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• Santiago Pérez

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Energia y Momento de una Onda Electromagnetica Las ondas electromagnéticas transportan energía y momento. La energía transportada viene descrita por la intensidad, es decir, por la potencia media por unidad de area incidente sobre una superficie perpendicular a la direccion de propagacion. El momento por unidad de tiempo y por unidad de área transportada por una onda electromagnética se denomina presion de radiación. Intensidad. Considérese una onda electromagnética propagándose hacia la derecha y una región del espacio de forma cilíndrica de longitud L, seccion transversal A y con el eje dirigido de izquierda a derecha. La energía electromagnética media U m dentro de esta region es igual a um ρ , donde um es la densidad de energia media y ρ=LA es el volumen de esta region del espacio. En el tiempo en el que la onda recorre la longitud L, toda esta energía pasa a través de la base derecha de la superficie cilindrica. El tiempo ∆ t para que la onda recorra la distancia L es L/c, de forma que la potencia Pm (energia por unidad de tiempo) que pasa por la base derecha de la region cilindrica es: P m=

U m um LA = =u m A c ∆t L c

y la intensidad I (potencia media por unidad de área) es: I=

Pm =u m c A

La densidad de energia total de la onda μ es la suma de las densidades de energia electrica y magnetica. La densidad de energia electrica ue y la correspondiente magnética umag vienen dadas por: 1 ue = ϵ 0 E 2 2

2

y

umag =

B 2 μ0

En una onda electromagnética en el vacio, E es igual a cB, de modo que podemos expresar la densidad de energia magnetica en funcion del campo eléctrico: 2

E 2 2 c B E 1 2 umag= = = = ϵ0 E 2 2 μ 0 2 μ0 2 μ0 c 2

( )

2 en donde hemos utilizado c =1/(ϵ 0 μ 0). Por lo tanto, las densidades de energia eléctrica y magnética son iguales. Considerando que E=cB , podemos expresar la densidad de energía total de diversas formas útiles:

u=u e +u mag=ϵ 0 E2= Electromagnetica

2

B EB = μ 0 μ0 c

Densidad de Energía de una Onda

Para calcular la densidad de energia media remplazamos los campos instantaneos, E y 1 1 E0 y B rms = B0 , donde E0 y B0 son los B, por sus valores eficaces Erms= √2 √2 valores máximos de los campos. La intensidad es, por lo tanto, I =um c=

Erms Brms 1 E 0 B0 = =|⃗S|m μ0 2 μ0

donde el vector ⃗ ⃗ ⃗S = E × B μ0

Vector de Poynting Se denomina vector de Poynting al vector cuyo módulo representa la intensidad instantánea de energía electromagnética que fluye a través de una unidad de área perpendicular a la dirección de propagación de la onda electromagnética, y cuyo sentido es el de propagación. Se lo llama asi en honor a su descubridor, John Poynting. El modulo medio de ⃗S es la intensidad de la onda y la direccion de ⃗S es la direccion de propagacion de la onda.

Presión de radiacion. Mediante un ejemplo sencillo mostraremos que una onda electromagnética transporta momento. Consideremos una onda que se mueve a lo largo del eje x e incide sobre una carga en reposo como indica la figura.

E se encuentra en la dirección y y ⃗ B en la Por sencillez supondremos que ⃗ dirección z y despreciamos la dependencia con el tiempo de los campos. La particula E en la dirección y y, por lo tanto, es acelerada por el experimenta una fuerza q ⃗ campo eléctrico. En cualquier instante t, la velocidad en la dirección y es:

v y =a y t=

qE t m

Al cabo de un corto tiempo t1, la carga ha adquirido una energia cinetica igual a 2 2 2 1 1 m q E t 1 1 q2 E2 2 K= m v 2y = = t 2 2 2 m 1 m2

Al moverse en la direccion y, la carga expreimenta una fuerza magnética 2 ^ q EB t i^ ⃗ Fm =q ⃗v × ⃗ B =q v y ^j× B k^ =q v y B i= m

Obsérvese que esta fuerza se encuentra en la dirección de propagación de la onda. A partir de dpx = Fxdt, podemos determinar el momento px transferido por la onda a la partícula en el tiempo t1: t1

t1

px =∫ F x dt=∫ 0

0

q2 EB 1 q2 EB 2 tdt= t m 2 m 1

Teniendo en cuenta que B = E/c, resulta: 1 1 q2 E2 2 px = ( t ) c 2 m 1 Comparando las ecuaciones, veremos que el momento adquirido por la carga en la direccion de la onda es 1/c multiplicado por la energía. Aunque nuestro sencillo calculo no ha sido riguroso, los resultados son correctos. El módulo del momento transportado por una onda electromagnética es 1/c multiplicado por la energia que transporta la onda: p=

U c

Momento y energía de una Onda Electromagnética

Como la intensidad de una onda es la energia por unidad de tiempo y unidad de área, la intensidad dividida por c es el momento transportado por la onda por unidad de tiempo y unidad de área. El momento transportado por unidad de tiempo es una fuerza. La intensidad de onda dividida por c es, pues, una fuerza por unidad de área, que resulta ser una presión. Esta presión se denomina presión de radiación Pr: Pr =

I c

Presíon de radiación e intensidad

Podemos relacionar la presión de radiación con los campos eléctricos y magnético mediante el empleo de la ecuación para relacionar I con E y B, la ecuacion para eliminar E o B: 2

2

E0 B I E B E B Pr= = 0 0 = rms rms = = 0 2 c 2 μ0 c μ0 c 2 μ 0 c 2 μ0

Presión de radiación en función de E y B

Consideramos una onda electromagnetica que incide normalmente sobre una superficie. Si la superficie absorbe una energia U de la onda electromagnetica, tambien absorbe el momento p dado por la ecuacion,y la presion ejercida sobre la misma es igual a la presion de radiacion. Si la onda se refleja, el momento transferido sobre la superficie es 2p, porque la onda transporta ahora momento en sentido opuesto. La presion ejercida sobre la superficie por la onda es entonces el doble de la presion de radiacion.

Conclusiones  

Todas las ondas electromagneticas transportan energia y momento. El vector poynting representa la intensidad instantánea de energía electromagnética que fluye a través de una unidad de área perpendicular

Webgrafía 

Tipler, P., Mosca, G., & Casas Vázquez, J. (2014). Física para la ciencia y la tecnología. Barcelona: Reverté.