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CALCULO DIFERENCIAL Unidad 1- Tarea - Funciones

Estudiante: Oscar Ramón González Moreno Código: 19003309

Tutora: Sierra Fernando A. Sierra Ávila Grupo: 100410-875

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD Escuela de Ciencias Administrativas, Contables, Económicas y de Negocios. ECACEN CEAD Inírida Septiembre de 2020

EJERCICIOS TAREA 1 1. Representar en Geogebra las funciones dadas y determinar comprobando analíticamente:

a . f ( x )=−x 3 +2 x2 +5 x a. Tipo de función: Polinómica de grado 3 b. Dominio y rango: Dominio: Todos los números reales Rango: (-∞, +∞) c. Asíntotas, tanto vertical como horizontal, si las tiene: No tiene ninguna restricción en su dominio, por lo cual no tiene ninguna asíntota.

b . f ( x )=

25+ x 2 25−x 2

a. Tipo de función: Es una función racional. b. Dominio y rango: Dominio: Teniendo en cuenta que el denominador no puede ser igual a cero. Entonces se debe igualar a cero para conocer los valores que restringen la función: 25−x2 =0

x 2=25 Entonces, como es un número elevado al cuadrado, los valores que hacen la función cero son 5 y -5. Finalmente, el dominio son todos los números reales salvo el 5 y el -5. D : (−∞ ,−5 ) U [ −5,5 ] U (5 , ∞). Rango: Despejado x en función de Y, se tiene:

x=5

√

y −1 1+ y

Por lo tanto, teniendo en cuenta que las raíces siempre deben tener valores positivos, el rango de la función es:

R :¿ U [ 1 ,+∞ ] c. Asíntotas, tanto vertical como horizontal, si las tiene: Las asíntotas de la función son: Verticales: x=5, x=-5 Horizontales: y=-1

2. Dada la siguiente expresión, escribir a y como función explícita de x , es decir y=f (x ) . Luego, calcular la función inversa f −1 (Indicando la restricción del dominio si es necesario).

4 x2 +2 y−3 x−4=2 x 2 + x 2 x2 −4 x 2 + x+ 3 x + 4 y= 2 y=

−2 x 2+ 4 x +4 2

y=−x2 +2 x+ 2 Para resolver el problema se debe aplicar la ecuación:

x=

−b ± √ b2−4 ac 2a

Donde los valores son: a=-1, b=2, c=2-y Por lo cual, finalmente, la función inversa queda:

x=±

−2± √ 9−4 y −2

3. Dado los tres puntos A,B y C hallar:

A=(−5,2) B=(2 ,−3) C=(4,4)

La ecuación de la recta (AB) ⃡ .

y 2− y 1 x 2−x 1 −3−2 −5 m= = =−0,714 2−(−5) 7 m=

Finalmente, la ecuación de la recta queda:

y=mx+b y=−0,714 x−1,571

La ecuación de la recta perpendicular a la recta (AB) ⃡pasando por C. Para que sean perpendicular se debe cumplir que m 2=

−1 m1

Por lo tanto,

m 2=

−1 −0,714

Entonces la ecuación queda de la siguiente manera:

y−4= y=

1 (x−4 ) 0,714

x −1,602 0,714

La distancia d entre el punto C y un punto D que intersecta la recta (AB) ⃡y la recta que es perpendicular a (AB) ⃡y pasa por el punto C. Inicialmente se determina el punto en el cual se intersectan las rectas:

x −1,602=−0,714 x−1,571 0,714 x +0,714 x=−1,571+1,602 0,714 2,114 x=0,031 x=0,01 Luego se determina el valor de Y

y=−0,714∗(0,01)−1,571 y=1,58 Por lo tanto, el punto es D=(0.01, 1.58), y la distancia entre los puntos es:

Distancia=√(0,01−4)2 +¿ ¿ Distancia=4,66 Comprobar gráficamente en GeoGebra los cálculos realizados.

4. Dadas las siguientes ecuaciones logarítmicas y exponenciales, resolverlas analíticamente aplicando la definición y propiedades de los logaritmos y los exponentes.

log 4 x−log 4 (x +1)=log 4 20 log 4

x ¿ log 4 20 x +1

Al tener bases iguales, queda: x ¿20 x+1 20 x−x +20=0 x=

−20 19

En conclusión, la ecuación no tiene solución ya que el logaritmo no puede ser un número negativo. 5∗25x =(125)2 x+1 Inicialmente se convierte todo en base 5: 2

3 (2 x+1)

5∗5 =5

Luego, por propiedades de logaritmos:

5(2 x+1)=5 3(2 x+1 ) En seguida,

2 x+1=6 x+ 3 6 x−2 x+ 3−1=0 4 x−2=0

x=

−1 2

5. Graficar en geogebra la siguiente función a trozos, identificando su rango y dominio y puntos de intersección con los ejes si los tiene: 2 x+ 4 , si x ≤ 1 f ( x )= −x +3 2 x +5 , si x >1

{

Dominio: Todos los números reales. Rango: Todos los números reales. Puntos de intersección: X: -1 y 4. Y: 5.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1) Noé en su arca navegó del Mar Muerto a Jerusalén y su altitud aumentó una taza constante de 740 metros cada hora. 1,5 horas después de partir su altitud era de 710 metros sobre el nivel del mar. a. Determinar la función que indique la Altitud del arca en función del tiempo en horas de navegación.

y=740∗t +B Donde t es el tiempo y B es una constante que debe ser determinada, usando los datos del problema:

710=740∗1,5+ B

710−1110=B −400=B b. ¿A qué altura sobre el nivel del mar se encontraba cuando partió del Mar Muerto?

y=740∗0+ 400 y=400 Cuando partió se encontraba a 400msnm. c. ¿Cuánto tiempo a transcurrido para que el arca se encuentre a 0 metros sobre el nivel del mar?

0=740∗t−400 t=

400 =0,54 horas 740

2) Un granjero hace una inversión inicial de $ 180.000 para la compra de gallinas y alimentos y vende sus cubetas de 30 huevos a $6.000 a. Determinar la función que represente la utilidad del granjero en función del número de cubetas vendidos.

y=6.000 x−180.000 b. ¿Cuál es la utilidad si vende 900 huevos?

y=(6.000∗(30))−180.000 y=(6.000∗(30))−180.000 y=0 Si vende 900 huevos no tendrá utilidad, debido a que únicamente recupera la inversión inicial. c. ¿Cuántos huevos se deben vender para que las ganancias sean de $180.000?

x=

180.000+180.000 =60 6000

El granjero debe vender 60 cubetas de huevos o, lo que es igual, 1.800 huevos.