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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, Decana de América)

Escuela de Estudios Generales

Práctica de ejerciciossemana 7 DOCENTE: Gustavo Cuba Supanta SECCIÓN: 10 integrantes: • Azucena Huamantuma, José Antonio • Cárdenas Dávila, Pamela Mayte • Cardenas Ramirez, Jean Carlo • Garay Rodriguez, Marines • Liza Cordova, Johanna Milagros

problemas propuestos ❖ TRABAJO Y ENERGÍA: Problema 9: Con la definición del producto escalar, encuentre los ángulos entre los siguientes: ⃗⃗ = 4𝑖̂ − 4𝑗̂ a) 𝐴⃗ = 3𝑖̂ − 2𝑗̂ ; 𝐵 ⃗⃗ = 3𝑖̂ − 4𝑗̂ + 2𝑘̂ b) 𝐴⃗ = −2𝑖̂ + 4𝑗̂ ; 𝐵 ⃗⃗ = 4𝑗̂ + 4𝑘̂ c) 𝐴⃗ = 𝑖̂ − 2𝑗̂ + 2𝑘̂ ; 𝐵

Se sabe que cuando tiene dos vectores de la forma: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝑎 = (𝑎; 𝑏) 𝑦 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝑏 = (𝑐, 𝑑); para hallar el producto escalar debemos tener en cuenta la siguiente fórmula: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎. 𝑐 + 𝑏. 𝑑 = |𝑉𝑎 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos (𝛼) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑉𝑏 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝑉𝑏 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟: 𝑉𝑎 Entonces:

Caso A: ⃗⃗ = 4𝑖̂ − 4𝑗̂ 𝐴⃗ = 3𝑖̂ − 2𝑗̂ ; 𝐵 ⃗⃗ = 3.2 + (−4). (−4) = |𝐴⃗||𝐵 ⃗⃗| cos(𝛼) 𝐴⃗. 𝐵 Para hallar el módulo de un vector tenemos que hacer lo siguiente: 𝑇𝑜𝑚𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴⃗(3; −2): 𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴⃗(3; −2): |𝐴⃗| = √32 + (−2)2 = √13 ⃗⃗ (4; −4) sería: Entonces para el vector 𝐵 ⃗⃗ (4; −4): |𝐵 ⃗⃗| = √42 + (−4)2 = 4√2 𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐵

Reemplazando en la fórmula inicial: 20 = 4√2√13cos (𝛼) Operando quedaría lo siguiente: 5 √2√13

= cos (𝛼)

Finalmente, el ángulo tendría la forma:

𝑐𝑜𝑠 −1 (

5

)° = 𝛼 √2√13

Caso b: ⃗⃗ = 3𝑖̂ − 4𝑗̂ + 2𝑘̂ 𝐴⃗ = −2𝑖̂ + 4𝑗̂ ; 𝐵 ⃗⃗ = (−2). 3 + 4. (−4) + 0.2 = |𝐴⃗||𝐵 ⃗⃗ | cos(𝛽) 𝐴⃗. 𝐵 𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴⃗(−2; 4; 0): |𝐴⃗| = √42 + (−2)2 = 2√5 ⃗⃗ (3; −4; 2): |𝐵 ⃗⃗ | = √32 + (−4)2 + 22 = √29 𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐵 Reemplazando en la fórmula inicial: −22 = 2√5√29cos (𝛽) Operando quedaría lo siguiente: −22 2√5√29

= cos (𝛽)

Finalmente, el ángulo tendría la forma: 𝑐𝑜𝑠 −1 (

−22 2√5√29

)° = 𝛽

Caso c ⃗⃗ = 4𝑗̂ + 4𝑘̂ 𝐴⃗ = 𝑖̂ − 2𝑗̂ + 2𝑘̂ ; 𝐵 ⃗⃗ = (1). 0 + 4. (−2) + 2.4 = |𝐴⃗||𝐵 ⃗⃗ | cos(𝜃) 𝐴⃗. 𝐵 𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴⃗(1; −2; 2): |𝐴⃗| = √12 + (−2)2 + 22 = 3 ⃗⃗ (0; 4; 4): |𝐵 ⃗⃗ | = √(4)2 + 42 = 4√2 𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐵 Reemplazando en la fórmula inicial:

0 = 3.4√2cos (𝜃) Operando quedaría lo siguiente:

0 3.4√2

= cos (𝜃)

Finalmente, el ángulo tendría la forma:

cos(𝜃) = 0 θ = 90° Rpta: Los ángulos encontrados a partir del producto escalar son los siguientes: Caso a: 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (

5

)°

√2√13

Caso b: 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (2√5√29)° −22

Caso c: θ = 90°

Problema 15: Una partícula se somete a una fuerza Fx que varía con la posición, como se muestra en la figura P7.15. Encuentre el trabajo invertido por la fuerza en la partícula mientras se mueve a) de x = 0 a x = 5.00 m, b) de x = 5.00 a x = 10.0 m, y c) de x = 10.0 m a x = 15.0 m. d) ¿Cuál es el trabajo total invertido por la fuerza sobre la distancia x = 0 a x = 15m?

Para calcular el trabajo realizado hallaremos el área bajo la curva en los tramos a, b y c ➢ Hallamos el área del triángulo que se forma cuando la partícula se mueve de x = 0 a x = 5.00 m

𝑎)𝑊𝑥0→𝑥5 =

𝐵 × ℎ 5𝑚 × 3𝑁 = = 7,5 𝐽 2 2

➢ Hallamos el área del rectángulo que se forma cuando la partícula se mueve de x = 5 a x = 10.0 m

b) 𝑊𝑥5→𝑥10 = 𝐵𝑥ℎ = 5𝑚 × 3𝑁 = 15 𝑗

➢ Hallamos el área del triángulo que se forma cuando la partícula se mueve de x = 10 a x = 15.0 m

c) 𝑊𝑥10→𝑥15 =

𝐵×ℎ 2

=

5𝑚 ×3𝑛 2

= 7,5 𝐽

Por último, hallamos la suma de las áreas totales bajo la curva, es decir la suma de las áreas de a, b y c ∴ 𝑊𝑥0→𝑥15 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 7,5 𝐽 + 15 𝑗 + 7,5 𝑗 = 30 𝐽 Rpta: El trabajo total invertido por la fuerza, sobre la distancia x = 0 a x = 15.0 m, es de 30 𝐽

Problema 27: La gráfica de la figura P7.27 especifica una correspondencia funcional entre las dos variables u y v. 𝑏

a) Encuentre ‫𝑣𝑑 𝑢 𝑎׬‬ 𝑎

b) Encuentre‫𝑣𝑑 𝑢 𝑏׬‬ 𝑏

c) Encuentre‫𝑢𝑑 𝑣 𝑎׬‬

Establecemos una proporción de u en función de v: 8 𝑁 − (−2 𝑁) 𝑢 − (−2 𝑁) = 25𝑐𝑚 − 5𝑐𝑚 𝑣 − 5𝑐𝑚 (0.5 𝑁/𝑐𝑚)(𝑣 − 5𝑐𝑚) = 𝑢 + 2 𝑁 (0.5 𝑁/𝑐𝑚)𝑣 − 4.5 𝑁 = 𝑢 (2 𝑐𝑚/𝑁) + 9𝑐𝑚 = 𝑣

Entonces:

Caso A: 𝑏

25

∫ 𝑢 𝑑𝑣 = ∫ (0.5𝑣 − 4.5)𝑑𝑣 = 0.25 (625 − 25) − 4.5(25 − 5) 𝑎

5

= 150 − 90 = 60𝑁. 𝑐𝑚 = 0.600 𝐽

Caso b: 𝑎

∫ 𝑢 𝑑𝑣 = − 0.600𝐽 𝑏

Caso c: 𝑏

8

∫ 𝑣 𝑑𝑢 = ∫ (2𝑢 + 9)𝑑𝑢 = 64 − (−2)2 + 9(8 + 2) 𝑎

−2

= 60 + 90 = 150𝑁. 𝑐𝑚 = 1.50 𝐽 RPTA: Las integrales encontradas a partir de la correspondencia funcional son los siguientes: Caso a: 0.600 𝐽 Caso b: −0.600 𝐽 Caso c: 1.50 𝐽

Problema 34: Un carro de 300 g rueda a lo largo de una pista recta con velocidad de 0.600 i m/s en x= 0. Un estudiante sostiene un imán enfrente del carro para temporalmente jalar hacia adelante sobre él, en seguida el carro se desplaza hacia un montículo de arena que se convierte en una pequeña pila. Estos efectos se representan cuantitativamente mediante la gráfica de la componente x de la fuerza neta sobre el carro como una función de la posición, en la figura P7.34.

a)

¿El carro rodará todo el camino hasta la pila de arena? Explique cómo puede decirlo. ➢ Sí, esto se da ya que presenta energía cinética la cual es mayor si su distancia es mayor y la fuerza de atracción del imán es mayor. Esto permitirá al carro rodar todo el camino hasta la pila de arena.

b)

Si es así, encuentre la rapidez a la que sale en x= 7.00 cm. Si no, ¿qué máxima coordenada x alcanza? Rapidez a la que sale en x= 7.00 cm

Evaluamos la energía cinética del carro: 1 1 𝐾 = 𝑚𝑣 2 = (0,3 𝑘𝑔)(0.6 𝑚⁄𝑠)2 = 0.054𝐽 2 2

El trabajo que realiza el carro, es el área neta debajo del gráfico:

𝑊𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 = 2𝑁 (0.01𝑚) + [

(0−3𝑁) 2

] (0.04𝑚) = −0.04J

Por lo cual, la energía cinética final es la restante: 𝐾𝑖 + 𝑊 = 𝐾𝑓 → 0.054 𝐽 − 0.04𝐽 = 0.014𝐽 Mediante el teorema Trabajo-Energía: 𝑊 = 𝛥𝐾 = 𝐾𝑓 − 𝐾𝑜 𝑊 = 0.054J − 0.04J 𝑊 = 0.014J Luego: 𝑊=

1 2 𝑘𝑥 2

1 (0.3)𝑉 2𝑓 = 0.014 2 𝑉 2𝑓 =

2(0.014) 0.3

𝑉 2𝑓 = 0.09333333333 𝑉𝑓 = 0.30550504632 𝑉𝑓 = 0.306

𝑚 𝑠

Rpta: La rapidez a la que sale en x=7 cm es de 0.306 𝑚⁄𝑠