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SALESIANOS INSTITUTO TÉCNICO RICALDONE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

“TEOREMA DE BAYES” Roberto Bermúdez

Denise Adriana Lemus Quintanilla - 2° Diseño Gráfico II B-2 Celia María Campos Marín - Diseño Gráfico II

THOMAS BAYES Thomas Bayer, nació probablemente en 1701 en Londres, Inglaterra, así el año 2011 marca el aniversario número 300 de su nacimiento.

Algunos de los aspectos más relevantes de su vida incluirían hechos narrando su educación asi como su trabajo científico y teológico. Thomas Bayes fue un matemático. Él fue ordenado ministro presbiteriano, al igual que su padre, para luego en 1731 convertirse en reverendo de la iglesia de Tunbridge Wells, se dice que Bayes trató de retirarse en 1749, aunque siguió ejerciendo su puesto de reverendo hasta 1752, y permaneció en ese lugar hasta el momento de su muerte. Bayes estudió la determinación de la probabilidad de una causa a través de los efectos observados. El teorema de Bayes, es referente a la probabilidad de un suceso condicionado por la ocurrencia de otro suceso, o sea que, su teorema resuelve el problema conocido como “probabilidad inversa” o valorar probabilísticamente las posibles condiciones que rigen el supuesto se ha observado cierto suceso. Se trata de la probabilidad inversa en el sentido de que la directa sería la probabilidad de observar algo supuesto regido por ciertas condiciones. Actualmente los restos de Bayes se encuentran en el cementerio londinense de Bunhill Fields. La inscripción de su tumba, traducida al español dice: “Reverendo Thomas Bayes. Hijo de los conocidos Joshua y Ann Bayes. 7 de Abril de 1761”. Su tumba fue restaurada en 1969 con donativos realizados por estadísticos de todo el mundo, esto como honor a su gran aporte. Bayes fue miembro de la Royal Society desde 1742, y también uno de los primeros en utilizar la probabilidad inductivamente y establecer la base matemática para la inferencia probabilística. Con base a su aporte, se ha desarrollado una poderosa teoría que ha conseguido notables aplicaciones en las más diversas áreas del conocimiento. Ha tenido connotación en la detección de spam en el ambiente del internet, y hasta en el campo sanitario. Los trabajos publicados por Thomas Bayes fueron: ● Divine Providence and Government Is the Happiness of His Creatures (1731) ● An Introduction to the Doctrine of Fluxions, and a Defence of The Analyst (1736) ● En 1763, dos años después de su muerte, se publica Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances, en el que trataba el problema de las causas a través de los efectos observados, y donde se enuncia el teorema que lleva su nombre. El trabajo fue entregado a la Royal Society por Richard Price y es la base de la inferencia bayesiana.

“TEOREMA DE BAYES” En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 17631 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A. O sea, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber -si se tiene algún dato más-, la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados

Sea un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales la probabilidad

. Entonces,

viene dada por la expresión:

donde: ●

son las probabilidades a priori.

●

es la probabilidad de

en la hipótesis

●

son las probabilidades a posteriori.

.

Además, unido a la definición de Probabilidad condicionada, obtenemos la Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:

El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso. Como observación, se tiene

y su demostración resulta trivial.

EJEMPLO La probabilidad de que haya un accidente en un fábrica que dispone de una alarma es de 0.1. La probabilidad de que suene esta si se ha producido un incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es de 0.02. En el supuesto de que haya funcionado la alarma ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente? Sean los sucesos: A: producirse un incidente B: sonar la alarma

P(

)=

= 0.157