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Universidad de Cuenca

Comparación de métodos numéricos para encontrar raíces López Bernal Hugo David

Resumen—El siguiente paper nos demuestra las diferentes formas de hallar las raíces de una ecuación obtenido a través de un circuito ya presentado.

I.

se convierte en 1% del original valor (q0) en un momento t = 0.05 seg para valores dados de inductancia (L) y capacitancia (C) entonces nosotros puede reorganizar la ecuación (1) en univariable función de R como sigue [1, 12]:

INTRODUCCIÓN

A veces se necesita encontrar las raíces de una ecuación lo que significa buscar un valor de una variable desconocida de una función para que el valor de esa función se vuelva cero y a veces resultado mu complicado por lo que existen varios métodos para la ubicación raíz que se verán a continuación. II. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA En el circuito que se muestra en la fig.1 al principio se carga un condensador desde una diente de voltaje (DC) proveniente de un interruptor en la posición A

El valor de inductancia y capacitancia utilizada Aquí hay 5 H y 100 F respectivamente. III.

MÉTODO DE LA BISECCIÓN

Teorema: Una ecuación f(x)=0, donde f(x) es una función real continua, tiene al menos una raíz entre xl y xu si f(xl) f(xu) < 0.

Fig.1 Circuito RLC Cuando el condensador se carga hasta la cantidad de q0, entonces el interruptor se coloca en la posición 'B' y el condensador puede descargarse a través de El circuito serie RLC formado por el condensador (C), inductor (L) y resistencia (R). Si el condensador descargas a la cantidad de q en un momento determinado t, entonces la ecuación de q se puede escribir como se da en ecuación (1).

Ahora, si queremos averiguar el valor de resistencia (R) requerida para este circuito serie RLC para el cual la carga (q)

Fig.2 Funcion real Algoritmo 1) Escoger xl y xu supuestos para la raíz, tales que f(xl) f(xu) < 0, o en otras palabras, f(x) cambia de signo entre xl y xu. 2) Estimar la raíz, xm, de la ecuación f(x) = 0, como el punto medio entre xl y xu:

3) Comprobar a) Si f(xl) f(xm) ˂ 0, la raíz se encuentra entre xl y xm; entonces xl=xl y xu=xm. b) b) Si f(xl) f(xm) ˃ 0, la raíz se encuentra entre xm y xu; entonces xl=xm y xu=xu. c) c) Si f(xl) f(xm) = 0, la raíz es xm; entonces parar el

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algoritmo. 4) Encontrar la nueva estimación de la raíz:

5) Encontrar el error: Fig.4 tangente a la curva f(x) Usando la definición de pendiente de una función, en x=xi:

6) Comparar el error con el valor pre especificado entonces ir al paso 3, caso contrario parar el algoritmo. 7) Es importante, además, comprobar si el número de iteraciones es mayor que el número máximo permitido. Si es así, hay que detener el algoritmo y notificar. Lo que resulta en la fórmula de Newton-Raphson para resolver Ecuaciones no lineales de la forma f(x)=0:

Iniciando con un valor inicial supuesto, xi, se puede encontrar el siguiente valor xi+1. Se repite el proceso hasta encontrar la raíz dentro de la tolerancia especificada. Tabla 1 metodo de biseccion

Algoritmo 1) Evaluar f’(x) simbólicamente. 2) Usar un valor supuesto inicial de la raíz, xi, para estimar el nuevo valor de la raíz, xi+1, como: 3) Encontrar el error: 4) Comparar el error con el valor pre especificado entonces ir al paso 2, caso contrario parar el algoritmo. Es importante, además, comprobar si el número de iteraciones es mayor que el número máximo permitido. Si es así, hay que detener el algoritmo y notificar.

Fig.3 Error relativo IV. TEOREMA DE NEWTON RAPHSON Si la estimación inicial de f(x)=0 , está en xi , entonces si se dibuja la tangente a la curva en f(xi), el punto xi+1 donde la tangente cruza el eje X es una estimación mejorada de la raíz.

Fig.4 Metodo Newton Raphson

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3.2 MÉTODO Falsa posición El método de Posición Falsa, dos puntos encontrados de xl a xu están unidos por una línea recta. La intersección de esta línea con el eje x representa una estimación mejorada de la raíz. También se llama método de interpolación lineal. El proceso se repite para obtener estimaciones refinadas. A continuación se muestra un algoritmo simple para el método Regula-Falsi: 1. Elija el límite inferior y superior de las conjeturas iniciales, xl y xu respectivamente, de modo que la función cambie su signo durante el intervalo. Esto puede verificarse asegurándose de que

2.Una estimación de la raíz está determinada por

3. Determine en qué subintervalo se encuentra la raíz:

Algoritmo 1. Elija conjeturas iniciales que estarán cerca de la raíz verdadera. 2. Una estimación de la raíz está determinada por

3. Evalúe el porcentaje de errores aproximados utilizando la siguiente fórmula

Si Ea