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• Roberto Leal

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En el presente ensayo nos preguntamos ¡cómo la gente hacía ciertas cosas y procesos en busca de la línea tangente a una curva antes de los métodos modernos surgieron? Sin duda hubo intentos previos antes de que Newton inventara el método actual de diferenciación. Más específicamente nos preguntamos cómo dos grandes matemáticos, Isaac Barrow y Pierre Fermat, hicieron esta tarea formal en sentido matemático y simple. La indagación de cómo se hacían las cosas en el pasado nos ayuda a entender mucho. Nos permite ver los cambios que se han hecho llegar a nuestra comprensión actual. Nos ayuda a descubrir nuevas maneras de hacer las cosas, y nos permite ver el interior de la mente de los antiguos, estas maravillosas personas que cambiaron el mundo del pasado en el mundo de hoy. De hecho sólo un aumento general en la comprensión de un tema se produce cuando aprendemos estos métodos anteriores. Al entrar en esta investigación nos dimos cuenta de los métodos que se utilizaban, aunque resulta que no eran muy diferentes de nuestros métodos actuales, sólo con alguna notación extraña, el método de Fermat, en particular, fue casi el exactamente el mismo que el método actual, simplemente no tenían algunas de las técnicas que tenemos hoy en día para describir sus ideas, como los límites, y la notación función actual (f (x)). También utilizó únicos argumentos geométricos para describir su método. El método de Barrows también fue similar a los métodos actuales, de nuevo con el giro de la notación pasada de antaño, y de nuevo se retractó de su método a todo con argumentos geométricos, porque no le gustaba los formalismos del álgebra, y pensaba que el álgebra debería estar en el ámbito de la lógica en lugar de matematicas. Primero vamos a mostrar el método moderno de encontrar una línea tangente, específicamente a la curva f (x) = x ^ 3 + 2x en el punto (1,3). A continuación vamos a mostrar los métodos de Fermat y Barrows para encontrar tangentes. Finalmente vamos a comparar el método moderno de estos métodos anteriores. La forma actual de la búsqueda de una derivada en un punto tiene algunos métodos, la definición de la derivada de una función f en un punto A (denotado por f '(a ) es h 0 lim (f (a + h) -f (a)) / h, o la podemos encontrar con el limite cuando h 0 (f (x + h) -f (x)) / h . Por supuesto esto es sólo la definición, y no se utilizan algunas de las reglas que se aprende en el cálculo diferencial para hacer este proceso más fácil. Basta con decir que si quiero tomar la derivada de nuestra función f (x) = x ^ 3 + 2x puedo hacerlo mucho más rápido y más fácil que usando la definición de un derivado. Esta funcion 3x ^ 2 + 2, que evaluó en x = 1 nos da f '(1 ) = 3 * 1 ^ 2 + 2 = 5, por lo que la pendiente de nuestra curva en el punto (1,3) es 5. Luego de encontrar la ecuación de la recta tangente sólo se tiene que utilizar nuestra fórmula de la pendiente para dar como resultado: y- 3 = 5 (x-1) o y = 5x-2. Ahora el método de Fermat nos da una nueva visión de cómo se desarrolló la matemáticas para este método moderno. comparó el valor de una función en x con el valor en un punto x + E vecina, y se dio cuenta de que a medida que se hace E más y más pequeña, se obtienen valores que están más cerca y se aproximan al valor de la línea tangente en x + E (este proceso imita nuestro proceso de límite moderno, pero a la vez el concepto de tomar un límite que no se le había ocurrido matemáticos). "Así que si P es un punto de la curva a la que se desea la tangente y si las coordenadas del punto son (a, b) a continuación, un punto vecino en la curva con coordenadas x-A + E, y = f (a + E) se encontrará muy cerca de la tangente que se puede pensar como una tangente aproximada, así como en la curva. Si el

subtangente en el punto es TQ = c los triángulos TPQ y TP'Q 'puede ser tomado como prácticamente similar.

Este procedimiento está básicamente diciendo qué límite cuando E 0 (f (a + E) -f (a) / E es la pendiente de la curva en x = a, pero sin la notación límite desconocida anteriormente. El método de Isaac Barrow también fue muy similar a los métodos modernos, al igual que el método de Fermat Sin embargo en lugar de la E de Fermat (que es Dx y Dy en notación moderna) Barrow explicó su método de la siguiente manera. "Si M es un punto en una curva dada por una ecuación polinómica ... y si T es el punto de intersección de la MT tangente deseada con el eje x, entonces Barrow marca 'un indefinidamente pequeño arco que llama MN, en la curva. 'Luego sacó las ordenadas (valores y) en M y N y por medio de M una línea MR paralela al eje X. A continuación, llamar a la ordenada en M por la notación m, llamando t a la subtangente de seada en PT, y llama A y E los lados verticales y horizontales del triángulo MRN. Barrow señaló que la relación de A a E es igual a la relación de m a T, o como ahora expresamos, la relación de A a E para los puntos infinitamente cercanos es la pendiente de la curva. "Para encontrar esta relación procedió mediante la sustitución de x e y en f (x, y) = 0; Luego, en la ecuación resultante, hizo caso omiso de todos los términos que no contienen A o E (debido a que estos por sí mismos son iguales a 0) y todos los términos de un grado más alto que el primero en A y E, y, por último, que reemplazó a con m y E con t. De todo esto la subtangente se encontró en términos de x y m, y si se conoce X y M se encuentra T. Por todas las similitudes aparentes entre las suyas y Fermat en cuanto a trabajo son amplias aunque nunca fue mencionado Fermat en sus investigaciones. La comparación de los primeros métodos a los métodos modernos de primera parece una cosa difícil, pero en realidad sólo es una situación en la que se dice lo mismo pero con palabras o notaciones diferentes o anteriores por así decirlo. Estos métodos tempranaos para encontrar tangentes seguramente deben haber jugado algún papel en los propios métodos de Newton para lograr su cálculo diferencial. Su similitud con los métodos modernos es inconfundible, aunque ninguna mención de ellos como los fundadores de esta idea se hace en cualquier sala de clase moderna. Bibliografía Merzbach Uta C. Carl B. Boyer História da Matemática – tercera edición.