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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA Departamento Acad´emico de Ingenier´ıa de Minas y Civil

´ DE MINAS FACULTAD DE INGENIERIA ´ Y CIVIL GEOLOGIA ´ PROFESIONAL DE INGENIERIA ´ ESCUELA DE FORMACION CIVIL

TRABAJO N°01 ´ DE PROBLEMAS SELECCIONADOS DEL RESOLUCION ´ LIBRO MECANICA VECTORIAL PARA INGENIEROS ´ ´ DINAMICA R.C.HIBBELER 10ma EDICION ASIGNATURA : DINAMICA (IC-244) ALUMNOS : ARROYO OSORIO, Jose Alberto BARRIENTOS RAMIREZ, Hennry GARCIA SAEZ,Edwin Carlos LUQUE MENDEZ, Yoel DOCENTE: Ing. Cristian CASTRO PEREZ Ayacucho- Peru 2013

RESUMEN ´ de los principales problemas seleccionados referidos a El presente trabajo contiene la resolucion cinem´atica de una part´ıcula y cinem´atica de un cuerpo r´ıgido del libro Mec´anica Vectorial para ´ ´ del autor R.C.Hibbeler. Ingenieros DINAMICA D´ecima Edicion

´ Indice ´ 1. Problemas de Cinematica de una part´ıcula

4

1.1. Movimiento de un proyectil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Movimiento Curvil´ıneo: componentes normal y tangencial . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Movimiento Curvil´ıneo: componentes cil´ındricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4. Movimiento Relativo: ejes en traslacion 1.5. Ecuaciones de Movimiento : Coordenadas rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ´ 2. Problemas de Cinematica de un Cuerpo R´ıgido

17

2.1. Movimiento Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Movimiento Relativo: Aceleracion ´ 2.3. Movimiento Relativo: Ejes en rotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

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´ 1 Problemas de Cinematica de una part´ıcula

´ 1. Problemas de Cinematica de una part´ıcula 1.1. Movimiento de un proyectil PROBLEMA 01: Un carro viajando a lo largo de las posiciones rectas del camino tiene las velocidades indicadas en la figura cuando llega a los puntos A,B y C. Si le toma 3s ir de A a B, y luego 5 s ir de B a C, ´ promedio entre los puntos A y B; y entre A y C. determine la aceleracion

´ solucion Datos: tAB = 3s tBC = 5s vA = 20m/s vB = 30m/s vC = 40m/s θ = 45◦ Cuando se analiza el movimiento entre dos puntos, hallamos los componentes de la velocidad: → − ˆ v A(x) = 20im/s → − ˆ v A(y) = 0jm/s → − ˆ ˆ v B(x) = 30cos45im/s = 21,2132im/s → − ˆ ˆ v B(y) = 30sen45jm/s = 21,2132jm/s → − ˆ v C(x ) = 40im/s → − ˆ v C(y) = 0jm/s ´ Resoluci´on de ejercicios propuestos DINAMICA R.C.HIBBELER 10ma EDICION

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1.2 Movimiento Curvil´ıneo: componentes normal y tangencial

Como: → − − a =→ v˙ dv dt Zt Zv a dt = dv a=

to

a=

vo

(v − vo ) ............(a) (t − to )

tramo AB: ˆ − (20iˆ + 0j))m/s ˆ ((21,2132iˆ + 21,2132j) → − a AB = 3s → − 2 ˆ a AB = (0,4044iˆ + 7,071j)m/s tramo AC: ˆ − (20iˆ + 0j))m/s ˆ ((40iˆ + 0j) → − a AC = 8s → − 2 ˆ a AC = 2,5im/s

1.2. Movimiento Curvil´ıneo: componentes normal y tangencial PROBLEMA 02: Un tren esta viajando con rapidez constante de 14m/s por la trayectoria curva. Determine la mag´ del tren frente del tren B , en el instante en que alcanza el punto A ( y=0). nitud de la aceleracion

´ solucion ´ en el punto A. Por definicion ´ la velocidad siempre esta Pide hallar la magnitud de la aceleracion dirigida tangencialmente a la trayectoria. Como: y

x = 10e 15 ´ Resoluci´on de ejercicios propuestos DINAMICA R.C.HIBBELER 10ma EDICION

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1.2 Movimiento Curvil´ıneo: componentes normal y tangencial

Entonces: y x = ln(e 15 ) 10 y x = ln 15 10 x y = 15 ∗ ln 10 dy 15 = dx x

ln

d2y 15 =− 2 2 dx x ´ es determinada a partir de: La aceleracion 2

v → − ˙ t + un a = vu ρ Sin embargo; primero es necesario determinar el radio curvatura de la trayectoria en A. Como: d 2 y −15 = 2 ;y dx2 x dy 15 = dx x en el punto , x =10, el radio de curvatura: dy

ρ=

ρ=

[1 + ( dx )2 ]3/2 d2y dx2 2 3/2 [1 + ( 15 10 ) ] −15 102

ρ = 39,06m Como: at = v˙ at =

dv dt

at = 0, puestoque : v = 14m/s Entonces: an = an =

v2 ρ

142 39,06

an = 5,02m/s2 q p 2 2 a = at + an = (0)2 + (5,02)2 a = 5,02m/s2

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1.2 Movimiento Curvil´ıneo: componentes normal y tangencial

PROBLEMA 03: El carro de carreras tiene una rapidez inicial vA = 15m/s en A. Si mientras recorre la pista circular ´ de at = (0,4s)m/s2 , donde s esta en metros, determine el tiempo el carro aumenta si rapidez a razon necesario para que viaje 20m. Tome ρ = 150m.

´ solucion Primero es necesario formular a y v para ser evaluadas a s = 20m , entonces: at = v˙ = 0,4s dv dt dv ds . ds dt dv v ds

v˙ =

Ahora: dv v ds

at =

at.ds = v.dv Reemplazando: Z

s

Z

v

0,4s ds = so

v dv vo

0,4.s2 2 0,4s2 2

!s = 0

=

0,2s2 =

v2 2

v2 2 −

!v 15

152 2

v 2 − 225 2

v 2 = 0,4s2 + 225 p v = 0,4s2 + 225 = s˙ ´ Resoluci´on de ejercicios propuestos DINAMICA R.C.HIBBELER 10ma EDICION

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1.3 Movimiento Curvil´ıneo: componentes cil´ındricos

´ El tiempo necesario para que el carro viaje puede ser determinado observando que la posicion cambia, tenemos: ds dt ds dt = v v=

Reemplazando: Z

s

√

0,4s2 + 225

0

Z

s

0

Z

s

√ 0

t

Z

1

ds =

dt 0

ds =t √ 0,4s2 + 225 ds

s2 + 562,5

= 0,63246t

s  p ln s + s2 + 562,5 = 0,63246t 0

p

ln(s + s2 + 562,5) − ln(23,717) = 0,63246t √ ln(s + s2 + 562,5) − ln(23,717) t= 0,63246 El tiempo necesario para que viaje 20 m es por tanto. t = 1,21s

1.3. Movimiento Curvil´ıneo: componentes cil´ındricos PROBLEMA 04: Un automobil esta viajando por la curva circular de radio r=300 pies. En el instante mostrado, ´ angular de rotacion ´ es θ . = 0,4rad/s, la cual esta creciendo a razon ´ de θ .. = 0,2rad/s. su razon ´ del automobil en ese instante. Determine la magnitud de la velocidad y la aceleracion

´ solucion

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1.3 Movimiento Curvil´ıneo: componentes cil´ındricos

Sabemos que la velocidad: vr = r˙ = 0 vθ = r θ˙ = 300(0,4) = 120pies/s Entonces la magnitud de la velocidad es: p p v = vr 2 + vθ 2 = 02 + 1202 v = 120 pies/s ´ Ahora la aceleracion: 2 ar = r¨ − r θ˙ = 0 − 300(0,4)2 = −48,0pies/s2

˙ .2 = 300(0,2) + 2(0)(0,4) = 60pies/s2 aθ = r θ¨ + 2rθ ´ Ahora la magnitud de la aceleracion: q p 2 2 a = ar + aθ = −48,02 + 602 a = 76,8pies/s2 PROBLEMA 05: En el instante mostrado el rociador de agua esta girando con rapidez angular ,θ˙ = 2rad/s y acele´ angular θ¨ = 3rad/s2 . Si la tobera se halla en el plano vertical y el agua fluye por ella a razon ´ racion ´ de una part´ıcula de constante de 3m/s. determine las magnitudes de la velocidad y la aceleracion agua cuando esta sale por el extremo abierto; r = 0,2m.

´ solucion r = 0,2 r˙ = 0 r¨ = 0 hallando velocidad radial: vr = r˙ vr = 3m/s ´ Resoluci´on de ejercicios propuestos DINAMICA R.C.HIBBELER 10ma EDICION

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1.3 Movimiento Curvil´ıneo: componentes cil´ındricos

hallando velocidad angular: vθ = r θ˙ 2 = 2 , θ¨ = 3 vθ = (0,2)(2) vθ = 0,4 m/s Hallando la magnitud de la velocidad: q v=

vr2 + vθ2

p v = 32 + 0,42 v = 3,03 m/s ´ radial: hallando aceleracion ar = r¨ − r θ˙ 2 − r θ˙ 2 sen2 θ | {z } 0

ar = r¨ − r θ˙ 2 ar = 0 − (0,2)(2)2 ar = −0,80 m/s2 ´ zenital o colatitud: Hallando aceleracion aθ = r θ¨ − r − 2r˙θ˙ − r φ˙ 2 senθcosθ | {z } 0

aθ = r θ¨ − r − 2r˙θ˙ aθ = (0,2)(3) + (2)(3)(2) aθ = 12,6 m/s2 PROBLEMA 06: un automobil esta viajando a lo largo de una pista de estacionamiento por una rampa cil´ındrica espiral con rapidez constante de v=1.5m/s. si la rampa desciende una distancia 12m en cada re´ completa. θ = 2πrad, determine la magnitud de la aceleracion ´ del automobil al moverse volucion ´ advierte que en cualquier punto la por la rampa, r=10m. Sugerencia para parte de la solucion tangente a la rampa esta a un angulo de φ = tan−1 (12/[2π(10)]) = 10,81◦ ,desde la horizontal. Use esto para determinar las componentes de velocidad vθ y vz .que a su vez se usan para determinar ˙ θ˙ y z.

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1.3 Movimiento Curvil´ıneo: componentes cil´ındricos

´ solucion Analizando en la formula: ar = θ¨ − r θ˙ 2 − r θ˙ 2 sin2 θ | {z } 0

˙2

ar = θ¨ − r θ reemplazando en la formula tenemos: vθ = rθ˙

con r = 10, r˙ = 0, r¨ = 0 v θ˙ = θ r 1,473 θ˙ = 10 ˙ θ = 0,1473

´ radial: Hallando aceleracion ar = θ¨ − rθ 2 ar = 0 − (10)(0,1473)2 ar = −0,217 m/s2 ´ Zenital o Colatitud: Hallando la aceleracion aθ = r θ¨ − r − 2r˙θ˙ − rφ2 senθcosθ | {z } 0

aθ = r θ¨ − r − 2r˙θ˙ aθ = 10(0) − r − 2(0)(0,1473) aθ = 0 m/s2 ´ Zenital: Hallando la aceleracion ˙ ˙ ¨ aϕ = 2r˙ϕsenθ + 2r θϕcosθ + r ϕsenθ ´ Resoluci´on de ejercicios propuestos DINAMICA R.C.HIBBELER 10ma EDICION

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1.3 Movimiento Curvil´ıneo: componentes cil´ındricos

aϕ = 0m/s2 ϕ = arctan

12 2π(10)

ϕ = 10,81◦ v = 1,5 m/s vr = r˙ vr = 0 Por formula tenemos que: ˙ v~ = r˙ + r θ˙ + r ϕsenθ vθ = 1,5cos(10,81) vθ = 1,473 m/s vϕ = −1,5sen(10,81) vϕ = −0,2814 m/s PROBLEMA 07: el doble collar C esta conectado mediante un pasador de manera tal que un collar se desliza sobre una barra fija y el otro sobre una barra giratoria AB, si la velocidad angular de AB esta 2 dada por θ˙ = (e0,5t ), donde et esta en segundos y la trayectoria definida por la barra fija es r =

´ 0,4senθ + 0,2m, determine las componentes radial y transversal de la velocidad y la aceleracion del collar cuando t=1s, cuando t=0, θ = 0. Use la regla de simpson para determinar θen, t = 1s.

´ solucion

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1.3 Movimiento Curvil´ıneo: componentes cil´ındricos

2 θ˙ = e0,5t

⇒ θ˙ = 1,649

rad s

2 θ¨ = e0,5t

⇒ θ¨ = 1,649

rad s

t=1

t=1

Hallando θ : Z

1

θ=

2

e0,5t dt

0

θ = 1,195rad/s θ = 68,47◦

la trayectoria de la barra fija es: r = 0,4sinθ + 0,2........(1) derivando para hallar la velocidad: ˙ r˙ = 0,4cos(θ)(θ)........(2) ´ derivando para hallar la aceleracion: ˙ θ) ¨ 2 + 0,4cos(θ)(θ)........(3) ¨ r¨ = −0,4sen(θ)( reemplazando el a´ ngulo en las ecuaciones tendremos los siguientes resultados: r = 0,4sinθ + 0,2........(1) r = 0,4sin(68,47) + 0,2 r = 0,5721 ˙ r˙ = 0,4cos(θ)(θ)........(2) r˙ = 0,4cos(68,47)(1,649) r˙ = 0,2424 ˙ θ) ¨ 2 + 0,4cos(θ)(θ)........(3) ¨ r¨ = −0,4sin(θ)( r¨ = −0,4sin(68,47)(1,649)2 + 0,4cos(68,47)(1,649) r¨ = −0,7694m/s2 Hallando velocidad radial: vr = r˙ ´ Resoluci´on de ejercicios propuestos DINAMICA R.C.HIBBELER 10ma EDICION

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´ 1.4 Movimiento Relativo: ejes en traslacion

vr = 0,242 m/s vθ = rθ˙ vθ = 943 m/s aθ = rθ¨ + 2˙rθ¨ aθ = (0,572)(1,649) + 2(0,242)(1,649) aθ = 1,74 m/s2

´ 1.4. Movimiento Relativo: ejes en traslacion PROBLEMA 08: ´ Si entonces se desliza con velocidad La arena cae del reposo 0.5m verticalmente sobre un canalon. ´ determine la velocidad relativa de la arena justo al caer sobre el canalon ´ vc = 2m/s por el canalon, ´ Este forma un en el punto A con respecto a la arena que se desliza hacia abajo por el canalon. angulo de 40° con la horizontal.

´ solucion Datos: h = 0,5m vc = 2m/s Calculamos la velocidad en el punto A; pero como se trata de un movimiento vertical que ademas ´ parte del reposo la vo = 0. Asiendo uso dela siguiente ecuacion: vA 2 = v0 2 + 2gh

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1.5 Ecuaciones de Movimiento : Coordenadas rectangulares

vA 2 = 2(9,81)(0,5) vA = −3,1321m/s Expresando vectorialmente : → − ˆ v A = −3,1321j........(α) ´ que: Calculamos la velocidad relativaVA/C para lo cual sabemos por definicion → − − − v A =→ v C +→ v A/C ...............(1) Expresando vectorialmente: → − − − v C =→ v C(x),iˆ + → v C(y)j → − ˆ v C = 2cos40iˆ − 2sen40j..............(β) y; → − − − v A/C = → v A/C(x)iˆ + → v A/C(y)jˆ...........(θ) Sustituyendo (α); (β)y(θ)en(1) : − − −3,1321jˆ = 2cos40i − 2sen40jˆ + → v A/C(x)i + → v A/C(y)jˆ ordenado y luego comparando termina: − − −2cos40iˆ + (2sen40 − 3,1321)jˆ = → v A/C(x)iˆ + → v A/C(y)jˆ → − v A/C(x)iˆ = −2cos40 = −1,5321 → − v A/C(y)jˆ = 2sen40 − 3,1321 = −1,8465 Calculamos: q → − 2 2 v A/C = vA/C(x) + vA/C(y) q → − v A/C = −1,53212 + −1,84652 → − v A/C = 2,4 m/s

1.5. Ecuaciones de Movimiento : Coordenadas rectangulares PROBLEMA 09: ´ de mina de 400kg es levantado por el plano inclinado usando el cable y el motor M. Por El vagon un corto tiempo la fuerza en el cable es F = (3200t 2 )N . donde t esta en segundos. Si el vagon tiene velocidad inicial v1 = 2m/s en s=0 y t= 0, determine la distancia que se mueve hacia arriba por el plano cuando t=2s.

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1.5 Ecuaciones de Movimiento : Coordenadas rectangulares

´ solucion Datos: mcarro = 400kg Fcable = 3200t 2 N v1 = 0m/s t1 = 0s t2 = 2s v2 =?m/s Considerando el eje de referencia en el plano donde el carrito realiza movimiento. Calculamos la ´ para la cual hacemos uso la segunda ley de newton. aceleracion X

Fx = mcar ax

3200t 2 − 400(9,81)senθ = 400a Sustituyendo senθ =

8 17

;luego despejando se tiene: 8 3200t 2 − 400(9,81) 17 =a 400

a = 8t 2 − 4,616...........(1) ´ se sabe que: Calculamos la velocidad, por definicion a=

dv dt

dv = adt.............(β) Sustituyendo (1) en (β): dv = (8t 2 − 4,616)dt integrando: Z

v2

Z

t2

dv = v1

(8t 2 − 4,616) dt

t1

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´ 2 Problemas de Cinematica de un Cuerpo R´ıgido

Z

v

Z

t

dv = 0

(8t 2 − 4,616) dt

0

8t 3 − 4,616t v= 3

!t +2 0

v = 2,667t 3 − 4,616t + 2..............(θ) Calculando el espacio recorrido: t = 2s: v=

dx dt

dx = vdt.................(δ) Sustituyendo (θ)en (δ) e integrando: Z

x

Z

2

ds = 0

(2,667t 3 − 4,616t + 2) dt

0

x = 5,93 m

´ 2. Problemas de Cinematica de un Cuerpo R´ıgido 2.1. Movimiento Absoluto PROBLEMA 10: La placa inclinada se mueve hacia la izquierda con velocidad constante v. Determine la velocidad ´ angular de la barra esbelta de longitud l. La barra pivotea en el escalon ´ angular y la aceleracion localizado en C al deslizarse sobre la placa.

´ solucion calculamos el desplazamiento en x, hacemos uso de la ley d senos: 1 x = sen(φ − θ) sen(180 − φ)

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2.1 Movimiento Absoluto

Despejando por trigonometria se sabe sen(180 − φ) = sinφ xsenφ = sen(φ − θ)......................(1) calculamos la velocidad, por teor´ıa v = x˙ derivando(1): ˙ ˙ xsenφ = −cos(φ − θ).θ......................(2) Por teor´ıa se sabe que θ˙ = w luego despejando: ˙ xsenφ = −cos(φ − θ).w......................(2) w=− w=−

˙ xsenφ cos(φ − θ)

vsenφ rad/s..........(3) cos(φ − θ) vsenφ

w = − cos(φ−θ) rad/s ´ angular. por teor´ıa se sabe que α = θ¨ para lo cual derivamos(2): calculamos la aceleracion ˙ 2 ¨ xsenφ = −cos(φ − θ).θ¨ − sen(φ − θ)(θ) 0 = −cos(φ − θ).α − sen(φ − θ)w2 α=−

sen(φ − θ)w2 .........(4) cos(φ − θ)

sustituyendo (3) en (4): α=−

sen(φ − θ) vsenφ 2 .(− ) cos(φ − θ) cos(φ − θ)

α=−

v 2 (senφ)2 sen(φ−θ) rad/s2 1.(cos(φ−θ))3

PROBLEMA 11: Los pasadores ubicados en A y B, est´an confinados para moverse en las gu´ıas vertical y horizontal. Si el brazo ranurado ocasiona que A se mueva hacia abajo a VA , determine la velocidad de B en el instante mostrado.

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´ 2.2 Movimiento Relativo: Aceleracion

´ solucion ´ de A y B: Hallando el vector posicion → −r = −d iˆ − y jˆ A → −r = xiˆ − hjˆ B Derivando tenemos las velocidades: → − v A = −y˙ = −vA jˆ → − v B = −x˙ = −vB jˆ de donde tenemos: y˙ = vA y x˙ = vB por otro lado: tanθ =

h d = x y

h x = ( )y d derivando tenemos: h x˙ = ( )y˙ d vB = ( dh )vA

´ 2.2. Movimiento Relativo: Aceleracion PROBLEMA 12: En el instante dado el miembro AB tiene los movimientos angulares mostrados. Determine la ´ del bloque deslizable C en ese instante. velocidad y la aceleracion

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´ 2.2 Movimiento Relativo: Aceleracion

´ solucion Datos: ω = 3rad/s ω˙ = 2rad/s Calculemos velocidad en ”B”: vB = ω.R = 3,7 = 21pulg/s Calculemos velocidad en ”C”: − −→ → − −−−→ v−→ C = vB + ω × rC/B 4 3ˆ ˆ vC [ iˆ − j] = −21iˆ + ωkˆ × (−5iˆ − 12j) 5 5 igualando vectores coordenados: −0,8vC = −21 + 12ω −0,6vC = −5ω resolviendo el sistema tenemos: ω = 1,125rad/s vC = 9,38pulg/s por otro lado tenemos: (aB )n = ω2 .R = 32 7 = 63pulg/s ´ Resoluci´on de ejercicios propuestos DINAMICA R.C.HIBBELER 10ma EDICION

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´ 2.3 Movimiento Relativo: Ejes en rotacion

(aB )t = 2,7 = 14pulg/s luego a~C = a~B + α ~ × rC/B ~ − ω2 rC/B ~ reemplazando los valores, tenemos: 4 3 ˆ − 1,1252 (−5iˆ − 12j) ˆ −aC ( iˆ − aC ( jˆ = −14iˆ − 63jˆ + α kˆ × (−5iˆ − 12j) 5 5 igualando los vectores coordenados tenemos: −0,8aC = −14 + 12α + 6,33 −0,6aC = −63 − 5α + 15,19 resolviendo tenemos aC = 54,7pulg/s2 α = −3,00 rad/s

´ 2.3. Movimiento Relativo: Ejes en rotacion PROBLEMA 13: ˜ insignificante rueda a trav´es del tubo de manera que en el instante mostrado La bola B de tamano ´ de 3pies/s2 ,medidas con respecto al tubo, Si el tubo tiene tiene velocidad de 5pies/s y aceleracion ´ angular de α = 5rad/s en este mismo instante, velocidad angular de ω = 3rad/s , y aceleracion ´ de la pelota. determine la velocidad y aceleracion

´ solucion Datos: v0 = 0 a0 = 0 ´ Resoluci´on de ejercicios propuestos DINAMICA R.C.HIBBELER 10ma EDICION

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´ 2.3 Movimiento Relativo: Ejes en rotacion

ˆ ω ~ = 3krad/s ˆ ω ~˙ = 5krad/s ˆ v~B/0 = 5ipies/s 2 ˆ ~ aB/0 = 3ipies/s

Utilizando las ecuaciones de la cinem´atica: v~B = v~0 + ω ~ × ~rB/o + (~ vB/0 )rel ......(1) ~ aB = ~ a0 + ω ~˙ × ~rB/0 + ω ~ × (ω ~ × ~rB/0 ) + 2 · ω ~ × v~B/0 + ~ aB/0 ......(2) ´ (1) ,tenemos: reemplazando los datos en la ecuacion v~B = 0 + 3kˆ × 2iˆ + 5iˆ realizando las operaciones tenemos ˆ v~B = (5iˆ + 6j)pies/s vB = 7, 81 pies/s ´ (2) ,tenemos: an´alogamente reemplazando en la ecuacion ˆ + 2,3kˆ × 5iˆ + 3iˆ ~ aB = 0 + 5kˆ × 2iˆ + 3kˆ × (3kˆ × 2i) realizando las operaciones se tiene: 2 ˆ ~ aB = (−15iˆ + 40j)pies/s

aB = 42, 72pies/s2

´ Resoluci´on de ejercicios propuestos DINAMICA R.C.HIBBELER 10ma EDICION

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