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• fernando morales

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l. INTRODUCCIÓN: En esta actividad de investigación conoceremos lo que son los momentos de área como se encuentran constituidos conociendo en que se ocupan los pasos para la resolución de problemas. conocer lo que son los centroides y la importancia de ellos en la ingeniería ya que son indispensables para los objetos que se desean mover y tienen dimensiones muy grandes y de considerable peso.

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ll. MOMENTO DE ÁREA. Los momentos de área se encuentra divididos en primer y segundo momento de área. Primer momento de área2 El primer momento de área (también momento estático o de primer orden) es una magnitud geométrica que se define para un área plana. Normalmente aparece en el contexto del cálculo de vigas en ingeniería estructural, en particular la tensión cortante media dada por la fórmula de Collignon, que es proporcional al primer momento de área de una subsección de la sección transversal de la viga. El primer momento de área coincide con el producto del área total multiplicado por la distancia entre el punto considerado al centroide del área. Primer momento de área Los momentos de primer orden de un área, se designan por la letra S o Q. Dado un eje o recta se define el primer momento de área del área A respecto a un eje de ecuación viene dada por la integral sobre el area de la distancia del eje fijado:

Si consideramos coordenadas x e y centradas en el centro de masas y se calculan los primeros momentos de área respecto a los ejes coordenados, por la propia definición de centro de masas:

Eso implica que para cualquier otro eje que pase por el centro de gravedad de la sección se tiene:

El cálculo respecto a un eje cualquiera que no pase por en centro de masas es trivial ya que:

Donde resulta que c coincide con la distancia de ese eje al centro de gravedad y el resultado anterior es el equivalente del teorema de Steiner para el primer momento de área.

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PRIMER MOMENTO DE ÁREA PARCIAL Como se ha visto en la sección anterior el primer momento de área calculado respecto al centro de gravedad de la sección es siempre nulo. Sin embargo, Para

una

sección

rectangular

de

dimensiones 2h x b se tiene:

El cálculo de este momento se requiere para el cálculo de la tensión cortante sobre la línea punteada (ver figura) de acuerdo con la fórmula de Collignon-Jourawski (o Collignon-Zhuravski).

SEGUNDO MOMENTO DE ÁREA1: Análogamente al primer momento de área se define el segundo momento de área, o momento de inercia, como:

Donde c es la distancia entre el eje considerado y el centro de gravedad del área. Que puede expresarse en función de los segundos momentos de área respecto al centro de masas como:

Donde sería el segundo momento de área según eje paralelo al considerado, pero que pasa por en centro de gravedad del área. Este último resultado de demostración inmediata se conoce como teorema de Steiner.

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MOMENTOS DE ÁREA DE ORDEN SUPERIOR: En general se definen los n-ésimos momento de área de una área plana como las integrales del tipo:

Donde la integral se extiende sobre todo el dominio plano A de ℝ² y donde la distancia r es la distancia a un eje contenido en el mismo plano que contiene al área. En particular se definen los dos momentos n-ésimos de área como:

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lll. CENTROIDES3: En geometría, el centroide o baricentro de un objeto X perteneciente a un espacio n-dimensional es la intersección de todos los hiperplanos que dividen a X en dos partes de igual n-volumen con respecto al hiperplano. Informalmente, es el promedio de todos los puntos de X.

MOMENTO DE INERCIA El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

Un área compuesta A que está constituida por varias áreas componentes A1, A2, A3... Como la integral que representa el momento de inercia de A puede subdividirse en integrales evaluadas sobre A1, A2, A3..., el momento de inercia de A con respecto a un eje dado se obtiene sumando los momentos de áreas A1, A2, A3... con respecto al mismo eje.

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Ejemplos. Ejemplo 1

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Ejemplo 2

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lV. CENTROS DE GRAVEDAD4. Centro de gravedad de un cuerpo depende de la forma del cuerpo y de cómo está distribuida su masa. El centro de gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo. El centro de gravedad de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. Así, el centro de gravedad de una esfera hueca está situado en el centro de la esfera, la cual no pertenece al cuerpo.

PROPIEDADES DEL CENTRO DE GRAVEDAD. La resultante de todas las fuerzas gravitatorias que actúan sobre las partículas que constituyen un cuerpo puede reemplazarse por una fuerza única, Mg esto es, el propio peso del cuerpo, aplicada en el centro de gravedad del cuerpo. Esto equivale a decir que los efectos de todas las fuerzas gravitatorias individuales (sobre las partículas) pueden contrarrestarse por una sola fuerza, Mg con tal de que sea aplicada en el centro de gravedad del cuerpo, como se indica en la figura. Un objeto apoyado sobre una base plana estará en equilibrio estable si la vertical que pasa por el centro de gravedad corta a la base de apoyo. Lo expresamos diciendo que el c.g. se proyecta verticalmente (cae) dentro de la base de apoyo. Además, si el cuerpo se aleja ligeramente de la posición de equilibrio, aparecerá un momento restaurador y recuperará la posición de equilibrio inicial. No obstante, si se aleja más de la posición de equilibrio, el centro de gravedad puede caer fuera de la base de apoyo y, en estas condiciones, no habrá un momento restaurador y el cuerpo abandona definitivamente la posición de equilibrio inicial mediante una rotación que le llevará a una nueva posición de equilibrio.

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CALCULO DEL CENTRO DE GRAVEDAD: El centro de gravedad de un cuerpo viene dado por el único vector que cumple que:

donde M es la masa total del cuerpo y x denota el producto vectorial. En un campo gravitatorio uniforme, es decir, uno en que el vector de campo gravitatorio g es el mismo en todos los puntos, la definición anterior se reduce a la definición del centro de masas:

En el campo gravitatorio creado por un cuerpo material cuya distancia al objeto considerado sea muy grande comparado con las dimensiones del cuerpo y del propio objeto, el centro de gravedad del objeto viene dado por:

Ejemplo: Dada una barra homogénea de longitud L, orientada hacia un planeta lejano, y cuyo centro de masa dista una distancia Dc.m.,del centro del planeta, el centro de gravedad de la barra está situado a una distancia del centro del planeta dado por:

La diferencia entre centro de masas y el centro de gravedad se debe en este caso a que el extremo de la barra más cercano al planeta es atraído gravitatoriamente con mayor intensidad que el extremo más alejado.

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Centro de masa: El centro de masas de un sistema discreto es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si estuviese sometido a la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga. Normalmente se abrevia como CM. En física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico, mientras que los otros dos términos se relacionan con las propiedades físicas de un cuerpo. Para que el centroide coincida con el centro de masa, el objeto debe tener densidad uniforme, o la distribución de materia a través del objeto debe tener ciertas propiedades, tales como simetría. Para que un centroide coincida con el centro de gravedad, el centroide debe coincidir con el centro de masa y el objeto debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme. En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde, para ciertos efectos, se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para análisis físicos en los que no es importante considerar la distribución de masa. Por ejemplo, en las órbitas de los planetas. Cálculo del CM de un sistema Distribución discreta de materia Para un sistema de masas discreto, formado por un conjunto de masas puntuales, el centro de masas se puede calcular como:

, masa de la partícula i-ésima. , vector de posición de la masa i-ésima respecto al sistema de referencia asumido. Distribución cuasi discreta de materia En el caso de un sistema de cuerpos cuasi puntuales, o cuerpos que distan entre sí mucho más que las dimensiones de cada uno de los cuerpos, el cálculo anterior resulta bastante aproximado.

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Distribución continua de materia

Para sistemas de masas continuos o distribuciones continuas de materia debemos recurrir al Cálculo Infinitesimal e Integral, de modo que la expresión anterior se escribe en la forma: Distribución de masa homogénea: Si la masa está distribuida homogéneamente, la densidad será constante por lo que se puede sacar fuera de la integral haciendo uso de la relación.

nota: V es el volumen total. Para cuerpos bidimensionales o monodimensionales se trabajará con densidades superficiales/longitudinales y con superficies/longitudes. - Para el caso de cuerpos con geometría regular tales como esferas, paralelepípedos, cilindros, etc. el CM coincidirá con el baricentro del cuerpo. Distribución de masa no homogénea: Los centros de masas en cuerpos de densidad variable pueden calcularse si se conoce la función de densidad . En este caso se calcula el CM de la siguiente forma. EJEMPLO 1

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EJEMPLO 2

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EJEMPLO 3

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V. CONCLUSIÓN: En esta investigación conocimos lo que son los momentos de área ya que se encuentran en primer y segundo momento de área con sus respectivas fórmulas para la resolución de problemas de este tipo, lo que son los centroides en las figuras geométricas y en objetos que no tienen forma definida, los centros de gravedad como sacarlos con fu formula respectiva en la solución del problema.

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Vl. BIBLIOGRAFÍA:

Momento de área: Nombre del tema: primer y segundo momento de área

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Última fecha de actualización: 19 de octubre del 2015 Url: http://www.esacademic.com/dic.nsf/eswiki/1072816

2. Nombre del tema: primer momento de área

Ultima fecha de actualización:3 de abril del 2016 Url: http://dev.worldpossible.org:81/wikipedia_es_all_201602/a/primer_momento_de_%c3%a1rea.html

Centroides, centros de gravedad: 3. Nombre del tema: centroide, centro de masa

Ultima fecha de actualización:8 de febrero del 2009 Url:http://estaticaortegamorenomo.blogspot.com/2009/06/cebtroide-centro-demasa.html 4. Nombre del tema: centro de gravedad

Ultima fecha de actualización:28 de agosto del 2011 Url: https://paisciencia.conicet.gov.ar/wp-content/uploads/2014/07/Centro-deGravedad-Ficha-para-docente.pdf

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