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• Alessandro Paucar Andamayo

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UNTELS MAT. JOEL NUÑEZ MEJIA

MATRIZ INVERSA

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MATRIZ INVERSA Definición. Si A y B son dos matrices cuadradas tal que AB = BA = I, entonces A y B se denominan matrices inversas, es decir, A es la inversa de B, y B es la inversa de A. La inversa de la matriz A se simboliza como: A-1

A. A1  I

PROPIEDAD;

Ejemplo

2 SiA    1 

Solución

 2 3  a   1 1  c  

3 1

b  1 0   d  0 1 

2a  3c  1

_________

ac  0

5c 1 c

hallar la inversa de A

1 1 a 5 5

2a  3c 2b  3d  1 0    a  c  b  d   0 1     

2b  3d  0

_________ b  d 1 5d  2 2 3 d b 5 5

3 1 5  5 1  A  1 2   5 5  2

OBSERVACIÓN • Una matriz A que posee inversa se llama matriz no singular o inversible • Una matriz A que no posee inversa se llama matriz singular o no inversible • A es una matriz no singular si y sólo si

A 0

PROPIEDADES a) ( I )-1 = I b) (A·B) -1 = B -1 · A -1 c) (A-1) -1 = A

d) (k · A) -1 = k -1 · A -1 3

e) (A T) -1 = (A -1) T

MATRIZ DE COFACTORES Sea A una matriz cuadrada de orden n, la matriz de cofactores de A está dada por i j AC  cij nn donde cij   1 M ij

 

 

Ejemplo

Hallar la matriz de cofactores de la siguiente matriz.

1 3 A   1 2  2 4

2 0 1 

Solución c1 1 

2 4

c2 1   c3 1 

0

 20  2

1

3 2 4 1

3 2 2 0

 3  8  5

 0  4  4



c1 2  

c2 2 

2

1

1

2

2 1

c3 2  

 2 AC   5  4

1 0

1

2

1 0

1 3 2

  1  0   1

 1  4  3  0  2  2

 8 2  5 

c1 3 

1 2 2

4

1

3

2

4

c2 3   c3 3 

 4  4  8

 4  6   2

1

3

1

2

 235

4

MATRIZ ADJUNTA Si A es una matriz cuadrada, entonces la adjunta de A es la transpuesta de la matriz de cofactores de A, esto es:

AdjA  Cofac ( A)

T

Ejemplo Hallar la matriz adjunta de la siguiente matriz Solución Del ejemplo anterior, tenemos  2 AC   5   4

1 3 2

 8 2  5 

 2 Ad jA   1   8

5 3 2

 4  2  5 

1 3 A   1 2  2 4

2 0 1 

Por lo tanto

5

CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE LA ADJUNTA Si A es una matriz no singular, entonces

A 1  Ejemplo

1 1 Cofact ( A)T Adj ( A)  A A

Hallar la inversa de la siguiente matriz Solución Como

 2 Ad jA   1   8

Por lo tanto

5 3 2

 4  2  5 

y

 2   5  4 11 2  1     1 A 1  1  3  2   11  1 1  8 2 5   8  1 1

1 3 A   1 2  2 4

2 0 1 

A  1 1

5 11 3 11 2  11 

4  11  2   11  5   1 1

6

6

Menor complementario: M Se llama menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de orden n − 1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j. 

Adjunto: (-1)i+j.M Se llama adjunto del elemento aij a su menor complementario anteponiendo: El signo es + si i + j es par. El signo es − si i + j es impar. 7

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE FILAS Y COLUMNAS DE UNA MATRIZ Definición Una transformación elemental es un conjunto de operaciones o procesos con matrices que no modifican su orden ni su característica y que permite obtener una segunda matriz a partir de la matriz dada en una de las formas siguientes:

Notación

F i  Fj

Transformaciones elementales de filas Intercambiar las filas F i y F j

KF i

Multiplicar la fila F i por la constanteK

KFi  Fj

Sumar k veces la fila F i a la fila F j

Matrices equivalentes

Dos matrices A y B se denomina equivalentes, si una de ellas se deduce de la otra mediante las transformaciones elementales de filas o columnas y se denota por A  B

CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE GAUSS JORDAN (Operaciones elementales) Sea A, una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, se sigue los siguientes pasos:

1. Se construye una matriz de la forma M = ( A | I ); es decir, por la matriz de la cual se desea hallar su inversa y por la matriz identidad. A esta matriz se le denomina matriz aumentada. 2. Utilizando las operaciones elementales de filas (método Gauss), se transforma la matriz A, en la matriz identidad: M = ( I | A-1). La matriz que resulta en el lado derecho, será la matriz inversa de A. Esto es

AI 

O.E

I  A  1

Ejemplo Hallar la inversa de la siguiente matriz por el método de Gauss 1  A  1 0 

Solución

1 0 1

1 1  0

1 0 1

0 1 1  0 0  0

0 0  1 0   F1  F2 0 1 

1  0 0 

1

0 

1

-1  1

1

0  0

0   F2  F1  -1 0  0 1   F2  F3

1 0  0

0 0  1 1 0  0 0 1  -1

1

0

0  1 0 



1 1 0  1 0 0   0 -1 1  -1 1 0     F2 0 1 0  0 0 1





 1 0 1  0 1 0   F3  F1  0 1 -1  1 - 1 0    F  F 0 0 1  1 1 1   3 2



0 -1   0 1 1 1

Por lo tanto la matriz inversa de A es

1 -1  A  0  -1 

0 -1   0 1 1 1

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