• Author / Uploaded
• Jeison Cubas Lozano

Citation preview

Ejercicios 1 Una maquina llena un determinado producto en bolsas cuyo peso medio es u gramos. Suponga que la población de los pesos es normal con desviación estándar 20 gramos. a)

Estime u de manera que el 99.38% de las bolsas

tengan pesos no superiores a 550 gramos. b)

Estime u mediante un intervalo de confianza del 95%,

si una muestra aleatoria de 16 bolsas ha dado una media de 495 gramos solución

𝑋 → 𝑁 (𝑢, 202)

N=16

X: peso medio

Z0.975=1.96(5) = 9.8

Respuesta: B). (495±9.8)

𝑝 (𝑥 ≤ 550) = 0.9938

Repuesta: A). u=500

ejercicio N°02 Se decide estimar la media µ del nivel de ansiedad de todos los estudiantes preuniversitarios. Se supone que la población de los puntajes de la prueba para, medir la ansiedad se distribuye normalmente con desviación estándar igual a 10 puntos. a)

Determinar el intervalo para µ con confianza del 95%,

si una muestra aleatoria de tamaño 100 ha dado una media de 70 puntos. b)

Si µ se estima en 70 puntos con el nivel de confianza

del 98%, ¿es el error de la estimación puntual superior a 5 puntos? c)

Si Ud. considera que el intervalo encontrado en a) no

es muy preciso, ¿qué acción debería tomar para que el intervalo de estimación al 95% sea más preciso? Solución

X= nivel de ansiedad

𝑋~ 𝑁 (𝑢, 102)

Z0.975=1.96 X: puntajes a). - 𝛼 = 0.05

𝑛 = 100

=>

𝑏)._ 𝛼 = 0.02

Z0.99=2.33

𝑥 = 70

Repuesta: a). (70 ± 1.96)

Respuesta b). No. es =2.33

Respuesta c). aumenta el tamaño de la muestra. ejercicio N°03 El tiempo en minutos que utilizan los clientes en sus distintas operaciones en un banco local es una variable aleatoria cuya distribución se supone normal con una desviación estándar de 3 minutos. Se han registrado los tiempos de las operaciones de 9 clientes del banco resultando una media igual a 9 minutos: a)

Hallar el nivel de confianza si la estimación de µ es el

intervalo de 7 a 11 minutos. b)

Si µ se estima por 𝑥 , calcular la probabilidad de que

la media de los tiempos. de todas las muestras de tamaño 9 este entre 6.5 y 11.5 minutos. X→ 𝑁 (𝑢, 32)

x: tiempo en minutos a) (7≤ 𝑢 ≤ 11) b)

→ = 0.9772

→ 𝛼 = 0.0456

Respuesta a). 0.9544

Z

Z 1- = 2 → 1−𝛼=

n=9

𝑥=9

= 0.9938

𝛼 = 0.0124 Respuesta b). 1 − 𝛼 = 0.9876

ejercicio N°04 Un fabricante afirma que el peso promedio de las latas de fruta en conserva que saca al mercado es 19 onzas. Para verificar esta afirmación se escogen al azar 20 latas de la fruta y se encuentra que el peso promedio es 18.5 onzas. Suponga que la población de los pesos es normal con una desviación estándar de 2 onzas. a) Utilizando un intervalo de confianza del 98% para µ, ¿se puede aceptar la afirmación del fabricante? b) ¿Qué tamaño de muestra se debe escoger para estimar µ si se quiere un error no superior a 0.98 onzas con confianza del 95%? 𝑢 = 19

𝑛 = 20

Respuesta a).

17.458 ≤ 𝑢 ≤19.542

e=

Respuesta b). N= 16

𝑥 = 18.5

𝑋→ 𝑁 (𝑢, 22)

𝑒 = 1.042

Ejercicio n°5 Se quiere hacer una encuesta para estimar el tiempo promedio por semana que

los niños ven televisión. Por estudios

anteriores se sabe que la desviación estándar de dicho tiempo es de 3 horas. ¡Con el nivel de confianza de! 99%. a)

¿Qué tamaño de muestra se deberá elegir si el error

de la estimación puntual no es superior a media hora? b)

Qu6 costo se debe presupuestar para hacer la

encuesta si esta tiene un costo fijo de $5000 más un costo variable de $2 por cada entrevista? solución X; tiempo promedio por semana que niños ven tv

Z0.995 = 2.575 a). ($ 2 por c/ entrevista) b). C = 5000 + 2x 𝑢𝑐 = 5000 + 2(239) = 5478 u=500

6. Un fabricante produce focos cuya duración tiene distribución normal. Si una muestra aleatoria de 9 focos da las siguientes vidas útiles en horas 775, 780, 800, 795, 790, 785, 795,780, 810 Estimar la duración media de todos los focos del fabricante mediante un intervalo de confianza del 95%. Si la media poblacional se estima en 790 horas con una confianza del 98%, ¿cuánto es el error máximo de la estimación si se quiere una confianza del 98%? Datos Vidas útiles en horas: 775, 780, 800, 795, 790, 785, 795,780, 810 Intervalo de confianza: =95% Solución Calculamos la media: 𝑥 = ∑91 𝑥𝑖 : 𝑥=775+ 780+ 800+ 795+790+785+ 795+780+810=790 Calculamos la varianza: s= S= (7752+7802+8002+7902+7852+7952+7802+8102) /9 - 7902 S=11.18 a) Calculamos la duración media: Calculamos el t0: P [T t0]= (1+ ) /2 = (1 + 0.95) /2 = 0.975 t0 = 2.306 Tenemos que:

[790 – (2.306*11.18) /3 790 + (2.306*11.18) /3] [790 – 8.59 790 + 8.59] [781.14 798.58] b) calculamos el error máximo de estimación: Em= t Primeramente, calculamos nuestro t0 P [T t0]= (1+ ) /2 = (1+0.98) /2 = 0.99 T0= 2.896 Remplazamos en Em Em=2.896*11.18/3 Em=10.79 7. Para determinar el rendimiento anual de ciertos valores, un grupo de inversionistas tomó una muestra aleatoria de 49 de tales valores encontrando una media de 8.71 % y una desviación estándar s = 2.1 %.

a) Estime el verdadero rendimiento anual promedio de tales valores mediante un intervalo de confianza del 96%. b) Calcule el riesgo a si el rendimiento anual promedio de todos los valores se estima entre 7.96% y 9.46%. Datos: n=49 𝑥=8.71% s = 2.1 % Solución Calculamos el z0 sabiendo que =0.96 F (Z z0)= (1+0.96) /2 = 0.98 z0=2.06 a) Ahora calculamos los intervalos de

[8.71- (2.06*2.1) /7 8.71+ (2.06*2.1)/7] [8.71 - 0.615 8.71 + 0.615] [8.095 9.325] b) calculamos el valor de sabiendo que el promedio se encuentra entre 7.96% y 9.46%. Primero calculamos el valor de Z0 tomando el primer límite 8.71% Z0*2.1%/7 7.96% Z0=2.5 Sabemos que F (Z0) = 0.99379 = ( + 1)/2 Donde 0.98758 Entonces como: + =1 = 0.01242

=

8. La duración de cierto tipo de batería es una variable aleatoria cuya distribución se supone normal. Inicialmente se estima que la duración media es de 500 horas y que el 95% duran entre 480.4 y 519.6 horas. Si se eligen 9 baterías al azar y se encuentra que la duración media es 480 horas. Utilizando un intervalo de confianza del 95% para la media , ¿se debería inferir que la duración media es diferente de 500 horas? Datos: 𝑥 Inicial = 500 hr 95% duran entre 480.4 y 519.6 horas =0.95 𝑥 Final=480 hr n=9 Solución a) Calculamos la distribución estándar utilizando los datos P (480.4 < X < 519.6) = 0.95 P [(480.4 500) / < Z < (519.6 500) / ] = 0.95 P (-19.6/ < Z < 19.6/ ) = 0.95

Igualamos k=19.6/ y aplicamos propiedad de porcentajes P (-k < Z < k) = 0.95 2 (k) – 1 = 0.95 (k)=1.96 Por lo cual = 10 b) ¿se debería inferir que la duración media es diferente de 500 horas? Comprobamos: 480 - (1.96*10) /3 480 + (1.96*10) /3 473.47 486.53 Inferimos que la media es diferente de 500 hr 9. Encontrar el tamaño de muestra que se debe tomar para estimar la media de las longitudes de los tornillos que produce una fábrica con un error no mayor de 0.0233 cm. al nivel de confianza del 98%, sí; además se indica que la longitud de los tornillos tiene distribución normal y si la longitud se desvía de la media en a lo más 0.08 cm. con probabilidad 0.9544. Datos Error menor a 0.0233 cm =0.98 La longitud se desvía de la media en a lo más 0.08 cm. con probabilidad 0.9544. Solución a) Calculamos la desviación estándar P (X