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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL Departamento Académico de Ingeniería de Minas y Civil ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

Trabajo N◦ 02

RESOLUCIÓN PROBLEMAS CINÉTICA DE PARTÍCULA Y CUERPO RÍGIDO Mecánica Vectorial para Ingenieros - DINÁMICA - 10ma Edición - R. C. Hibbeler

DOCENTE : Ing. CASTRO PEREZ, Cristian ALUMNOS : GARCIA SAEZ, Edwin Carlos LUQUE MENDEZ, Yoel BARRIENTOS RAMIREZ, Heenry ARROYO OSORIO, Jose Alberto Ayacucho - Perú Julio 2013

Contenido 1 Problemas de Cinética de una partícula: Fuerza y Aceleración

1

1.1

Coordenadas Rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Coordenadas Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2 Problemas de Cinética de un Cuerpo Rígido: Fuerza y Aceleración

4

2.1

Traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2

Movimiento Plano General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3 Problemas de Cinética de una Particula: Trabajo y Energía

8

3.1

Principios de Trabajo y Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.2

Conservación de la Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

4 Problemas de Cinética de un Cuerpo rígido: Trabajo y Energía

11

4.1

Trabajo de una Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

4.2

Conservación de la Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

5 Problemas de Cinética de una Partícula:Impulso y Momentum

14

6 Problemas de Cinética de un Cuerpo Rígido:Impulso y Momentum

16

7 Problemas de Cinética: Sistema de Partículas

18

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PROBLEMAS DE CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA: FUERZA Y ACELERACIÓN

1

1.1

Problemas de Cinética de una partícula: Fuerza y Aceleración

Coordenadas Rectangulares Ejercicio 1 problema 13-45.Un proyectil de masa m es disparado dentro de un liquido a un angulo θ0 con velocidad inicial v0 como se muestra. Si el liquido desarrolla una resistencia de fricción sobre el proyectil que es proporcional a su velocidad, esto es, F = kv, donde k es una constante, determine las componentes x y y de la posición del proyectil en cualquier instante.¿ Cual es la distancia máxima xmax que viaja el proyectil?.

solución e las ecuaciones del movimiento del proyectil en coordenadas rectangulares: X Fx = max −kvcosθ = max reemplazando:

X

Fy = may

−mg − kvsinθ = may tenemos:

dx d2 x =m 2 dt dt dy d2 y −mg − k =m 2 dt dt −k

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1

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PROBLEMAS DE CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA: FUERZA Y ACELERACIÓN

Como:

dx˙ dt k dx˙ − dt = m x˙ −kx˙ = m

integrando: k t + C1 m k mg ) = t + C2 ln(y + k m Pero con condiciones iniciales t= 0 : lnx = −

x˙ = V0 cosθ0 y también: y˙ = V0 sinθ0 Entonces:

k

x˙ = V0 cosθ0 .e− m t mg − k t mg + (V0 sinθ0 + ).e m y˙ = − k k Integrando se tiene: k m.V0 cosθ0 .e− m t+C3 k mg mg mg − k t y=− ) − (V0 sinθ0 + ).( ).e m k k k Pero con: t = 0 : x = 0 y y = 0 ; Entonces:

x=−

k m.V0 cosθ0 .(1 − e− m t) k

x=

k mg m mg + (V0 sinθ0 + ).(1 − e− m t) k k k Por lo tanto la distancia máxima que viaja el proyectil es:

y=−

1.2

xm ax =

mV0 cosθ0 k

xm ax =

mV0 cosθ0 k

Coordenadas Cilíndricas Ejercicio 2 problema 13-111.Un manguito de 0.2kg se desliza a lo largo de una barra lisa. Si la barra tiene una razón angular constante de rotación θ˙ = 2rad/seg en el plano vertical, muestre que las ecuaciones de movimiento para el manguito son ¨r − 4r − 9.81senθ = 0 y 0.8˙r + Ns − 1.962cosθ = 0 , donde Ns es la magnitud de la fuerza normal de la barra sobre el manguito. Usando los métodos de las ecuaciones diferenciales, se puede mostrar que la solución de la primera de estas ecuaciones es r = C1 .e−2t + C2 .e2t − (9.81/8)sen2t. Si r, r˙ y θ son cero cuando t = 0, Evalué las constantes C1 y C2 y determine r en el instante θ = π 4 radianes.

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2

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PROBLEMAS DE CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA: FUERZA Y ACELERACIÓN

solución atos: θ˙ = 2rad/seg Entonces: ¨=0 θ Se tiene las ecuaciones: ar = ¨r − rθ˙ 2 ¨ + 2˙rθ˙ aθ = rθ Reemplazando: ar = ¨r − r(2)2 = ¨r − 4r aθ = r(0) + 2˙r(2) = 4˙r Desarrollando en diagrama de cuerpo libre de la barra:

Ecuaciones de movimiento:

X

Fr = mar

1.962sinθ = 0.2(¨r − 4r) ¨r − 4r − 9.81senθ = 0..........(1) y:

X

Fθ = maθ

1.962cosθ − Ns = 0.2(4˙r) 0.8˙r + Ns − 1.962cosθ = 0..........(2) Como: θ˙ = 2rad/seg

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PROBLEMAS DE CINÉTICA DE UN CUERPO RÍGIDO: FUERZA Y ACELERACIÓN Zθ Zt

θ˙ =

o

2 dt o

θ = 2t Pero la solución de la primera de estas ecuaciones es: r = C1 .e−2t + C2 .e2t − (9.81/8)sen2t.................(3) derivamos: r˙ = −2C1 .e−2t + 2C2 .e2t − (9.81/4)cos2t................(4) Pero con condiciones iniciales t = 0, r = 0 en (3): 0 = C1 (1) + C2 (1) − 0............(a) De igual forma t = 0, r˙ = 0 en (4): 0 = −2C1 (1) + 2C2 (1) −

9.81 ............(b) 4

resolviendo (a) y (b) tenemos: 9.81 16 9.81 C2 = 16

C1 = −

Ahora: r=−

9.81 −2t 9.81 2t .e + .e − (9.81/8)sen2t 16 16 9.81 −e−2t + e2t r= ( − sin2t) 8 2 9.81 r= (sinh2t − sin2t) 8

Para: θ = 2t = r=

π 4

9.81 π π (sinh − sin ) 8 4 4 r=0.198m

2

2.1

Problemas de Cinética de un Cuerpo Rígido: Fuerza y Aceleración

Traslación Ejercicio 3 problema 17-46. La caja tiene masa de 50kg y descansa sobre el carrito de superficie inclinada.determine si la caja volcara o deslizara con respecto al carrito cuando este se encuentre sometido a la mínima aceleración necesaria para causar uno de estos movimientos relativos. ¿ Cual es la magnitud de esa aceleración? el coeficiente de fricción estática el caja y el carrito es us = 0.5.

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PROBLEMAS DE CINÉTICA DE UN CUERPO RÍGIDO: FUERZA Y ACELERACIÓN

solución Dato, la fuerza Fr es: Fr = us N = 0.5N Desarrollando en diagrama de cuerpo libre del carrito:

Ecuaciones de movimiento:

X

MA =

◦

X

(Mk )A :

◦

50(9.81)cos15 (x) − 50(9.81)sin15 (0.5) = 50acos15◦ (0.5) + 50asin15◦ (x) simplificando: 473.79(x) − 6348 = 24.15a + 12.94a(x)......(1) X

Fy = m(aG )y :

N − 50(9.81)cos15◦ = −50asin15◦ N − 473.79 = −12.94a............(2) X

Fx = m(aG )x :

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PROBLEMAS DE CINÉTICA DE UN CUERPO RÍGIDO: FUERZA Y ACELERACIÓN ◦ ◦

50(9.81)sin15 − 0.5N = −50acos15

126.95 − 0.5N = −48.29a...............(3) sumando las ecuaciones (2) y (3): N − 473.79 = −12.94a 126.95 − 0.5N = −48.29a obtenemos: N = 447.81N a = 2.01m/s2 finalmente en (1), hallamos x : x = 0.250m Como x < 0.3 Entonces el carrito no volcara, solo se deslizara. a=2.01m/s2

2.2

Movimiento Plano General Ejercicio 4 problema 17-111. El conjunto esta constituido por un disco de 8 kg y un barra de 10kg esta conectado mediante un pasador al disco. Si el sistema es liberado del reposo, determine la aceleración angular del disco. los coeficientes de fricción estática y cinética entre el disco y el plano inclinado son us = 0.6 y uk = 0.4. respectivamente. desprecie la fricción en B.

solución atos: mdisco = 8kg mbarra = 10kg us = 0.6 uk = 0.4

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PROBLEMAS DE CINÉTICA DE UN CUERPO RÍGIDO: FUERZA Y ACELERACIÓN

Desarrollando en diagrama de cuerpo libre del disco y la barra:

Para el disco:

X

Fx = m(aG )x ;

Ax − Fc + 8(9.81)sin30◦ = 8aG .............(1) X

Fy = m(aG )y ;

NC − Ay − Fc − 8(9.81)cos30◦ = 0..........(2) X

MA = IA α;

1 Fc(0.3) = [ (8)(0.3)2 ]α..........(3); 2 Para la barra:

X

Fx = m(aG )x ;

10(9.81)sin30◦ − Ax 0 = 10aG .............(4) X Fy = m(aG )y ; NB + Ay − 10(9.81)cos30◦ = 0..........(5) X MG = IG α; −NB (0.5cos17.46◦ ) + Ax (0.5sin17.56◦ ) + Ay(0.5cos17.46◦ ) = 0.....(6) aG = 0.3α..........(7) reemplazando(7) en (1) tenemos: Ax = 8.92N Ay = 41.1N NB = 43.9N aG = 4.01m/s2 α = 13.4rad/s2 NC = 109N FC = 16.1N (FC )max = 0.6(109) = 65.4N > 16.1N α = 13.4rad/s2

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PROBLEMAS DE CINÉTICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGÍA

3

3.1

Problemas de Cinética de una Particula: Trabajo y Energía

Principios de Trabajo y Energía Ejercicio 5 problema 14-35. El conjunto esta constituido por un disco de 8 kg y un barra de 10kg esta conectado mediante un pasador al disco. Si el sistema es liberado del reposo, determine la aceleración angular del disco. los coeficientes de fricción estática y cinética entre el disco y el plano inclinado son us = 0.6 y uk = 0.4. respectivamente. desprecie la fricción en B.

solución alculamos la velocidad en el punto C, para lo cual aplicamos el principio de trabajo y energía. X EB + U( B − C) = EC 1 1 m (V )2 + U( 1 − 2) = mC (VC ), VB = 0 2 B B 2 Sustituyendo datos en la anterior ecuación. 1 1 m (0)2 + 30(9.81)(cos(30◦ ) = (VC )2 2 A 2 VC = 11.659m/s Calculamos la velocidad en el punto D, para lo cual aplicamos el principio de trabajo y energía. X EB + U( B − D) = ED X 1 1 m (V )2 + U( 1 − 2) = mD (VD )2 dondeVB = 0 2 B B 2 Sustituyendo datos en la anterior ecuación. 1 1 m (0)2 + 30(9.81)(16) = (30)(VD )2 2 B 2 E.F.P. INGENIERIA CIVIL - Dinámica (IC-244) - Resolución de Problemas HIBBELER 10Ma Edición

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PROBLEMAS DE CINÉTICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGÍA

VD = 17.7m/s Calculamos el tiempo que realiza en recorrer de B hasta D para lo cual aplicamos la siguiente ecuación. 1 Y = Y0 + V0 t + gt2 2 donde Y = 16m Sustituyendo datos en la anterior ecuación. 1 16 = 8cos30◦ − 11.659sin(30)◦ t + (9.81)t2 2 t2 − 1.1884t − 1.8495 = 0 t = 2.0784s De la gráfica podemos afirmar que: R = 8 + X.....(1) Calculamos la distancia X para lo cual usamos la siguiente ecuación. X = X0 + V0 t Reemplazando datos en la ecuación anterior X = 8sin30◦ + 11.659cos30◦ (2.0784) X = 24.985m Sustituyendo valor de X en (1): R = 8+X R = 8 + 24.985m Calculamos las componentes de la velocidad en el punto D. (VD )X = VD cos30◦ = 11.659m/s (VD )y = −VD sin(30)◦ + 9.81(2.0784) = 14.559m/s (VD )y = 14.559m/s

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PROBLEMAS DE CINÉTICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGÍA

3.2

Conservación de la Energía Ejercicio 6 problema 14-87. El conjunto esta constituido por un disco de 8 kg y un barra de 10kg esta conectado mediante un pasador al disco. Si el sistema es liberado del reposo, determine la aceleración angular del disco. los coeficientes de fricción estática y cinética entre el disco y el plano inclinado son us = 0.6 y uk = 0.4. respectivamente. desprecie la fricción en B.

solución alculamos la velocidad en el punto B para tal fin aplicamos la energía mecánica entre el punto A y B E( MA ) = E( MB )

donde hA

1 1 m (V )2 + mA .g.hA = mB (VB )2 + mB .g.hB , 2 A A 2 = 0, hB = 15 Sustituyendo datos en la anterior ecuación. 1 2 1 2 ( )(5)2 + mA .g.(0) = ( )(VB )2 + mB .g.(15) 2 32.2 2 32.2 1 2 1 2 ( )(5)2 + (2)(0) = ( )(VB )2 + (2)(15) 2 32.2 2 32.2 VB = 31.48ft/s

Calculamos la distancia X para lo cual usamos la siguiente ecuación. X = X0 + V0 t Sustituyendo datos en la anterior ecuación 4 X = 0 + 31.48( )t......(1) 5

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PROBLEMAS DE CINÉTICA DE UN CUERPO RÍGIDO: TRABAJO Y ENERGÍA

Calculamos la distancia Y para lo cual usamos la siguiente ecuación. 1 Y = Y0 + V0 t + gt2 2 Sustituyendo datos en la anterior ecuación 1 4 Y = 30 − 31.48( )t + (−32.2)t2 .....(2) 5 2 Por semejanza entre los triangula de la gráfica: Y/X = 1/2 1 X.....(3) 2 Sustituyendo las ecuaciones (1) Y (2) en tres, luego simplificando: Y=

30 − 18.88t − 16t2 = 12.59t t = 0.7014s Reemplazando valor de t en (1) y(2) para hallar x e y: 4 X = 0 + 31.48( )(0.7014) = 17.7ft 5 1 4 Y = 30 − 31.48( )(0.7014) + ( )1/2(−32.2)(0.7014)2 = 8.83ft 5 2

4

4.1

Problemas de Cinética de un Cuerpo rígido: Trabajo y Energía

Trabajo de una Fuerza Ejercicio 7 Problema 18.12. Un carro de juguete pesa 110lb, incluido el pasajero pero excluidas las cuatro ruedas. cada rueda tiene un peso de 5lb, radio de 0.5pies, y radio de giro k00.3pies, calculado con respecto aun eje que pasa por el eje de la ruedas. Determine la rapidez del carro después que ha viajado 100pies partiendo del reposo .la ruedas ruedan sin deslizarse . Desprecie la resistencia del aire.

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PROBLEMAS DE CINÉTICA DE UN CUERPO RÍGIDO: TRABAJO Y ENERGÍA

solución atos del problema Wc = 110lb Ww = 5lb r = 0.5pies k = 0.3pies d = 100pies θ = 300 g = 32.2pies/s2 tenemos lo siguiente (Wc + 4Ww )dsen(θ) =

1 Wc + 4Ww 2 1 Ww 2 υ 2 ( )υ + 4( k )( ) 2 g 2 g r

despejando el valor de υ, se tiene s υ=

2(Wc + 4Ww )dsen(θ)g 2

Wc + 4Ww + 4Ww kr2

reemplazando los datos del problema, se tiene

υ = 55.2pies/s

4.2

Conservación de la Energía Ejercicio 8 problema 18-58. En el instante mostrado la barra de 50lb esta girando hacia abajo a 2rad/s. El resorte unido a su extremo siempre permanece vertical debido a la guía de rodillo instalado en C. Si el resorte tiene longitud no estirada de 2m y rigidez k = 12lb/pie , determine el angulo θ medido por debajo de la horizontal, que la barra gira antes de detenerse momentáneamente.

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PROBLEMAS DE CINÉTICA DE UN CUERPO RÍGIDO: TRABAJO Y ENERGÍA

solución cuación de conservación de la energía T1 + V1 = T2 + V2 analizamos el diagrama de cuerpo libre:

1 1 50 1 1 [ ( )(6)2 ](2)2 + (12)(4 − 2)2 = 0 + (12)(4 + 6sinθ − 2)2 − 50(3sinθ) 2 3 32.2 2 2 61.2671 = 24(1 + 3sinθ)2 − 150sinθ 37.2671 = −6sinθ + 216(sinθ)2 216(sinθ)2 − 6sinθ − 37.2671 = 0 x = sinθ y resolviendo la ecuación cuadrática , tomamos el valor positivo: sinθ = 0.4295 θ = 25.4◦

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PROBLEMAS DE CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA:IMPULSO Y MOMENTUM

Problemas de Cinética de una Partícula:Impulso y Momentum Ejercicio 9 Problema 15.13.- El agua sale del hidrante de 150mm de diámetro con velocidadυB = 15m/s . Determine las componentes de fuerza horizontal Y vertical Y el momento desarrollado en la base A,Si la presión estática(Mano métrica)en A es de 50kpa.El diámetro del hidratante en el punto A es de200mm. .

solución ˙ = ρυA AB m

˙ = 1000.8159π(0.075)2 m

˙ υA = m

1 A

=

265.07 1000π(0.1)2

υA = 8.4375m/s por otro lado, se tiene x

˙ B − υA ) = m(υ

Ax = 265.07(15 − 0) Ax = 3.98kN y también y

˙ B − υA ) − Ay + 50(10)3 π(0.1)2 = m(υ

finalmente se tiene Ay = 3.81kN E.F.P. INGENIERIA CIVIL - Dinámica (IC-244) - Resolución de Problemas HIBBELER 10Ma Edición

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PROBLEMAS DE CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA:IMPULSO Y MOMENTUM

ademas se cumple A

˙ ab υb − daa υa = m(d

M = 265.07(0.5(15) − 0)

M=1.99kN.m

Ejercicio 10 Problema 15.114. La paleta divide el chorro de agua que tiene un diámetro de 3pulg.si un cuarto de agua fluye hacia abajo mientras que los otros tres cuartos fluyen hacia arriba, y el fluyo total es Q = 0.5pies3 /s, determine las componentes de fuerza horizontal y vertical ejercida sobre la paleta por el chorro :γw = 62.4lb/pie3 .

solución atos : γw = 62.4lb/pie3

Q = 0.5pies2 /s tenemos υ=

Q A

reemplazando los datos υ=

0.5 π 3 2 4 ( 12 )

˙ = ρW Q = m

= 10.19pies/s

62.4 (0.5) = 0.9689mm/s 32.2

por otro lado se tiene ˙ f − υi ) ΣFx = Σm(υ reemplazando datos se tiene −Fx = 0 − 0.9689(10.19) E.F.P. INGENIERIA CIVIL - Dinámica (IC-244) - Resolución de Problemas HIBBELER 10Ma Edición

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PROBLEMAS DE CINÉTICA DE UN CUERPO RÍGIDO:IMPULSO Y MOMENTUM

Fx = 9.87lb finalmente Fy =

3 1 (0.9689)(10.19) + (0.9689)(−10.19) 4 4

Fy = 4.93lb

6

Problemas de Cinética de un Cuerpo Rígido:Impulso y Momentum Ejercicio 11 Problema 19.49. Una bala de 7g con velocidad de 800m/s es disparada hacia el borde del disco de 5kg como se muestra.Determine la velocidad angular del disco justo después que la bala se empotra en el . calcule también a que anguloθ oscilara el disco antes de detenerse. El disco originalmente esta en reposo.

solución atos mb = 7kg md = 5kg φ = 300 υ = 800m/s r = 0.2m Tenemos ω = 1rad/syθ = 100 también mb (300 )(0.2) =

3 m (0.2)2 ω 2 d

por otro lado tenemos 1 3 −md gr + ( md r2 )ω2 = −md grcosθ 2 2 E.F.P. INGENIERIA CIVIL - Dinámica (IC-244) - Resolución de Problemas HIBBELER 10Ma Edición

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PROBLEMAS DE CINÉTICA DE UN CUERPO RÍGIDO:IMPULSO Y MOMENTUM

resolviendo el sistema y reemplazando los datos , se tiene − → ω = 3.23rad/s − → θ = 32.80

Ejercicio 12 Problema 19.56. Una bola solida con masa m es lanzada contra el suelo de tal forma que en el instante de contacto tiene velocidad angular ω1 y componentes de velocidades (υG )x1 y (υG )y1 como se muestra . si el suelo es rugoso y no ocurre deslizamiento , determine las componentes de las velocidades de su centro de mas justo después del impacto. el coeficiente de restitución es e.

solución Por la ecuación de conservación eυG )y1 = υG )y1 por el momentum angular se tiene 2 2 2 2 mr ω1 − mυGx1 r = mr2 ω22 + mυGx2 r 5 5 reduciendo la expresión anterior se obtiene υGx2 = ω2 r ω2 = entonces υGx2 =

5(1 − 52 ω2 r 7r

2 5 (υ − ω r) 7 Gx1 5 1

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PROBLEMAS DE CINÉTICA: SISTEMA DE PARTÍCULAS

Problemas de Cinética: Sistema de Partículas Ejercicio 13 Problema 13.43. Los bloques A y B tienen cada uno masa m.determine la fuerza P horizontal más grande que puede aplicarse a B de manera que A no resbale hacia arriba por B. El coeficiente de fricción estatica entre A y B es µs .Desprecie cualquier fricción entre B y C.

solución ara el bloque A:

X X

Fy = 0 =⇒ Ncosθ − mg = 0

Fx = max =⇒ Nsenθ + µs Ncosθ = max

resolviendo las dos ecuaciones anteriores , tenemos mg cosθ − µs senθ senθ + µs cosθ a = g( ) cosθ − µs senθ N=

Para el bloque B:

X

Fx = max =⇒ P − µs Ncosθ − Nsenθ = max

hallando el valor de P y remplazando el valor de ay N , se tiene

P−

µs mgcosθ senθ + µs cosθ = mg( ) cosθ − µs senθ cosθ − µs senθ − → sen+µs cosθ P = 2mg( cosθ−µ ) s senθ

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PROBLEMAS DE CINÉTICA: SISTEMA DE PARTÍCULAS

Ejercicio 14 Problema 13.80. EL bloque tiene un peso de 2lb y puede moverse a lo largo de la ranura lisa hecha en el disco en rotación . El resorte tiene rigidez de 2.5lb/pie y longitud no alargada de 1.25pies. Determine la fuerza del resorte sobre el bloque y la componente tangencial de la fuerza que la ranura ejerce sobre el lado del bloque , cuando este esta en reposo con respecto al disco y cuando viaja a rapidez constante de 12pies/s.

solución atos: W = 2lb K = 2.5lb/pi δ = 1.25pies ν = 12pies/s tenemos que ΣFn = man y Fs = k(ρ − δ) = ρ=

W υ2 g ( ρ )

1 [kgδ + ( 2kg

q

resolviendo la ecuación se tiene

k2 g2 δg + 4kgWν2 )]

reemplazando los datos , tenemos el valor de ρ = 2.617pies por otro lado se tiene que : Fs = k(ρ − δ) y reemplazando los datos se obtiene :

Fs = 3.419lb

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Ejercicio 15 Problema 15.11. sobre la partícula Pactúa su propio peso de 3lb y la fuerzas F1 y F2 , donde t esta en segundos . Si originalmente la partícula tiene velocidad υ1 = (3i + 1j + 6k)pies/s, determine su rapidez después de 2 segundos.

solución e tiene:

Z2 mυ1 + Σ

Fdt = mυ2 0

igualando componentes , se tiene

Z2 m(3) =

(5 + t2 )dt = mυx

0

Z2

m(1) =

(2t)dt = mυy 0

Z2 m(6) =

(t − 3)dt = mυz 0

de donde se obtiene los valores υx = 138.96pies/s υy = 43.93pies/s υz = 150.34pies/s luego υ2 = (υ2x + υ2y + υ2z )1/2 − → υ 2 = 150.34pies/s)

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Ejercicio 16 Problema 15.64. Si la niña lanza la pelota con velocidad horizontal de 8pies/s, determine la distancia d tal que la pelota rebote una vez sobre la superficie lisa y luego entre al tazón ubicado en c . Considere e = 0.8.

solución atos: υA = 8pies/s g = 32.2pies/s2 e = 0.8 h = 3pies Tenemos por caída libre 1 h = υ0 + gt2B 2 como υ0 = 0, se tiene s tB =

2∗

h g

reemplazando los datos se tiene tB = 0.43s por otro lado se tiene υBy = υ0 + gtB = 13.90pies/s 2υBy2 ademas υVy2 0eυBy = 11.12pies/s y se tiene tC = = 0.69s y finalmente g d = υa (tB + tC ) = 8.98pies d=8.98pies

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