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Espacios con producto interno Un espacio vectorial V con un producto interno se llama espacio con producto interno. Siempre que hagamos referencia a un espacio con producto interno, supondremos que el conjunto de escalares es el conjunto de los números reales. El producto interior euclidiano (o producto punto), es solo uno de varios productos internos que es posible definir en Rn. Para distinguir entre el producto interno estándar y otros posibles productos internos, se usa la siguiente notación.

u  v = Producto punto (producto interno euclidiano para Rn) u, v = Producto interno general para el espacio vectorial V

Definición de producto interno Sea u , v y w vectores en un espacio vectorial y sea c cualquier escalar. Un producto interno en V es una función que asocia un número real u, v con cada par de vectores

u y v que cumplen los siguientes axiomas. 1. u, v  v, u

Conmutativa

2. u, v  w  u, v  u, w Linealidad 3. c u, v  cu, v Proporcionalidad 4. v, v  0 y v, v  0 si y sólo si v  0 Positividad

Propiedades de producto interno El siguiente teorema menciona algunas de las propiedades de los productos internos. Sean u , v y w vectores en un espacio V con producto interno y sea c cualquier número real.

1. 0, v  v, 0  0 2. u  v, w  u, w  v, w 3. u, cv  c u , v Ahora vamos a dar algunos ejemplos de producto interno de dos vectores en Rn, M m , n , Pn y c  a, b  Ejemplo 1: De la forma Rn Sea u  (u1 , u2 ,..., un ) y v  (v1 , v2 ,..., vn ) El producto interno euclidiano o producto punto está definido de la siguiente forma n

u , v   ui  vi i 1

n

u, v   ui  vi  u1v1  u2v2  ...  un vn i 1

El producto interno euclidiano no es el único producto interno que se puede definirse en Rn. El ejemplo 2 ilustra un producto interno distinto. Observe que para demostrar que una función es un producto interno es necesario demostrar que se satisfacen los cuatro axiomas del producto interno descrito en la definición. Ejemplo 2: De la forma R2 Demuestre que la siguiente función u, v  u1v1  2u2v2 define un producto interno en R2, donde u   u1 , u2  y v   v1 , v2  Solución: Para demostrar que la función define un producto interno es necesario que cumpla los 4 axiomas.

1. Como el producto interno de los números reales es conmutativo u, v  u1v1  2u2v2  v2u2  2v2u2  v, u

2. Sea w   w1 , w2  , entonces

u, v  w  u1 (v1  w1 )  2u2 (v2  w2 ) u, v  w  u1v1  u1w1  2u2v2  2u2 w2 u, v  w  (u1v1  2u1v1 )  (u1w1  2u2 w2 ) u, v  w  u, v  u, w 3. Si c es cualquier escalar, entonces c u, v  c(u1v1  2u2v2 )  (cu1 )v1  2(cu2 )v2  cu, v

4. Ya que el cuadrado de un número real es no negativo. v, v  v12  2v22  0

Además esta expresión es igual a cero si y solo si v  0 (es decir, si y sólo sí v1  v2  0 )

Nota: El ejemplo 1 y 2 se puede generalizar de la siguiente forma n

u, v   ci ui vi  c1u1v1  c2u2v2  ...  cnun vn ci  0 i 1

El cual representa un producto interno sobre Rn. Las constantes positivas c1 ,..., cn se denominan ponderaciones o pesos. Si cualquier ci es negativo o cero, entonces la función anterior no define un producto interno. Ejemplo 3: De la forma M2,2

 b11 b12   a11 a12  Sean A    matrices en el espacio vectorial M2,2. La función:  B  b21 b22   a21 a22  A, B  a11b11  a21b21  a12b12  a22b22

Define un producto interno sobre M2,2. Ejemplo 4: De la forma Pn Sean los polinomios p( x)  a0  a1 x  ...  an x n y q( x)  b0  b1 x  ...  bn x n la función: p, q  a0b0  a1b1  ...  anbn

Define un producto interno sobre Pn Ejemplo 5: De la forma c  a, b Sean f ( x) y g ( x ) funciones continuas de valores reales en el espacio vectorial c  a, b . Demuestre que: b

f , g   f ( x) g ( x)dx a

Define un producto interno sobre c  a, b . Solución: Para demostrar que la función define un producto interno es necesario que cumpla los 4 axiomas: b

b

a

a

1.

f , g   f ( x) g ( x)dx  g ( x) f ( x)dx  g , f

2.

f , g  h   f ( x)  g ( x)  h( x) dx   f ( x) g ( x)  f ( x)h( x) dx b

b

a

a

b

b

a

a

f , g  h   f ( x) g ( x)dx   f ( x)h( x)dx f , g  h  f , g  f ,h b

b

a

a

3. c f , g  c  f ( x) g ( x)dx   cf ( x) g ( x)dx  cf , g 4. Ya que  f ( x)   0 para toda x, se sabe del calculo que 2

f , f    f ( x) dx  0 b

2

a

Con

f , f    f ( x) dx  0 Si y solo si f es la función cero en c  a, b o si a  b b

2

a

Definición de norma, distancia y ángulo La definición de norma (o longitud), distancia y ángulo para espacios generales con producto interno son bastante semejantes a las correspondientes para el espacio euclidiano n-dimensional Sean u y v vectores en un espacio V con producto interno. Norma: Dado un producto interno ,  , podemos definir su norma asociada como

u 

u, u

Que cumplen las siguientes propiedades:

u  0 y u  0 si y sólo si u  0 Positividad

u   u

Proporcionalidad

u  v  u  v Desigualdad triangular Por ejemplo, en el plano la norma asociada al producto escalar es:

u 

u, u  x12  y12  u

Es decir, coincide con el módulo lo longitud del vector u   x1 , y1  Distancia:

Además, una norma



nos permite definir una distancia entre vectores como:

d (u, v)  u  v

d (u, v)  d (v, u ) Simetria d (u, v)  0 y d (u, v)  0 si y solo si u  v Positividad d (u, w)  d (u, v)  d (v, w) Desigualdad triangular En particular, notar que la norma de un vector u puede interpretarse como la distancia del punto y al origen: u  d (u,0) En el plano, la distancia entre los vectores u, v o entre los puntos del plano

 x1, y1  ,  x2 , y2  que representan, resulta ser: d (u, v)  u  v  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2 En resumen se puede denotar las siguientes definiciones como: 1. La norma (o longitud) de u es u 

u, u

2. La distancia entre u y v es d (u, v)  u  v 3. El ángulo entre dos vectores diferentes de cero u y v está dado por

cos  

u, v , 0   u v

4. u y v son ortogonales si u, v  0 El siguiente teorema enumera las versiones del producto interno en espacios generales para la desigualdad de Cauchy-Schwarz, la desigualdad del triángulo y el teorema de Pitágoras. 1. Desigualdad de Cauchy-Schwarz: u , v  u v

2. Desigualdad del triángulo: u  v  u  v 3. Teorema de Pitágoras: u y v son ortogonales si y sólo si: u  v  u  v 2

2

2

Ejemplo 6: Uso del producto interno en C  0,1 Utilice el producto interno definido en el ejemplo 5 y las funciones f ( x)  x y g ( x)  x 2 en C  0,1 para determinar f y d ( f , g )

Solución: 1

 x3  1 f  f , f   ( x)( x)dx   x dx     0 0  3 0 3 1 f  3 2  d ( f , g )  f  g , f  g 1

2

1

2

2

2

 d ( f , g )  0  f ( x)  g ( x) dx  0  x  x 2  dx 2

1

1

1

 x3 x 4 x5  1  d ( f , g )  0  x  2 x  x dx        3 2 5  0 30 1 d ( f , g)  30 2

1

2

3

4

Proyecciones ortogonales en espacios con producto interno Sean u y v vectores en R2. Si v es diferente de cero, entonces se puede proyectar ortogonalmente u sobre v , como se muestra en la figura 1. Esta proyección se denota por proyvu . Dado que proyvu es un múltiplo escalar de v , podemos escribir. proyvu  av

Figura 1: Proyección de u sobre v

Definición de proyección ortogonal Sean u y v vectores en un espacio V con producto interno, tal que v  0 . Entonces la proyección ortogonal de u sobre v está dada por:

u, v v v, v

proyv u 

Ejemplo 7: Determinación de la proyección ortogonal en R3 Utilice el producto interno euclidiano, en R3, para encontrar la proyección ortogonal de u  (6, 2, 4) sobre v  (1, 2, 0)

Solución: proyvu 

u v (6 1  2  2  4  0) 10 v 1, 2,0  1, 2,0    2, 4,0  vv 5 11  2  2  0  0

Ejemplo 8: Obtención de la proyección ortogonal en C  a, b Sean f ( x)  1 y g ( x )  x funciones en C  0,1 . Utilice el producto interno b

f , g   f ( x) g ( x)dx a

Para hallar la proyección ortogonal de f sobre g Solución:

f ,g 

1 y g, g  g 2

proyg f 

2



1 por lo tanto, la proyección ortogonal de f sobre g es 3

f ,g 12 3 g x x g, g 13 2