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ELASTICIDAD TEMA I Mgr. Iván Ruiz U.

ELASTICIDAD Estudia la deformación de los cuerpos, cambio de su forma y sus dimensiones, cuando estos experimentan fuerzas externas. El grado de deformación de un sólido rígido es muy pequeño comparado con las dimensiones del solido. Ejemplo: alambre de aluminio de 1 m y 1 mm2 de área transversal, que soporta una fuerza de 100 N, se estira 1,4 mm. La elasticidad estudia la deformación de los cuerpos en equilibrio, es decir, las fuerza deformadoras cumplen: i) Equilibrio para la traslación: ∑i Fi  0 .  0 ii) Equilibrio para la rotación: ∑i i Se tiene cuatro tipos de deformaciones básicas: Deformación longitudinal, cizalladura, torsión, y presión hidrostática I. Ruiz

DEFORMACIÓN LONGITUDINAL POR TENSIÓN Es la deformación que experimenta una barra de longitud L y área de sección transversal A, que soporta dos fuerzas de igual magnitud pero direcciones contrarias y salen perpendicularmente de dos caras transversales opuestas. En esta deformación, la barra aumenta su longitud en ∆L y disminuyen las aristas transversales en - ∆H y - ∆W. Experimentalmente se encuentra:

i) El incremento de la barra ∆L es directamente proporcional al incremento de la longitud de la barra L0, es decir: L  L0

ii) El incremento de la barra ∆L es directamente proporcional al incremento de la magnitud de la fuerza F. L  F

I. Ruiz

DEFORMACIÓN LONGITUDINAL POR TENSIÓN

iii) El incremento de la barra ∆L es inversamente proporcional al área de la sección transversal A. L  1 A

De cuyos resultados experimentales, se concluye que: L  L0 F 1 A

Esta proporcionalidad se convierte en igualdad, introduciendo la constante de proporcionalidad 1/Y, es decir: L  1 L F 1 Y 0 A

F  Y L A L

Donde, Y es el Módulo de Young que depende del tipo de material, cuya unidad en el S.I. es el Pascal Pa. Definición Se define el esfuerzo por tensión, a la magnitud de la fuerza tensora F por unidad de área transversal A. σF A

I. Ruiz

DEFORMACIÓN LONGITUDINAL POR TENSIÓN Definición Se define como deformación unitaria ɛ, al cambio de longitud ∆L por unidad de longitud inicial de la barra.   L L

La ecuación de la deformación longitudinal por tensión se puede escribir en la forma:   Y Considerando, la relación experimental σ = σ(ɛ) para el esfuerzo tensor, se tiene: i) El punto A, llamado límite proporcional, representa el máximo esfuerzo para el cual la ecuación   Y es válida. ii) El punto B, llamado límite elástico. I. Ruiz

DEFORMACIÓN LONGITUDINAL POR TENSIÓN iii) La región OB, se llama zona elástica. Al liberarlo del esfuerzo tensor, la barra recupera su tamaño original. iv) En la región AB,   Y no es valida. v) El punto C, llamado punto de fractura, da el esfuerzo máximo que fractura (rompe) la barra vi) La región BC, se llama zona plástica. Al liberarlo del esfuerzo tensor, la barra no retorna a su tamaño original, queda parcialmente deformada.

I. Ruiz

DEFORMACIÓN LONGITUDINAL POR COMPRESIÓN Es la deformación que experimenta una barra de longitud L y área de sección transversal A, que soporta dos fuerzas de igual magnitud pero direcciones contrarias y entrando perpendicularmente a dos caras transversales opuestas. En esta deformación, la barra disminuye su longitud en - ∆L y aumentan las aristas transversales en ∆H y ∆W. Experimentalmente se encuentra:

i) El decremento de la barra -∆L es directamente proporcional al incremento de la longitud de la barra L0, a la fuerza compresora e inversamente proporcional al área transversal, es decir: L L0 F 1 A

I. Ruiz

DEFORMACIÓN LONGITUDINAL POR COMPRESIÓN Si el material de la barra es lineal, homogéneo e isotrópico, la constante de proporcionalidad Y, llamado módulo de Young, tiene el mismo valor numérico para el caso de la deformación longitudinal por tensión. Como la longitud de la barra disminuye, se debe incluir el signo negativo, por tanto, la ecuación de deformación por compresión esta dada por: F  Y L A L0

ii) Las deformaciones unitarias transversales H y H proporcionales a la deformación unitaria longitudinal material es homogéneo e isotrópico, se tiene : 0

H H0



L L

W W0



L L

H H0

  P

L L

W W0

W W0 L L0

  P

son , si el L L

“Se debe observar que Y y P tiene el mismo valor al caso de tensión” I. Ruiz

DEFORMACIÓN LONGITUDINAL POR COMPRESIÓN iii) Para la deformación por compresión, se define el esfuerzo por compresión y deformación unitaria por las expresiones:  L L

σ  F A

Por tanto la deformación por compresión también se escribe en la forma:   Y

iv) La relación gráfica del esfuerzo compresor versus deformación unitaria, presenta un límite proporcional, límite elástico, punto de ruptura, una zona elástica y una zona plástica, que tienen la misma interpretación al caso de la deformación por tensión, si el material de la barra es homogéneo e isotrópico. I. Ruiz

DEFORMACIÓN POR CIZALLADURA Es la deformación que experimenta un paralelepípedo de aristas L, H y W, cuya fuerza deformadora actúa en dirección paralela a la cara de área A=L H, y el paralelepípedo cambia de forma a un romboide regular.

Experimentalmente: i) La deformación longitudinal L, es proporcional a la altura H, a la magnitud de la fuerza F, e inversamente proporcional al área A, es decir: 1 l  H F

A Introduciendo la constante de proporcionalidad M, llamada modulo de rigidez que depende del tipo de material, la deformación por cizalladura esta dada por la expresión: F  M L A H I. Ruiz

DEFORMACIÓN POR CIZALLADURA Por lo general L « H , por tanto,  es muy pequeño, obteniéndose: L L    tg  tg H H

Por tanto, la deformación por cizalladura también se puede expresar FM en la forma: A

ii) Para la deformación por cizalladura, se define el esfuerzo de cizalla y deformación unitaria por las expresiones: σF A

  L H

Por tanto la deformación por cizalladura también se escribe en la forma:   Y I. Ruiz

DEFORMACIÓN POR CIZALLADURA iv) La relación gráfica del esfuerzo de cizalladura versus deformación unitaria, =f( ) presenta un límite proporcional, límite elástico, punto de ruptura, una zona elástica y una zona plástica, que tienen la misma interpretación al caso de la deformación por tensión, si el material de la barra es homogéneo e isotrópico.

I. Ruiz

DEFORMACIÓN POR TORSIÓN Se aplica a cilindros macizos y huecos. Considerando un cilindro hueco, de longitud L, radio interno a y radio externo b, fijo a una pared por una de sus secciones transversales, quedando libre la otra sección, este cilindro experimenta una deformación por torsión, si se aplica un par de torques (momento) a dos puntos laterales diametralmente opuesto en el extremo libre. La deformación del cilindro es una torsión que se cuantifica por el ángulo transversal  o el ángulo lateral . En este tipo de deformación los átomos que forman el cilindro experimentan desplazamientos angulares. I. Ruiz

DEFORMACIÓN POR TORSIÓN Para cuantificar el grado de deformación por torsión, se considera un diferencial de cilindro hueco de longitud L, radio interno r y espesor dr. Al diferencial de cilindro se corta longitudinalmente y se desdobla. Si el cilindro experimenta una deformación por torsión, el diferencial de cilindro desdoblado experimenta una deformación del tipo cizalla. Se considera: i) El diferencial de fuerza tangencial deformador dF , esta aplicado a la superficie transversal de espesor dr . I. Ruiz

DEFORMACIÓN POR TORSIÓN ii) El área del diferencial de superficie tangente al diferencial de fuerza esta dada por: dA 2 r dr iii) El grado de deformación longitudinal L, utilizando la definición de ángulo en radianes esta dada por: L  L  r iv) Aplicando la deformación de cizalla: 2 M  r 2 dF  M  r dr dF  2 r dr L L v) Aplicando la definición de torque, se tiene:  2 M  3 . . r dr d r dF   r  F L

I. Ruiz

DEFORMACIÓN POR TORSIÓN Considerando la suma de diferenciales de torque de cada diferencial de cilindro, es decir, integrando la ecuación anterior, la deformación por torsión para el cilindro hueco esta dada por: 4 4  b  a ) M (b 2 M  

∫  0

d 

∫ r a

3

L

r dr





2L Esta ecuación expresa la Ley de Hooke para rotaciones: “La magnitud del torque es proporcional al desplazamiento angular medido en la sección transversal del tubo cilíndrico”.

I. Ruiz

DEFORMACIÓN VOLUMÉTRICA Considera un cuerpo cubico de aristas L, cuya deformación volumétrica esta generada por seis fuerzas compresoras aplicadas a cada cara del cubo, en cuyo caso, el cubo experimenta una disminución de su volumen - V. Para que el cubo experimente seis fuerzas compresoras de igual magnitud, se sumerge en un liquido incompresible contenido en un recipiente provisto de un pistón de área Api sobre el cual se ejerce una fuerza externa Fex, el cual genera un incremento de presión en todos los puntos del fluido dada por: P  Fex Api

La fuerza que actúa sobre cada cara del cubo, esta dada por: F  P A I. Ruiz

DEFORMACIÓN VOLUMÉTRICA Experimentalmente se encuentra que: La disminución del volumen V, es directamente proporcional al incremento de su presión P y al volumen inicial del cubo V0, es decir: V  P V 0

Introduciendo la constante de proporcionalidad 1/K, llamado modulo de compresibilidad que depende del tipo material, la ecuación de deformación volumétrica esta dada por la relación: P  K V V0 El signo negativo, controla la disminución del volumen . Definición El coeficiente de compresibilidad del material k, esta definido como el inverso de modulo volumétrico, es decir: k1 K

I. Ruiz