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FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

PROYECTO GRUPAL

CONSOLIDADO TRABAJO COLABORATIVO

CALCULO 3

DIANA SOFÍA QUINTERO ZULUAGA COD 1721982552 LAURA MARCELA LEAL FORERO COD 1721980487 EDWIN ORLANDO QUINTERO RODRIGUEZ COD 1721980127 VALERY CATHERIN MASMELA PEREZ COD 1610010052

PRESENTADO A: LUISA MARTINEZ

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO MODULO DE CALCULO 3 FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS INGENIERÍA INDUSTRIAL 2018.

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Ejercicio a desarrollar: La espiral logarítmica, llamada la spira mirabilis o eadem mutata resugno es una curva paramétrica de la forma: 𝑐(𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos(𝑡) , 𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin(𝑡)) Donde 𝑎 y 𝑏 son números reales positivos.

Se requiere estudiar una propiedad geométrica de la espiral logarítmica que involucra el ángulo entre su línea radial y su línea tangencial. Efectúe los siguientes cálculos para comprobar la propiedad:

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‖𝑐(𝑡)‖ 𝑒𝑠 ‖𝑐(𝑡)‖ = 𝑎𝑒 𝑏𝑡

1. Muestre que la magnitud de la curva, Con la formula; reemplazando: ‖𝑓(𝑡)‖ = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ;

Por lo tanto el punto pide comprobar que: ‖𝑐(𝑡)‖ = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 2

Entonces: ‖𝑐(𝑡)‖ = √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝑡)) + ( 𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡))

2

Realizamos factor común de: (𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 ‖𝑐(𝑡)‖ = √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 (𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) + 𝑠𝑒𝑛2 (𝑡)) Como bien sabemos: (𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) + 𝑠𝑒𝑛2 (𝑡)) = 1; por identidad trigonométrica: Entonces: ‖𝑐(𝑡)‖ = √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2; y también se sabe que al tener una expresión elevada al cuadrado dentro de una raíz cuadrada ambas se eliminan por lo que el resultado es: ‖𝑐(𝑡)‖ = 𝑎𝑒 𝑏𝑡

2. Muestre que el vector tangente a la curva es:

Teniendo en cuenta el tiempo de los componentes debo derivar para hallar el vector tangente.

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Continúo utilizando la regla de la derivada del producto

Por último factorizo el término común 𝑎𝑒 𝑏𝑡

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3. Muestre que la rapidez de la curva está dada por la expresión:

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4. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos hasta el momento, muestre que el ángulo entre la curva y su vector tangente depende de la expresión:

Reemplazamos:

Operamos las ecuaciones internas del numerador con el fin de eliminar la multiplicación que se está haciendo entre las dos funciones:

Se empieza a realizar una simplificación; primero lo haremos por factor común de la expresión, (𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 ; del numerador:

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Al tener la expresión; (𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 en el numerador y denominador empleamos la eliminación por ser términos semejantes y quedaría la siguiente ecuación:

Siguiente paso; se elimina en el numerador la expresión; 𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑠𝑖𝑛(𝑡) ya que hay dos, una con signo positivo y otra con negativo lo que produce su eliminación: La ecuación quedaría de la siguiente forma:

Se realiza factor común de ( b ) en el numerador:

Por las identidades trigonométricas sabemos que: (𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) + 𝑠𝑒𝑛2 (𝑡)) = 1; por lo tanto, 1 pasaría a multiplicar a b, lo que daría el resultado:

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5. Si b ⟶ 0 ¿qué puede concluir acerca del ángulo, la línea radial y tangencial?:

El ángulo que se forma con respecto a la línea radial, tangencial y su curva es de 90°, formando una circunferencia.

6. Si 𝑏 ⟶∞ ¿qué puede concluir acerca del ángulo, la línea radial y tangencial?



La línea radial tiende a infinito.



La rapidez tiende a infinito.

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

Como 𝑐𝑜𝑠^−1(𝑥) es continua en todo su dominio,



Dividiendo por b tanto el numerador como el denominador,

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7. De una breve reseña sobre la spira Mirabilis (10 renglones máximo): En matemáticas, una espiral es una curva que se inicia en un punto central, y se va alejando progresivamente del centro al mismo tiempo va girando alrededor de él. La "espiral logarítmica" es conocida también por el nombre de "espiral de crecimiento", la podemos observar a menudo en la naturaleza. El primero en hablar de ella fue René Descartes en el año 1638, quien un año después de la publicación de "La Géométrie", se va encontrar con la curva mecánica que responde al problema planteado por Galileo sobre la trayectoria de la caída de un cuerpo atraído por la tierra en rotación. El término espiral logarítmica se debe a Pierre Varignon. La espiral logarítmica fue estudiada por Descartes y Torricelli, pero la persona que le dedicó un libro fue Jakob Bernoulli, que la llamó Spira mirabilis “la espiral maravillosa”.