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• Velasques Medina Angel

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FISICA II INGENIERÍA CIVIL

KLÉBER JANAMPA Q.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA

FISICA II Elasticidad

Kléber Janampa Quispe [email protected]

FISICA II INGENIERÍA CIVIL

KLÉBER JANAMPA Q.

I.

ELASTICIDAD

1. INTRODUCCIÓN Los diferentes objetos como una silla, el televisor, así como edificios, puentes, etc. disponen de una estructura que les permite proporcionar forma y protección para resistir fuerzas externas. Las estructuras están formadas por varias piezas o elementos y cada uno de ellos contribuye, a evitar que la estructura se rompa. Por ejemplo para diseñar adecuadamente edificios, puentes u otras construcciones, es necesario conocer profundamente como es la relación que existe entre las acciones externas (viento, sismo, cargas fijas y móviles, etc.) y la respuesta interna del material que constituye la estructura. Ello nos plantea caracterizar el comportamiento del material sometido a la acción de fuerzas externas. En el estudio de cuerpos rígidos, se definió un cuerpo rígido como un cuerpo ideal formado por un sistema de partículas donde las distancias entre ellas permanecen invariables; en consecuencia un cuerpo rígido no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas aplicadas. En la práctica todo cuerpo se deforma por efecto de una fuerza externa, deformaciones que aun siendo muy pequeñas tienen un efecto macroscópico importante. La capacidad de un sólido de sufrir cambios depende de su estructura molecular y de las características de los enlaces intermoleculares. Los sólidos pueden caracterizarse como cristalinos o amorfos. En un sólido cristalino sus átomos, moléculas o iones están en un arreglo ordenadamente tridimensional, formando una red periódica tridimensional llamada red cristalina. Cada átomo vibra respecto a su posición fija y no tiene libertad para moverse por la red. Un sólido compuesto de un solo átomo o molécula (Monocristal) se caracteriza por ser anisotrópico debido a las características de la estructura cristalina regular no presenta las mismas propiedades en todas las direcciones. En tanto que los policristales se caracterizan por ser isotrópicos, es decir presentan las mismas propiedades en todas las direcciones. Los sólidos amorfos, no presentan una estructura microscópica regular, por lo que se parecen más a los líquidos, sus átomos y moléculas se encuentran en un estado aleatorio y vibran respecto a posiciones fijas. El vidrio, el alquitrán, los polímeros de alta masa molecular como el plexiglás son ejemplos de sólidos amorfos. Los sólidos resisten a cambiar de volumen y forma en tanto que los líquidos resisten a cambiar de volumen pero no de forma.

Fig. 1 Estructuras diversas 2. PROPIEDADES ELÁSTICAS DE LOS SÓLIDOS La elasticidad, relaciona el comportamiento de los cuerpos que tienen la propiedad de recuperar su tamaño y forma cuando cesan las fuerzas que producen dichas deformaciones. Todos los cuerpos sólidos presentan propiedades elásticas en cierta medida. Al aplicar fuerzas externas sobre un cuerpo éste se deforma, aunque dichas deformaciones no se observan a gran escala, las fuerzas que resisten la deformación se vuelven fuerzas de corto alcance a nivel molecular. El comportamiento elástico del material está determinado por su estructura

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molecular y las fuerzas intermoleculares. La distancia intermolecular de un material no sometido a fuerzas externas depende del equilibrio entre las fuerzas moleculares de atracción y repulsión, las moléculas ocupan posiciones que hacen mínima la energía potencial. Cuando se aplica una fuerza externa aparece tensión en el interior del material, las distancias moleculares cambian y el material se deforma. Si las moléculas están firmemente unidas entre sí, la deformación no será muy grande incluso con una tensión intensa. En cambio, si las moléculas están poco unidas, una tensión relativamente pequeña causará una deformación grande. Cuando sobre un sólido deformable actúan fuerzas exteriores y éste se deforma (al modificar la posición de las moléculas del sólido) se produce un trabajo de estas fuerzas que se almacena en el cuerpo en forma de energía potencial y por tanto se producirá un aumento de la energía interna. El sólido se comportará elásticamente si este incremento de energía puede realizarse de forma reversible, de modo que cuando se deja de aplicar la fuerza, las moléculas vuelven a su posición de equilibrio y el sistema tiende a adoptar la configuración de mínima energía potencial y el material elástico recupera su forma original debido a las fuerzas internas que producen el reajuste de las posiciones moleculares. Más allá del límite de elasticidad, la fuerza aplicada separa tanto las moléculas que no pueden volver a su posición de partida, la energía no se recupera, y el material queda permanentemente deformado o se rompe. La deformación de un sólido puede caracterizarse en base a los siguientes conceptos: Esfuerzo: El esfuerzo es una consecuencia de las fuerzas internas de corto alcance que se producen en un cuerpo por la aplicación de fuerzas exteriores, por fuerzas internas se entienden fuerzas entre elementos macroscópicos con dimensiones pequeñas en relación con aquellas típicas del sólido considerado, pero grandes en comparación con las dimensiones típicas de los cristales. El esfuerzo es proporcional a la fuerza que produce la deformación, y se define como la relación entre la intensidad de la fuerza externa por unidad de área de la sección transversal.

F

Fig. 2 Un cuerpo en equilibrio Los átomos tienen una posición donde la energía interna es mínima

F

Fig. 3 El trabajo realizado por F aumenta la energía potencial interna y cambia la configuración de los átomos

Deformación: medida del grado de deformación, variación relativa de la forma o dimensión de un cuerpo sometido a esfuerzo. Depende del material que se deforma y de la naturaleza de la deformación:(estiramiento, aplastamiento, compresión, torsión). Módulo de elasticidad: para esfuerzos pequeños, se encuentra que el esfuerzo es proporcional a la deformación, la constante de proporcionalidad se denomina módulo de elasticidad, que se puede expresar como: Módulo elástico= (esfuerzo)/(deformación) Coeficiente de elasticidad: Si el esfuerzo es lo suficientemente pequeño la deformación es proporcional al esfuerzo, denominándose la constante de proporcionalidad coeficiente de elasticidad. El coeficiente de elasticidad nos cuantifica la facilidad que tiene un objeto para deformarse y el módulo de elasticidad la resistencia que opone al ser deformado. Un material es, por tanto, más elástico cuando menor sea su módulo de elasticidad. En los sólidos reales los coeficientes de elasticidad pueden depender también de la dirección en que es aplicado el esfuerzo, no son por tanto, isótropos en lo que a propiedades elásticas se refiere. Sin embargo, en este tema se considerarán sólo sólidos isótropos. 2.1 ELASTICIDAD DE LONGITUD: TENSIÓN La elasticidad de longitud mide la resistencia del sólido al cambio de longitud. Consideremos una barra que está sometida a dos fuerzas opuestas que actúan perpendicularmente a las caras del sólido como ilustra la figura 4 y tienden a estirarlo (tracción) o a comprimirlo (contracción). Las fuerzas aplicadas pasan por el centroide de la sección considerada (fuerzas axiales). En cada caso las fuerzas internas de nivel molecular se resisten a la deformación longitudinal de tracción o contracción. Si evaluamos la distribución de fuerzas internas en una porción de la barra, las fuerzas internas se hallan uniformemente distribuidas sobre la sección transversal, la resultante de las fuerzas aplicadas pasa por el centroide de la sección considerada. Puesto

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que cada porción está en equilibrio, la resultante de las fuerzas que actúan en direcciones contrarios deben tener igual valor F, a dicha fuerza resultante interna se denomina tensión.

l

l

F

F

F

F

F

F

F

F

Fig. 4. a Barra sometida a tensión de tracción

l

l F

F

F

F F

F

F

F

Fig. 4.b Barra sujeta a tensión de compresión En la porción de la barra sometida a tensión uniaxial, definimos el esfuerzo de tensión sobre la sección transversal como:



F

F A

l l+ l Fig. 5. Distribución de esfuerzos de tensión

donde σ es el esfuerzo unitario (N/m2), F es la fuerza aplicada (N) y A es el área sobre la cual actúa la fuerza (m2). El cambio de longitud que sufre la barra bajo esfuerzo de tensión uniaxial, se conoce como deformación longitudinal  l. La deformación unitaria se define como el cambio en la longitud por unidad de longitud, esta magnitud es adimensional (no tiene unidades):



l l

El módulo de elasticidad de longitud, que relaciona el esfuerzo y la deformación unitaria se define como:

 Y 

Y

F l

A l

El módulo de elasticidad de longitud Y mide la resistencia del sólido al cambio de longitud, es decir es una medida de la rigidez del material de cuan deformable sea; entre mayor sea el valor de Y, mayor es la rigidez del material. Este valor fue calculado a principios del siglo XIV por Thomas Young; por lo que se le llama módulo de Young. El módulo de Young de un material cualquiera puede cambiar con la temperatura. Esta ley es válida para la tracción y la contracción. Hay materiales para los que el módulo de Young para un esfuerzo de tracción es diferente al de contracción, por ejemplo el cemento. El cemento MDF (Macro-Defect Free) tiene una resistencia a la compresión 300 MPa, se encuentra que la resistencia a la tracción es muy baja, aproximadamente se encuentra entre 5% a 15% de la resistencia de comprensión. Un porcentaje óptimo puede considerarse en el orden del 10%. La deformación también se encuentra en el mismo rango correspondiente a la resistencia a la tracción. Cuando se somete un sólido a un esfuerzo de tensión no sólo cambia longitudinalmente sino también se modifica las otras direcciones, se observa que su sección transversal disminuye en tracción y aumenta en el caso de contracción. Experimentalmente, se observa que la deformación transversal es proporcional a la deformación longitudinal, cumpliendo,

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a h l   u a h l

a F h L Fig. 6 Deformación lateral

El signo menos de la ecuación anterior refleja que cuando la sección longitudinal aumenta, las otras dimensiones disminuyen. La constante u se denomina coeficiente de Poisson y es un parámetro adimensional. Aunque se le denomina coeficiente por razones históricas hay que tener presente que no es un coeficiente de elasticidad en el sentido habitual. En la mayoría de metales el coeficiente de Poisson está comprendido entre 0.25 y 0.45, pudiendo utilizarse como regla práctica u ≈1/3 para metales. En un sólido isótropo, sólo hay dos constantes elásticas independientes, de modo que las constantes elásticas se pueden expresar en función del módulo de Young y del coeficiente de Poisson. CURVA ESFUERZO DE TENSIÓN Y DEFORMACIÓN UNITARIA Experimentalmente se realizan ensayos de tensión, donde la muestra se somete a un esfuerzo de tracción axial a lo largo de su eje longitudinal. La figura 7 muestra la curva a típica del esfuerzo de tensión con respecto a la deformación unitaria, ésta curva permite evaluar varias propiedades mecánicas de los materiales, característica inherente del material que permite diferenciar uno de otro bajo fuerzas externas. En la figura 7 se distinguen claramente dos tipos de comportamiento:

b

c

d

λ λo Fig. 7 Relación entre esfuerzo y deformación. Deformación Elástico: Ocurre hasta que el esfuerzo aplicado alcance un valor en (c) de la Fig. 7, llamado límite de elasticidad. En esta zona, si el material es sometido a esfuerzo, al suprimir el mismo, éste retoma su forma original sin sufrir deformación permanente. Al principio del estiramiento, para esfuerzos suficientemente pequeños, la deformación es proporcional al esfuerzo, es en esta zona que es válida la Ley de Hooke. Esta zona de proporcionalidad elástica ocurre hasta que el esfuerzo aplicado alcanza un valor llamado “límite de proporcionalidad” (punto b). Más allá del límite de proporcionalidad, la gráfica se desvía de la recta y no existe una relación sencilla entre el esfuerzo y deformación. Sin embargo la deformación es reversible y cuando cesa el esfuerzo el material recupera su estado original. Deformación plástica o flujo plástico: Si la muestra se somete más allá del límite elástico (Fig. 7), entra la zona plástica en donde si quitamos el esfuerzo aplicado el material no vuelve a su estado original y queda permanentemente deformado, esto es el material presenta efectos de histéresis (líneas punteadas donde muestra una deformación permanente λo cuando cesa el esfuerzo aplicado). Si el esfuerzo continúa incrementándose, el punto final de esta zona es en el que se produce la fractura o ruptura del material, por ello se le denomina punto de fractura (d). El esfuerzo necesario para causar la fractura recibe el nombre de esfuerzo de ruptura, o resistencia límite. Entre el límite elástico y el punto de ruptura, a menudo existe una zona de fluencia, donde el material se deforma fácilmente, sin necesidad de aumentar el esfuerzo (región plana de la curva). Dependiendo del tipo de material, esta región de fluencia puede o no existir, si esta región es pequeña o inexistente, el material es frágil, si esta región es amplia, el material es dúctil.

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KLÉBER JANAMPA Q. σm E s f u e r z o

d

Deformación

Fig. 8 Procesos, hasta la ruptura de la muestra Es de vital importancia para los ingenieros que el diseño de estructuras por ejemplo, se realice dentro de la zona elástica lineal o proporcional, para evitar que las estructuras fallen.

Fig. 9. Curvas esfuerzos- deformación a la tensión, para distintos materiales. Los gráficos son cualitativos.

Tabla 1. Valores comunes para módulos elásticos Sustancia

Módulo de Young (N/m2)

Módulo de corte (N/m2)

Módulo volumétrico (N/m2)

Aluminio

7.0 x 1010

2.5 x 1010

7.0 x 1010

Latón

9.1 x 1010

3.5 x 1010

6.1 x 1010

Cobre

11 x 1010

4.2 x 1010

14 x 1010

Acero

20 x 1010

8.4 x 1010

16 x 1010

Tungsteno

35 x 1010

14 x 1010

20 x 1010

Vidrio

6.5 –7.8 x 1010

2.6 – 3.2 x 1010

5.0 – 5.5 x 1010

Cuarzo

5.6 x 1010

2.6 x 1010

2.7 x 1010

Agua

0.21 x 1010

Mercurio

2.8 x 1010

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KLÉBER JANAMPA Q. Tabla 2. Resistencia a la tensión de varios sólidos Material

Alambre de acero para piano Acero

Resistencia a la tensión (MN/m2) 3000 400 – 1500

Hierro colado

70 – 250

Aluminio puro

70

Aleaciones de aluminio Cobre Aleaciones de titanio Vidrio

140 – 550 140 700 – 1400 30 – 170

Seda de araña

250

Tendón humano

100

Licuación de los suelos por un sismo Básicamente afecta a suelos como arenas de baja compacidad o arcillas débiles en presencia de agua (saturadas o sumergidas); ocurre cuando la presión del fluido contenido en los espacios intergranulares aumenta repentinamente como consecuencia de la presión inducida por el paso de ondas sísmicas, haciendo que el contacto entre los granos disminuya a tal grado que el cuerpo llega a comportarse, por unos instantes, como un líquido denso. Lo anterior ocasiona deslizamientos en laderas o que los edificios pierdan la verticalidad en mayor o menor grado aunque sin sufrir, en muchos casos, daño considerable en su estructura. Es este caso, el suelo pierde toda su resistencia a corte y se comporta como un líquido. Los rellenos aún compactados son materiales muy susceptibles a licuación.

Teoría del rebote elástico en un sismo. En la corteza de la Tierra se acumula energía, gracias a procesos de deformación elástica. La figura 10 ilustra el proceso de liberación de esa energía, muestra cómo se produce la ruptura de una capa de rocas, después de superar el límite elástico. Allí resulta un conjunto de bloques desplazados a lo largo de las líneas de ruptura. La corteza terrestre está prácticamente, siempre y en todas partes, sometida a algún tipo de tensión. Las mayores concentraciones de tensiones se producen a lo largo de los límites entre las placas corticales, e incluso en su interior donde pueden producirse acumulaciones de tensiones que superen la competencia elástica de las rocas. La ruptura de las rocas debajo de los volcanes se produce debida a los movimientos de ascenso de magma y a la liberación explosiva de gases volcánicos. Siendo esto así, en todo momento existen en el mundo diversos sectores, grandes o pequeños, en que los esfuerzos elásticos acumulados en la corteza terrestre hacen que las rocas que allí se encuentran estén muy próximas a su punto de rotura probable. En estas circunstancias, basta un pequeño esfuerzo adicional para desencadenar un terremoto, comprendiéndose, por tanto, que los cambios causados por la tensión consecuente de un gran terremoto pueden provocar una reacción en cadena que se traducirá en una serie de sacudidas grandes o pequeñas. También es factible que las pequeñas alteraciones en el campo de esfuerzos de la corteza, generadas por el paso de depresiones ciclónicas profundas o por los ciclos de mareas terrestres, puedan desencadenar auténticas sacudidas.

Fig. 10. Teoría del rebote elástico: 1. deformación elástica, 2. fisuras de tensión, 3. fisuras de tensión y compresión, 4. fallamiento y liberación de la energía de deformación por ruptura

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Concreto La gráfica esfuerzo deformación del concreto (fig.11) nos muestra que el concreto posee una mayor capacidad para resistir esfuerzos de compresión que para soportar esfuerzos de tracción. Debido a este comportamiento, el concreto se emplea dentro de las estructuras para resistir esfuerzos de compresión y la parte de los esfuerzos de tensión o tracción es absorbida por el acero de refuerzo con que van armadas las estructuras. La resistencia a tracción del concreto se encuentra entre 5 a 15% de la resistencia a compresión, tomándose como porcentaje óptimo el 10%. El concreto presenta un comportamiento frágil bajo esfuerzos de tracción y de corte. Por esta razón, el esfuerzo de tensión que pueda soportar es casi siempre despreciable en el diseño de estructuras. Resistencia a la compresión = 20x106 N/m2

Fig. 11. Gráfica Esfuerzo - Deformación del Concreto Simple La curva característica de esfuerzo-deformación del acero permite visualizar la manera en que se comporta el material ante esfuerzos de tensión (figura 12).

Fig.12. Gráfica característica esfuerzo – deformación del acero. Cabe decir que, para las diferentes clases de aceros, esta curva varía en función de la cantidad de carbón que poseen las barras Ley de HOOKE Podemos expresar la ley de Hooke a partir de la expresión del módulo de Young. Para esfuerzos pequeños hay una proporcionalidad entre el esfuerzo de tensión y la deformación unitaria:

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  Y F l Y A l  YA  F    l  l  La cantidad de estiramiento o de compresión (cambio de longitud), es directamente proporcional a la fuerza aplicada. El trabajo realizado en la deformación de un cuerpo se acumula en forma de energía elástica interna en el cuerpo. Para aumentar la longitud un una barra de longitud inicial l en un diferencial d(∆l), se realiza un diferencial de trabajo dW, dado por:

dW  F d (l ) YA W   ( l )d (l ) l 1 YA W ( l ) 2 2 l 1 l W  Y ( Al )( ) 2 2 l 1 W  YV  2  U 2 U 1 2  Y V 2

a F h l

l

La última expresión, determina la energía potencial acumulada por unidad de volumen. Ejemplo Se tiene un muro sometido a una carga de 150 kN por metro de longitud y soportado por una cimentación de concreto la cual a la vez se apoya sobre el suelo. Calcular los esfuerzos actuantes en el muro, la cimentación y el suelo y compararlos con los esfuerzos máximos (admisibles) del muro, concreto y suelo respectivamente son: , ,:

150 kN

150 kN=F

muro 30cm

concreto

50cm

F Solución Muro

suelo

F

concreto que es menor que el

esfuerzo máximo de 3.92 M Pa, por tanto el muro es seguro. Concreto que es menor que el esfuerzo máximo de 4.83 M Pa, por tanto el concreto es seguro

F F suelo

Luego es esfuerzo en el concreto es igual a la del suelo, pues el área de contacto es el mismo y la acción de fuerza igual. El esfuerzo en el suelo es 0.3 MPa menor que el máximo 0.38 MPa.

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2.2 ELASTICIDAD DE LA FORMA: MÓDULO DE CORTE Los esfuerzos de tensión están relacionados con esfuerzos normales porque las fuerzas actúan perpendicularmente a la superficie. Ahora evaluaremos los esfuerzos generados por fuerzas aplicadas en dirección tangencial a la caras sobre las que actúan, cuando se aplica fuerzas transversales a una barra o pieza, esta experimenta fuerzas internas en el plano de la sección cuya resultante es F. Estas fuerzas internas son llamadas fuerzas cortantes. Las fuerzas distribuidas tangencialmente se denominan esfuerzos tangenciales, esfuerzos de corte o de cizalladura. El sólido reacciona inclinándose, de modo que el volumen del cuerpo permanece constante y la deformación correspondiente se denomina de deslizamiento. La fig. 13 muestra, que cuando se aplica una fuerza tangencial F a la cara superior del bloque éste se desliza, inclinándose la cara vertical un ángulo θ, mientras que la otra cara horizontal se mantiene fija. El deslizamiento del bloque lo podemos explicar asumiendo que está constituido por sucesivas placas planas o láminas (fig. 13), de modo que cuando se aplica la fuerza tangencial en la cara superior, éste desliza a la placa inferior y así sucesivamente entre las otras placas.

F

Δx y

F

F

θ

F

A

A F

(a) (b) (c) Fig. 13 (a) Fuerza tangencial sobre un bloque (b) Deslizamiento de las placas que constituyen el bloque (c) distribución uniforme de fuerzas internas en una lámina interna del bloque El deslizamiento entre las placas se da debido a las fuerzas internas de fricción entre placas, estas fuerzas internas dan lugar al esfuerzo cortante o de cizalladura. La placa en contacto con la superficie permanece en reposo, y como el bloque permanece deformado en equilibrio la fuerza de la superficie de apoyo sobre ella es de igual valor y dirección contraria a F. Para una distribución uniforme de las fuerzas internas se define el esfuerzo de corte o de cizalladura como:

s 

F A

Donde F es la resultante tangencial de las fuerzas internas que actúan sobre la superficie de área A. La deformación de corte o cizalladura o deformación angular, se define como la tangente del ángulo de deformación

s  tan  s 

x y

Para ángulos θ muy pequeños se puede aproximar a:

s  tan    s  

La relación entre el esfuerzo de corte σs y su deformación λs se llama módulo de elasticidad de corte G:

G G

s s F



A

Fig. 14 Relación entre el esfuerzo de corte y de tensión

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El módulo de corte (también llamado Coeficiente de rigidez) mide la resistencia al movimiento de los planos de un sólido a deslizar uno sobre otro, mide la resistencia del sólido a deformarse. Consideramos un bloque cúbico (fig. 15) sometido a esfuerzo de corte, que se distribuye de la siguiente forma

F

n

n σ σ

F F

m

D/2

p

p

m σ σ

q

F (a)

(b)

q (c)

Fig. 15. Bloque cúbico sometido a esfuerzo de corte Una deformación por cizalladura se pude considerar que es una combinación de:  Esfuerzo de tracción  Contracción lateral Es decir en una deformación de corte se puede considerar que se aplican simultáneamente fuerzas de tracción en un par de caras opuestas y fuerzas de compresión en otro par. Consideremos un cubo sometido a esfuerzo de corte Fig. 15a, en ella evaluamos el cubo mnpq Fig.15.b, que bajo la acción del esfuerzo de corte se desliza, dicho efecto se considera como el resultado de esfuerzos de tracción y comprensión como ilustra la Fig. 15c. Ahora determinemos la deformación longitudinal por tracción del cubo de lado mn igual a l = D/2

1 

l1   D Y 2

Por efecto de la compresión el lado np tiene una deformación unitaria λ



l   D Y 2

La compresión estira más el lado mn, la que se deduce mediante:

2 

l2  u D 2

2  u



Y

La deformación unitaria total del lado nm resulta

l1 l2     u D D Y Y 2 2 l  (1  u )  D Y 2

1  2 

La deformación unitaria, para una longitud D resulta:

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D 2l  D D D l  (1  u )   D D Y 2 D  (1  u )  D Y

ΔD

F

Δx Q

45º

D l

La deformación de corte del bloque cúbico resulta:

θ

s  tan 

F

x s  y

Fig. 16. Desplazamiento ∆x

Para desplazamientos muy pequeños, el ángulo en Q de la Fig. 16 tiende a ser perpendicular a la prolongación del diámetro D, por lo que resulta:

x  2 D y

D 2

D D  (1  u ) s  2 Y

s  2

Luego, el módulo de corte o de cizalladura, al igual que el módulo de compresibilidad, se puede expresar en función del módulo de Young y del coeficiente de Poison:

G

s   s 2 (1  u )

G

Y

Y 2(1  u )

De los valores del coeficiente de Poisson se deduce que el valor del módulo de cizalladura suele estar comprendido entre Y/3 e Y/2. Esfuerzo cortante doble: En este caso, el corte, en la barra central se resiste a través de 2 áreas

De manera que:

Ejemplo: Calcular los esfuerzos normales en las barras AB y CB y los esfuerzos cortantes en los pasadores en A y C, cuyo diámetro es de 1.2 cm. La sección transversal de las barras es de 8cm2.

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2m

TCB TAB

TAB

TAB

37º

B

B

A 9KN

TCB B

TCB

Desarrollo Del DCL:

9KN

C

Esfuerzos normales de tensión en los alambres , compresión En cada barra ⁄

, tracción Esfuerzos de corte en los pasadores, el área de los pasadores En A hay esfuerzo de cortante doble

En C esfuerzo contante simple

2.3 MÓDULO VOLUMÉTRICO. ELASTICIDAD DE VOLUMEN: El módulo volumétrico caracteriza la respuesta de un cuerpo a una fuerza uniforme aplicada perpendicularmente sobre toda su superficie. Si consideramos un sólido de forma cúbica (Fig. 17), al cual se aplican fuerzas uniformes en todas sus caras; este es el caso, por ejemplo, cuando sumergimos un sólido en un recipiente lleno de un líquido; el esfuerzo de volumen, llamado en este caso presión, se define como:

p 

F A

La deformación de relativa del volumen del cuerpo, es:

V V

El Módulo volumétrico β, que mide la resistencia que sólidos o líquidos presentan a los cambios de volumen, se define como:

p V V F   A V V

 

F Fig. 17. Esfuerzo volumétrico

A

El signo menos garantiza que β sea positivo, en razón que ΔV es menor que cero puesto que el cubo se comprime. Al recíproco del módulo volumétrico se denomina módulo de comprensibilidad del material.

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Para el sólido cúbico, se demuestra la siguiente relación que vincula el módulo de Young y el coeficiente de Poisson



Y 3(1  2u )

En el cubo de la Fig. 18, se muestra el cambio de volumen cuando es sometido a esfuerzo de volumen Las variaciones de sus lados serán respectivamente a , l y h l Determinemos el cambio de volumen del cubo: El volumen inicial es:

a

V  lha

El volumen final

a  a h  h l  l )( )( ) a h l h a h l V ´ V (1  )(1  )(1  ) a h l a h a h l a l h l a h l V ´ V (1        ) a h a h l a l h l a h l V ´ lha(

Fig. 18. Cambio de volumen del cubo sujeto a presión La variación de volumen resulta:

V  V ´V V a h l a h a l h l a h l        V a h l a h a l h l a h l V a h l    V a h l Ahora determinemos la variación longitudinal de un lado del cubo, el lado de longitud l; para ello consideraremos la variación de la longitud de l es el efecto de la compresión directa l1 más el efecto de alargamiento por la comprensión de los lados a y h que denominaremos l2 y l3 respectivamente l De modo que

∆l1

l  l1  l2  l3 Calculemos

l1 por la comprensión del lado l

(l1 ) F Y A l l1 F  l YA

F A Fig. 19. Deformación longitudinal en l

La variación del lado h por comprensión es

F

(h2 ) F Y A h

∆l2

A

Comprensión que genera el alargamiento del dado por

l2 h  u 2 l h

Resultando

∆h2 h

l2 F u l YA Fig. 20. Deformación longitudinal en h

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De igual manera para el lado a, la comprensión de a genera un alargamiento de l dado por

l3 F u l YA

De modo que la variación longitudinal total de l es:

l l1 l2 l3    l l l l l F F F  u u l YA YA YA l F   (1  2 ) l YA Por simetría para un cuerpo homogéneo la variación longitudinal de los lados h y a son respectivamente

h F   (1  2u ) h YA

a F   (1  2u ) a YA

De donde podemos obtener: el cambio de volumen total

V a h l    V a h l

V F   3(1  2u ) V YA

Reemplazando en la expresión del módulo volumétrico obtenemos la relación con el coeficiente de Poisson

 

F V

A



V

F A F 3(1  2u ) YA



Y 3(1  2u )

Relación que es válida para un sólido isotrópico de forma cualquiera ya que siempre podemos considerar que todo sólido está formado por cubos infinitesimales. De la última expresión, podemos deducir que el coeficiente de Poisson debe ser menor que 1/2 para que β sea positivo. Incidentalmente, si u tiende a 0.5, β tiende al infinito, o sea el material sería incompresible. 3. FLEXIÓN Los cuerpos pueden experimentar esfuerzos de tensión y compresión al mismo tiempo, así tenemos por ejemplo, una viga horizontal apoyada en sus extremos, este se flexiona por su propio peso (pandea). Encontramos, que la parte superior de la viga disminuye de longitud en consecuencia está sujeto a compresión y la parte inferior aumenta de longitud y está en tracción. Para minimizar el esfuerzo y por consiguiente la deformación por flexión, las partes superior e inferior, de la viga deben tener una sección transversal grande. Los esfuerzos máximos de compresión o tracción se encuentran en los extremos de la viga (Fig. 21) y van disminuyendo conforme se acercan a la línea central (zona neutra) de la viga, zona que no está sujeta ni a compresión ni tracción, así que esta parte puede tener una sección pequeña; esto ayuda a minimizar el peso de la viga y reducir el esfuerzo. Es decir si se quiere una barra que se flexione poco para un esfuerzo dado, será preciso disponer la materia de manera que esté lo más alejada posible del hilo neutro. De ahí la forma de doble T de las secciones de las vigas y la forma que se les da a los carriles de ferrocarril.

F θ r Compresión

θ dF y

L Tracción Fig. 21. Viga sujeta a flexión y zona neutra

∆L

Fig. 22 Porción de una viga sujeta a flexión

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En la Fig. 22 se muestra una porción de una viga flexionada. La longitud no deformada de un sección de la viga a una distancia y de la zona neutra es L=r θ, la longitud sujeta a compresión será Como

, luego

De modo que el esfuerzo de compresión resulta:

L dF  L dA r  (r  y ) dF Y  r dA y dF Y  r dA y2 Y dA  ydF r YI M r Y

Fig. 23. Viga sujeta a flexión. Esfuerzos de compresión y tracción debidos al momento flector M que surge. 4. TORSIÓN Consideremos una barra sujeta rígidamente en un extremo y sometida en el otro a una cupla aplicado en un plano perpendicular el eje, como se muestra en la figura, se dice que la barra está sometida a torsión simple. Una torsión simple se presenta muy pocas veces, en general aparece la torsión combinada con flexión y corte. Sin embargo, aplicando el principio de superposición de efectos, a partir de la torsión simple se puede llegarse a otros casos de torsión compuesta. Para una torsión simple consideraremos que las secciones normales al eje de la barra permanecen planas y paralelas a sí misma luego de la deformación por torsión y las secciones transversales mantienen su forma. Como consecuencia, resulta que las secciones tienen rotaciones relativas, de modo que las rectas trazadas sobre ellas continúan siendo rectas y los ángulos mantienen su medida. Por otro lado, las generatrices rectilíneas de la superficie lateral del cilindro se transforman en hélices. En estas condiciones determinaremos qué tipo de esfuerzos genera la torsión simple y cuál es su distribución. La presencia de esfuerzos normales σ a la sección transversal de la barra, en caso de tener una distribución uniforme haría que exista una deformación resultante longitudinal lo cual no se muestra en una torsión simple; por lo que la distribución del esfuerzo no debería ser uniforme, sin embargo ello generaría deformaciones especificas longitudinales variables de punto a punto, y la sección trasversal de la barra no continuaría siendo normal al eje y no se mantendría plana. En consecuencia en una torsión sólo debe haber esfuerzos tangenciales. Si tomamos un elemento diferencial, el esfuerzo tangencial a la sección deberá ser tangente a la circunferencia, ya que de no ser así existirá una componente de radial que originaría variaciones del tamaño del área de la sección. En resumen en una torsión simple: sólo existen tensiones tangenciales, la distribución a lo largo de un diámetro es antimétrica y su dirección es normal al radio A continuación trataremos de establecer la ley de distribución de las tensiones. Para ello consideramos que aislamos un tubo de espesar ∆r torsionada y de ella tomamos un paralelepípedo de longitud ∆L (Fig. 25). El ángulo que giran será θ, a este ángulo la denominaremos “ángulo específico de torsión”.

σs γ

θ

R

R L Fig. 24 Torsión de una barra y distribución de esfuerzo de corte

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Δr Δs

γ

r θ

Δl Δs

γ

ΔL

Fig. 25. Evaluación del esfuerzo de corte en una porción cúbica de la barra Así tenemos geométricamente:

L  s  r L  r

∆A= ∆l∆r El esfuerzo de corte que desplaza un ∆s es

F  G r A L F  G



L

Fr  G M  G

r A



L



L

r 2 A

dM  G

 L

r 2 dA



 dM  G L  r dA M G

r 2 A



L

2

I

Reemplazando en esta última expresión el esfuerzo de corte:

El esfuerzo cortante máximo debe ser igual a: Por ejemplo, para una barra circular maciza: entonces LA PLASTICIDAD MODELA PAISAJES Flujo “plástico” de tierras El hielo fluye plásticamente en los glaciares. La corteza, el manto y hasta el núcleo sólido de la tierra están en un continuo proceso de deformación plástica Las arrugas plásticas de la corteza terrestre crean las grandes cordilleras, como el Himalaya. Internamente, las rocas y minerales muestran también signos microscópicos de las deformaciones plásticas La plasticidad está casi siempre presente en la rotura, incluso, localmente, en las roturas frágiles. MATERIALES DÚCTILES Y FRÁGILES Los materiales como el acero dulce, que alcanzan una gran deformación antes de alcanzar la rotura, se denominan “dúctiles” y los materiales como el acero duro donde la rotura se produce sin grandes deformaciones se denominan “frágiles”.

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ELASTICIDAD: NOTAS BASICAS  Plasticidad: El cambio de disposición de los átomos en el mismo elimina la energía elástica y por ello conserva la deformación. Plasticidad, capacidad de cambiar de forma y conservarlo.  El límite elástico depende de las impurezas, por ejemplo el aluminio monocristal tiene un límite elástico de 40N/cm2 y =10-5, el aluminio comercial tiene 10000N/cm2  Endurecimiento. Si se somete a deformación plástica el límite de elasticidad se eleva. Ejemplo. El monocristal zinc tiene un límite elástico menor que luego de doblar fácilmente con los dedos se hace difícil enderezar puesto que su límite elástico aumenta. La propiedad del metal al elaborarlo en frío implica endurecimiento por deformación plástica.  El vidrio no es capaz de deformarse plásticamente.  Fluencia. Bajo una tensión igual al límite de fluencia, el cuerpo aumentará indefinidamente la deformación fluirá como un líquido.  Un metal en que se produce muy poca deformación plástica antes de su ruptura se denomina frágil.  Si se deforma un objeto, los esfuerzos pueden ser altos al principio, pero decaen lentamente con el tiempo. Además si van a esfuerzos altos, no hasta el punto de ruptura, cuando baja la deformación el esfuerzo retornará siguiendo una curva diferente llamado Histéresis. La histéresis es una indicación de que parte del trabajo mecánico se pierde durante el ciclo de estiramiento y contracción.  Cuando se consideran ciertos materiales, como por ejemplo el cobre, donde la curva de tensión-deformación no tiene ningún tramo lineal, aparece una dificultad ya que no puede usarse la expresión anterior. Para ese tipo de materiales no lineales pueden definirse magnitudes asimilables al módulo de Young de los materiales lineales, ya que la tensión de estiramiento y la deformación obtenida no son directamente proporcionales.  La tiza: presenta mayor resistencia al esfuerzo de corte que al de tensión.  Concreto: Esfuerzo o resistencia a la tensión = 2x106 N/m2 Resistencia a la compresión = 20x106 N/m2 Resistencia al corte = 2x106 N/m2  En general el concreto es quebradizo cuando se moldea en secciones delgadas  Losas pre-esforzadas: El concreto se refuerza aún más pre esforzándolo con varillas de acero bajo tensión.  CONCRETO: Los esfuerzos generados en los pavimentos de concreto tienen diferentes orígenes. Algunos se deben a las características mismas del concreto y se presentan como consecuencia de las reacciones del cemento con el agua y se conocen como esfuerzos de retracción por secado, otros esfuerzos que se presentan en las losas se deben a las cargas a que se ven sometidas durante la vida útil, otro tipo de esfuerzos son los que se presentan por los cambios térmicos y de humedad en las losas.  El acero es un ejemplo de normalidad: su módulo de Young es el mismo en tracción que en compresión, y las resistencias a la tracción y a la compresión también son iguales.  El hormigón, sin embargo, aunque tiene el mismo módulo de Young en ambos casos, presenta una resistencia a la tracción de 2 MN/m2, pero tiene una resistencia a la compresión de 17 MN/m2.  Y el hueso humano tiene un módulo de Young de 16 GN/m2 en tracción, que baja a 9 GN/m2 en compresión, con una resistencia en tracción de 200 MN/m2 y de 270 MN/m2 en compresión.  Esfuerzos debido al alabeo: Durante el día cuando la temperatura en la parte superior de la losa es más alta que en la inferior, la superficie superior tiende a expandirse con respecto al eje neutro mientras que la inferior tiende a contraerse. Sin embargo, el peso de la losa restringe tanto la expansión como la contracción; entonces, se inducen esfuerzos de compresión en la parte superior y de tracción en la inferior. En la noche cuando la temperatura en la parte superior de la losa es más baja que la de la inferior y así se inducen esfuerzos de tensión en la parte superior y de compresión en la inferior.  Fatiga: la fatiga de materiales se refiere a un fenómeno por el cual la rotura de los materiales bajo cargas dinámicas cíclicas (fuerzas repetidas aplicadas sobre el material) se produce ante cargas inferiores a las cargas estáticas que producirían la rotura. Un ejemplo de ello se tiene en un alambre: flexionándolo repetidamente se rompe con facilidad, pero la fuerza que hay que hacer para romperlo en una sola flexión es muy grande. La fatiga es una forma de rotura que ocurre en estructuras sometidas a tensiones dinámicas y fluctuantes (puentes, automóviles, aviones, etc.). Su principal peligro es que puede ocurrir a una tensión menor que la resistencia a tracción o el límite elástico para una carga estática, y aparecer sin previo aviso, causando roturas catastróficas. Es un fenómeno muy importante, ya que es la primera causa de rotura de los materiales metálicos (aproximadamente el 90%), aunque también está presente en polímeros (plásticos, composites,...), y en cerámicas.  RESISTENCIA (oposición a la rotura) y RIGIDEZ (oposición a las deformaciones)

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Pregunta:    

Compare la resistencia a la flexión de una barra de sección transversal cuadrada, circular y triangular equilátero, considerando que tienen el mismo valor de área. ¿Cómo es más fácil romper un espagueti que está crudo: estirándolo o doblándolo? ¿Por qué? ¿Podrías romper un alambre estirándolo? ¿Y retorciéndolo? ¿Por qué? En muchas construcciones se usan elementos que tienen una gran anchura y longitud y poco grosor, a estos se les llama láminas. Consiguen ser resistentes debido a la forma que puedan tomar. Se usan para cubiertas de edificios, las carrocerías de los coches, depósitos de fluidos. Algunas veces las láminas se refuerzan con unos nervios o costillas. Explíquelos.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Una barra de cobre de 90cm de longitud y sección transversal 3.2cm2 está unida, extremo con extremo a una barra de acero de longitud L y sección 6.4cm2. La barra compuesta es sometida a sus extremos a tensiones iguales y opuestas de 30000N (a) calcular la longitud L de la barra de acero si son iguales los alargamiento de ambas barras (b) ¿cuál es el esfuerzo en cada barra? (c) y ¿la deformación específica?

F

F Lcu=90cm

Solución

Lac= L

F

F

ΔLcu

Lcu=90cm

(a) La deformación de cada material es:

Y

F

A L L

 L 

Lcu 

F Lcu Ycu Acu

Lac 

F Lac Yac Aac

Igualando

F L YA

Lac= L

ΔLac

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Lcu  Lac F F Lcu  Lac Ycu Acu Yac Aac Lac 

Yac Aac Lcu Ycu Acu

20.6 x1010 Nm 2 x6.4cm 2 Lac  90cm 8.2 x1010 Nm 2 x3.2cm 2 Lac  452.2cm (b) el esfuerzo en cada barra

 ac 

F Aac

30000 N  4.69 x107 Nm 2 4 2 6.4 x10 m F  Acu

 ac   cu

 ac 

30000 N  2.34 x107 Nm 2 4 2 3.2 x10 m

(c) la deformación específica

Lcu 

F Lcu Ycu Acu

Lcu 

30000 N 90cm  0.102cm 8.2 x10 Nm2 x3.2 x104 m 2 10

2. Suponga que para generar un agujero en la placa de 8mm se usa un punzón de diámetro d=20mm tal como se muestra en la figura. Si se requiere una fuerza de 110kN para realizar el agujero. ¿Cuál es el esfuerzo cortante promedio en la placa y el esfuerzo de compresión en el punzón?

Solución Para determinar el esfuerzo de corte sobre la placa, debemos identificar el área sobre la que actúa las fuerzas cortantes, dicha área es el área lateral dada por

A  ( d )t

A   x 20 x103 x8 x103 m 2 A  5, 02 x104 m2 El esfuerzo de corte resulta

P

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F A 110 x103 N c   2, 2 x108 Nm2 4 2 5, 02 x10 m

c 

P

El esfuerzo de presión en el punzón se da en el área

A  ( d ) / 4 2

A

 x(20 x103 ) 2

4 A  3,14 x104 m 2

m2

El esfuerzo de compresión resulta

P

F  A 110 x103 N   3,5 x108 Nm2 4 2 3,14 x10 m 3. Un tubo de acero de L=4pies de longitud, diámetro externo d2=6pulg y diámetro interno d1=4,5 pulg se comprime con una fuerza axial P= 140klb. El módulo de elasticidad del material es Y= 30x10 6 lb/pul2 y la relación de Poisson es u=0,3. Determine las siguientes variables para el tubo: a) el acortamiento b) la deformación unitaria lateral c) el aumento del diámetro interior y exterior d) el aumento del espesor de la pared Solución Esfuerzo de tensión

A



(d 22  d12 )  A 



[62  (4,5) 2 ]  12,36 pul 2

4 4 3 F 140 x10 lb      1,13x104 lb / pul 2 2 A 12,36 pul Determinamos a) Acortamiento longitudinal



 Y

 

1,13x104 lb / pul 2  3, 7 x104 30 x106 lb / pul 2

l  l   l  3, 7 x104 x 4 pies  1, 48 x103 pies b) La deformación unitaria lateral



d  u    0,3x(3, 7 x104 )  1,1x104 d

c) Aumento del diámetro interior y exterior



d 2 d2

d 2   d 2  d 2  1,1x104 (6 pul )  6, 6 x104 pul d1   d1  d1  1,1x104 (4,5 pul )  5, 0 x104 pul

P=140klb

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d) Aumento del espesor de la pared

d 2   d 2 d1   d1 t 

d 2  d1 6, 6 x104  5, 0 x104  t   8 x105 pu l 2 2

4. En el interior de un cilindro de acero absolutamente rígido, de radio interior r = 0.10m, se introduce un cilindro de caucho del mismo radio (coeficiente de Poisson = 0.4), según se indica en la figura. Mediante una fuerza de F = 20000N que actúa sobre un pistón de peso y rozamiento despreciable colocado sobre el caucho, se comprime este. Calcula la presión existente entre el caucho y acero.

Solución u=0.4 Ycaucho= 0.001 GN/m2 =1x106 N/m2 r= 0.10m F= 20000N A= πr2

F

Al comprimir el cilindro mediante la fuerza F, el cilindro tiende a aumentar de radio, por lo que la pared de acero al ser rígida impide dicho incremento por lo que ejerce una fuerza lateral FL que ejerce presión sobre la superficie lateral del cilindro de goma.

ΔL FL

FL

L

Determinamos la deformación unitaria de la altura L del cilindro

F L  A L Y 20000  (0.10) 2  L  L 106 L  0.64 L

F

El aumento de r resultaría

r L  u r L

r  0.4 x(0.64) r

r  0.26 r

Las fuerzas del cilindro de acero generan comprensión en el orden que debiera aumentar la dimensión de r.

r  r

FL

AL Y

r P  r Y

P Y

r r

P  2.6 x105 N / m2

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5. Una barra supuestamente rígida está sustentada por dos barras circulares articuladas con la anterior, según la disposición siguiente:

La barra A tiene una resistencia a tensión de 1000 kg/cm2 y sección 10 cm2, mientras que la barra B tiene una resistencia a tensión de 1200 kg/cm2 y sección 8 cm2. Ambas barras tienen idéntico módulo de elasticidad. Hallar los valores máximos de las cargas puntuales P y Q para que la barra permanezca horizontal. Solución Como la barra horizontal sujeta a la carga P y Q, mantiene su horizontalidad, lo que genera igual alargamiento longitudinal de las barras A y B y, consecuente mente igual deformación unitaria λ. Luego, igualamos el módulo de Young de A y B:

TA Y

AA



TB  TA

TB 

M

P

0

3.5Q  2.5TB  0.5TA  0

AB

2.5TB  0.5TA 3.5 2.5(8000)  0.5(10000) Q 3.5 Q  7142.89 Kg



Q

AB 8  10000  8000 Kg AA 10

P  TA  TB  Q P  10857.14 Kg 6. Un péndulo de torsión está formado por un alambre de cierto material que lleva a su extremo un disco homogéneo de plomo. Si el alambre es de acero, tiene una longitud de 80 cm y un diámetro de 1 mm, siendo el disco de plomo de un diámetro de 12 cm y de 1 cm de espesor. a) ¿Qué esfuerzo soportará el alambre? ¿Se superará el límite elástico? b) Si se gira el disco de plomo cierto ángulo y después se abandona de modo que realice oscilaciones. Sabiendo que el tiempo empleado en realizar 100 oscilaciones es de 315 s determinar la constante de torsión de este péndulo c) Determinar el módulo de rigidez del acero que constituye el alambre.

L=80cm

Solución Densidad del plomo: ρ=11.3g/cm3 Diámetro: D=12cm r=6cm Espesor: e= 1cm D=12cm (a) Calculamos la masa de plomo y el esfuerzo en el alambre de acero

m   e r 2

A 2

2 2

m  11.3x10 x10 x3.14 x(6 x10 )  1.277 Kg 3

F 12.77 N    16.3x106 N / m2 4 2 A 3.14 x(5 x10 )

F=mg

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De tablas encontramos que el límite elástico del acero está en el orden de 25Kg/mm2=25x107N/m2, de manera que el esfuerzo a que está sometido no supera el límite elástico. (b) El péndulo de torsión tiene una frecuencia angulas de oscilación dado por (MAS: torsión): √ Dónde: k es la constante de torsión del péndulo I es el momento de inercia del disco de plomo respecto al eje axial de oscilación T periodo de oscilación De modo que

El momento recuperador en el alambre sujeto a torsión está dado por:

M  (G

Ia ) L d 2 dt 2

M  k  I



k 2  I T

Ia  2  k   I G L  T  2

2

2   4 L  2  L  2  G I  (  pb e r )  2  r4   T  I a  315 ( ) 100   2 2

 2  2 4 0.8  (11.3 x103 x102  (6 x10 ) ) G  74.5 x109 N / m 2 4 4 2 315  (5 x10 )   100   2 7. Obtener las distribuciones de fuerza cortante y momento flector a lo largo de la viga uniforme de longitud L y peso W, representada en la figura 2(b), la cual se halla empotrada por uno de sus extremos

10000N 2m

4m Solución Calculamos las reacciones en A y B ∑⃗

10000N

A  B  10000

3m A

4m

B

4 B  1x10000 B  2500 N A  7500 N

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Fuerza cortante V y momento flector M sobre una longitud x de la barra x