Espacio Con Producto Interno
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c c c
©
©
?
©
Muchas de las aplicaciones de las matemáticas están involucradas con el concepto de medición y por tanto, con el de magnitud o tamaño relativo de diversas cantidades. Luego no es sorprendente que los conjuntos o cuerpos de los números reales y los complejos que contienen una noción intrínsecamente de distancia jueguen un papel especial. El material que se presenta a continuación consideramos que todos nuestros espacios vectoriales se encuentran sobre el cuerpo [ · |
| .
Introducimos en las siguientes líneas la idea de distancia o longitud en los espacios vectoriales obteniendo una estructura mucho más rica, la famosa estructura de
? Êescribir detalladamente los elementos teóricos inherentes a los espacios con producto interno. ? ? ? ^| Êefinir los espacios con producto interno como objetos matemáticos. ^| Êesarrollar axiomáticamente el estudio de los espacios con producto interno. ^| Establecer algunos resultados en relación a la aplicación de propiedades y teoremas propios del estudio de los espacios con producto interno. ? ?ea ´* u âu [ u2 un espacio vectorial sobre el cuerpo [ con [ · o [ producto escalar sobre * , es una función denotada por
|u |
. Un producto interno o
de * * en [ que satisface las siguientes
condiciones: u u * u || p [
a.|
â u u â
u
p u
b.| p u
c.|
u
d.|
u
u
(conjugado)
u
? ?: 1|P á gin a
c c c
1.| * con el producto interno |u | se llama espacio con producto interno, interior o escalar. Al número real o complejo u
lo llamaremos producto interno o escalar de los vectores || .
§.| El producto interno u · , ya que según c) u u y esto sólo es cierto si u es un número real. 3.| Las condiciones a) y b) son indicadores de la linealidad de la primera componente y por lo tanto lo podemos resumir como sigue: p â u p u â
u
4.| Êe la observación anterior se deduce que u p p u 5.| ?i [ · la condición c) quedaría de la siguiente forma u
u
¿por qué?
u .
> | Un espacio vectorial real ´* u âu · u2 con un producto interno se llama también p p y un espacio vectorial complejo ´* u âu u2 con producto interno se llama p o p | ?e le asigna, cuando es posible, un producto interno a un espacio vectorial para definir sobre el conceptos geométricos como: distancia entre dos vectores, ángulos, modulo o norma, perpendicularidad, entre otros. Estos conceptos no son inherentes al espacio vectorial sino que dependen del producto interno que en él se consideren. ? ? ? 1.| En
´·
á ᧠â
§
u u · u2 es producto interno la función que transforma a cada par
á u u ᧠u § en
§
En efecto: Tomando
|u | · § ·
§
·
á u u ᧠u § áá § â
definida por
§
se cumplen las cuatro
condiciones. a.|
á u â á § u § u á u
´á â ᧠u
â
§
u ´á u
´á â ᧠á â ´ â ´áá â ᧠á â ´ ´áá
§
(ley interna en el espac. Vect.) (Êef. de la función)
â
§
(distr. en el cuerpo · )
´á§á
§
(conmut. y asoc. en · )
á u u á u ᧠u § u á u (Êef. de la función) §|P á gin a
c c c
b.| p á u u ᧠u § p á u p u ᧠u § ´p á ᧠⠴p
p ´á᧠â
§
§
p á u u ᧠u § c.|
á u u ᧠u § áá § â
§
á §á â
§
᧠u § u á u d.|
á u u á u áá â
Además suponiendo que
´á
§
§
â´
á u u á u ´á
§
§
´á
â´
á §.| En
´
§
u â u u2
es
producto
interno
la
§
´
§
´á u
función
|u |
u á â
u u § u
´ u
definida
por
á u ᧠u á u
u § u á`
`
á á§
§
á
`
a.|
á u ᧠u á â
u § u u u § u
´á
´á â
u ᧠â
´á§
§
§
§ ´á
(Êef. de la función)
´á ´ ´ ´á á á ´ á ᧠§
§
§
§
§
á u ᧠u á u u § u b.| p á u ᧠u á u
u § u p á up ᧠up á u p á â p á§
§
á u ᧠u á u
u § u á á§
§
á
§
᧠â
§
u § u u u § u
´
p á
â á§
§
â á
u §u
á â § ᧠â á á â
§
(distr. en · )
u §u
â p á
p á u ᧠u á u c.|
á â
á
§
᧠â
á
pues
pues â § â §
u § u u á u á § u á
3|P á gin a
c c c
á u ᧠u á u á u ᧠u á á á ᧠᧠á á ͙͙͙͙͙͙͙͙͙͙..͙͙͙.. (I)
d.|
á á â ᧠| È
Tomando
᧠᧠â ᧧ |
á á â ᧠| ͙͙͙. de (I) resulta
y
á u ᧠u á u á u ᧠u á á á â ᧠᧠â á á ´á
§
â ´á§
§
á u ᧠u á u á u ᧠u á ´á â ´á§
Además si
§
§
⠴᧠§
§
⠴᧧ §
§
â ´á
§
§
â ´á
§
§
â ´á § â ´á §§ â ´á â ´á
á ᧠᧠᧧ á á
á á§ á ´á u ᧠u á ´ u u
3.| En general para
´[
@
u âu [ u2 existe un producto interno llamado producto interno estándar @
|u | [ @ [ @
[ definido por:
á u ᧠uu á@ u
u § uu @ á`
`
`
4.| En
´
ë @
· u âu · u2 es producto interno la función
|u |
ë @
·
ë @
·
·
definida por
Au B tr B t A 5.| En
´·
@
u â u · u2 es producto interno la función
ß ß § siendo |||| § @ @ 6.| En el espacio vectorial ´m áu interno la función |u | m áu
u âu · u2 siendo m á u
m áu
|u | · @ ·
@
·
á u
definida por:
u
t
· | || es producto
· definida por: u á
a)| ?ea ´* u âu [ u2 un espacio con producto interno. El producto interior de cualquier vector con el nulo es igual a cero. b)| ?i el producto interior de cualquier vector con todos los elementos entonces es el vector nulo, es decir: u
u
V * siempre es cero,
*
!"
4|P á gin a
c c c
#
$# momo u
?ea se tiene
u
¿Por qué?
particular
â u
¿Por qué?
definición de |u |
u u
¿Por qué?
u u
¿Por qué?
u Implicando que
u
u V*
u â
â u
tomando en
por la condición d) de la
¿Por qué?... (I)
u
u
u
â u
, con lo cual
por propiedades en el cuerpo.
%& ?ea ´* u u [ u2 un espacio con producto interno. Entonces a.|
u â u
b.|
u p
u u * ||| p [ se cumplen:
â u
p u u , entonces
c.| ?i u
!" a.| u â
¿Por qué?
¿Por qué?
p
u
¿Por qué?
¿Por qué?
p
u
¿Por qué?
¿Por qué?
p u
¿Por qué?
u â u
u â u
u c.| ?i u
p u
â u
â u
b.| u p
¿Por qué?
u para todo * se cumple que:
u u
u u
¿Por qué?
u â u
¿Por qué?
u ¿Por qué? mon lo cual tomando resulta:
u
¿Por qué?
5|P á gin a
c c c
? ? ? 1.| Êetermine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas a)| Un producto interior es una función de valor escalar dentro del conjunto de pares ordenados de vectores. b)| Un espacio con producto interior debe estar sobre el cuerpo de los números reales o complejos. c)| Un producto interno es lineal en ambas componentes. d)| Existe exactamente un producto interior en el espacio vectorial · @ . §.| Êar razones por las cuales cada uno de las siguientes relaciones no son productos internos en los espacios vectoriales dados: a.| áu u u á en · § b.|
Au B tr A â B en § § ·
c.|
u en V · donde ' denota diferenciación.
3.| Êemostrar que u
A es un producto interno en
§
ß `
donde A
`
. Además calcular u §
para `u § ` u
§ `u §` Nota: * denota traspuesta conjugada (o adjunta) de una matriz
6|P á gin a
c c c
? % ' ?ea ´* u âu [ u2 un espacio con producto interno. Para * definimos la norma o la longitud de por
u . mon lo cual diremos que ´* u u [ u2 es un espacio normado. ? ? ? §à
1.| ?i p es el espacio de las funciones continuas, donde u
, entonces:
§à
wt
§
wtt
Resolviendo la integral tenemos §à
â §wt § t
§à
§ wtt
§à
t â §
§à
§wt t t â se@§wt § § w
§à
à
Así: wt à
§.| ?i p
§ §
· donde |u |
§ §
·
§ §
·
· tal que Au B tr B t A
ß § hallar: A §
?i
En efecto:
ßß ß § ß § u tr tr § § § §
%( ?ea ´* u âu [ u2 un espacio con producto interno. Entonces u u V * |||p V [ se cumplen: a.|
p p
b.|
c.|
u
d.|
â
â
(Êesigualdad de mauchy-?chwarz) (Êesigualdad Triangular)
!" |P á gin a
c c c
a.| p
p u p
¿por qué?
p u p
¿por qué?
p p u
¿por qué?
pp u
¿por qué?
p p
§
u
b.
u
¿por qué?
u
¿Por qué?
¿Por qué?
Además si u
por condición d) de la
u
definición de |u | se tiene que
¿por qué?
con lo cual
u p
c) propuesto d) â
§
â uâ
u â
â
¿por qué? uâ
¿Por qué?
â u â â u
¿Por qué?
u â
u â u
u â § e u
â
â
§
§
§
â
§
§ u â§
Êe aquí tenemos que â
¿Por qué?
u
¿Por qué?
u
¿Por qué? §
´
â
) ?ea ´* u âu [ u2 un espacio con producto interno. Un vector * es un vector unitario si ? 1.| En · u u · u2 con el producto interno estándar, el vector ß u u es un vector § §
´
unitario, su longitud es 1. §
§
En efecto ß â ß â § §
´
§
§.| ?ea · @ u âu · u2 con el producto interno estándar
á u ᧠uu á@
´á
§
´á§
§
á@ § es la
definición de longitud o norma Note: que para @ ||
}|P á gin a
c c c
* ?ea ´* u u [ u2 un espacio con producto interno. Una función * *
· diremos que es una distancia
sobre * si se verifican las siguientes condiciones: u a. u * u b. u * u u c. u u V * u u u
: al número real u lo llamaremos distancia entre || + ?ea ´* u u [ u2 un espacio con producto interno. Entonces x u
u V * define una distancia
en * . !" Estudiemos las condiciones de la definición 1. a)| x u || ||| por definición de y u
u
b)| x u
c)| u
de donde:
x
u
â
â
u â u
? 1.| En p · § se define el producto usual
´ u
u ´ § u
§
§ â
§
, tomando u § y
u § , entonces la distancia de | | es:
x u
u § u § u
Gráficamente:
f|P á gin a
c c c
§.| ?i
´
ë @
ß · u âu · u2 con el producto interno definido por Au B tr B t A , tomando A §
ß y B , entonces x u
ß ß ß ß tr
? ? 1.| Êe los comentarios anteriores se concluye que un espacio vectorial ´* u âu [ u2 con producto interno es a su vez un espacio normado y un espacio con una distancia definida. §.| En ´* u âu [ u2 con el producto interno estándar (producto escalar usual) tenemos la distancia u
definida para u § uu @ |||
u
u § uu @
´
u § §
´
uu
@
uu @
@
§
â ´ §
u
§
§ §
u
§
uu
@
u ´ u §
â â ´ @
§
uu @
@
§ @
? ? ? 1.| Êetermine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas a)| La desigualdad triangular se cumple solo para espacios con producto interno de dimensión finita. b)| La norma de un vector * espacio vectorial con producto interno, es igual a
u
c)| La norma de un vector V* espacio vectorial con producto interno satisface que u §.| ?ea *
u
.
.
con el producto interno estándar. ?ean §u `u ` u § `u §u §` calcular §
||
u u
luego verifique tanto la desigualdad de mauchy como la triangular.
3.| demostrar la ley del paralelogramo en un espacio ´* u âu [ u2 con producto interno, esto es, demostrar que:
§
§
§
§ §
§
u u V *
10 | P á g i n a
c c c
? ?, % ? - ?ea
´* u âu [ u2 un espacio con producto interno. Êos vectores u
denotará
u V * son ortogonales si u
. ?e
. Un subconjunto ? Ù * es ortogonal dos a dos, si u V ? tal que ð se cumple que u decir: u
(es
son ortogonales)
? ? 1.| §.| 3.|
u
*
, esto es, ?i u
la relación ortogonal es una relación simétrica y por ello se suele decir
son ortogonales en lugar de decir es ortogonal a . Pero esta relación no es reflexiva ni
transitiva, solo hay un vector relacionado consigo mismo, el cero, además los vectores u §u ,
uu y §u u en ·
fácilmente comprueban que aún cuando
y
pero u no son ortogonales.
? ? ? En ´· u âu · u2 los vectores u § dados son ortogonales con el producto escalar: a.| u §u u ||§ §u u Pues: § § b.| ´ § u u u || § ß § u u §
ߧ §
Pues: ´ §
´
c.| ß §uu u ||§ ´u u §
Pues § ß §
En ´· u â u · u2 con el producto escalar, la base canónica es un conjunto ortonormal. @
11 | P á g i n a
c c c
?ea ´* u âu [ u2 un espacio con producto interno se cumple:
u u u§ uu u r Ù * de
a.| Todo conjunto
vectores ortogonales dos a dos, que no
contengan al nulo, es linealmente independiente. b.| ?i un vector es combinación lineal de un número finitos de vectores ortogonales @
dos a dos, no nulos: u § uu @ entonces
u
c.| á | |
´p á
§
pu [
d.| ?iendo * de dimensión @ , si
u § uu ë Ù *
es un conjunto de vectores
ortogonales dos a dos, no nulos, entonces ë @ !" a.| ?ea u u u§ uu ur un conjunto ortogonal de vectores de * donde u` ð u ` uu r , probemos que es linealmente independiente. En efecto: r
?upongamos que
p u
` `
por tanto para cada u tenemos que
`
r
p u uu ` `
(prop. 1.§) pu â p §u § â â p r u r u u
`
p u u u â p § u § u u â â p r u r u u r
p
`
u` u u
͙͙͙͙͙.. (I)
`
Pero como u` u u
` ð (por ser A un conjunto ortogonal) y u u u ð
pues u ð u (por
hipótesis). Luego de (I) se desprende: p u u u u || uu r implica que p u ||| uu r indicando por definición que A es linealmente independiente.
@
b.| momo p con p ` [ u |||` uu @ | implicando
| u
@
p
u
1§ | P á g i n a
c c c
p â p § § â â p @ @ u p u â p § § u â â p u â â p @ @ u ¿por qué? p u ¿por qué?
Luego p c.|
u p á â
u
indicando que
§
@
u
p u á â u
§
¿por qué?
p â ¿por qué?
Por tanto ´p á â
definición 1.f
d.| Propuesto
% % ?ea
´* u âu [ u2 un espacio vectorial con producto interno y sea
? subespacio de * . El complemento
ortogonal de ? , que denotaremos por ? , es el conjunto formado por todos los vectores de * que son ortogonales a cada elemento de ? .
? V * u
u V ?
% ? 1.| ?i ? entonces ? * §.| ?i ? * entonces ? 3.| ?i * · § || |? u ·
entonces ?
u ·
%& ?ea
´* u âu [ u2 un
espacio vectorial con producto interno. El complemento ortogonal ? Ù * es un
subespacio vectorial de * !" I.|
? pues se cumple que
s ? su
¿Por qué? 13 | P á g i n a
c c c
II.| ?ean u ? probemos que ´ â
?
En efecto: sea s ? se cumple que â u s u s â
u s ¿Por qué?
Por tanto ´ â
¿Por qué? ¿Por qué? ?
III.| ?ean V ? y p [ probemos que p V ? En efecto: sea s ? se cumple que p u s p u s ¿Por qué? p ¿Por qué? ¿Por qué? Por tanto p V ? Finalmente hemos demostrado que ? es un subespacio vectorial de * ? lallar el complemento ortogonal del subespacio de * ·
generado por los vectores á u u y
uu .
?/0 !" momo * · Implicando
se tiene que: ? u u V · u u u u u
que:
â ||
? u u · ·
|| â
por
lo
que
u u u uu
? u u · · es
decir:
Êel resultado anterior ? es generado por u u , gráficamente por la recta del vector director u u .
%' ?ea ´* u u [ u2 un espacio vectorial con producto interno. ?i subespacio ? de * , entonces ?
u § uu ë es una base de un
u ` u `
!" ?upongamos que
? , entonces
u s u || s ? en particular
u ` u || s ` Ù ?
14 | P á g i n a
c c c
Recíprocamente supongamos que ë
u ` u || ` como es base de ? entonces
ë
s V ? s p ` `
us
`
u p ` ` `
u s p
u p §
u s u ||| s ?
u § p ë
u ë ¿Por qué?
¿Por qué?
? ¿Por qué?
Finalmente por ley del bicondicional se cumple la proposición. ? % ? ( ?ea
´* u âu [ u2 un espacio vectorial con producto interno. Êos vectores
ortogonales y además su norma es igual a uno, es decir u
|
u V * son ortonormales si son
|
) ?ea
´* u âu [ u2 un espacio vectorial con producto interno. Un subconjunto
? Ù * es ortonormal si ? es
ortogonal y consiste sólo de vectores unitarios. % ? 1.| En * · § con el producto interno estándar ? u u ues un conjunto ortonormal. §.| En general
´·
@
u â u · u2 con el producto interno estándar, la base canónica es un conjunto
ortonormal. 3.| En ´· § u âu · u2 los vectores u § dados son ortonormales con el producto escalar: ß ß u u | | § u § § § §
ß § ß § u u u || §
? ? es ortogonal sí y sólo si
u * |
|
15 | P á g i n a
c c c
* ?ea ´* u âu [ u2 un espacio con producto interno se cumple: a.| Todo conjunto u u u§ uu u r Ù * de vectores ortonormales, es linealmente independiente. b.| ?i
u u u§ uu uw es
un conjunto ortonormal de vectores de * entonces
* el vector u u u u u§ u§ u uw uw es ortonormal a cada uno de los u` . !" a.| Propuesto b.| Probemos que u u`
con ` uu w
En efecto
u u` u u u u u§ u§ u uw uw u u` que u u` u u u u u` u u§ u§ u u` u u` u` u u` u uw uw u u` u u` u u` Lo anterior implica que u` con ` uu w + ?ea ´* u âu · u2 un espacio euclidiano. ?e define el ángulo entre los vectores u * como: c
u
? ? 1.| Êe la definición se deduce que u §.| ?i
entonces u
c
y por lo tanto
c
y dado que se cumple que
à , lo cual garantiza el hecho de que dos § à vectores son ortogonales o perpendiculares si el ángulo comprendido entre ellos es igual a . §
ð | |
ð , se tiene que c ,es decir c
16 | P á g i n a
c c c
? El ángulo entre los vectores § u u §u §
u u es
ß ß ß § ß c § § § §
Por tanto u § no son perpendiculares.
? 1 2?3% - ?ea ´* u âu [ u2 un espacio con producto interno. Un subconjunto de * es una BA?E ORTONORMAL de * , si es una base ordenada de * y además es un conjunto ortonormal.
? ? ?
´
1.| En · § u âu · u2 con el producto interno estándar
ß u u ß u es una base § § § §
ortonormal. §.| En
´·
@
u âu · u2 con el producto interno estándar, entonces la base canónica ordenada,
´u uu
u ´ uuu
uu ´ u uu es una base ortonormal.
%. ?ea
´* u âu [ u2 un
espacio con producto interno y sea ? u
independiente (l.i) de * . Êefinimos ? u § uu @ donde
§
uu
@
y w
un conjunto linealmente w
w
w
u
§
(I) para
w §uu @ , entonces ? es un conjunto ortogonal de vectores no nulos tales que ? ? ? ? .
!" Procedamos por inducción sobre @ , haciendo ? @ u
§
uu
@
En efecto: Para @ , entonces el teorema es cierto pues ? ? ya que
ð 1 | P á g i n a
c c c
?upóngase que ? w u
§
uu
w
es (l.i) y que
? w u § uu w se construye usando la ecuación descrita
en (I) siendo este un conjunto ortogonal de vectores no nulos tal que ?VAN ? w ?VAN ?w ? w â u § uu w u w â también cumple con las condiciones descritas, donde
Probemos que w
w
w
w
u
͙.. (II)
§
w
w
Al suponer que w entonces en la ecuación (II) tenemos
Es decir,
w
es combinación lineal de
u § uu w , indicando
que
w
u
w â
§
?VAN ? w ?VAN ?w por
hipótesis inductiva, lo cual contradice la hipótesis del teorema del hecho que ? w â es (l.i) entonces w â ð
Veamos ahora si ? w â es un conjunto ortogonal, para esto busquemos el producto interno de w con los ` ? w
En efecto w
w â u `
w â
u `
w â
u `
w
w
u `
w â
w â
u `
w
w
` `
u §
u ` §
u ` §
u
u `
§
u `
de (II)
w
u §
§
§
§ u `
w
`
u ` §
` u `
w
w
u w §
w u `
` u ` `
§
Luego
? w â
es
ortogonal
y
por
propiedad
1.11
a)
es
(l.i).
mumpliéndose
que
?VAN ? w â ?VAN ? w â w â , por lo cual ?VAN ? w â ?VAN ? w â
Finalmente por inducción se concluye que la proposición es verdadera. ? La construcción de ? mediante el uso de la ecuación descrita en (i) se llama proceso de ortogonalización de Gran ʹ ?chmidt.
1} | P á g i n a
c c c
?
´
En · u u · u2 los vectores
´uu ,
§
´ uu y
´ u u son (l.i), entonces los vectores u § u
obtenidos según la ecuación descrita en (i) del teorema 1.§0 son ortogonales. ?olución:
´uu
§
§
§
u
§
§
u § § §
§
uuu uu uu
uu
u
§
uu
§
ß § ß § u uu u u u u
u u
§ uu ß § u u y §
u uu uu uu
ß u u § §
ß § ß Por tanto ? ´uu u u u u u u es un conjunto ortogonal de vectores de · , que además § § por propiedad 1.11 a) es (l.i).
% ?ea
´* u âu [ u2 un
espacio con producto interno de dimensión finita, entonces * tiene una base @
ortonormal
. Además si u § uu @ y * entonces u ` ` `
!" ?ea una base ordenada de * , según el teorema 1.§0 construiremos un conjunto de vectores ortogonales tales que ?
?
* .
Êividiendo cada elemento de entre su norma obtendremos un conjunto de vectores ortonormales que genera a * y por propiedad 1.1 a) es (l.i) por tanto es una base ortonormal de * . @
u § uu @ y * entonces á` ` con á` [ y ` uu @ ͙..(*)
Por otra parte, si
`
Además u
@
á u ` `
`
@
@
`
`
á` ` u á`l ` á` @
?ustituyendo en (*) tenemos u ` ` `
1f | P á g i n a
c c c
?
´
Êel ejercicio resuelto anteriormente se obtuvo en · u u · u2 un conjunto ortogonal de vectores que § forman una base de · : ´uu u ß u u u ß u u entonces para conseguir una base § §
ortonormal de · , basta dividir cada vector de
entre su norma.
Así:
u
§
§ u §
u
§ § §
Esto implica que: § §
´uu u ß u u u ß u u ´uu u ´§uu u ´ u u § § § §
es
una
base
ortonormal.
?ea
´* u âu [ u2 un
espacio con producto interno de dimensión finita, una base ortonormal
u § uu @ . ?ea à un operador lineal sobre * y A T
, entonces A` T u ` .
!" @
?egún teorema 1.§1 à à u ` ` pero el vector coordenada es único, esto quiere decir: `
ß à u à u § à M à u @
Por tanto A` T u `
§0 | P á g i n a
c c c
? ?ea
´uu u ´§uu u ´ u u una base ortonormal de · y T · §
·
un operador
lineal definido por T u u u u se tiene que: A T u
§ à § u
A§ T
à u
A T A§ T A§§ T
u § § u § u § § u §
§ à u §
à u
Êe donde:
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ß §
§
? ? ? 1.| Êetermine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas a)| El proceso de ortogonalización de Gran-?chmidt nos permite construir un conjunto ortonormal a partir de un conjunto arbitrario de vectores. b)| Todo espacio vectorial de dimensión finita con producto interno posee una base ortonormal c)| El complemento ortogonal de cualquier conjunto es un subespacio §.| ?ea ´* u âu [ u2 un espacio con producto interno, supóngase que son vectores ortogonales. Êemostrar que
§
§
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deducir el teorema de Pitágoras en · § .
3.| Êemuestre que para cualquier subespacio ¿ de un espacio vectorial ´* u âu [ u2 con producto interno de dimensión finita se cumple que: * ¿ ¿ 4.| En cada uno de los incisos siguientes aplicar el proceso de Gran-?chmidt al subconjunto ? del espacio vectorial ´* u âu [ u2 con producto interno. Encontrar además una base ortonormal para *
§1 | P á g i n a