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Francisco Gurrola Ramos

SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR INSTRUMENTO DE REGISTRO DE ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS A) IDENTIFICACIÓN (1) DGETI CBTis 206 Benjamín Hill

Institución Plantel Nombre

Matemática Aplicada

Asignatura/ Módulo Submódulo:

___ ___

Semestre:

VI

Carrera:

Varias

Profesor(es) No. de Estrategia Didáctica Periodo de aplicación

Francisco Gurrola Ramos, Jesús Duarte, Israel Leyva 1 4 de

Duración en horas

15

Tres semanas

Fecha

3 enero 2012

B) INTENCIONES FORMATIVAS Propósito de la estrategia didáctica por Asignatura ó Competencia Profesional del Módulo:

(1)

Calcula e interpreta aproximaciones de la derivada de modelos matemáticos relativos a diversas disciplinas, a partir de su representación gráfica y la determinación de su diferencial. Aplica la diferencial para determinar el error presente en el resultado de la medición de una magnitud en diferentes situaciones. Temas de Física, Economía, Administración Tema integrador: (1) Otras asignaturas, módulos o submódulos que trabajan el tema integrador: (1) Desarrollo Sustentable (1) Temas de Física Asignaturas, módulos y/o submódulos con los que se relaciona: (2) Contenidos Fácticos: Historia del cálculo, concepto de diferencial

Conceptos Fundamentales:

Conceptos Subsidiarios:

Diferencial, Estimación y Error

Función, derivada, tasa, razón de cambio,

Contenidos Procedimentales: (2) Aplicar las diferenciales para resolver problemas, utilizar las diferenciales para calcular aproximaciones y errores

Contenidos Actitudinales:

(1)

Autonomía, análisis crítico de su avance, creatividad e innovación en la resolución de problemas, colaboración con compañeros. Contenidos en competencias profesionales: (3) Competencias Genéricas y Atributos: (1) C1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. A. Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades C4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados

2

A. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. C4. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos

Competencias Disciplinares Básicas: (1) Interpreta gráficamente el modelo matemático de fenómeno de su entorno y aproxima el comportamiento de su derivada a partir del cálculo de la diferencial. Analiza el error obtenido mediante la aplicación de la diferencial para determinar la precisión en la medición de una magnitud y como afecta la confiabilidad de ésta en situaciones reales de su contexto. Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores fortalezas y debilidades al trabajar con aproximaciones y estimación de errores

*************************

C) ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Actividades

Apertura Competencia(s) Producto(s) de Aprendizaje Genérica(s) y sus Atributos Disciplinar(es) Extendidas

1. Recupera de la presentación del mediador: los nombres del módulo y del submódulo, justificación, objetivos, C4. Escucha, interpreta y emite competencias, sitios de inserción, estrategias de trabajo, mensajes pertinentes en distintos formas de evaluación y resultados de aprendizaje. contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas 2.- Investiga para presentar en una cuartilla una línea de apropiados tiempo, que incluya personajes y sus aportaciones al A. Expresa ideas y conceptos cálculo. e identificar los elementos operacionales mediante representaciones involucrados en el cálculo de la diferencial, su relación lingüísticas, matemáticas o con la derivada que implica el desarrollo sustentable. gráficas. 3. Emitir sus conclusiones al grupo y desarrollar un mapa C8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. mental de las actividades anteriores.

Actividades

Organizador grafico en equipos Interpreta gráficamente el modelo matemático de fenómeno de su entorno y aproxima el comportamiento de Línea del tiempo su derivada a partir del cálculo de la diferencial.

Rúbrica para evaluar el organizador gráfico.

Lista de cotejo de la línea del tiempo.

Mapa mental. Lista de cotejo del mapa mental

Desarrollo Competencia(s) Producto(s) de Aprendizaje Genérica(s) y sus atributos Disciplinar(es) Extendidas

3 Analizar la información emitida en la presentación e C4. Escucha, interpreta y emite identificar la relación entre la derivada y la diferencial para mensajes pertinentes en distintos una función propuesta mediante una matriz comparativa. contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas 4 Comentar en equipos mixtos y resolver dudas. apropiados A. Expresa ideas y conceptos 5 Dividirse en dos equipos: uno de aproximaciones y otro mediante representaciones de estimación de errores; realizar la práctica y verificar lingüísticas, matemáticas o resultados. gráficas. 6 Posteriormente integrarse en binas formadas por un C8. Participa y colabora de manera especialista de aproximación y un especialista de efectiva en equipos diversos. estimación de errores, intercambiar información para unificar definiciones, presentar por escrito los resultados obtenidos y concluir sobre la actividad realizada.

Evaluación

Analiza el error obtenido Informe del análisis. mediante la aplicación de la diferencial para determinar la precisión en la medición de una magnitud y como afecta la confiabilidad de ésta en Escrito con los ejercicios situaciones reales de su resueltos. contexto.

Evaluación

Lista de cotejo para evaluar el trabajo en equipo y la información presentada.

Rúbrica para evaluar el escrito.

3

Cierre Competencia(s) Genérica(s) y sus atributos Disciplinar(es)

Actividades 7 Redactar un reporte de investigación donde señale las aplicaciones de diferenciales en aproximaciones y estimaciones en desarrollo sustentable, como aproximar el aumento del volumen de un cubo si su arista varía de 1, 3, 5, 7 metros, (2) 8 Estima errores al medir figuras planas o en cálculo de área y volúmenes en contexto del agua, destacando la importancia del cálculo integral en el trabajo interdisciplinar. 9. Practica de análisis de video con el Coach

Producto(s) de Aprendizaje

C1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos Enfrenta las dificultades que se que persigue. le presentan y es consciente de Reporte de investigación sus valores fortalezas y A. Enfrenta las dificultades que debilidades al trabajar con se le presentan y es consciente aproximaciones y estimación de Reporte de práctica de sus valores, fortalezas y errores. debilidades.

Evaluación

Lista de cotejo para evaluar el reporte de investigación. Lista de cotejo para practica.

D) RECURSOS Equipo Cuaderno cuadro chico Juego geometría, Calculadora científica Computadoras Cañón (proyector)

Material

Fuentes de Información

Prácticas de aproximación y de estimación de errores. Selección de textos. Guía de Geogebra Guía de Excel Software de Coach- Análisis de video Software de Geogebra Software de modelador geométrico Excel, Word y PowerPoint.

Bibliográfica: Leithold, L., (2009). El Cálculo. México: Oxford University Press. Martínez de G. et. al., (2009). Cálculo diferencial e integral. México: Santillana. Mora V., Emiliano y del Río, F. M., (2009). Cálculo diferencial e integral. Ciencias sociales y económicas administrativas. México: Santillana. Electrónica: http://matematica2.giusti-ec.com.ar/index.html http://www.vitutor.com/fun/4/f_e.html http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/3_8.pdf (consultada el 10 de diciembre de 2011) http://profe-alexz.blogspot.com/2011/03/incremento-diferencial-y-aproximaciones.html (consultada el 11 de diciembre de 2011) http://www.prepa6.unam.mx/Colegios/Matematicas/papime/PAPIME/manuales/Aplicaciones.pdf (consultada el 12 diciembre de 2011)

E) VALIDACIÓN Elabora: Francisco Gurrola Ramos, Jesús Duarte Sánchez, Israel Leyva

Profesor(es)

Recibe:

Avala: Hipólito Orduño Vega Jefe de Servicios Docentes

Armado Rosas Zepeda Líder Académico Estatal

4

ANEXOS: Instrumentos de Evaluación

Periodo

Propósito del portafolio de evidencias Realizar aproximaciones y estimaciones de errores, a partir de la aplicación de la diferencial en las ciencias sociales, naturales y administrativas para demostrar las competencias y desempeños relacionados con el bloque I Matemática Aplicada

Asignatura:

Primer secuencia

Estudiante:

Criterios de reflexión sobre las evidencias Comentarios del alumnado ¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas? ¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas a este portafolios. ¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas? Monitoreo de Evidencias Comentarios del docente Inc Pobr Regula Buen Indicadores . e r o Excelente Formato (cuaderno cuadro 5mm con participación y tareas, 100 % original) Graficas tamaño media página o mas

1

3

5

7

10

Graficas con formulas y unidades de referencia

1

3

5

7

10

Limpieza, claridad y orden

1

3

5

7

10

Fechas, títulos en clases y tareas

1

3

5

7

10

Conserva los “errores” y los indica

1

3

5

7

10

Desarrollo de potencias de binomios n=7

1

3

5

7

10

Desarrollo triángulo de Pascal renglón 12

1

3

5

7

10

Fermat para x , con n positivo

1

3

5

7

10

Fermat para n negativo o fracciones

1

3

5

7

10

Derivada de un, u+v+w, uv, u/v,

1

3

5

7

10

Formulario de derivadas

1

3

5

7

10

Interpretación geométrica de la derivada

1

3

5

7

10

Problema de optimización.

1

3

5

7

10

Gráfica y esquema del problema asignado.

1

3

5

7

10

Ejercicios de aproximación

1

3

5

7

10

Ejercicios de aproximación

1

3

5

7

10

1

3

5

7

10

1

3

5

7

10

Contenido

n

Ejercicios de errores u

Derivada sen u, cos u, tan u, e

Total: ________

Rúbrica de la exposición en PPT (en equipo) Fecha: (antes del 24 de febrero) Maestro: Francisco Gurrola Ramos Evaluador: Estudiantes (hasta 3): Indicador

Inc.

Pobre Regular Bueno Excelente

Contenido (solo trabajos y problemas 100 % originales, con voz del ponente) Poco texto, sonido, vídeo, animación

1

3

5

7

10

Portada, Índice, introducción, enlaces y conclusión.

1

3

5

7

10

Contraste, colores, imagen y video atractivos y congruentes al tema

1

3

5

7

10

Fuente, color y tamaño apropiado.

1

3

5

7

10

10 imágenes dentro del contexto Llenando toda la pantalla

1

3

5

7

10

Esquema o SmartArt

1

3

5

7

10

Tablas pertinentes

1

3

5

7

10

Grafica de la función obtenida

1

3

5

7

10

Análisis implicando la diferenciación

1

3

5

7

10

Empleo del editor de ecuaciones Exposición

1

3

5

7

10

Fluida, orden y en tiempo.

1

3

5

7

10

Dominio pleno del tema

1

3

5

7

10

Reconocimiento de equipo.

1

3

5

7

10

Síntesis del trabajo.

1

3

5

7

10

Pertinencia del contexto

Total: ________ Adaptado de http://www.ncsu.edu/midlink/rub.senst.htm by Dan Senstock

6

Rúbrica del reporte en Word (en equipo) Fecha: (24 de febrero) Maestro: Francisco Gurrola Ramos Evaluador: Estudiantes (hasta 3):

Instrucciones: indique con qué frecuencia se presentan los siguientes atributos dentro del informe del documento. Encierre en un círculo el número que corresponda si: 0 no se presenta el atributo; 1 se presenta poco el atributo; 2 generalmente se presenta el atributo; 3 siempre presenta el atributo.

Indicadores

nada poco normal siempre puntos

Formato (trabajo 100 % original y problema con solución aceptable) Arial 12 color negro

0

1

2

3

Interlineado 1.5. Ortografía

0

1

2

3

Párrafos 6 puntos antes del párrafo.

0

1

2

3

Sin sangrías, margen 2.5

0

1

2

3

Emplea negritas cursivas Contenido

0

1

2

3

Portada e índice paginado.

0

1

2

3

Ensayo original (una cuartilla)

0

1

2

3

Glosario términos involucrados

0

1

2

3

Línea de tiempo.

0

1

2

3

Esquema o SmartArt

0

1

2

3

Tablas pertinentes

0

1

2

3

Grafica de la función obtenida

0

1

2

3

Análisis implicando la diferenciación

0

1

2

3

Empleo del editor de ecuaciones

0

1

2

3

Metacognición (una cuartilla)

0

1

2

3 Total: ________

7

Coevaluación de habilidades, actitudes y valores Instrucciones Los enunciados siguientes son descripciones de comportamientos que durante el trabajo en equipo pudieron manifestar tus compañeros. Lee cada descripción y escribe los nombres de los estudiantes de tu equipo que mejor la cumplan. Tus elecciones serán confidenciales y en ellas considera: 1. 2. 3. 4.

Escribir únicamente los nombres, con apellidos, de tus compañeros de equipo. Escribir tantos nombres como desees para cada descripción. La misma persona puede cumplir más de una descripción. Escribir el nombre del compañero debajo de cada descripción.

Habilidades Capacidad de aprender por cuenta propia 1. ¿Quién busca continuamente el conocimiento por sus propios medios en diversas fuentes de información? 2. ¿Quién tiene hábitos de estudio que implican disciplina, concentración, responsabilidad, búsqueda de información y verdadero deseo de aprender? 3. ¿Quién reconoce que la responsabilidad de aprender es algo personal y no responsabiliza a nadie de no haber aprendido algo? Capacidad de análisis, síntesis y evaluación 1. ¿Quién continuamente estructura la información importante de un problema, de tal forma que facilite la comprensión de la situación problemática? 2. ¿Quién frecuentemente detecta las ideas básicas de una situación problemática, genera soluciones correctas y elige las más convenientes? 3. ¿Quién frecuentemente formula juicios críticos sobre las soluciones que se proponen para determinado problema? Pensamiento crítico 7. ¿Quién analiza con frecuencia la información desde diversos puntos de vista? 8. ¿Quién identifica continuamente las ventajas y las desventajas de una decisión? 9. ¿Quién detecta con frecuencia las áreas de mejora en un determinado procedimiento? Creatividad 10. ¿Quién continuamente genera ideas originales o soluciones nuevas? 11. ¿Quién es original e imaginativo? 12. ¿Quién con frecuencia promueve un ambiente de innovación? 13. ¿Quién respeta las ideas creativas de otras personas? Trabajo en equipo 14. ¿Quién repetidamente muestra buenas habilidades de comunicación que le permitan saber hacer peticiones, ofrecimientos y reclamos, así como escuchar, negociar y responsabilizarse de sus promesas? 15. ¿Quién respeta las aportaciones de los demás miembros de su grupo, aun cuando vayan en contra de las aportaciones propias? 16. ¿Quién antepone los objetivos del grupo a los objetivos personales? 17. ¿Quién con frecuencia reconoce las diferentes habilidades de cada uno de los miembros del grupo y las aprovecha para lograr el mejor resultado? 18. ¿Quién es responsable del producto final del trabajo del grupo?

Valores 1. 2. 3. 4.

¿Quién acepta cuando se equivoca, reconoce y afronta sus errores, y se responsabiliza de las consecuencias? ¿Quién reconoce los logros de sus compañeros? ¿Quién es puntual en la entrega de las actividades? ¿Quién cumple con las fechas límite para terminar las tareas que se comprometió a llevar a cabo?

El facilitador generará la siguiente información para cada equipo participante: A. Número de alumnos que inciden en cada uno de los comportamientos antes mencionados. B. Número de alumnos que inciden con mayor, media y menor frecuencia en todos los comportamientos

8

AUTOEVALUACIÓN A) El facilitador pedirá a los alumnos contestar una entrevista en forma escrita para evaluar el desempeño académico, y las habilidades, actitudes y valores desarrollados en el logro de los objetivos de aprendizaje del tema de Generalidades, historia, estimación y error. Curso de Matemática Aplicada. Tema: Estimación y error. Instrucciones. Contesta con honestidad, claridad y precisión las siguientes preguntas. Tus respuestas serán confidenciales. 1. ¿Qué fue lo más útil o importante que aprendiste durante el estudio del tema “Estimación y error”? 2. ¿Qué dudas tienes todavía? 3. ¿Piensas que con tu participación en clase y extraclase contribuiste en alguna medida para el logro de los objetivos de aprendizaje? Esta medida sería: ninguna, regular, bien, muy bien. 4. Si tu desempeño no te dejo satisfecho ¿Qué podrías hacer la próxima vez para mejorarlo? 5. ¿Participaste activamente en todas las actividades de aprendizaje? 6. ¿Cuál fue la actividad de aprendizaje que más te gustó y por qué? 7. ¿Qué habilidades (capacidad de aprender por cuenta propia, capacidad de análisis, síntesis y evaluación, pensamiento crítico, creatividad, capacidad de identificar y resolver problemas, capacidad para tomar decisiones, trabajo en equipo, alta capacidad de trabajo, cultura de calidad, expresión oral y escrita) desarrollaste en tales actividades?, ¿por qué? 8. ¿Qué valores y actitudes (honestidad, tenacidad, responsabilidad, tolerancia, respecto, justicia, cultura de trabajo) mantuviste durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje? 9. ¿Qué calificación darías a tu desempeño durante el estudio del tema?

Avance personal En la resolución de las actividades propuestas: Aprecié que las matemáticas son una ciencia que está en evolución y es útil para resolver problemas de la vida real

Sin dificultades.

Con algunas dificultades.

Con muchas dificultades.

No lo logré.

Construí e interpreté modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones Formulé y resolví problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques Argumenté la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación Interpreté tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos

9

Desempeño de equipo Durante actividades Al principio:

las

En el proceso de resolución:

En el proceso de resolución:

Desempeño del equipo Ubicó sin dificultad lo que la actividad le pide resolver

Ubicó con dificultades lo que la actividad le pide resolver

leyó, analizó, propuso ideas, intercambió opiniones, se puso de acuerdo Propuso las estrategias de resolución

leyó, analizó, propuso ideas, intercambió opiniones, se puso de acuerdo con dificultad Propuso con dificultad las estrategias de resolución Revisó con dificultad si lo que hizo fue congruente

Al final:

Revisó si lo que se hizo fue congruente

Integración:

Manifestó integración

Se integró con dificultad

Expresión:

Se expresó correctamente, utilizó un lenguaje adecuado (español y matemáticas)

Algunas veces no se expresó correctamente

Confianza:

Manifestó confianza para acudir con el docente en caso de dudas

Algunos integrantes manifestaron confianza para acudir con el docente en caso de dudas

Calidad:

Ubicaron los errores que cometieron y los corrigieron

Actitud:

Mostró una actitud positiva, persistente y siempre intenta hacerlo

Valores desarrollados:

Con libertad, solidaridad, respeto, tolerancia, disciplina y responsabilidad

Ubicaron con dificultad los errores que cometieron y los corrigieron Con dificultades pero mostró una actitud positiva, persistente y siempre intenta hacerlo Con libertad, solidaridad, respeto, tolerancia, disciplina y responsabilidad, pero con dificultades

Tuvo poca claridad sobre lo que la actividad le pide resolver Avanzó de manera errática, sin rumbo

No ubicó lo que la actividad le pide resolver

Tuvo idea sobre las estrategias de resolución, pero no las cristalizó Revisó con dificultad si algunos aspectos de que se hizo fueron congruentes Manifestó muchas dificultades en su integración Manifestó muchas dificultades para expresarse correctamente

Desconoció las estrategias de resolución

Manifestó desconfianza para acudir con el docente en caso de dudas, pero acudieron Ubicaron algunos errores que cometieron y los corrigieron En pocas ocasiones mostró una actitud positiva, persistente y siempre querer hacerlo Con mediana libertad, solidaridad, respeto, tolerancia, disciplina y responsabilidad

Manifestó desconfianza para acudir con el docente en caso de dudas y no acudieron No ubicaron los errores que cometieron durante el trabajo No mostró una actitud positiva, persistente y siempre intenta hacerlo Con poca libertad, solidaridad, respeto, tolerancia, disciplina y responsabilidad

No avanzó

No fue capaz de revisar si lo que se hizo era congruente No se integró

No se expresó correctamente

10

Rubrica para la revisión de los escritos: resúmenes, ejercicios resueltos y tareas Materia: Unidad: Calificación: Categoría

Fuentes bibliográficas

Redacción

Calidad de letra

Cantidad de información

Calidad de información

Apuntes y presentación

Fecha: Alumno: 4

3

2

Todas las fuentes de información y gráficas están documentadas de acuerdo a los estándares. Sin errores de sintaxis, ortografía y puntuación.

Las fuentes de información y gráficas están documentadas de acuerdo a los estándares. Excepto pocas. Casi sin errores de sintaxis, ortografía y puntuación.

Las las fuentes de información y gráficas están documentadas de acuerdo a los estándares. La mayoria no. Pocos errores de sintaxis, ortografía y puntuación.

Excelente calidad de letra. Todos los temas tratados y preguntas planteadas contestadas de manera clara y precisa. La información es clara, relacionada con el tema principal y proporciona ideas secundarias y ejemplos. El escrito es ordenado, claro e incluye portada.

Buena calidad de letra. Todos los temas tratados y preguntas planteadas contestadas de manera poco clara y precisa.

Mala calidad de letra. Pero legible. Todos los temas tratados y preguntas planteadas contestadas de manera confusa.

La información responde a las preguntas principales y proporciona pocas ideas secundarias y ejemplos.

La información sólo responde a las preguntas principales.

El escrito es ordenado, poco claro e incluye portada con poca información.

El escrito esta desordenado, poco claro no trae portada.

1

Total

No trae fuentes documentadas

Muchos errores de sintaxis, ortografía y puntuación. Buena calidad de letra Letra ilegible Todos los temas tratados y preguntas planteadas contestadas de manera confusa e incorrecta. La información no responde del todo las preguntas principales.

Escrito esta desordenado, incoherente y no trae portada.

11

12

Reconocimiento Diagnostico en Matemática Aplicada. Maestro Francisco Gurrola Ramos Febrero 2012

Estudiante______________________________________________________Grupo___

Objetivo: Desarrollar la capacidad del razonamiento matemático, mediante el análisis e interpretación de las relaciones que existen entre dos variables que provienen de problematizaciones surgidas de la actividad humana.

1.- ¿Cuántos números se han escrito en el siguiente renglón:

1 , 0.0123456, e,  , 2

3

128, VII ,  23, 0

2.- Jorge pago 2 600 pesos por una bomba de agua que tenia 25% de descuento ¿Cuál era su precio original? 3.- Un cono con diámetro de 1 m y altura de 2 m se corta por la mitad para colocarse como escultura. Si se desean pintar las dos caras planas de la figura, ¿qué superficie en m2 se va a pintar?

4.- La cantidad de miligramos de bacterias (B) en un individuo infectado con el microorganismo de influenza después de días (D) de contagios, es k veces el cuadrado de los días transcurridos. Considerando la constante de proporcionalidad k=2, ¿Cuántos miligramos de bacterias tendrá el individuo a los 12 días de su contagio? 5.- María compra aceite comestible al mayoreo. La siguiente tabla muestra el precio total que debe pagar.

Escribe la expresión algebraica que ayuda al cálculo del precio total de cualquier cantidad de litros de aceite

13

6.- Una empresa de jugos desea comprar una huerta de mango para elaborar su producto. De las opciones de compra se han sintetizado las siguientes características:

Huerta

Periodo de producción

Cantidad producida durante el periodo (miles)

Cantidad de pulpa por mango

1

Bimestral

5

50 g

2

Anual

15

100 g

3

Trimestral

8

50 g

4

Semestral

4

100 g

Para obtener la mayor cantidad de pulpa al mes, ¿qué huerta conviene comprar?

7.- En una fiesta hay 7 hombres menos que las mujeres presentes. Si los hombres saludan a las mujeres habrá 1248 saludos. ¿Cuántas mujeres hay en la fiesta? 8.- Dada la ecuación de la recta 3x-y+5=0, identifica la gráfica de la recta perpendicular a ésta cuya ordenada al origen es -1.

9.- Escribe la derivada de la expresión:

1 6 x 2

2  x5 5

1  x4 2

2  x3 6

2  x2 7

1  x 4



1 2x

 sen x 

14