, para lograr su objetivo, este grupo de estructuras deben de llenar un importante requisito y es el que se refiere a una forma adecuada. La forma de la estructura es su principal determinante y está íntimamente ligada a las cargas que va a soportar. La forma adecuada de una estructura bajo un sistema de cargas particular, se llama funicular y puede decirse que es el camino o trayectoria que sigue una carga determinada hacia el suelo de manera natural, impuesta por las condiciones propias de la carga y con un mínimo de material. En otras palabras, el funicular es la forma adecuada de un elemento estructural para un flujo natural de fuerzas hacia los apoyos. El sistema funicular se logra determinar en estructuras lineales en que la transmisión de cargas es axial, variando de acuerdo con el tipo de carga que se aplique. Para el efecto es necesario que el elemento estructural transmisor, sea flexible y de escasa sección en relación a su longitud; de manera que la carga no encuentre como obstáculo la rigidez del elemento en su transmisión. Este principio es el origen de las dos más importantes estructuras de este grupo como lo son el arco y el cable. Este tipo de estructuras son sumamente económicas en lo que se refiere al peso por unidad de longitud, por lo que en la actualidad se emplean para la estructuración de espacios y luces grandes, ya que por su escasa sección transversal en relación a su longitud, son por naturaleza livianos en comparación con otros sistemas estructurales

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1.1 Sistema de Arco Desde los inicios de la historia, la humanidad ha tratado de cubrir claros mediante la construcción de arco. Esto se debió a que un arco requería esencialmente materiales resistentes sólo a la compresión, y se disponía de grandes cantidades de materiales como la piedra o el barro para su construcción. Después se produjeron y utilizaron nuevos materiales como el concreto y el acero. Teóricamente, todos los diseños estructurales con claros grandes o pequeños, se basan en los mismos conceptos generales; pero en la práctica, con frecuencia las proporciones determinantes de las estructuras de claros cortos están limitadas por las dimensiones mínimas disponibles y otros requerimientos no estructurales. Por otra parte, cuando se trata de estructuras con grandes claros, la relación entre peso muerto, resistencia y proporciones se torna crítica, razón por la cual para obtener una óptima eficiencia de la carga muerta, las formas de las estructuras de claros grandes deben aproximarse a las de una línea natural de presión, como la de un arco parabólico debido a que cuando se hace esto, la fuerza resistente al momento y al esfuerzo cortante siempre actúa en el centro de gravedad. Por ello, con frecuencia el uso de formas curvas es eficiente, porque dan un peralte estructural de conjunto para claros sin aumentar el peralte de la sección.

Figura 1: Fuerzas resistentes a los momentos en un sistema de arco

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En la figura 1 se ilustran los aspectos básicos de la estática para el diseño de arcos. Se suministra una carga uniformemente distribuida (w), a lo largo de la extensión horizontal proyectada del arco. Debido a su simetría, la componente vertical de las reacciones de extremos es: (1)

𝑉=

Nótese que esta reacción a la carga es la misma que para una viga común, y similarmente, no hay fuerza cortante a través de la mitad del claro del arco, como se ilustra en el medio arco concebido como cuerpo libre (figura 21). Tomando el momento cerca de la corona se obtiene que: 𝑀𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝐻ℎ = 𝐻=

²

Simplificando

− (2)

Donde la fuerza H es análoga a las fuerzas C-T en una viga, y h es la altura total del arco. Como para equilibrar se requiere que H sea constante a través del arco, una curva parabólica no produciría momento teóricamente sobre la sección del arco. La resultante sigue la línea natural de presión, y la reacción en los apoyos está dada por 𝑅=

(3)

𝐻² + 𝑉²

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Figura 2: Estática de un arco triarticulado

En la figura 2 se ilustra un arco simétrico de tres articulaciones, con una articulación en el centro y en los dos extremos. En estas condiciones, no puede haber momento en las articulaciones y el análisis que se presentó antes es rigurosamente correcto. Si el arco tiene sólo dos articulaciones, o si no las tiene, como se ilustra en las figuras 3 y 4, respectivamente, los momentos flexionantes se pueden producir en la corona o en los extremos del arco, o en ambos lugares. En estos claros, las reacciones horizontales serán un poco diferentes de las de un arco de tres articulaciones, aunque la forma es parabólica debido a la deflexión que produce flexionamiento. Sin embargo, debido a que usualmente el peralte de la sección es menor en relación con el peralte del conjunto, la diferencia de deflexión será suficientemente pequeña para que, para un diseño preliminar, se puedan aun aplicar los cálculos para las reacciones de la figura 2.

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Para secciones rectangulares, una comparación bruta de flexionamiento en relación con la acción de arco, está expresada por 2h2 /d2 donde h = peralte del arco y d = el grosor.

Figura 3: Un arco de dos articulaciones soportaría una parte de la carga a flexión y otra por acción de arco

Figura 4: Un arco sin articulaciones soportaría aún más carga a flexión

Se ha mencionado que la forma ideal de un arco debe ser tal que siga una línea natural de presión, determinada por la distribución de carga vertical. Si es así, teóricamente el arco no sostendría momento flexionante y a lo largo de todo el arco habría compresión directa. Para comenzar, con frecuencia se pude suponer que la carga estática sobre el arco es uniforme y

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por tanto adopta la forma de una parábola. Esto se debe a que, en teoría, se podría suponer que un arco parabólico de tres articulaciones bajo carga uniforme no tendría momento en toda su longitud. Como ya se mencionó, se producirían pequeños momentos flexionantes locales sólo si el arco tiene menos de tres articulaciones. Como la fuerza total mayor en el arco (R) está en sus apoyos, con frecuencia la sección del arco es más grande en ese punto. La corona requiere una sección menor porque está sujeta esencialmente a la fuerza horizontal H, que es más pequeña que la reacción total (R = 2 2 H +V ) en el apoyo. Cuando la fuerza es conocida, para un perfil de arco dado, el área de sección transversal del arco se obtiene dividiendo esa fuerza por un esfuerzo unitario promedio aplicable al del material del arco. En la moderna construcción con arcos, se usan materiales como el concreto reforzado o el acero. Debido a que estos materiales pueden resistir tensión, así como compresión, pueden soportar momentos locales cuantificables y los miembros del arco pueden ser más esbeltos si se comparan con el claro.

1.1.1

Ejemplo de diseño de un arco

Se va a diseñar un arco largo de 30.50 metros de altura y cubriendo un claro de 155.45 metros, para un edificio de hotel y estacionamiento de automóviles, usando los derechos de aire sobre camino y autopistas según se muestra en la figura. Es necesario determinar las dimensiones preliminares para el tamaño de la sección del arco. Los arcos están espaciados a 18.29 metros entre centros y soportan una carga de cuatro pisos con un total de 40.18 Ton/m de longitud sobre cada arco. Considere un 25% como peso propio del arco de la carga total. Considere los esfuerzos de los materiales como fs = 1.41 Ton/cm² y f´c = 0.18 ton/cm²

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Solución: Encontrando las cargas CM + CV para todos los pisos estimados sobre una base de Ton/m² Peso de los pisos estimados = 40.18 Ton/m 30% del peso propio = 8.93 Ton/m Total = 40.18 + 8.93 = 49.11 Ton/m  Encontrando las fuerzas horizontales ejercidas sobre el elemento 𝐻= 𝐻=

𝑤𝐿² 8ℎ

49.11 ∗ 155.45² 8 ∗ 30.5

𝐻 = 4,863.52 𝑇𝑜𝑛

 Ahora encontrando las fuerzas verticales ejercidas sobre el elemento 𝑉= 𝑉=

𝑤𝐿 2

49.11 ∗ 155.45 2

𝑉 = 3,817.07 𝑇𝑜𝑛  Encontrando la fuerza tangencial ejercida sobre los apoyos del arco 𝑅= 𝑅=

𝐻² + 𝑉²

4863.52 + 3,817.07 𝑅 = 6,182.54 𝑇𝑜𝑛

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Usar un tubo de acero relleno de concreto para la sección del arco: Probando con una placa de acero de 1.83 metros de ∅ y espesor de 1.27cm.  Encontrando el área neta del acero 𝐴𝑠 = 𝐴𝑠 =

𝜋 (𝐷² − 𝑑 ) 4

𝜋 (185 − 183 ) = 600 𝑐𝑚² 4

 Encontrando el área neta del concreto 𝐴𝑠 = 𝐴𝑠 =

𝜋 (𝑑²) 4

𝜋 (183 ) = 26,300 𝑐𝑚² 4

Para una primera aproximación y suponiendo que el arco está sujeto por los pisos, sean fs = 1.41 Ton/cm2 y f´c = 0.18 ton/cm2 (incluyendo el efecto de confinamiento dentro del tubo y la adición de algunas barras de refuerzo).

 Encontrando la capacidad de los materiales: Capacidad del acero = 600 cm² * 1.41 Ton/cm² = 846 Ton Capacidad del concreto = 26,300 cm² * 0.18 Ton/cm² = 4,734 Ton Total = 846 + 4,734 = 5,580 Ton

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Lo cual es correcto para 4863.52 Ton en la corona, pero no así para los apoyos pues esta fuerza es de 5580 Ton; por lo cual, este proceso debe de continuar con cambios en el tamaño del diámetro del arco, resistencia del acero y del concreto, un nuevo estimado de los pesos del arco, etc., hasta obtener una solución razonable, como lo requiera el nivel particular del esfuerzo de diseño. Ahora bien, si proponemos una placa de acero de 1.83 metros de ∅ y espesor de 2.54 centímetros obtendremos una nueva área de acero es 𝐴𝑠 =

𝜋 (188 − 183 ) = 1,456.91 𝑐𝑚² 4

Mientras que el área neta del concreto sigue siendo la misma, razón por la cual se procederá a encontrar la capacidad de los materiales, siendo estas: Capacidad del acero = 1,456.91 cm² * 1.41 Ton/cm² = 2,054.25 Ton Capacidad del concreto = 26,300 cm² * 0.18 Ton/cm² = 4,734 Ton Total = 2,054.25 + 4,734 = 6,788.25 Ton Lo cual es correcto para la 4863.52 Ton en la corona y 6182.54 Ton en los apoyos debido a que la fuerza encontrada de 6788.25 Ton, podemos concluir que la solución es razonable para las dimensiones del arco.

1.2 Sistema de cables El cable es el elemento estructural que reúne las características necesarias para determinar el funicular para cada tipo de carga que se le aplique a una estructura, ya que se define como un elemento lineal de escasa sección transversal y flexible. Esta característica lo hace apto para acomodarse a cualquier tipo de carga, ya que puede cambiar su forma de acuerdo con las cargas aplicadas. Naturalmente esto se logra siempre que el cable esté suspendido para poder aplicarle las cargas, ya que la única manera en que puede trabajar es a tensión simple. Debido a su falta de rigidez no puede producirse en él compresión, ni mucho menos flexión. Los cables se usan

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con frecuencia para soportar cargas en claros grandes como en el caso de los puentes colgantes y de los techos de edificios grandes y abiertos. Las cargas aplicadas son transmitidas a los anclajes del cable a través del cable, por tensión. En los anclajes respectivos se encuentra la resultante de la tensión lineal, en la misma dirección que la tangente a la curvatura del cable en ese punto. Esta tiene sus componentes en el plano; una vertical que equivale al peso de la carga total aplicada, y otra horizontal generando así un empuje que tiende a juntar los anclajes cuya reacción requerida equilibra al sistema. El uso del cable como estructura implica que para lograr el equilibrio del conjunto, se requiere de apoyos que sustenten al cable, ya que por ser flexible este no es un elemento autoportante. Los anclajes reciben la resultante de la tensión lineal producida en el cable. La componente vertical de esta se transmite por compresión al suelo a través del apoyo si este es vertical.

Figura 5: Diagrama de dirección de cargas de sistemas de suspensión

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La componente horizontal causa flexión el apoyo, pues es perpendicular a éste, por lo que deberá prepararse al elemento para trabajar de esta manera, o bien contrarrestar el empuje con una carga igual y de sentido contrario, lo cual podría lograrse prolongando el cable hasta el suelo usando el apoyo como sostén, en este caso el empuje se anula, pues la tensión que corren en la prolongación del cable también tiene su componente horizontal. La flexión causada por el cable queda neutralizada. Si el apoyo se prepara definitivamente para trabajar a flexión debe tratarse como un voladizo, ya que el empuje es perpendicular al eje longitudinal del apoyo y está situado en el extremo del mismo, y su empotramiento en el suelo, con lo que provocará un momento en la base del apoyo igual a la magnitud del empuje por la altura del apoyo, siendo como en el voladizo su punto crítico en el empotramiento en este caso la base. Es conveniente para contrarrestar la tendencia de volteo causada por el cable, inclinar los apoyos hacia fuera con lo cual se reduce la flexión y las secciones resistentes del apoyo pueden ser menores, algunas veces esta inclinación se puede aprovechar funcionalmente en el espacio interno según se muestra en la figura 6.

Figura 6: Diagrama de estabilización de sistemas de suspensión

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Una consideración importante en la sustentación de un cable al igual que el arco, son las proporciones del espacio a cubrir, que como ya se indicó será una solución económica para luces grandes. Este equilibrio se logra a base de otros cables estabilizadores que sólo actúan bajo el efecto de cargas asimétricas, colocados perpendicularmente a los cables sustentantes y anclados al suelo, mantienen estos en tensión sin perder su forma (figura 7). Figura 7: Sistemas de suspensión de cables

En la actualidad, aparte del eficiente uso que se le puede dar para cubrir grandes claros, también tienen aplicación sobre todo en puentes. En este caso se emplea el cable como estructura sustentante, suspendiendo la pista horizontal de elementos verticales que van anclados a voluminosos cables laterales tendidos sobre apoyos verticales a cada cierta distancia, lográndose grandes claros con poca carga muerta de la estructura, gracias a las características propias del cable. La estabilización es sumamente importante en estos casos ya que la flexibilidad del cable lo hace muy deformable para cargas laterales o asimétricas. Para el efecto se emplean elementos de estabilización triangulados, tanto en las torres de apoyo como en la planta de la pista además del propio peso de esta como elemento estabilizador.

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1.2.1

Catenaria:

La catenaria es la forma funicular que adopta un cable sin carga y es determinada únicamente por el peso propio del cable (el cual es uniforme a la longitud del cable). Una parábola es la forma funicular que adopta un cable suspendido con una carga uniforme a lo largo del claro horizontal, sin tomar en cuenta el peso del cable. (Figura 8).

Figura 8: Curva funicular para cargas distribuidas en cables suspendidos

En la práctica el término catenaria se usa también más ampliamente para referirse a cualquier miembro suspendido curvo y cargado por su longitud sin tener en cuenta la distribución exacta de las cargas. Por ejemplo, los cables principales de un puente suspendido son cables en catenaria aunque la curvatura se aproxime a una parábola. Para una condición de carga dada, la altura de la flecha de una estructura catenaria determina la reacción horizontal es decir el empuje que se genera. Cuando la flecha es menor, mayor es la reacción. Esto quiere decir que los esfuerzos de reacción varían inversamente con la altura de la flecha del cable suspendido. (Figura 9).

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Figura 9: Esfuerzos de reacción en una catenaria

1.2.2

Ejemplo de diseño de catenaria

Analice el cable sujeto a una carga uniforme que se muestra en la siguiente figura encontrando así las fuerzas que determinan su comportamiento.

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La carga determina la forma del cable pero necesitamos conocer la flecha en un punto para poder determinar la flecha y las fuerzas en cualquier punto; usualmente se da la flecha “h “ en el centro. Solución: Se procede a calcular las dos componentes de la reacción de la izquierda igualando a cero los momentos con respecto a los puntos B y C. Para la porción izquierda del cable. ∑ Ma = 0 Positivo a favor de las manecillas 𝑉𝑎

𝑙 𝑑 𝑙 −𝐻 ℎ− − 𝑤∗ 2 2 2

1 𝑙 ∗ =0 2 2

 Simplificando la expresión: 𝑉𝑎 ∗ 𝑙 𝐻𝑑 𝑤 ∗ 𝑙² − 𝐻ℎ + − =0 2 2 8

 Simplificando la expresión obtenemos la ecuación (4) 4(𝑣𝑎 ∗ 𝑙) − 8𝐻ℎ + 4𝐻𝑑 − 𝑤𝑙² = 0

(4)

 Ahora se procederá a realizar sumatoria de momentos respecto al punto C ∑ Mc = 0 Positivo a favor de las manecillas 𝐻𝑑 + 𝑣𝑎 ∗ 𝑙 − 𝑤𝑙

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1 ∗𝑙 =0 2

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 Simplificando la expresión se obtiene la ecuación (5) 2𝐻𝑑 + 2𝑉𝑎 − 𝑤𝑙 = 0

(5)

 Como las dos ecuaciones anteriores son igual a cero se procede a igualar las expresiones obteniendo: 4(𝑣𝑎 ∗ 𝑙) − 8𝐻ℎ + 4𝐻𝑑 − 𝑤𝑙² = 2𝐻𝑑 + 2𝑉𝑎 − 𝑤𝑙

 Simplificando la expresión se obtiene la ecuación (6) 𝑉𝑎 + 𝐻𝑑 − 4𝐻ℎ = 0

(6)

Es necesario que la expresión anterior este solo en términos de la altura y la carga, por lo cual se procede a expresar el valor de Va en los términos necesarios  De la ecuación 4 se puede expresar Va expresando así la ecuación (7) 2𝐻𝑑 + 2𝑉𝑎 ∗ 𝑙 − 𝑤𝑙² = 0 𝑉𝑎 =

²

−

=0

(7)

 Es necesario conocer el valor de la fuerza horizontal H en términos de la altura y la carga se obtiene sustituyendo la ecuación (7) en la ecuación (6) 𝑤𝑙² 𝐻𝑑 − ∗ 𝑙 + 𝐻𝑑 − 4𝐻ℎ = 0 2 𝑙 𝑤𝑙² − 𝐻𝑑 + 𝐻𝑑 − 4𝐻ℎ = 0 2 𝐻=

²

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(8)

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En conclusión, obtenemos que las fuerzas en los apoyos, tanto H como V están en función de la carga, la luz a cubrir y la diferencia de altura entre los apoyos. Un aspecto importante a considerar es que cuando los apoyos están a la misma altura, entonces d=0, por lo que el valor de Va sería igual al de una viga con carga uniformemente distribuida 𝑉𝑎 =

𝑤𝑙² 2

Mientras que la componente horizontal de la fuerza del cable es H en cualquier punto por efecto de las cargas de gravedad y que es independiente de las elevaciones de los extremos para una altura constante, la reacción del lado derecho tiene también la fuerza H como componente horizontal. La condición de equilibrio estático en la dirección vertical nos da la componente de la reacción ∑Fy = 0 Positivo hacia arriba Va + Vc − wl = 0 Vc = wl –Va

 Simplificando, la expresión anterior mediante el valor encontrado de Va anteriormente 𝑉𝑐 = 𝑤𝑙 −

𝑤𝑙 𝑑 1− =0 2 4ℎ

 Finalmente, la expresión simplificada queda así 𝑉𝑐 =

𝑤𝑙 𝑑 1+ =0 2 4ℎ

Mientras que cuando los apoyos están a la misma elevación es decir d = 0 el valor de Va=Vc=wl²/2 igual al del cortante de una viga simplemente apoyada.

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2. APLICACIONES DE ESTRUCTURAS FUNICULARES 2.1 En el mundo 2.1.1

Cables en Catenaria Figura 10. Puente Golden Gate

Ubicación: California, Estados Unidos, península de San Francisco Longitud: 2,737 metros El Golden Gate está suspendido sobre dos torres de 227 mts de altura sobre el nivel de las aguas. Hay luces rompenieblas en lo alto de las torres, como también balizas para alertar a las naves y aviones de la existencia del puente. El puente Golden Gate tiene dos grandes torres que soportan los dos cables principales. Altura de la torre por encima del agua: 227 m de altura de la torre por encima de la carretera: 152 m. Torre de base dimensión (cada pierna): 10 x 16 m. Anclaje de cada torre: 64000 toneladas. Carga en cada uno de los principales cables de la torre: 56000000 kg. Peso principal de las dos torres: 40200000 kg. Deformación transversal de las torres: 0,32 m. Flexión longitudinal de torres: 0,56 m y 0,46 m. La media de profundidad por debajo del agua de la torre sur: 34 mts

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Figura 11. Puente Humbler

Ubicación: Hessle, cerca de Hull, Inglaterra Longitud: 2,220 metros

El puente de Humber se encuentra en el estuario Humber, en Inglaterra, y fue durante años el puente colgante con el vano principal más largo de todo el planeta, ya que tiene una longitud de 1,4 kilómetros. Este puente colgante tiene una longitud de 2.220 metros y un vano principal de 1.410 m de largo, con lo que fue durante años el puente con el vano central de mayor longitud del mundo. La estructura cuenta con dos torres de hormigón de unos 155 metros de alto, aproximadamente. El puente del estuario Humber tiene un ancho de casi 30 metros. Cada cable del puente está formado por unos 15.000 alambres galvanizados. El tablero de este puente está formado por vigas cajón de sección trapezoidal, con lo que se consigue una reducción del acero empleado. La velocidad máxima de circulación sobre los cuatro carriles que forman la carretera que hay situada sobre esta estructura, es de 80 kilómetros por hora. Además el puente dispone de dos espacios para peatones, uno a cada lado de la calzada. La carretera se encuentra a una altura de 30 metros sobre el nivel del agua.

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Figura 12. Puente Akashi

Ubicación: Kōbe - Awaji, Japón. Longitud: 3,911 metros. El puente colgante Akashi-Kaikyo tiene una longitud de 3.911 m y tres vanos. El tramo central, entre las torres principales es 1.991 m y los otros dos 960 m cada uno. La altura de las torres principales es de 282.8m sobre el nivel del agua, 297,30m hasta el final de los anclajes, la estructura se sumerge 60m debajo el nivel de las aguas. Originalmente el vano central fue diseñado para medir 1.990m, pero el gran terremoto de Hanshin, el 17 de enero de 1995, trasladó las torres 1m, hasta ese momento lo único que se había levantado. La nueva distancia fue incorporada al diseño. En su parte central el puente ofrece una altura de 97m desde el nivel del agua a la parte inferior del tablero y una luz de 65.75m para el paso de embarcaciones.

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2.1.2

Caso de estudio de Curvatura Simple Figura 13. Aeropuerto Internacional de Washington-Dulles

Ubicación: Dulles y Chantilly, Virginia. Estados Unidos Altura: 19.80 metros El edificio de la Terminal Dulles es una combinación de planeación ingeniosa y arquitectura expresiva. El techo está soportado por una hilera de pilones o columnas de concreto separados 12.2 m (40 pies) en cada lado. Tienen 19.8m (65 pies) de alto en el lado de acceso y 12.2 m (40 pies) en el lado de las pistas. Esta estructura se asemeja a una gran hamaca suspendida entre árboles de concreto y consiste en pares paralelos de catenarias de cables de acero de 25.4 mm (1 pulgada) de diámetro separados 3.05 m (10 pies), con paneles de concreto prefabricado entre ellos. El borde externo del techo fue colado en el lugar conformando el borde de la viga para soportar los tres pares de cables entre las columnas. Durante la construcción se distribuyeron temporalmente sacos de arena en la cubierta prefabricada con el fin de lograr la curvatura del diseño de los cables. Una vez que se alcanzó la curvatura deseada se colocó concreto alrededor de los cables reforzando los arcos invertidos creados para resistir (junto con la carga muerta de la techumbre) los empujes ascendentes del viento. Los pilones de concreto son grandes columnas en cantiliver inclinadas en sentido contrario al esfuerzo interno de los cables de suspensión. Cada uno de los 16 pilones altos tiene 18.1 toneladas métricas (20 toneladas) de acero de refuerzo.

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2.1.3

Estructuras de doble cableado

Figura 14. Aeropuerto Internacional de Denver

Ubicación: Denver. Estados Unidos Altura: 18.3 metros Un ejemplo único en el mundo del uso de doble cableado en oposición para reforzar techos tejidos de fibra. El gran vestíbulo de la terminal principal es la estructura de techo tensado más grande del mundo que encierra un único espacio .Aludiendo a los picos nevados de las Montañas Rocallosas a su alrededor, los picos se crearon por 34 mástiles de acero colocados en pares separados 45 m (150 pies) con 18.3 m (60 pies) entre cada par. Los valles entre picos en el tejido tienen un claro de 73.2 m (240 pies) a través del gran vestíbulo. El tejido de fibra está reforzado con cables que siguen las crestas y los valles que soportan las mayores cargas de tensión. Los cables de las crestas soportan las cargas gravitacionales debidas a la nieve y a su propio peso, mientras que los cables de estabilización de los valles resisten el empuje del viento. Un tercer juego de cables conecta los cables de crestas y valles en intervalos de 12.2 m (40 pies) reforzando el tejido.Un detalle crítico en esta construcción es la conexión entre el tejido flexible del techo y los muros rígidos de abajo. Arriba de los

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contadores de boletos se encuentra una construcción triangular de vidrio que permite ver el cielo desde el piso del gran vestíbulo. El borde superior de la construcción de vidrio se une al tejido. La superficie del techo se mueve tanto como 76.2 mm (3 pulg) por medio de tubos neumáticos que se expanden y contraen con el movimiento del tejido. Figura 15. Auditorio de Utica

Ubicación: New York, Estados Unidos. Capacidad: 3,500 personas.

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Una de las desventajas del diseño de pares de cables en arreglo paralelo como el que se usó en la estructura de Denver es la necesidad de resistencia al esfuerzo interno de los cables de suspensión. En una configuración circular estos esfuerzos se pueden equilibrar con un anillo de compresión que evita la necesidad de cables guía o columnas sólidas en cantiliver. Éste emplea cables radiales de suspensión colgados a 73.2 m (240 pies) de un anillo de concreto de compresión perimetral a un centro con un anillo a la tensión para soportar las cargas gravitacionales. Las fuerzas ascendentes son soportadas por un patrón similar de cables estabilizadores del anillo de compresión hacia el anillo superior de tensión. Este par de cables opuestos y los dos anillos centrales de tensión son separados por puntales verticales. El anillo de compresión es de concreto reforzado y está soportado por columnas perimetrales. Figura 16. Estadio Olímpico de Múnich

Ubicación: Múnich, Alemania. Dimensiones: 105x 68 metros Capacidad: 69,250 personas.

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Es un sistema de cable de doble curvatura que es como un toldo en comportamiento y apariencia. Este techo culmina una larga progresión de desarrollos de estructuras tensionadas realizadas por Frei Otto y fue la primera que documentó en su libro. Es una estructura de cable pretensado con la característica de doble curvatura para prevenir el aleteo del viento. Consiste en ancha se compone de cables de 25.4 mm (1 pulg) de diámetro arreglados en pares de 50.8 mm (2 pulg) separados en intervalos de 76.2 cm (30 pulg) en cada dirección, con conexiones con abrazaderas en las intersecciones. Estas conexiones con abrazaderas se emplearon también para asegurar los paneles de aerifico y se necesitó un total de 137 000. Los cables de borde son de 78.7 mm (3.1 pulg) de diámetro. Los cables más largos son de 119.3 mm (4.7 pulg) de diámetro y se usan como tirantes (que conectan los cables de borde a la cimentación), como soportes (que conectan los picos a los mástiles superiores) y en la impresionante catenaria maestra del cable principal, de 439 m (1 440 pies) de largo, que soporta la parte frontal. Este cable principal está sometido a cargas de tensión superiores a 4 535 toneladas métricas (5 000 toneladas) y consiste en un paquete de 10 cables de los más largos El soporte vertical primario lo proporcionan doce mástiles tubulares de acero de una altura que varía entre 50.3 a 79.9 m (165 a 262 pies) y hasta 3.5 m (11.5 pies) de diámetro con un espesor de muro de hasta 76.2mm (3pulg)

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2.2 En Guatemala 2.2.1

Diseño de estructura de Carpas Figura 17. Facultad de Arquitectura, Universidad de San Carlos.

Ubicación: Ciudad de Guatemala, Guatemala.

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Para 1971, la Facultad cuenta con su propio edificio, es importante mencionar que es el primero en su género de tipo cuadrado con patio al centro, auditorio áreas de dibujo y salones abiertos para los talleres, este edificio, posteriormente servirá de base para el desarrollo modular de toda la ciudad universitaria (diseño Arq. Roberto Aycinena). Cuenta con una estructura funicular en su techo, basada en la técnica de estructura de carpas. El tejido de fibra está reforzado con cables que siguen las crestas y los valles que soportan las mayores cargas de tensión. Los cables de las crestas soportan las cargas gravitacionales debidas a la lluvia y a su propio peso, mientras que los cables de estabilización de los valles resisten el empuje del viento.

2.2.2

Diseño de estructuras con Arcos Acartelados

Figura 18. Palacio de los Capitanes

Ubicación: Antigua Guatemala, Guatemala

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La arquitectura se caracteriza por una serie de edificios de patio con arcadas de mampostería que dan a la plaza principal de la ciudad y contiene una residencia para el gobernador, una antigua cárcel, oficinas gubernamentales y las ruinas de la antigua casa de la moneda. La parte frontera del Palacio ostentaba treinta y nueve arcos. Actualmente cuenta con 25 arcos debido a los cambios que sufrió por los terremotos ocurridos en la época.

2.2.3

Estructura de arcos acartelados en 3 dimensiones (domos) Figura 19. Domo polideportivo Zona 13

Ubicación: Zona 13 Ciudad de Guatemala, Guatemala En la ciudad de Guatemala en la actualidad existen únicamente tres establecimientos formales de polideportivos de los cuales ninguno es para uso público, el principal y más conocido es el “Domo” llamado así por el tipo de cubierta con el cual este cuenta, construido sobre la antigua Plaza de Toros, fue construido especialmente para alojar el Campeonato Mundial de fútbol sala de la FIFA 2000, tiene una capacidad de 7.500 espectadores. Ubicado en la zona 13 de la ciudad de Guatemala.

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2.2.4

Bóvedas Figura 20. Convento Las Capuchinas

Ubicación: Antigua Guatemala, Guatemala. La construcción del Convento de Capuchinas estuvo a cargo de José de Porres ,el arquitecto más sobresaliente de la ciudad colonial, quien creó una obra con corredores alrededor de un patio central, los mismos poseen arcos y columnas de un estilo único y el suelo aún conserva un tono rojizo. Cada una de las habitaciones que utilizaban las religiosas poseía su propio sanitario y área de estudio. El convento está sobre una bóveda con una columna de tres metros de diámetro en forma de hongo, la cual sostiene la edificación.

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2.2.5

Cúpulas

Figura 21. Iglesia San Francisco

Ubicación: Antigua Guatemala, Guatemala La fachada de la iglesia se encuentra adornada por columnas salomónicas. Se compone de tres calles y cinco cuerpos con nichos ocupados por santos franciscanos. En el arco central, en la hornacina del tímpano está una imagen de la Virgen María de yeso y sobre el arco está el águila bicéfala del emperador Carlos V. La fachada está flanqueada por dos torres más bajas que la cúspide de la fachada: la torre Norte es la de las campanas, reconstruida en 1967, y la torre Sur era la del reloj, pero ésta no fue reconstruida y permanece como la dejó el terremoto de 1773.8 Adyacente a la construcción se encuentran las ruinas del antiguo convento. La iglesia tiene forma de cruz latina, conforme a los cánones del Concilio de Trento.

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CONCLUSIONES 

Una estructura funicular debe de poseer una forma adecuada, flexible y de escasa sección ligada a las cargas que ella soporta para que el camino o trayectoria de la estructura transmita el flujo de fuerzas hacia el suelo de una forma natural.



Los sistemas iniciales de las estructuras funiculares son el arco y el cable, el sistema de arco trabaja a compresión y cuando las luces son grandes la forma cambia a un arco parabólico, porque la fuerza resistente al momento y al esfuerzo cortante actúan en el centro de gravedad, es muy utilizado en iglesias. El sistema de cables se adapta para cualquier tipo de carga ya que puede cambiar su forma debido a ser un elemento flexible y de escasa sección transversal, el sistema trabaja a tensión simple y su utilización es mayormente en puentes colgantes y techos de edificios debido a que soporta grandes luces, los cables de catenaria está ligado a puentes ya que la forma del cable es una parábola, este sistema está determinado únicamente por el peso propio del cable, estos sistemas de las estructuras funiculares tienen diferentes características y cualidades que hacen que para distinta edificación se use el óptimo sistema ya que el algunas ocasiones será mejor trabajar con un sistema de cables que con un sistema de arco, todo dependiendo del uso y de las cargas que soporta.

 En todo el mundo hay estructuras que usan los sistemas funiculares, el uso de cables en puentes son de gran utilidad en luces grandes como lo es el puente Golden State en Estados Unidos que se puede observar como está utilizado los cables en catenaria, El puente Humber en Inglaterra que se observa como está utilizado el sistema de cables en cargas de suspensión soportado por torres de hormigón, cables de catenaria también fue utilizado en el Aeropuerto Internacional de Washington-Dulles donde está soportado por pilares de concreto y consiste en pares de cables donde soportan una estructura de paneles prefabricados dando forma a un arco inverso, ahora el sistema más utilizado es el de cables ya que el material más usado es el acero y los soportes de hormigón, el doble cableado es utilizado para reforzar techos de tejido de fibra pero estos cables deben de poseer es la resistencia al esfuerzo interno de los cables.

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 En Guatemala también son utilizadas las estructuras funiculares, pero no a gran escala como utilizados en puentes, debido a que en Guatemala aún no se construye este tipo de puentes de grandes luces, en la facultad de Arquitectura en la Universidad de San Carlos se encuentra el sistema de cables que soportan carpas de tejido de fibra y los cables mayormente trabajan a tensión, en Antigua Guatemala es muy utilizado el sistema de arcos ya que este sistema fue el inicio de las estructuras funiculares, muy utilizado en iglesias y conventos, el uso de arco es también utilizado en polideportivos como lo es el Domo de la Zona 13.

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RECOMENDACIONES  La comprensión y el entendimiento del funcionamiento de los diferentes sistemas estructurales y sus componentes, facilita su selección y aplicación, así como la sustentación de la elección de uno u otro sistema estructural.  Proveer de guías de estudio a los cursos dentro de la carrera de ingeniería civil, pues cumplen con el doble propósito de proveer una herramienta al catedrático que imparte la materia, y ser la fuente de referencia para el estudiantado en general.  En todo sistema estructural que se realice, es preciso enfatizar en las cargas de diseño, tomando en cuenta los códigos y normas de diseño específicas que apliquen a un proyecto en particular.

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BIBLIOGRAFIA  Daniel Azurdia Serra. (2016). PROPUESTA ARQUITECTÓNICA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE UN POLIDEPORTIVO Y REVITALIZACIÓN DEL ÁREA VERDE DEL PARQUE CLARET. 14/04/2020, de Universidad del Istmo Facultad de Arquitectura y Diseño Sitio web: http://glifos.unis.edu.gt/digital/tesis/2016/49848.pdf  Chávez Yes. (2014). Sistemas Funiculares-Estructuras Colgantes. 14/04/2020, de Universidad de San Carlos de Guatemala-Facultad de Arquitectura Sitio web: https://www.emaze.com/@AWOWRWOR  Gabriela. (2017). Iglesia de San Francisco en La Antigua Guatemala. 14/04/2020, de Guatemala.com Sitio web: https://aprende.guatemala.com/culturaguatemalteca/patrimonios/iglesia-de-san-francisco-en-la-antigua-guatemala/  RICARDO AROCA HERNÁNDEZ-ROS. (2002). Funiculares. Madrid: CUADERNOS DEL INSTITUTO JUAN DE HERRERA DE LA ESCUELA DE ARQUITECTURA DE MADRID  Haeussler C... (2015). Palacio de los Capitanes de la Ciudad de Guatemala. 14/04/2020, de WikiGuate Sitio web: https://wikiguate.com.gt/palacio-de-los-capitanesde-la-ciudad-de-guatemala/  Rodolfo Ernesto Rosales Chiquín (2004). GUÍA TEÓRICA Y PRÁCTICA DEL CURSO TIPOLOGÍA ESTRUCTURAL. Trabajo de graduación al conferirse el título de ingeniero civil. Universidad de San Carlos de Guatemala, Facultad de Ingeniería. Guatemala

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