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• Mario' Hernandez

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4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades. Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe un numero complejo único (u,v), denominado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y αϵC, entonces

La barra es las condiciones V y VII denota el conjugado complejo. Nota. Si (u,v) es real, entonces (u,v)=(u,v) y se puede eliminar la barra en v).

EJEMPLO: Producto interno de dos vectores en C3 En C3 sean x=(1+i, -3, 4-3i) y y=(2-i, -i, 2+i). entonces Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V. entonces

Nota 1. Aquí se usa la doble barra en lugar de una sola para evitar confusión con el valor absoluto. Por ejemplo ǁsen tǁ denota la norma de sen t como un “vector” en C[0, 2π] mientras que |sen t| denota el valor absoluto de la función sen t. Nota 2. La ecuación anterior tiene sentido ya que (u, u)≥0.

EJEMPLO: Dos vectores ortogonales en C2 En C2 los vectores (3,-i) y (2,6i) son ortogonales porque

Conjunto ortonormal El conjunto de vectores

es un conjunto ortonormal en V si y

Si solo el primero se cumple, se dice que el conjunto es ortonormal. TEOREMA: Cualquier conjunto finito de vectores ortonormales diferentes de cero en un espacio con producto interno es linealmente independiente. TEOREMA: Cualquier conjunto finito linealmente independiente en un espacio con producto interno se puede convertir en un conjunto ortonormal mediante el proceso de Gram-Schmidt. En particular, cualquier espacio con producto interno tiene una base ortonormal.

Proyección ortogonal Sea H un subespacio del espacio con producto interno V con base ortonormal

Si vϵV, entonces la proyección ortonormal de v sobre H denotada por proyHv está dada por (6)

Las demostraciones contrapartes en Rn.

de

los

siguientes

teoremas

son

idénticas

a

sus

TEOREMA: sea H un subespacio de dimensión finita con producto interno V. suponga que H tiene dos bases ortonormales

Sea vϵV. entonces:

Complemento ortogonal Sea H un subespacio del espacio con producto interno V. entonces el complemento ortogonal de H, denotado por H, esta dado por (7)

TEOREMA: Si H es un subespacio del espacio con producto interno V, entonces

TEOREMA DE PROYECCIÓN: Sea H un subespacio de dimensión finita del espacio con producto interno V y suponga que vϵV. entonces existe un par único de vectores h y p tales que hϵH, pϵH, y (8) v=h+p donde h=proyHv. Si V tiene dimensión finita, entonces p=proyHv. TEOREMA: Sea A una matriz de nxn; entonces A tiene vectores propios linealmente independientes si y solo si multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su multiplicidades algebraica. En particular, A tiene n vectores propios linealmente independientes si todos los valores propios son distintos (ya que entonces la multiplicidad algebraica de cada valor propio es 1).

4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt. Los vectores de una base pueden ser mutuamente perpendiculares, o pueden no serlo. Cuando son mutuamente perpendiculares se dice que es una base ortogonal.

Recuérdese que dos vectores u y v en si u · v = 0.

son ortogonales si y sólo

Si se tiene un conjunto de tres vectores u, v y w en , y se quiere verificar que sean un conjunto ortogonal, se necesitan realizar todas las combinaciones de los productos punto:

u·v , u·w , v·w

EJEMPLO 1:

Sean los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1), ¿son un conjunto ortogonal?

Al realizar los productos punto

u·v=0 , u·w=0 , v·w=0

Nos damos cuenta de que todos son iguales a cero, por lo que el conjunto de vectores es ortogonal.

Un conjunto de n vectores en ·

El conjunto es base de

·

Es un conjunto ortogonal.

es una base ortogonal si: y

Ejemplo 2:

Sean los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1); queremos determinar si son una base ortogonal de

Son 3 vectores en

, se forma la matriz

.

cuyo determinante detA = –24 (diferente de cero) , lo que implica que los vectores son linealmente independientes, y el conjunto es base de

.

Realizamos los productos punto y obtenemos que

u · v = 0,

u·w=0

y

v·w=0

por lo que el conjunto es ortogonal, entonces, es una base ortogonal.

Un conjunto de n vectores en

es una base ortonormal si:

·

El conjunto es base de

·

Es un conjunto ortogonal y

·

Sus vectores son unitarios

EJEMPLO 3:

En el ejemplo 2 se determinó que los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1) forman una base ortogonal y se quiere saber si son base ortonormal, esto es, hay que calcular sus magnitudes.

Obtenemos que no son vectores unitarios, por lo tanto no es una base ortonormal.

Recordamos que se puede obtener un vector unitario, paralelo y en la misma dirección de un vector dado, dividiéndolo entre su magnitud:

Vector unitario =

Se dice que el nuevo vector está normalizado.

EJEMPLO 4:

Al normalizar los vectores de la base ortogonal de los ejemplos 2 y 3 ,

u’ =

v’ =

w‘=

se obtiene una nueva base ortonormal.

EJEMPLO 5: Sean los vectores

. ¿ Forman estos vectores

una base ortonormal en

?

Son tres vectores en , y la matriz que obtenemos al poner los vectores como columnas es la matriz identidad, cuyo determinante vale 1. Esto implica que los vectores forman una base en

Los productos punto son todos cero. vectores unitarios, por lo que la base es ortonormal. A esta base de

.

Y los tres son

se le conoce como la base canónica.

Proceso de ortonormalización de Gram - Schmidt

Es posible transformar cualquier base en (no ortogonal y, por lo tanto, no ortonormal) en una base ortonormal usando el proceso de ortonormalización de Gram – Schmidt. Este método fue desarrollado por Jorgen Gram (1850-1916), actuario danés, y Erhardt Schmidt (1876-1959), matemático alemán.

Las fórmulas para este proceso incluyen normalizaciones (vectores unitarios), así como proyecciones de un vector sobre otro para obtener vectores ortogonales.

Consideremos el proceso para n = 3. Sean los vectores , y una base de ortonormal a partir de estos vectores.

. Obtendremos una base

Primer paso. Obtener un primer vector unitario

:

Segundo paso. Obtener un vector

ortogonal a

:

Tercer paso. Normalizar

:

Cuarto paso. Obtener un vector

ortogonal a

y a

:

Quinto paso. Normalizar

:

Ejemplo 5. Considere los vectores

= (1, 0, 1),

= (0, 1, 1) y

= (1, 0, 0) base

de . Transformar esta base en una base ortonormal por el proceso de Gram – Schmidt.

Primer paso. Obtener un primer vector unitario

:

Segundo paso. Obtener un vector

ortogonal a

:

Tercer paso. Normalizar

:

Cuarto paso. Obtener un vector

ortogonal a

y a

:

Quinto paso. Normalizar

:

Finalmente, el conjunto de vectores de

.

,

, y

es una base ortonormal