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Instituto Tecnológico Superior de Tamazunchale

Ensayo (Método de Monte Carlo) Materia: Simulación

Docente: Ing. Gabino Márquez Pérez

Integrantes: Deyanira Eutimio Hernández Jesús García de la Cruz Luis Miguel Hernández Hernández Floridelia Hernández Hernández

Principalmente “Monte Carlo” proviene del nombre en clave de un trabajo secreto en el que von Neumann y Ulam emplearon esta técnica matemática (que ya era conocida anteriormente). Este trabajo se realizo en Los Álamos, durante el conocido proyecto para la fabricación de la bomba atómica. Esta técnica se genera artificialmente datos mediante el uso de un generador de números aleatorios y la función de probabilidad de interés. El generador de números aleatorios se emplea para generar variables aleatorias distribuidas uniformemente en el intervalo [0, 1]. La función de probabilidad a muestrear puede ser una distribución teórica (normal, exponencial, etc.) o puede ser empírica, es decir, puede estar basada en observaciones del sistema real.

Se dice que el Método de Montecarlo es usado en los lenguajes de programacion, el cual es una técnica para calcular probabilidades de un suceso, esto a través de secuencias de números aleatorios, un cálculo MC no es otra cosa que una integración. Se emplea no solo para simular sistemas estocásticos, sino también para resolver problemas deterministas (típicamente aquellos que no pueden ser resueltos analíticamente). La versión más simple de Monte Carlo consiste en: 1. Sortear valores para un conjunto X (1); X (2);….; X(n), de variables aleatorias (independientes e idénticamente distribuidas) a X.

2. Calcular Sn = X (1) +….+ X(n), la suma de los n valores sorteados.

3. Calcular

4. Calcular

Se dice que

es un estimador de Ø, indiscutiblemente van hacer valores

con probabilidades cercanos al resultado exacto, pero realmente nunca se llegara al verdadero resultado.

Un ejemplo sencillo es:

Supongamos que tenemos un satélite, que para su funcionamiento depende de que al menos 2 paneles solares de los 5 que tiene disponibles estén en funcionamiento, y queremos calcular la vida Ø útil esperada del satélite (el tiempo promedio de funcionamiento hasta que falla, usualmente conocido en la literatura como MTTF - Mean Time To Failure). Supongamos que cada panel solar tiene una vida útil que es aleatoria, y esta uniformemente distribuida en el rango [1000 hs, 5000 hs] (valor promedio: 3000 hs). Para estimar por Monte Carlo el valor de Ø, haremos

experimentos, cada uno

de los cuales consistirá en sortear el tiempo de falla de cada uno de los paneles solares del satélite, y observar cual es el momento en el cual han fallado 4 de los mismos, esta es la variable aleatoria cuya esperanza es el tiempo promedio de funcionamiento del satélite. El valor promedio de las

observaciones nos proporciona una estimación de Ø.

De esta simulación, tenemos un valor estimado para la vida útil esperada del satélite de 3683. Un indicador del error que podemos estar cometiendo es la varianza o equivalentemente la desviación estándar de Sn, que en este caso es (haciendo los cálculos) 297.

En conclusión nos dimos cuenta de que el Método de Monte Carlo sirve para realizar probabilidades aleatorias a través de la integración o por medio de la programacion, al cual es complejo saber su resultado deseado a través de las técnicas plateadas por Monte Carlos. Realmente este método no provee el valor exacto deseado, sino que hace solamente una aproximación al resultado buscado, con un cierto error. Para justificar el uso de Monte Carlo proviene de dos teoremas centrales de la probabilidad y la estadística, la Ley Débil de los Grandes Números y el Teorema del Limite Central (o Teorema Central del Límite).