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ENTREGA FINAL TRABAJO COLABORATIVO CALCULO III

PRESENTADO POR: María José Duran Ortiz Cod. 1711981041

Presentado a: Pineros raul

Institucion universitaria Politecnico Grancolombiano Ingenieria industrial Neiva-huila 27 de junio del 2018

Introducción

Para el desarrollo del trabajo colaborativo de calculo III, se trabajo con ejercicios que permitían afianzar los conocimientos, y profundizar los conocimientos obtenido en el modulo de las lecturas aplicadas para el desarrollo de ellos. Conociendo las espirales son curvas que tienen presencias donde se pueden encontrar en la naturaleza como en los animales plantas y en huellas dactilares El calculo es una rama de las matemáticas muy utilizado en ciencias, tecnología ingeniera e investigación, ya que, a través de este, se estimulan y desarrollan diversas habilidades y competencias. Pero para que esto se cumpla, es necesario un trabajo planificado y sistemático y sobre todo en equipo. En el presente trabajo se estudiará temas como derivadas y aplicaciones, desarrollado cada uno de los ejercicios con su respectivo procedimiento mediante el editor de fórmulas, aplicando cada una de las propiedades de las derivadas según sea el caso y así encontrar la solución a las expresiones matemáticas.

OBJETIVOS  

Elaboras las fases del trabajo colaborativo del módulo calculo III de manera grupal. Realizar observaciones de los aportes de los demás compañeros y estar al tanto de cada uno de los aportes, para una consolidación del trabajo final.

En coordenadas polares (𝑟, 𝜃) la formula de la curva puede escribirse como 𝑟 = 𝑎𝑏 𝜃 o bien 𝜃 =log b (r/a) Con números reales positivos a y b, a es un factor de escala que determina el tamaño de la espiral, mientras b controla cuan fuerte y en qué dirección esta enrollada. Para [b]>1 la espiral se expande con un incremento 𝜃, y para [b] = < 𝑎ⅇ 𝑏𝑡 (cos (t),sen(t) ) , 𝑎ⅇ 𝑏𝑡

( cos(t), sen (t) >

= (𝑎ⅇ 𝑏𝑡 ) < ( cos (t) , sen (t)), ( cos (t), sen (t)) > = a^2 𝑎ⅇ^2𝑏𝑡 ( cos^2(t) + sen^2 (t) ) = a^2 ⅇ^2𝑏𝑡 Luego: ││c (t)││ = √││c (t)││^2

= √a^2 ⅇ^2𝑏𝑡

= √(𝑎 ⅇ 𝑏𝑡 ) ^2 = 𝑎 ⅇ 𝑏𝑡

2. Muestre que el vector tangente a la curva es: C´(t)= (𝑎 ⅇ 𝑏𝑡 (𝑏 cos(𝑡) – sin (t)) ) + i (𝑎 ⅇ 𝑏𝑡 ( 𝑏 sin(𝑡) + cos(𝑡)) ) 𝑗

Sabemos que el vector tangente a la curva es la derivada de la curva, por lo tanto: C (t) =( 𝑎 ⅇ 𝑏𝑡 . b cos (t) . 𝑎 ⅇ 𝑏𝑡 (- sen(t) ), 𝑎 ⅇ 𝑏𝑡 . 𝑏 𝑠ⅇ𝑛 (𝑡) + 𝑎 ⅇ 𝑏𝑡 𝑐𝑜𝑠 (t) ) = ( 𝑎 ⅇ 𝑏𝑡 (𝑏 cos(𝑡) − 𝑠ⅇ𝑛 (𝑡) . 𝑎 ⅇ 𝑏𝑡 ( 𝑏 𝑠ⅇ𝑛 (𝑡) + cos( 𝑡 ) ) = 𝑎 ⅇ 𝑏𝑡 ( 𝑏 cos( 𝑡 ) − ⅇ𝑛 (𝑡)) ) 𝐽̂ , ( 𝑎 ⅇ 𝑏𝑡 ( 𝑏 𝑠ⅇ𝑛𝑡 + cos( 𝑡 ))𝐽̂ 3. Muestre que la rápidez de la curva está dada por la expresión

s (t) 𝑎 ⅇ 𝑏𝑡 √b 2 + 1

reúne que la rapidez de la curva de la derivada por lo tanto:

││c ´(t)││ ^2 = { 𝑎 ⅇ 𝑏𝑡 (𝑏 cos(𝑡) − 𝑠ⅇ𝑛 (𝑡) )}^2 . { 𝑎 ⅇ 𝑏𝑡 (𝑏 𝑠ⅇ𝑛 (𝑡) + 𝑐𝑜𝑠 (𝑡) )}^2 = 𝑎2 ⅇ 𝑏𝑡 {(𝑏 cos(𝑡) − 𝑠ⅇ𝑛 (𝑡 )^2 . (b sen (t) + cos (t)) ^2 } = 𝑎2 ⅇ 2𝑏𝑡 { (b cos (𝑡) − 𝑠ⅇ𝑛 (t)^2 + . ( b sen(t) + cos (t) ^2 } (𝑏 ^2 cos ^2 (𝑡) − 2 𝑏𝑐𝑜𝑠 (𝑡 ) sen(t) + 𝑠ⅇ𝑛^2 (t) + 𝑏 ^2 sen ^2 (𝑡) + = 𝑎2 ⅇ 2𝑏𝑡 { 2 𝑏 𝑠ⅇ𝑛 (𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 𝑐𝑜𝑠^2 (𝑡) =𝑎2 ⅇ 2𝑏𝑡 (b^2(cos^2(t) + sen^2(t) ) + sen^2(t) + cos^2(t) ) = (a ⅇ 𝑏𝑡 ) ^2 (b^2 .1) Entonces S (t) =││c ´(t)││= √(a ⅇ 𝑏𝑡 ) ^2 (b^2 . 1) =a ⅇ 𝑏𝑡 √b^2 . 1

7. teniendo en cuenta los resultados obtenidos hasta el momento, muestre que el angú lo entre la curva y su vector tangente depende de la expresión 𝑐(𝑡). c ´(t)

α= cos ^ − 1 (

││c ´(t)││ ││c ´(t)││

) = cos ^ − 1 (

𝑏2 √𝑏2+ 1

)

si hacemos α el angulo dirigido entre el Angulo 𝑐(𝑡) y su tangente c (t) tenemos cos α= ( =

𝑐(𝑡). c ´(t) ││c ´(t)││ ││c ´(t)││

)

a ⅇ 𝑏𝑡 ( 𝑐𝑜𝑠 (𝑡) .𝑠ⅇ𝑛 (𝑡) ). ⅇ 𝑏𝑡 ( 𝑏 𝑐𝑜𝑠 (𝑡) – 𝑠ⅇ𝑛 (𝑡).𝑏 𝑠ⅇ𝑛 (𝑡) + 𝑐𝑜𝑠(𝑡) a ⅇ 𝑏𝑡 . a ⅇ 𝑏𝑡 √𝑏2 + 1

(a ⅇ 𝑏𝑡 ) ^2 {( 𝑐𝑜𝑠 (𝑡) – 𝑠ⅇ𝑛 (𝑡) .𝑏 (𝑐𝑜𝑠 (𝑡)− sen (t)+ b sen(t)+ cos (t)}

=

a ⅇ 𝑏𝑡 ^2 √𝑏2 + 1

.

.

5. Si b →0 ¿qué puede concluir acerca del ángulo, la línea radial y tangencial?

Angulo 𝑙𝑖𝑚 aⅇ 𝑏𝑡 (𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 𝑠ⅇ𝑛(𝑡) + 𝑠ⅇ𝑛(𝑡) + 𝑐𝑜𝑠(𝑡)) 𝑏→0

= a (-sen (t)+ cos (t) C(t) . c (t) = a ( cos (t), sen (t) ) . a – sen (t) . cos (t) ) = 𝑎2 (−𝑐𝑜𝑠 (𝑡) 𝑠ⅇ𝑛 (𝑡) + 𝑠ⅇ𝑛 (𝑡) . 𝑐𝑜𝑠 (𝑡) =0 Por lo tanto son perpendicular

6 Si b → ∞¿qué puede concluir acerca del ángulo, la línea radial y tangencial? Angulo t

𝑙𝑖𝑚 =

√𝑏2 + 1 𝑏2

𝑏→∞

√ 𝑙𝑖𝑚

= 𝑙𝑖𝑚

2 𝑏→∞ 𝑏 + 1

= √1 =1

√𝑏 2

𝑏→∞

= 𝑙𝑖𝑚 √𝑏 2 + 1

= √ 𝑙𝑖𝑚

2

𝑏

𝑏→∞ 𝑏2 √𝑏2 + 1

1

2 𝑏→∞ 1 +𝑏 ∞

Línea tangencial 𝑙𝑖𝑚 𝑎ⅇ 𝑏𝑡 ( 𝑏 𝑐𝑜𝑠 (𝑡) – 𝑠ⅇ𝑛 (𝑡) . 𝑏 𝑠ⅇ𝑛 (𝑡) + 𝑐𝑜𝑠 (𝑡) 𝑏→∞

Se acerca ∞ 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑏 → ∞ por lo tanto no podemos decir nada de su convergencia 7. De una breve reseña sobre la spira Mirabilis (10 renglones máximo) La espira mirabilis es una curva que satisface que la distancia de cada punto ( (t) al origen es 𝑎ⅇ 𝑏𝑡 además de eso cumple con propiedades interesantes ya que cuando b= 0 las tangentes a la curva coinciden con las perpendiculares a la curva y de la misma manera sucede cuando b → ∞

Conclusiones

  

Con el desarrollo del trabajo se adquieren habilidades en el cálculo de espirales y convergencias. Se identificaron principios del cálculo, los cuales se colocaron en practica con el desarrollo del trabajo. El spira mirabilis pasando a ser herramienta básica del cálculo, con muchas aplicaciones en todos los campos de la ciencia e ingeniería.