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• Edwin Yauli

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Método de Área de Momentos: Teoremas para cálculo deflexiones y rotaciones en vigas. Viga simplemente apoyada, carga simétrica w. INTRODUCCIÓN: Los dos teoremas que forman la base de la teoría de las deflexiones y rotaciones por el Método de las Áreas del diagrama de Momentos, fueron presentados en la Universidad de Michigan en 1872 por el profesor de estructuras Charles Greene. Ya en 1868 en Alemania, el profesor Otto Mohr presentó una teoría similar por el mismo método para la resolución de rotaciones y deflexiones sin que aparentemente Greene supiera de su existencia. La continuidad, mejoramiento y ampliación del método quedó en manos del profesor alemán Muller-Breslau, que lo aplicó a estructuras estáticamente indeterminadas. ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS La metodología de resolución a través de estos teoremas, necesita que el diagrama de momentos sea dividido por la constante EI. Estos teoremas, relacionan dos puntos cualesquiera de la curva elástica y lo que puede estar sucediendo entre ellos y sus respectivos cambios de pendiente de sus rectas tangentes. Por otro lado, el método también puede obtener las deflexiones entre esos puntos, relacionándolos a través de sus momentos estáticos en el diagrama de momentos. LIMITACIONES DEL TRABAJO Ø Este trabajo está limitado por la estructura de trabajos domiciliaros. Ø La ecuación es válida para vigas que no estén sometidas a un esfuerzo que exceda del límite elástico de sus materiales. Ø Al ser la curvatura pequeña, la ecuación está limitada al estudio de flechas pequeñas.

GLOSARIO DE TERMINOS USADOS EN EL INFORME 1. Momento Flector: Se denomina momento flector un momento de fuerza resultante de una distribución de tensiones sobre una sección transversal a lo largo del que se produce la flexión. 2. Rigidez: Es la capacidad de un objeto sólido o elemento estructural para soportar esfuerzos sin adquirir grandes deformaciones o desplazamientos.

3. Flexión: En ingeniería se denomina flexión al tipo de deformación que presenta un elemento estructural alargado en una dirección perpendicular a su eje longitudinal. El término "alargado" se aplica cuando una dimensión es dominante frente a las otras. Un caso típico son las vigas, las que están diseñas para trabajar, principalmente, por flexión. Igualmente, el concepto de flexión se extiende a elementos estructurales superficiales como placas o láminas. 4. Módulo de Elasticidad: El módulo de elasticidad o módulo de Young es un parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica una fuerza. Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de Young tiene el mismo valor para una tracción que para una compresión, siendo una constante independiente. 5. Inercia: La inercia es la dificultad o resistencia que opone un sistema físico o un sistema social a posibles cambios. 6. Hiperestática: Una estructura es hiperestática o estáticamente indeterminada cuando está en equilibrio pero las ecuaciones de la estática resultan insuficientes para determinar todas las fuerzas internas o las reacciones. 7. Viga: En ingeniería se denomina viga a un elemento constructivo lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal.

MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTOS: Este método, se basa en dos teoremas, que resultan muy útiles, para el cálculo de pendientes y deflexiones de vigas y pórticos. El método de las " áreas de momento " se debe a Charles E. Greene - profesor de la Universidad de Michigan - quien lo expuso en 1873.

Primer teorema Trata sobre el cambio de pendiente entre las rectas tangentes de dos puntos de la curva elástica es igual al área del diagrama de M/EI entre los dos puntos evaluados. Segundo teorema Enfocado en que la deflexión de una recta tangente a la curva elástica de una viga en un punto cualquiera A con respecto a una tangente en otro punto B, es igual al momento estático con respecto al punto B del área del diagrama de momentos entre esos dos puntos.

El método de área-momento proporciona un procedimiento semigrafico para encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos específicos sobre la curva elástica de la viga. La aplicación de este método requiere el cálculo de áreas asociadas con el diagrama de momento flector de la viga; si el diagrama consta de formas geométricas sencillas, el método resulta muy fácil de usar. Normalmente este es el caso cuando la viga está cargada con fuerzas y momentos concentrados. El método es bastante rápido y simple, pero en general se usa para calcular la deflexión de solo uno a unos cuantos puntos de la viga. Su uso requiere un elevado nivel de comprensión del principio de momentos y de las técnicas para preparar diagramas de momento flector. La

en se

figura muestra una curva elástica la que han

seleccionado dos puntos cualquiera (‘A’ y ‘B’) y se han trazado rectas tangentes a los mismos.

Puede observarse que ‘qB/A ’ es el Angulo que forma la tangente que pasa por el punto ‘B’ respecto a la que pasa por ‘A’. De forma análoga se define el Angulo ‘qA/B ’. Es importante notar que ambos tienen la misma magnitud, y se miden en sentido contrario.

Recordando que las son muy pequeñas, plantear la ecuación de la forma:

deflexiones podemos la elástica de

Si integramos la expresión anterior, obtenemos:

Planteando que:

Podemos finalmente rescribir la expresión anterior de la forma:

Esta ecuacion es la base del primer teorema del metodo de area de momento: “El ángulo entre dos rectas tangentes a dos puntos cualquiera sobre la curva elástica es igual al área bajo el diagrama ‘M/(E·I)’ entre esos dos puntos” Luego, como se observa en la figura, puede considerarse aceptable la aproximación:

dt x d Donde ‘dq’ es el ángulo que existe entre dos tangentes de dos puntos separados una distancia ‘dx’ y ‘x’ es la

distancia medida desde el punto ‘A’ hasta el elemento diferencial en cuestión. Al sustituir ‘dq’ queda:

Finalmente, al integrar la expresión anterior queda:

Lo cual puede rescribirse de la forma:

Donde ‘xA’ es la distancia (medida sobre la dirección ‘x’) que existe entre el punto ‘A’ y el centroide del área bajo la curva ‘M·E/I’.

La ecuación 5.3.9 supone la base del segundo teorema de área momento: “La desviación vertical de la tangente en un punto ‘A’ sobre la curva elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto ‘B’ es igual al momento de área bajo el diagrama ‘ME/I’ entre los puntos ‘A’ y ‘B’. Este momento se calcula respecto al punto ‘A’ donde va a determinarse la desviación vertical ‘tA/B ’ ”.

De forma análoga, podría hallarse la desviación del punto ‘B’ respecto a la tangente que pasa por ‘A’. Para ello, se calcularía el momento de área bajo el diagrama ‘ME/I’ respecto al punto ‘B’, es decir:

Donde ‘xB’ es la distancia que existe desde el punto ‘B’ hasta el centroide de la figura. Es importante mencionar que, si el resultado de la ecuación es positivo, el punto ‘B’ (en el que se calcula la deflexión) se encuentra por encima de la recta tangente que pasa por el ‘A’ (y viceversa).

Ejercicio resuelto No.1 para una viga simplemente apoyada con carga simétrica w.

Ejercicio resuelto No.2 para una viga simplemente apoyada con dos voladizos extremos y carga simétrica w en ambos voladizos.

Ejercicio resuelto No.3