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• Uriel Horta Chi

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ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO Y SUS PROPIEDADES

4.5 ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO Y SUS PROPIEDADES. Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V , existe un numero complejo único ( u,v ), denominado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y α ∈ C, entonces 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

( v , v )≥ 0 ( v , v )= 0 si y solo si v=0 ( u,v +w)= ( u , v )+( u , w) ( u + v, w )= (u , w)+(v , w) (u , v)=(𝑣 , 𝑢) (αu , v)= α(u , v) (u , αv)=ഥ α(u , v)

-producto interno en 𝑅𝑛 . (u , v)= u* v -producto interno en 𝐶 𝑛 . Sean x=(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) y y=(𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) en 𝐶 𝑛 . Entonces (x , y)=𝑥1 𝑦1 + 𝑥2 𝑦2 + …+ 𝑥𝑛 𝑦𝑛 2 vectores en C 3 :

-Conjunto ortogonal: Un conjunto de vectores es ortogonal si: (𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 )=0

para 𝑖 ≠ 𝑗

- Se dice que los vectores son ortogonales porque estos son perpendiculares, es decir, forman un ángulo de 90 grados.

Ejemplo:

4.6.BASE ORTONORMAL, PROCESO DE ORTONORMALIZACION DE GRAMSCHMIDT.

Un conjunto de vectores es ortonormal si cualquier par de ellos es ortogonal y cada uno tiene longitud 1. El conjunto de vectores {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 } es un conjunto ortonormal en V si: • (𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 )=0 para 𝑖 ≠ 𝑗 Y • ||𝑣𝑖 ||= 𝑣𝑖 , 𝑣𝑖 =1

Si solo la primera se cumple, se dice que el conjunto es ortogonal.

--La norma de un vector. • ||v||=0 solo si v=0. - en 𝑅2 sea v=(x , y) ∈ 𝑅2 , entonces ||v||= 𝑥 2 + 𝑦 2 - en 𝑅3 sea v=(x , y, z) ∈ 𝑅3 , entonces ||v||= 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2

--Proceso de ortonormalizacion de Gram-Schmidt. Sea H un subespacio de dimensión m de 𝑅𝑛 . Entonces H tiene una base ortonormal. Sea S= {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑚 } una base de H. se probara el teorema construyendo una base ortonormal a partir de los vectores en S.(un conjunto de vectores linealmente independiente no contiene al valor cero) Paso 1. Elección del primer vector unitario. 𝑣 Sea 𝑢1 = 1 | 𝑣1 |

Entonces 𝑣

𝑣

1

𝑢1 *𝑢1 =(| 𝑣1 |)*(| 𝑣1 |)= (| 𝑣 1

De manera que ||𝑢1 ||=1

1

1

|2

)(𝑣1 ∗ 𝑣1 )=1

--Paso 2. elección de un segundo vector ortogonal a 𝑢1 𝑣2 ´=𝑣2 -(𝑣2 *𝑢1 ) 𝑢1 Entonces 𝑣2 ´*𝑢1 =𝑣2 ∗ 𝑢1 -(𝑣2 𝑢1 )(𝑢1 ∗ 𝑢1 )=𝑣2 ∗ 𝑢1 -(v∗ 𝑢1 )1=0

--paso 3. elección de un segundo vector unitario. 𝑣 ´

𝑢2 =| 𝑣2´ | 2

Entonces es evidente que {𝑢1 , 𝑢2 } es un conjunto ortonormal. Suponga que se han construido los vectores 𝑢1 , 𝑢2 ,…, 𝑢𝑘 (k