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“Fundamentos de Finanzas”
Diagramas de flujos de dinero y factores financieros Valor Futuro Pago único
0
i
Valor Presente
F=? n per
0
F
P=? P
P Anualidad
0
i
n per
F n per
i
i
0
A A A A ... A
n per
A A A A ... A P
i
Perpetuidad
... A A A A A
Valor Futuro Pago único
Anualidad
F = P(1+ i)
Valor Presente
n
(1 + i ) n − 1 F = A i
Perpetuidad
Carlos Agüero, MBA
F P= (1+ i)n (1 + i ) n − 1 P = A n i (1 + i ) P=
A i
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“Fundamentos de Finanzas”
Valuación de Anualidades y Perpetuidades (Modelo Matemático-Financiero) 1. Anny ha decidido ahorrar S/.100 mensuales en el banco “SIEMPRE ALEGRE” que ofrece pagarle una TEM = 2.5% por sus depósitos. Si su primer depósito lo hará este fin de mes, determinar el monto que obtendrá luego de un año. (1,379.56) 2. Juan Enrique ha sido destacado a España por seis meses. Para evitarse problemas de correo desea dejar asegurado el presupuesto familiar que se estima en S/.2,700 mensuales (cada fin de mes, pues las compras son al crédito). Para ello realizará un depósito en el banco “NO TE ALEJES” que paga una TEM del 3% de donde su esposa realizará los retiros mensuales que cubren el presupuesto familiar. Si el primer retiro será dentro de un mes, calcular el depósito que deberá hacer hoy Juan Enrique. (14,626.42) 3. Sofía ha decidido no seguir trabajando pues sus ahorros a la fecha le permitirán disfrutar por el resto de su vida de una “pensión” de $3,000 mensuales. Si sus ahorros están en una entidad financiera que paga 2% efectivo mensual, determinar cuál es el monto de sus ahorros actualmente. (150,000) 4. Boris desea realizar depósitos mensuales de $X cada uno, durante 15 años, luego de los cuales desea retirar a perpetuidad $2,500 mensuales. Si estos depósitos ganarán una TEM del 1.8%, hallar X. (105) 5. Hoy día se realizará un único depósito con la finalidad de poder realizar 14 retiros mensuales de S/.1,500 cada uno, siendo el primero de ellos dentro de 6 meses. Determinar dicho depósito si éste ganará una tasa de 9% nominal anual capitalizable diariamente. (19,129.74) 6. Comenzando hoy día se realizarán 7 depósitos bimestrales de S/.500 cada uno y cada fin de mes (comenzando este mes) se retirarán S/.200. La tasa de interés es de 4% efectivo mensual, determinar el monto generado luego de un año. (1,478.15) 7. La empresa “POWER” dedicada a la comercialización de grupos electrógenos, los mismos que tienen un precio de contado de $3,000, está planeando efectuar ventas al crédito en seis cuotas mensuales uniformes anticipadas cargando una TEM del 4%. ¿Cuál será el importe de cada cuota? (550.27) 8. ¿Cuántas cuotas mensuales anticipadas de S/.1,650 serán necesarias para cancelar un préstamo de S/.8,500? La deuda ha sido contraída en un banco que cobra una TNA del 24% con capitalización trimestral. (5.37) 9. El proceso de fabricación e instalación de una máquina tendrá una duración de cinco meses. A partir del fin del sexto mes producirá un flujo neto mensual de S/.500 durante 24 meses, ¿cuál será el valor presente de dichos flujos considerando una TEM del 3% durante los primeros 5 meses y del 4% para los meses restantes? (6,576.08) 10. El hotel “VUELVE PRONTO” estará terminado dentro de un año, fecha a partir de la cual se proyecta por 10 años tener ingresos netos mensuales de $2,000. Calcule el valor presente de esos flujos considerando una TEA del 20%. (91,282.76) 11. ¿Hasta qué importe Diego Eduardo podrá endeudarse con un banco hoy, si se compromete a pagar S/.1,000 durante ocho cuotas trimestrales, empezando a repagar el préstamo dentro de medio año y pagando una TEM del 4%? (4,342.16)
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12. El precio actual de un pozo petrolero con una vida productiva de más de cien años es de $400,000. Calcule el importe de la merced conductiva mensual anticipada a pagar por la concesión del pozo a tiempo indefinido. La TEA exigida por los dueños es del 40%. (11,059.96) 13. Un hostal que en la fecha se piensa vender, desde hace varios años viene produciendo un flujo neto anual de $10,000. Se espera que esta renta se mantenga estable por muchos años más. Un grupo económico interesado en adquirirla exige a sus inversiones una tasa de rentabilidad efectiva anual del 20%. ¿Hasta cuánto podría ofrecer para adquirir el hostal? (50,000) 14. El dueño de otro pozo petrolero con reservas de explotación probadas para un plazo mayor a 100 años tiene un flujo neto anual de $84,000. Calcule el valor presente del pozo con el objeto de venderlo, conociendo que los próximos tres años no habrá explotación alguna por renovación de sus equipos. El dueño percibe por sus inversiones una TEA del 15%. (368,209.09) 15. Una carretera tiene un costo inicial de construcción de $40,000 y su mantenimiento integral debe efectuarse cada 5 años en forma indefinida con un costo de $8,000 por cada mantenimiento. Calcule su costo capitalizado (valor presente) considerando una TEA del 8%. (57,045.65) 16. Un camino de herradura tiene un costo de $30,000 con una vida estimada de 10 años. Después de este intervalo de tiempo debe renovarse integralmente con un costo de $15,000. Calcule su costo capitalizado considerando una TEM del 1%. (36,520.64) 17. Una entidad gubernamental que debe construir un puente para unir dos ciudades ha recibido las siguientes propuestas: (a) De madera, con un costo inicial de $10,000 y un costo de mantenimiento cada 3 años de $4,000. (b) De concreto, con un costo de $20,000 y un mantenimiento de $6,000 cada 6 años. ¿Cuál será la decisión más adecuada, considerando un costo de capital del 6% anual? ((a) con $30,940.65) 18. Una obra de irrigación con una vida útil de 15 años tiene un costo de $50,000. Después de este período de tiempo debe renovarse íntegramente con el mismo costo original. Calcule el costo capitalizado considerando una TNA del 24% capitalizable trimestralmente. (51,563.10) 19. Una empresa de transportes que requiere renovar su flota recibe las siguientes propuestas: (a) $80,000 y una vida útil de 5 años; (b) $100,000 y una vida útil de 7 años. ¿Qué oferta es más conveniente considerando una TEA del 8%? ((b) con 240,090.50) 20. En la Feria Internacional, una máquina textil está siendo ofertada con $2,000 de cuota inicial y 24 cuotas mensuales de $250. ¿Cuál sería el precio de contado si el crédito incluye una TEA del 20%? (6,989.65) 21. Un vendedor informal debe pagar por el saldo de un préstamo, 35 cuotas diarias de S/.10 c/u. ¿Con qué importe podrá cancelar hoy su préstamo si su acreedor cobra una TNA del 48% con capitalización trimestral? (342.18) 22. Un préstamo de $1,000 se otorga en 24 cuotas quincenales vencidas de $50. ¿Qué TNA se está cargando? (36.314%)
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23. Debiendo cancelar hoy el importe de S/.5,000 se propone hacerlo mediante dos pagos iguales de S/.2,800 cada uno los que vencerán dentro de 2 y 3 meses respectivamente. Calcule la TEA. (72.50%) 24. Por campaña escolar una casa comercial ofrece “paquetes escolares” por un importe de S/.1,200 cobrando 12 cuotas mensuales anticipadas de S/.120 c/u. ¿Cuál es la TEM cargada? (3.5031%) 25. Por campaña escolar una casa comercial ofrece “paquetes escolares” en productos, por un importe de S/.1,200 cobrando una cuota inicial de S/.200 y 11 cuotas mensuales de S/.120. ¿Cuál es la tasa mensual de interés cargada? (4.9384%) 26. Rodrigo compra un auto y deposita el 30% de su valor, como cuota inicial; además para pagar la diferencia, firma 24 letras con vencimiento mensual. La tasa de interés es del 18.27135% nominal anual capitalizable trimestralmente. Después de efectuar 14 pagos, le informan que las 10 letras restantes valen $9,000 si las paga inmediatamente. ¿Cuál era el valor “cash“ del vehículo? (27,926) 27. Una empresa solicita a una entidad financiera un préstamo de S/.20,000 para ser reembolsado en 2 años a una TEM del 2% con cuotas fijas cada 90 días. Durante el primer año las cuotas deben ser equivalentes al 40% del préstamo y durante el segundo año deben ser equivalentes al 60% del préstamo. Calcule el importe de las cuotas durante el primer año y segundo año respectivamente. (2,315.12; 4,404.20) 28. JVHA está formulando su presupuesto de ingresos para el próximo año, estimando los siguientes flujos de fin de mes: del primer al cuarto mes S/.500; del quinto al octavo mes no puede proyectar los flujos, ya que introducirá un nuevo producto; del noveno al duodécimo mes S/.700. Si JVHA puede ahorrar esos ingresos ganando una TEM del 5% y necesita disponer al término de 12 meses un monto de S/.10,000, calcule el importe constante de los flujos mensuales que no puede proyectar JVHA. (725.12) 29. Pedrito planea invertir en un restaurante de lujo. Su aportación inicial seria de $350,000 y el local tendría una capacidad para atender a 250 personas diarias. Se calcula que la ganancia neta promedio que proporcionará cada cliente es de $10. Las instalaciones del restaurante duraran 7 años en buen estado y al final de ese tiempo podrían venderse en $55,000. Si el señor Pedrito hace una planeación para 7 años, ¿Cuál es la asistencia promedio diaria que debe tener el restaurante para que pueda ganar 10% anual?. Considérese que el negocio abre todo el año: 365 días (18.11) 30. Un préstamo de $1000 se está pagando con mensualidades de $80 a una TEA del 79.5856%. Un mes después de hecho el préstamo empezó a pagarse. Si después de siete pagos se acuerda que el resto de la deuda se cubrirá con dos pagos iguales únicos al final de los meses nueve y once, ¿A cuánto ascenderán estos pagos de forma que salden totalmente la deuda? (436.91) 31. Un crédito fue pactado a ser cancelado en 20 cuotas uniformes de S/. 250 cada fin de trimestre pagando una TNA del 34.971% capitalizable mensualmente. El cliente habiendo cumplido puntualmente sus pagos, al vencimiento de la duodécima cuota decide cancelarla conjuntamente con las cuotas insolutas (pendientes de pago, o las que están por vencer). ¿Cuál es el importe total a cancelar en esa fecha? (1,633.70) 32. La empresa EQUIPOS S.A. vende sus máquinas bajo dos modalidades: crédito y contado. a. CREDITO: cuota inicial: 50% de precio contado y saldo en 6 cuotas mensuales de US$ 888.93 cargando una TEA del 25%. b. CONTADO: ¿Cuál será este precio? (10,000)
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33. Usted solicita un préstamo para su educación universitaria y recibe de una entidad oficial la suma de $1,000 al final de cada mes durante 5 años. Usted se compromete a repagar la deuda en mensualidades iguales, una vez graduado y empleado, en un período de 3 años. Si la TNA es del 12% capitalizable mensualmente, ¿Cuánto habrá de pagar para cumplir su obligación? (2,712.60) 34. Doménico, un hombre bastante rico decidió arreglar que sus descendientes recibieran una buena educación. Le hubiese gustado que cada uno de los niños tuviera $20,000 para sus estudios. Pensó en establecer un fideicomiso perpetuo para que seis niños recibieran esa cantidad en cada generación. Proyectó que habría cuatro generaciones cada siglo, espaciados cada 25 años. Estimó que el fideicomiso pudiera obtener una TEA del 4% y que los primeros beneficiados recibieran el dinero dentro de 10 años. ¿Cuánto dinero debe poner ahora Doménico en el fideicomiso? (129,733) 35. Un trabajador ha decidido aportar cada fin de mes a una AFP el equivalente de $100 durante los 5 años que le faltan para jubilarse, de tal modo que después de su jubilación le permita retirar mensualmente una renta igual a la de su aporte. Considerando que los capitales en la AFP tienen un rendimiento efectivo anual del 6%, ¿Durante cuánto tiempo podrá efectuar esos retiros hasta agotar sus fondos? (85 meses) 36. Jorge compró un televisor en $750 y acordó pagarlo en 24 mensualidades iguales, comenzando un mes después de la compra. El contrato también estipula que el comprador deberá pagar en el mes de diciembre de ambos años anualidades equivalentes a 3 pagos mensuales. Si el televisor se adquirió el 1 de enero de 2000, tendrá que pagar en diciembre de 2000 y diciembre de 2001, 4 mensualidades en cada período. Si la TEM = 1%, ¿a cuánto ascienden los pagos mensuales? (28.55) 37. La misma persona del problema anterior decide que en vez de pagar dos anualidades equivalentes a 3 mensualidades cada una, pagará una sola e diciembre de 2000 por $200. ¿A cuánto ascienden ahora los 24 pagos mensuales uniformes, si la tasa de interés se mantiene igual? (26.95) 38. Una universidad local ofrece estudios de licenciatura por una cantidad anual de $4,500 pagaderos al principio del año escolar. Otra forma de pagar los estudios es mediante la aportación de 10 mensualidades iguales. La primera se paga el 1 de setiembre y la última el 1 de julio del siguiente año. En los meses de diciembre y agosto no hay pago por estar de vacaciones. ¿A cuánto ascienden los 10 pagos mensuales uniformes para ser equivalentes a un pago de contado de $4,500 el 1 de setiembre de cada año, si la universidad aplica una TEM del 2%? (497.77) 39. Angelina se propuso ahorrar $1,000 cada fin de año durante 10 años en un banco que paga una TEA del 12%. Sin embargo al final de los años 5 y 7, en vez de ahorrar, tuvo que disponer de $500 en cada una de esas fechas. ¿Cuánto acumuló al final de los 10 años? (12,797.83) 40. Un matrimonio compró una casa en $180,000 mediante una hipoteca que cobra 10% TEA. Si el matrimonio puede dar pagos de $23,000 cada fin de año, comenzando un año después de la compra. (a) ¿ Cuándo terminarían de pagar la casa? (16 años) (b) Si dan una inicial de $35,000 y desean pagar la casa en el mismo plazo calculado en el inciso (a), ¿a cuánto ascenderán ahora los pagos de fin de año? (18,533.41)
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Criterios de Evaluación de Inversiones 1. ¿Qué es el valor actual neto de las inversiones y cómo se calcula? 2. ¿Cómo se calcula la tasa interna de rentabilidad de los proyectos y qué hay que buscar cuando se emplea esa tasa? 3. ¿Por qué el criterio del plazo de recuperación no siempre beneficia a los accionistas? 4. ¿Cómo se puede utilizar el criterio del valor actual neto para analizar tres problemas corrientes sobre proyectos excluyentes: cuándo retrasar una inversión, cómo elegir entre proyectos de igual duración, y cuándo renovar los equipos? 5. ¿Cómo se calcula el índice de rentabilidad y cómo se utiliza para elegir entre proyectos cuando los fondos están limitados? 6. Software SAA (SS) tiene los siguientes proyectos: Año 0 1 2 3
Proyecto A -$7,500 4,000 3,500 1,500
Proyecto B -$5,000 2,500 1,200 3,000
(a) Suponga que el máximo periodo de recuperación que necesita SS es de dos años. ¿Cuál de estos proyectos debería elegir? (b) Imagine que SS usa el criterio del VPN para asignarle un rango a estos dos proyectos. Si la tasa de descuento (COK) apropiada es de 15%, ¿qué proyecto elegiría? 7. Peach Company invierte hoy 1 millón de dólares en un nuevo proyecto de construcción que generará flujos de caja anuales de $150,000 a perpetuidad. La tasa de descuento anual apropiada para el proyecto es de 10%. (a) ¿Cuál será su periodo de recuperación? Si la compañía desea tener un periodo de recuperación de 10 años. ¿Ha sido correcto que adopte este proyecto? (b) ¿Cuál será el periodo de recuperación descontado para el proyecto?
(c) ¿Cuál será su valor presente neto? 8. Calcule la TIR de proyectos que tienen los siguientes flujos de efectivo: Año 0 1 2
Carlos Agüero, MBA
Proyecto A -$3,000 2,500 1,000
Proyecto B -$6,000 5,000 2,000
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9. XYZ planea llevar a cabo un proyecto con los siguientes flujos de caja: Año F/E (en $)
0 -8,000
1 4,000
2 3,000
3 2,000
(a) Determine la TIR sobre el proyecto. (b) Suponiendo que la tasa de descuento apropiada es de 8%, ¿conviene a XYZ realizar el proyecto? 10. Imagine que hoy le han ofrecido $5,000 y a condición de que cumpla con el siguiente programa de pagos: Año F/E (en $)
0 5,000
1 -2,500
2 -2,000
3 -1,000
4 -1,000
(a) ¿Cuál será la TIR de esta oferta? (b) Si la tasa de descuento apropiada es de 10%, ¿debe usted aceptar esta oferta? (c) Si la tasa de descuento apropiada es de 20%, ¿le conviene aceptar el préstamo? (d) ¿Cuál será el VPN del proyecto que corresponde a las tasas de descuento apropiadas de 10% y 20%, respectivamente? (e) ¿Las elecciones que se hacen a partir de las reglas del VPN son coherentes con las de la TIR? 11. Usted tiene la posibilidad de participar en un proyecto que produce los siguientes flujos de caja: Flujos de Caja ($) I0 F/C1 F/C2 +5,000 +4,000 -11,000 La TIR es el 13.62%. Si el COK es el 10%, ¿aceptaría la oferta? 12. Productos farmacéuticos Borgia tiene 1 millón de dólares asignado para gastos de capital. a. ¿Cuál de los siguientes proyectos debería aceptar la empresa para cumplir con el presupuesto de 1 millón de dólares? b. ¿Cuánto le cuesta a la empresa el límite de presupuesto en términos de valor de mercado? El costo de oportunidad del capital para cada proyecto es el 11%. Proyect o 1 2 3 4 5 6 7
Carlos Agüero, MBA
Inversión (miles de US$) 300 200 250 100 100 350 400
VAN (miles de US$) 66 -4 43 14 7 63 48
TIR (%) 17.2 10.7 16.6 12.1 11.8 18.0 13.5
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13. YVM está considerando dos proyectos de presupuesto de capital con un costo de capital del 3.556% efectivo trimestral y los flujos de caja esperados (miles de $) que se muestran aquí: Año Proyecto X Proyecto Y
0 –100 –50
1 25 10
2 30 15
3 40 25
4 30 15
5 25 15
Calcule el VPN y la TIR para cada proyecto. ¿Cuál (es) proyecto (s) deberá aceptar YVM, suponiendo que son: (a) Independientes? (b) Dependientes? (c) Mutuamente excluyentes? 14. Andrés está considerando dos proyectos de presupuesto de capital mutuamente excluyentes que tienen un costo de capital del 13.1746% TNA capitalizable mensualmente y los flujos de efectivo (flujos de caja) que se muestran a continuación (en miles de $). ¿Cuál proyecto, si acaso, deberá emprender Andrés? Justifique su respuesta. Año 0 1 2 3 4 5 Proyecto A –100 30 40 50 40 30 Proyecto B –150 45 60 75 60 60
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Confecciones Gereda Renato Gereda desea incursionar en el negocio de las confecciones, pues ha recibido información respecto a que este negocio es muy rentable. Dado que carece de experiencia en este tipo de actividades, su única alternativa factible es la de conformar una “sociedad” con su amigo el señor Ricardo Morillas, quien posee un taller de confecciones desde hace varios años y cuenta con una buena cartera de clientes. En esta “sociedad”, el señor Gereda aportará el capital que se invertirá, mientras que el señor Morillas aportará su trabajo en la gerencia de la misma. El negocio es prácticamente seguro y consiste en confeccionar, en el taller del señor Morillas, polos de algodón bordados electrónicamente. Los polos serán vendidos (por cientos) a tres clientes mayoristas de prestigio que aseguran comprar toda la producción posible, así como pagar la mercadería al contado. El costo total de un ciento de polos es de S/.999.39 y serán colocados a un precio de S/.1,028. El proceso de producción demora 5 días, independientemente del número de polos por confeccionar, pues de ser necesario se contrataría el servicio de terceros con el fin de respetar el plazo antes mencionado. El costo de producción no se modificaría en este último caso, pues el que se carga a los polos producidos en el taller del señor Morillas es estándar. El acuerdo con el señor Morillas es reinvertir todo el ingreso obtenido de la venta en la producción de más polos. Al final de los 3 meses se repartirán las utilidades obtenidas en partes iguales. Por otro lado, el señor Gereda cuenta con otra alternativa de inversión, pues su primo Roberto acaba de proponerle otro negocio igualmente seguro con las características siguientes: Inversión F/C
: :
S/.15,000 S/.4,000; S/.6,000 y S/.9,000 dentro de uno, dos y tres meses respectivamente.
a. Hallar el rendimiento mensual que obtendría el señor Gereda al invertir en el negocio del señor Morillas. b. Determinar si le conviene al señor Gereda invertir en el negocio de su primo Roberto. c.
¿Estaría dispuesto el señor Gereda a “pagar” alguna cantidad con la finalidad de entrar en el negocio de Roberto? ¿cuánto?
d. Si la rentabilidad en el negocio del señor Gereda fuese 12% mensual, responder (b) y (c). e. Hallar la TIR del proyecto de Roberto. Comentar.
Carlos Agüero, MBA
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