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• Luciano Cruz

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Espacio muestral Espa c io m uest r a l Es

el

co njunto

po sible s

de

r e sultado s

ex per ienc ia

to do s

lo s

de

una

a lea t o r ia ,

lo

r e pr e se ntar e mo s po r E (o bie n po r la le tr a gr ie ga Ω ). Espacio

m ue st r al

de

una

mo ne da: E = {C , X } . Espacio m ue str al de un da do : E = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }. Suc eso a lea t o r io Suc eso a lea t o rio e s cualquie r subco nj unto de l e spacio mue str al . Po r e je mplo al t ir ar un dado u n suce so se r ía qu e salie r a par , o tr o , o bte ne r múlt iplo de 3 , y o tr o , sa car 5.

Ejem plo s de es pa c io s m uest r a les

1. blancas

Una y

bo lsa ne gr as.

co ntie ne Se

suce sivame nte tr e s bo las.

bo las

e xtr ae n

E = { (b, b,b ); ( b,b, n); ( b,n ,b) ; (n,b ,b) ; (b, n,n ) ; (n ,b, n) ; ( n,n ,b) ; (n, n,n )}

2. El suce so A = {e xtr ae r tr e s bo las de l mismo co lo r }. A = {( b,b ,b ); (n , n,n )}

3. El suce so B = {e xtr ae r al me no s una bo la blanca }. B=

{(b,b ,b) ;

( b,b, n);

(b ,n, b);

(n,b ,b) ; ( b,n ,n ); (n, b,n ); (n, n ,b )}

4. El suce so C = {e xtr ae r una so la bo la ne gr a } . C = {(b ,b, n); (b ,n,b ); (n, b,b )}

7.5 Probabilidad condicional y independencia Este tutorial: Parte A: Probabilidad condicional Parte B: Árboles y probabilidad condicional Parte C: Sucesos independientes (Se puede encontrar esta tema en la Sección 7.5 en la edición más reciente (6e) de Matemáticas finitas o la Sección 7.5 en la edición más reciente (6e) de Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

P: ¿Qué significa probabilidad condicional? R: Aquí está una breve iluscración de lo que significa: Suponga que se lance dos dados; uno rojo y uno

verde. Entonces sea D el suceso de que salga doble uno. Sabemos que P(D) =

1 36 . Suponga, sin embargo, que después de lanzar los dados, te entere de que el dado verde ha salido uno, pero todavía no sabe nada acerca el rojo. Entonces hay ahora una probabilidad de 1/6 de que todos dos hayan salido uno, pues la probabilidad de que el verde salga uno es 1/6. En otras palabras, la probabilidad de D ha cambiado cuando sabe usted que ocurrió el suceso relacionado: V: El verde sale 1

Llamamos a esta probabilidad (cambiada) de D la probabilidad condicional de doble uno, dado que el verde sale uno; es decir, la probabilidad condicional de D dado V. Escribimos: P(D|V) = 1 6 We say: La probabilidad de doble uno, dado que el verde sale uno, es igual a 1 6

(Hay más abajo una definición más exacto.) el siguiente concurso nos guiará a la definición matemática de la probabilidad condicional: CONCUR SO

Aquí está una tabla que muestra los resulultados (ficticios) de un ensayo clínico de una nueva crema para el acné Usó medicación

Usó placebo

Total

Condición mejor

800

600

1400

No cambio

500

100

600

Condición peor

200

300

500

Total

1500

1000

2500

(En estadísticas se refiere a este tipo de tabla como una tabulación cruzada o una tabla de contingencia.) Calcule las siguientes: P La probabilidad de que la condición de un participante mejoró (sin importar el tratamiento) es:

(Nota: Se puede ingresar todas las respuestas como fracciones.)

P Si supiéramos de antemano que el participante usó la medicación , entonces la probabilidad de que su condición mejoró es:

Este segunda probabilidad es probabilidad condicional: La probabilidad de que la condición de un participante mejoró dado que usó la medicación. Si escribimos E: La condición de un participante mejoró. F: Un participante usó la medicación,

entonces la probabilidad que acabamos de calcular es P(E|F). Lo calculamos por tomar la razón P( E

|F)

Número de los participantes cuya condición mejoró y quienes usó la medicación

= Número de los participantes quienes usó la medicación

Número de los resultados en E ∩ F

= Número de los resultados en F n(E ∩ F)

= n ( F) P( E ∩ F)

=

P( F) Divida arriba y abajo por n(S)

Probabilidad condicional Si E y F son sucesos, entonces la probabilidad de E dado F se define como P( E|F) = P( E ∩ F ) P( F)

Si todos los resultados son equiprobables, entonces podemos usar en cambio la siguiente formula alternativa: P( E|F) = n(E ∩ F) n ( F)

Para frecuencia relativa, podamos usat: P( E|F) = fr(E ∩ F) fr(F) Recuerde que fr(G) significa la frecuencia del suceso G.

Ejemplos 1. Si haya una probabilidad del 10% de que la luna estará en la séptima casa y Júpiter se alineará con Marte, y una probabilidad del 25% de que Júpiter se alineará con Marte, entonces ¿cual es la probabilidad de que la luna esté en la séptima casa, dado que Júpiter se alinee con Marte? Aquí, tome L: La luna está en la séptima casa J: Júpiter se alinea con Marte P(L|J) = P(L ∩ J)

P(J)

= .10 .25 = .4

2. Hay una probabilidad del 10% de que Ud. viajará a México y se encontrará a un desconocido alto y moreno, y una probabilidad del 90% de que se encontrará a un desconocido alto y moreno. P La probabilidad de que Ud. viajará a México, dado que se encontrará a un desconocido alto y moreno es:

3. Lance dos dados (uno rojo y uno verde) y sume los números oientados hacia arriba. Let E: El verde sale 5 . F: La suma es 9 .

P

P(E|F) =

P

P(F|E) =

Probabilidad condicional de ¿qué dado qué? A veces puede ser un poco difícil determinar por la formulación de una declaración si se refiera a P(E|F) o a P(F|E). El secreto es reformular la declaración en la forma La probabilidad de que _______ dado que (o suponiendo que) ________ es _________. Aquí son algunos ejemplos (las letras subrayadas indican los nombres de los sucesos asociados.)    

20% de los empleados que tomaron el curso mejoraron su productividad. Reformulada: La probabilidad de que un empleado mejorara su productividad, suponiendo que tomó el curso, es .20. Por lo tanto, P(M|T) = .20 80% de los empleados que mejoraron su productividad habían tomado el curso. Reformulada: La probabilidad de que un empleado había tomado el curso, suponiendo que su productividad mejoró, es .80. Por lo tanto, P(T|M) = .80 La probabilidad de que un accidente relacionado con las llantas resulte en un vuelco is .35. Reformulada: La probabilidad de [que un vehículo tenga] un vuelco, dado que ha experimentado un accidente relacionada con las llantaas, es .35. Por lo tanto, P(V|T) = .35 La probabilidad de que vuelco haya resultado de un accidente relacionada con las llantas es .65. Reformulada: La probabilidad de [que un vehículo ha experimentado] un accidente relacionado con las llantas, dado que tuvó un vuelco, es .65. Por lo tanto, P(T|V) = .65

Aquí están algunos ejemplos para usted: CONCUR SO

Elija la formula apropiada para cada declaración:

P(D|C) = .20

Q

De todas las personas casadas, 20% tuvieron casas.

P(C|D) = .20 P(D ∩ C) = .20

P(D|C) = .20

Q

Fue observado que 20% de las personas con casas fueron casadas.

P(C|D) = .20 P(C ∩ D) = .20

P(B|R) = .20

Q La probabilidad de que una persona pelirroja fue un estudiante de los bellas artes is .20.

P(R|B) = .20 P(R ∩ B) = .20

P(B|R) = .20

Q La probabilidad de que una persona fue pelirrojo es .20 suponiendo que sea elegido de los estudiantes de los bellas artes.

P(R|B) = .20 P(B ∩ R) = .20

P(V|B) = .20

Q Fue observado que 20% eran en viviendas subvencionadas y tuvieron ingresos bajos .

P(B|V) = .20 P(V ∩ B) = .20

P(B|V) = .20

Q La probabilidad de que una persona tuvó un ingreso bajo y era en vivienda subvencionada es .20.

P(V|B) = .20 P(B ∩ V) = .20

CONCUR SO

Unos de los 25,000 clientes de Conglomerado Colosal son clientes de "clase oro", y otros son clientes de "clase platino." Aquí está una tabla que muestra los números de los clientes en varios categorías:

Negocio pequeño

Clase oro

Clase platino

Total

8000

6000

14,000

Negocio grande

5000

1000

6000

Individuo

2000

3000

5000

Total

15,000

10,000

25,000

Asuma que se elija un cliente de Conglomerado Colosal al azar. Calcule las siguientes probabilidades: P

La probabilidad de que un cliente de clase oro sea un negocio grande es:

(Nota: Se puede ingresar todas las respuestas como fracciones.)

P

La probabilidad de que un un individuo sea un cliente de clase platino es:

Ud. ha invertido en acciones de Clones Caseros S.A. pues el Departamento de Control de Alimentos y Medicamentos (DCAM) está a punto de decidir sí or no aprobar el equipo "Clone-su-Hermano-a-Casa" de la compañia. Hay una probabilidad del 60% de que el DCAM aprobará el equipo, una probabilidad del 55% de que el valor de las acciones se doblará, y una probabilidad del 80% que el valor de las acciones se doblará si el DCAM proba el equipo . P La probabilidad de que el DCAM aprobará el equipo y también se doblará el valor de sus acciones es:

Ahora tiene varias opciones:   

Vaya delante a Part B por clicear el enlace "Tutorial siguiente" a la izquierda; Pruebe algunas preguntas en el concurso verdadero/falso (aviso: cubre todo el capitulo 7) por regresar a la página "Todo para matemáticas finitas"; Pruebe algunos ejercicios de repaso o bien ejercicios de la Sección 7.5 en el libro Matemáticas finitas o Matemáticas finitas y cálculo aplicado .

PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDIENTE

Probabilidad condicionada De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegación, búsqueda Probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B. No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación

causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos. El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.

Definición Dado un espacio de probabilidad (Ω,F,P) y dos eventos (o sucesos)

con P(B) > 0, la

probabilidad condicional de A dado B está definida como:

se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A.

Interpretación se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A. Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza,

sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está enfermo de gripe.

Gráficamente, si se interpreta el espacio de la ilustración como el espacio de todos los mundos posibles, A serían los mundos en los que se tiene dolor de cabeza y B el espacio en el que se tiene gripe. La zona verde de la intersección representaría los mundos en los que se tiene gripe y dolor de cabeza este caso

. En

, es decir, la probabilidad de que alguien tenga dolor de cabeza sabiendo que tiene

gripe, sería la proporción de mundos con gripe y dolor de cabeza (color verde) de todos los mundos con gripe: El área verde dividida por el área de B. Como el área verde representa representa a P(B), formalmente se tiene que:

y el área de B

Propiedades 1. 2.

Pero NO es cierto que

La proporción de zona verde dentro de B es la misma que la de A en todo el espacio y, de la misma forma, la proporción de la zona verde dentro de A es la misma que la de B en todo el espacio. Son sucesos independientes.

Independencia de sucesos Artículo principal: Independencia (probabilidad) Dos sucesos aleatorios A y B son independientes si y sólo si:

O sea que si A y B son independientes, su probabilidad conjunta,

ó P(A,B).

puede ser expresada como el producto de las probabilidades individuales. Equivalentemente:

En otras palabras, si A y B son independientes, la probabilidad condicional de A dado B es simplemente la probabilidad de A y viceversa.

Exclusividad mutua

Los conjuntos A y B no intersecan. Son mutuamente excluyentes. Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si y sólo si

. Entonces,

. Además, si P(B) > 0 entonces

es igual a 0.

La falacia de la probabilidad condicional La falacia de la probabilidad condicional se basa en asumir que P(A|B) es casi igual a P(B|A). El matemático John Allen Paulos analiza en su libro El hombre anumérico este error muy común cometido por doctores, abogados y otras personas que desconocen la probabilidad. La verdadera relación entre P(A|B) y P(B|A) es la siguiente:

(Teorema de Bayes)

Problemas de ejemplo ---La paradoja del falso positivo--La magnitud de este problema es la mejor entendida en términos de probabilidades condicionales. Supongamos un grupo de personas de las que el 1 % sufre una cierta enfermedad, y el resto está bien. Escogiendo un individuo al azar:

P(enfermo) = 1% = 0.01 y P(sano) = 99% = 0.99 Supongamos que aplicando una prueba a una persona que no tiene la enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de conseguir un falso positivo, esto es:

P(positivo | sano) = 1% y P(negativo | sano) = 99% Finalmente, supongamosque aplicando la prueba a una persona que tiene la enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de un falso negativo, esto es:

P(negativo | enfermo) = 1% y P(positivo | enfermo) = 99%

Ahora, uno puede calcular lo siguiente:

La fracción de individuos en el grupo que están sanos y dan negativo:

La fracción de individuos en el grupo que están enfermos y dan positivo:

La fracción de individuos en el grupo que dan falso positivo:

La fracción de individuos en el grupo que dan falso negativo:

Además, la fracción de individuos en el grupo que dan positivo:

Finalmente, la probabilidad de que un individuo realmente tenga la enfermedad, dado un resultado de la prueba positivo:

En este ejemplo, debería ser fácil ver la diferencia entre las probabilidades condicionadas P (positivo | enfermo) (que es del 99 %) y P (enfermo | positivo) (que es del 50 %): la primera es la probabilidad de que un individuo enfermo de positivo en la prueba; la segunda es la probabilidad de que un individuo que da positivo en la prueba tenga realmente la enfermedad. Con los números escogidos aquí, este último resultado probablemente sería considerado inaceptable: la mitad de la gente que da positivo en realidad está sana.

La probabilidad de tener una enfermedad rara es de 0,001: P(enfermo) = 0,001

La probabilidad de que cuando el paciente está enfermo se acierte en el diagnóstico es de 0,99: P(positivo | enfermo) = 0,99 La probabilidad de falso positivo es de 0,05: P(positivo | sano) = 0,05 Pregunta: Me dicen que he dado positivo, ¿Qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad?

Probabilidad Independiente De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegación, búsqueda En teoría de probabilidades, se dice que dos sucesos aleatorios son independientes entre sí cuando la probabilidad de cada uno de ellos no está influida por que el otro suceso ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no están correlacionados.

Definición formal Dos sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es igual al producto de las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos, es decir, si A y B son dos sucesos, y P(A) y

P(B) son las probabilidades de que ocurran respectivamente entonces:

A y B son independientes si y solo si

Motivación de la definición

Sean A y B dos sucesos tales que P(B) > 0, intuitivamente A es independiente de B si la probabilidad de A condicionada por B es igual a la probabilidad de A. Es decir si:

De la propia definición de probabilidad condicionada:

se deduce que deducimos trivialmente que

y dado que .

Si el suceso A es independiente del suceso B, automáticamente el suceso B es independiente de A.

Propiedades La independencia de sucesos es algo muy importante para la estadística y es condición necesaria en multitud de teoremas. Por ejemplo, una de las primeras propiedades que se deriva de la definición de sucesos independientes es que si dos sucesos son independientes entre sí, la probabilidad de la intersección es igual al producto de las probabilidades.

1.3 Probabilidad Condicional e independencia

En los problemas vistos hasta ahora, las probabilidades de los eventos se han calculado libremente, sin ninguna restricción y sin relacionarlos con la ocurrencia de otros eventos. Sin

embargo, muchas veces necesitamos encontrar la probabilidad de un evento A que está sujeto o condicionado a que haya sucedido otro evento B, al cual pertenece una parte del primero.

Escribiremos P(A | B) y significa “la probabilidad del evento A a condición de que ocurra el evento B”. Para que tenga validez lo anterior debe de cumplirse que:

1. Los eventos A y B pertenezcan al mismo espacio muestral S. 2. La probabilidad del evento condición debe ser mayor que cero, esto es, P(B)>0. 3. Al condicionar la ocurrencia del evento A al evento B, se realiza un cambio del espacio muestral S, actuando en su lugar el evento B como espacio muestral reducido; por lo que el evento (A | B) será la fracción de A que corresponde a B, que como ya vimos es la intersección de A y B.

De acuerdo a lo anterior, podemos decir que:

Si A y B son cualquier evento es el espacio muestral S y P(B)>0, la probabilidad del evento A a condición de que ocurra el evento B está dada por.

Esto se puede apreciar fácilmente mediante el diagrama de Venn

10.7 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE EVENTOS Probabilidad Condicional Es general el hecho que en un fenómeno aleatorio intervengan más de una condición, que a éstas, se incorporen nuevas condiciones, sobre las cuales se desarrolla el fenómeno. El agregar una nueva condición, puede modificar considerablemente la probabilidad del resultado de una operación u observación individual. La probabilidad de seleccionar un lapicero verde, en un almacén de artículos de oficina, es diferente a la probabilidad de seleccionar un lapicero en un estante de lapiceros. En tanto no se tome en cuenta la nueva condición, se tiene la probabilidad del evento, si se toma en cuenta la nueva condición se tiene la probabilidad condicional del evento. P(Evento A/dado el evento B) = P(A/B) = P(AB)/P(B) De los teoremas derivados de la definición anterior, se tiene el Teorema o Regla de la Multiplicación: Para toda colección de n+1 eventos A0, A1, A2,........An-1, An para el cual: P(A0 A1 ....... An-1) > 0 P(A0 A1...... An) = P(A0) P(A1/A0) P(A2/A0 A1) ... P(An/A0A1 ... An-1) La probabilidad condicional del evento A dado el evento B es la probabilidad de A en el espacio de probabilidad del evento B. Teorema de la Probabilidad Total

Este teorema es de suma importancia para la asignación de probabilidades, en fenómenos complejos (como los operados en el campo de las Bases de Datos) y se describe así : Si {Hn} es una colección numerable de eventos incompatibles para la cual es:

entonces para todo evento A es

donde N es el número natural o es infinito según que los Hn conformen una colección finita o infinita numerable, respectivamente. Eventos Independientes La noción de eventos independientes tiene un papel muy importante en la Teoría de la Probabilidad, pues ciertas relaciones que se presentan una y otra vez en problemas de probabilidad, pueden tener formulación general en términos de esta noción. Por tanto, dos eventos A y B se dicen independientes si se cumple: P(AB) = P(A) .P(B) Así, si tiramos dos veces una moneda correcta y se define los eventos: A: primera tirada resulta en cara B: segunda tirada resulta en cara y sabemos que P(AB) = P(cara, cara) = 1/4 porque cara, cara es uno de los cuatro eventos elementales igualmente posibles, y además se tiene que: P(A) = P(cara, cara) + P(cara, sello) = 1/2 P(B) = P(cara, cara) + P(sello, cara) = 1/2 de donde P(A) P(B) = 1/4 = P(AB) Teoremas Derivados Teorema: Si A y B son eventos independientes, también lo son los eventos A y C(B). Teorema: Bajo la hipótesis P(B) > 0, una condición necesaria y suficiente para que los eventos A y B, sean independientes es que :

P(A/B) = P(A) Un ejemplo clásico: Al tirar una moneda correcta dos veces, sean los eventos A: Cara la primera tirada B: Cara la segunda tirada C: El mismo lado en las dos tiradas para lo que se tiene: P(A) = P(B) = P(C) = 1/2 P(AB) = P(AC) = P(BC) = 1/4 P(ABC) = 1/4 luego: P(A) P(B) P(C) = 1/18 = 1/4 = P(ABC) en cambio al tirar una moneda tres veces se define los eventos Ai: cara en la i-ésima tirada, i = 1, 2, 3 se puede probar que P(Ai) = 1/2 y P(A1 A2 A3) = 1/8 Teorema: Si los eventos de una clase C son independientes y si alguno o todos los eventos en C son reemplazados por sus eventos. Teorema: Si A y B son eventos independientes, también lo son los eventos A y B son eventos independientes, también lo son los eventos A y

.

Teorema: Bajo la Hipótesis P (B) > 0, una condición necesaria y suficiente para que los eventos A y B sean independientes es que

Suficiencia: Si, ahora suponemos

, por el teorema de multiplicación

por lo que A y B son independientes. Definición. SeaC una colección de eventos. Se dice que los eventos en C son totalmente independientes (o estocásticamente independientes), o simplemente que son independientes, si la probabilidad de la ocurrencia conjunta de cualquier número finito de ellos es igual al producto de sus probabilidades individuales.

Esta definición implica que para toda colección finita A1, A2, ..., AN de eventos en C se cumple

Así, por ejemplo, si Cconsiste sólo de tres eventos A, B, C, se dirá que ellos son independientes si se cumplen las ecuaciones siguientes:

Si se cumple las tres primeras ecuaciones pero no la última, se dice que los eventos A, B, C son independientes dos a dos. Como se comprobará por el siguiente ejemplo, si los eventos de una colección son independientes dos a dos, ellos no son necesariamente independientes. La definición anterior podemos asociarla al acceso a datos de entidades (tablas o ficheros) independientes, dentro de una Base de Datos. Ejemplo: Al tirar una moneda correcta dos veces, sean los eventos A : Cara en la primera tirada B : Cara en la segunda tirada C : El mismo lado en las dos tiradas para los cuales se tiene

y

luego

En cambio si al tirar una moneda tres veces se definen los eventos

Ai : Cara en la i-ésima tirada, i = 1, 2, 3 se puede probar que

de lo cual se concluye que los tres eventos Ai son independientes. Nota.De la definición de independencia completa se sigue que si C es una colección N finita con N eventos, para decidir sobre su total independencia hay que comprobar 2 N-1 ecuaciones para probabilidades de intersecciones, pues el número total de N subconjuntos de C es 2 incluyendo el conjunto vacío y los conjuntos formados por un solo elemento de C. Como consecuencia de la definición de independencia total de eventos se tiene una generalización del teorema 2.5 en el siguiente teorema. Teorema: Si los eventos de una clase C son independientes y si algunos o todos los eventos en C son reemplazados por sus eventos contrarios, entonces los eventos en la clase C resultante son también independientes. Ensayos Repetidos Al tratar de la caracterización de un fenómeno aleatorio, se ha establecido como uno de los rasgos la posibilidad de "repetir indefinidamente, bajo condiciones idénticas", la observación. Estas observaciones constituyen ensayos repetidos, conceptos que pueden ser formulados analíticamente usando la noción de independencia estocástica. Para ello, consideremos el espacio muestral

asociado a un cierto fenómeno

aleatorio, en una sola observación. Supongamos que los elementos de son w1, w2, ..., a los cuales se les asigna probabilidades p1, p2, ... . Si se realizan dos observaciones sucesivas de este fenómeno, el espacio muestral asociado tiene como elementos los pares (wi, wj), a los cuales se les puede asignar probabilidades de varias maneras. Si las condiciones son idénticas para las dos observaciones, se implica la independencia de las mismas, puesto que el resultado de la primera no influye en el resultado de la segunda observación, lo que significa que el evento "el primer resultado es wi" y el evento "el segundo resultado es wj" son independientes, o que

Este resultado asigna una probabilidad a cada evento elemental en

y define una

función probabilidad sobre el conjunto potencia a . Además, con esta función probabilidad se puede demostrar que todos los eventos en el segundo ensayo son independientes de eventos en el primer ensayo. Para los propósitos de la teoría de probabilidad, esto describe "experimentos idénticos". La generalización de estas consideraciones a una sucesión de n observaciones, lleva a la siguiente definición. Definición: Sea un espacio muestral con elementos w1, w2..., cuyas probabilidades son p1, p2,... . El espacio muestral cuyos elementos son las n-tuplas (wi1, wi2, ... win) a los cuales se les asigna las probabilidades

es considerado como n ensayos independientes correspondientes al espacio

.

Aparte de la independencia de eventos, se puede considerar también la noción de independencia de familias de eventos, clases eventos. Definición: SeanA y B dos clases de eventos, es decir Ay B son conjuntos cuyos elementos son eventos en algún espacio . Se dice que dos familiasA y B son independientes si cada dos eventos seleccionados uno de cada familia, digamos A A y B B, son independientes. Esta definición puede ser generalizada mediante lo siguiente: Definición: Sea{A

} una familia de clases de eventos. Decimos que estas

clases de eventos son independientes si para cada selección eventos {B

A

los

} son independientes.

El teorema que se enuncia y demuestra a continuación, proporciona por lo menos un par de familias independientes de eventos. Teorema: Sean A y B dos eventos independientes y sean las clases o familias de eventos

A=

B=

Entonces, las familias A y B son independientes.

4.10 Probabilidad condicionada e independencia de sucesos Sea otro suceso

un suceso aleatorio de probabilidad no nula,

. Para cualquier

, llamamos probabilidad condicionada de A a B a la cantidad que

representamos mediante

o bien

y que se calcula como:

4.10.0.1 Ejemplo Se lanza un dado al aire ¿Cuál es la probabilidad de que salga el número 4? Si sabemos que el resultado ha sido un número par, ¿se ha modificado esta probabilidad?

Solución: El espacio muestral que corresponde a este experimento es

y se ha de calcular la probabilidad del suceso . Si el dado no está trucado, todos los números tienen la misma probabilidad de salir, y siguiendo la definición de probabilidad de Laplace,

Obsérvese que para calcular la probabilidad de A según la definición de Laplace hemos tenido que suponer previamente que todos los elementos del espacio muestral tienen la misma probabilidad de salir, es decir:

Por otro lado, si ha salido un número par, de nuevo por la definición de probabilidad de Laplace tendríamos

Esta misma probabilidad se podría haber calculado siguiendo la definición de la probabilidad condicionada, ya que si escribimos

y entonces

que por supuesto coincide con el mismo valor que calculamos usando la definición de probabilidad de Laplace.

4.10.0.2 Observación Obsérvese que según la definición de probabilidad condicionada, se puede escribir la probabilidad de la intersección de dos sucesos de probabilidad no nula como

O sea, la probabilidad de la intersección de dos sucesos, es la probabilidad de uno cualquiera de ellos, multiplicada por la probabilidad del segundo sabiendo que ha ocurrido el primero. Si entre dos sucesos no existe ninguna relación cabe esperar que la expresión ``sabiendo que'' no aporte ninguna información. De este modo introducimos el concepto de independencia de dos sucesos A y B como:

Esta relación puede ser escrita de modo equivalente, cuando dos sucesos son de probabilidad no nula como

 

4.10.0.1 Ejemplo 4.10.0.2 Observación

1.3.5 Teorema de Bayes

La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura permite el calculo de probabilidades después de haber sido realizado un experimento (probabilidades aposteriori), basándose en el conocimiento de la ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se parte de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento (probabilidades apriori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias del experimento (las que aparecen durante la ocurrencia del evento).

Continuando nuestro análisis sobre el teorema de Bayes, la probabilidad condicional de Ai dado B, para cualquier i, es:

Aplicando en el numerador la Regla de Multiplicación P(AiB) = P(Ai) P(B|Ai) y en el denominador el Teorema de Probabilidad Total P(B) = P(A1) P(B | A1) + P(A2) P(B | A2) + . . . + P(An) P(B | An), obtenemos la ecuación que representa al:

Teorema de Bayes

Ejemplo 3. 11. Referente al problema de la fábrica que produce dos tipos de reguladores A y B visto anteriormente en la aparte corresponde al Teorema de Probabilidad Total, cabe hacer el siguiente análisis: si se selecciona un regulador al azar de la producción de la fábrica y se ve que funciona bien ¿Cuál es la probabilidad de que sea del tipo B?

Solución

En este caso el estudio se restringe a los reguladores que funcionan bien, por lo que ese evento actúa como espacio muestral reducido, o sea como evento condición. Por lo tanto, el planteamiento de la pregunta es P(B | F). Los datos que se tienen son :

P(A) = 0.75

P(F | A) = 0.95

P(B) = 0.25

P(F | B) = 0.98

De acuerdo al Teorema de Bayes:

Podemos observar que el denominador corresponde al resultado obtenido al aplicar el Teorema de Probabilidad Total, lo cual debe ser así, ya que la probabilidad condicional establece que

. De esta forma podemos ver que la Probabilidad

Total es el denominador de la fórmula del Teorema de Bayes. También podemos observar que aplicando los conceptos de la Regla de Multiplicación y del Teorema de Probabilidad Total llegamos al planteamiento del teorema de Bayes, Veamos:

Ejemplo 3. 12. Una fábrica que produce material para la construcción tiene 3 máquinas, a las que se les denomina A, B y C. La máquina A produce tabique, la B adoquín y la C losetas. La máquina A produce el 50% de la producción total de la fábrica, la B el 30% y la C el 20%. Los porcentajes de artículos defectuosos producidos

por las máquinas son, respectivamente, 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar y se observa que es defectuoso, encontrar la probabilidad de que sea un tabique.

Solución

Definamos el evento D como sea un artículo defectuoso. De acuerdo a esto tenemos que:

P(A) = 0.5

P(D | A) = 0.03

P(B) = 0.3

P(D | B) = 0.04

P(C) = 0.2

P(D | C) = 0.05

Si el artículo del que deseamos calcular la probabilidad es un tabique, significa que es producido por la máquina A. También observamos que en la solución solamente participan los artículos defectuosos, ya que se pone por condición esta característica. Por lo tanto:

Ejemplo 3. 13. A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35 son mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres son especialistas en computación. Si se selecciona al azar a un especialista en computación ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Solución

Definamos los eventos:

H:

Sea un hombre

M: Sea una mujer E:

La persona sea especialista en computación

Tenemos que:

Por lo tanto: