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• Karenth Lietsel Vargas Rojas

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TALLER (Teorema de Bayes y Teorías de colas) EJERCICIOS TEOREMA DE BAYES De acuerdo a los siguientes problemas: a. Cuál es la representación o regla Bayesiana que permite solucionar el problema. b. Represente la expresión del problema en forma de árbol. c. Cuál es la probabilidad del problema. 1. Una compañía estudia la comercialización de un nuevo producto. El presidente de la compañía desea que el producto sea superior al de su más cercano competidor. Con base en una evaluación preliminar que realizó el personal clave, se decide asignar una posibilidad del 50% de que el producto sea superior al ofrecido por el competidor, 30% de que tenga la misma calidad y un 20% de que sea inferior. Un estudio de mercado sobre el producto concluye que éste es superior al del competidor. Con base en la experiencia sobre los resultados de las encuestas, se determina que si el producto realmente es superior, la probabilidad de que la encuesta alcance la misma conclusión es 0,7. Si el producto tiene la misma calidad que el del competidor, la probabilidad de que la encuesta dé como resultado un producto superior es 0,4. Si el producto es inferior, la probabilidad de que la encuesta indique un producto superior es de 0,2. Dado el resultado de la encuesta, ¿cuál es la probabilidad, corregida, de obtener un producto superior? 2. En una bodega hay tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, y tan sólo una fundida, y en la tercera hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. Si cogemos una bombilla fundida, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la caja 1? 3. Un zahorí con conocimientos de geología detecta la presencia de agua subterránea en una zona en el 96% de los casos, y si no la hay da negativo en el 98% de los casos. El 20% de los sondeos en ese terreno han encontrado agua. Calcular la probabilidad de que: a. Se encuentre agua en un zondeo en la zona si el zahorí ha detectado la presencia de agua. b. Se encuentre agua si el zahorí ha dado resultado negativo. 4. Un matrimonio que espera su primer hijo decide que se le realice una ecografía a la madre para que se les informe del sexo de su bebé. Pero la prueba la realizan en una clínica con un equipo muy antiguo que no da el resultado con seguridad. En las muchas ecografías que se han realizado con ese aparato se sabe que se acierta en el 80% de los casos si el bebé es niño y en 90% si es una niña. Teniendo en cuenta que el 51% de los recién nacidos son niños y que después de realizada la ecografía en esa clínica les dicen a los padres que esperan una niña. a. ¿cuál es la probabilidad de que el primer hijo sea varón? b. Si les dicen a los padres que esperan un varón, ¿cuál es la probabilidad de que el primer hijo sea una niña? 5. Se aplica una prueba para detectar un tipo de alergia en una población que tiene prevalencia del 12%. La prueba no es segura, se sabe que la sensibilidad de esta prueba es del 96% y la especificidad del 98%. Aplicada la prueba a un paciente da resultado positivo. a. ¿Cuál es la probabilidad de que esa persona padezca esa patología? b. ¿Cuál es la probabilidad de que esa persona siendo sana no padezca esa patología?

6. Dada la siguiente tabla, correspondiente a los datos que muestra las condiciones climatológicas: Tabla 1. Datos acerca de las condiciones climatológicas #Instancia pronóstico Humedad 1 soleado alta 2 cubierto alta 3 lluvioso alta 4 lluvioso normal 5 soleado normal Fuente: Introducción a la Minería de Datos

viento débil débil débil fuerte débil

jugar no si si no si

Aplicando la regla de Bayes, obtener la probabilidad de acuerdo a las condiciones climatológicas, si se puede jugar o no se puede jugar.

p ( H∨E ) =

p ( E∨H ) . p (H ) p( E)

Desarrollarlo para los siguientes dos nuevos ítem: Pronóstico

humedad

viento

Lluvioso

normal

débil

Se puede jugar: _______ %

Se puede jugar

No se puede jugar

No se puede jugar: _______%

De acuerdo a las probabilidades se considera que: a. Si se puede jugar:

b. No se puede jugar:

EJERCICIOS LÍNEAS DE ESPERA (TEORÍA DE COLAS) 7. En una Agencia de viajes se presentan 320 personas diarias (jornada de 8 horas); el cajero puede dar servicio a 60 personas como promedio por hora. Con la hipótesis de llegadas Poissonianas y servicios exponenciales, encontrar el factor promedio de utilización del sistema, el tiempo ocioso promedio en el sistema, la probabilidad que haya 3 clientes en el sistema, el número promedio de personas en el sistema, la cantidad promedio de clientes en la cola, el tiempo promedio que permanece una persona en el sistema, el tiempo promedio de un cliente en la fila, el tiempo promedio que tarda un servicio, la probabilidad que existan 4 personas. 8. En un servidor de la universidad se envían programas de ordenador para ser ejecutados. Los programas llegan al servidor con una tasa de 100 por hora. El tiempo de ejecución de cada programa es de 0,5 minutos y tanto los tiempos entre llegadas como los tiempos de ejecución se distribuyen exponencialmente. a. Qué proporción de tiempo está el servidor desocupado? b. Cuál es el tiempo esperado total de salida de un programa? c. Cuál es el número medio de programas esperando en la cola del sistema?

9. Considere una línea de espera con dos canales con llegadas de poisson y tiempos de servicio exponenciales. La tasa media de llegada es de 14 unidades por hora, y la tasa media de servicio es de 10 unidades por hora cada canal. a. Cuál es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema? b. Cuál es la cantidad de unidades promedio en el sistema? c. Cuál es el tiempo promedio que espera una unidad por servicio? d. Cuál es el tiempo promedio que una unidad está en el sistema? e. Cuál es la probabilidad de tener que esperar por el servicio? De acuerdo a este problema. Suponga que el sistema se expande a una operación de tres canales. a. Calcule las características operativas para este sistema de línea de espera. b. Si la meta de servicio es proporcionar capacidad suficiente de modo que no más de 25% de los clientes tenga que esperar por servicio. ¿Es preferible el sistema de dos canales o el de tres canales? 10. El Gerente de un autoservicio decide colocar seis cajeros, con capacidad de atención de 2 minutos en promedio cada cajero, la nueva tasa de llegadas de clientes es 150 por hora. a. b. c. d. e. f. g.

Encontrar la probabilidad de que existe cero clientes en el sistema. Número de clientes promedio en la cola. Tiempo promedio de permanencia de un cliente en la cola. Número promedio de clientes o unidades en el sistema. Tiempo promedio de permanencia de un cliente en el sistema. Probabilidad de que un cliente que llega deba esperar para ser atendido. Probabilidad de que exista n clientes en el sistema (completar la Tabla). n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14 15

Pn

Pn acumulada