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MATRICES INVERSAS En la teoría de matrices solamente ciertas clases de matrices cuadradas tienen inverso multiplicativos a diferencia de algebra común donde cada número real a diferente de cero tiene su inverso multiplicativo b. Matriz identidad La matriz identidad tiene 1 en la diagonal principal y 0 en las otras posiciones. Ejemplos de matrices identidad de diferentes ordenes.

1 I2   0

0 1

1 I 3  0 0

1 0 I4   0  0

0 0 1

0 1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0  1

Matriz transpuesta Es la matriz que obtenemos de cambiar las filas por las columnas. La transpuesta de representamos por AT .

A la

Ejemplo :

Matriz Adjunta Definición: Si A es una matriz cuadrada n x n y B es la matriz de sus cofactores, entonces la Adjunta de A , denotada por adjA que es la transpuesta de la matriz B cuadrada n x n .

 A11 A  12  . adjA  B T    .  .   A1n

Definición de inversa de una matriz:

A21

...

A22

...

. . . A2 n

...

An1  An 2  .   .  .   Ann 

Si A es una matriz cuadrada de orden n. Si existe una matriz B tal que AB = In = BA entonces B se llama inversa de A y se denota con

A 1 . (Se lee “A inversa”)

Si a es una matriz cuadrada tiene una inversa y decimos que A es invertible. Si A no es una matriz cuadrada no es posible invertirla. Ejemplo 1: Calcula la

A 1  1  A 2  0 

3 5 1

    

2 0 2

Solución Primero calculamos el Determinante de A  1  A 2  0 

3 5 1

    

2 0 2

Usando la fila 1 A  a11C11 + a12C12 + a13C13  5 2 A  ( 1) ( 1)   1

 2 3 0   + ( 3) ( 1)  2   0

 2 4 0   + ( 2 ) ( 1)  2   0

5    ( 1) ( 10 ) + ( 3) ( 4 ) + ( 2 ) ( 2 )  26 1 

Segundo calculamos la matriz de los cofactores de la matriz A. (Ad)  0  + 5  10  1 2   3 2 Ad     8 1 2    + 3 2  10  5 0 



2 0

1 + 0 

0 2 2 2

1 2

2 0

 5  2   1   1 3  1  0 1   1 3 +  11   2 5 

4

+

 2 4

2 0

=

 10  A   8  10  d

Tercero con la matriz Adjunta Ad obtenemos la matriz traspuesta (Ad)t.  10  A   8  10  d

4 2 4

2 1 11

    

Cuarto encuentro la inversa de la matriz A, así:

(A )

d t

 10   4  2 

8 2 1

10 4 11

    

4 2 4

2 1 11

    

 5 5 4  10 8 10   13 13 13   2 1  1 A   4 2 4    13 113 2 13 26     2 1 11   1 1 11 26 26  13

      

Ejemplo 2: Calcula la

A 1  1  A 2  6 

3 2 4

3 2 5

    

Solución Primero calculamos el Determinante de A  1  A 2  6 

3 2 4

3 2 5

    

Usando la fila 1 A  a11C11 + a12C12 + a13C13  2 2 A  ( 1) ( 1)   4

 2 3 2   + ( 3) ( 1)  5   6

 2 4 2   + ( 3) ( 1)  5   6

2    ( 1) ( 2 ) + ( 3) ( 2 ) + ( 3) ( 4 )  20 4 

Segundo calculamos la matriz de los cofactores de la matriz A. (Ad)   + 2  4   3 Ad    4    + 3  2 

 2  A   27  12  d

2 23 8

4 14 4

2 5

 2



2 6

3 5

 27

+

1 6

3 5

 23

 12



1 2

3 2

 8

3 2

2 5

 2

     1 3   14  6 4   1 3 + 4   2 2 

    

Tercero con la matriz Adjunta Ad obtenemos la matriz traspuesta (Ad)t.

+

2 6

2 4

 4

=

 2  A   27  12  d

2 23 8

4 14 4

    

(A )

d t

 2    2  4 

27 23 14

12 8 4

    

Cuarto encuentro la inversa de la matriz A así:

 1 3  27  2 27 12   10 20 5      1 23 2  A1   2 23 8    1 10 20 5 20     4 14 4    1 7 1  5 10 5  

EJERCICIOS Utiliza el método de los cofactores para hallar la inversa de las siguientes matrices. 1  1)  2   1

2 3 1

 5  8  5  

2)

 3   2  1 

5 4 3

8 6 4

    

2  3) 4 6

2 4 5

1  3   3

1  4) 3 1

2 4 0

 1 2   2

Respuestas:

 7 5 1   2 2 2    0 1  1)  1  1 1 1  2 2 2  

 2 1 2   3 3 3     2 3 112 512     1 3 1 6 1 6   

 1 1 1   8 4 8    2)  7 8 1 4 17 8     5 8 1 4 11 8   

 3 1  22 22  3)  1511 6 11  1  2 

1 11 1 11 0

      

4)