Ejercicios Resueltos de Geometria Analitica Plana Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS Capítulo 1 SISTEMA DE COORDENA
Views 44 Downloads 0 File size 1MB
Ejercicios Resueltos de Geometria Analitica Plana
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
Capítulo
1
SISTEMA DE COORDENADAS Demostrar que los puntos A
0,1
y B 3,5 ; C 7,2 y D 4,2
son los vértices de un cuadrado. Solución: AB 9 16 BC 16 9 AD
25 5
CD
25 5
9 16
25 5
25 5
16 9
Como :
AB BC AD CD 5
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
ˆ
ABCD es un cuadrado.
LQQD
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A l,l y B 3,l . Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Dos casos).
Solución:
Sea C x,y el tercer vértice.
BC AC
x 32 y l2
x l2 y l2
BC AB
x 32 y l2
l6
De
ˆ
y :
x l y l 2 3
C l,l 2 3
Dados los puntos Pl 2,3 y P2 l,2 encontrar sobre Pl P2 el punto que diste doble de Pl que P2 . Solución:
Sea P x,y el punto pedido. PP 2 r l 2 P2P l x r x 2 2 2 l x l l r l 2
22 0 0 3 3
x 0
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
y r y2 3 2 2 3 4 l y l l 2 3 3 l r
ˆ
l y 3
l P x, y 0, 3
El lado de un rombo es igual a 5 l0 y dos de sus vértices opuestos son los puntos P 4,9 y Q 2,l . Calcular el área de este rombo. Solución: PQ 36 64 l00 l0
x2
l0
5
2 5 2 250 25
Luego : : A l0
Dd 2
x 2 225
30 2
l50
A l50 m 2
x l5
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento que es dividido en tres partes iguales por los puntos P 2,2 y Q l,5 . Solución: Cálculo de A x l ,yl : AP r l PQ l x l 2 xl 3 2 yl 5 yl l 2 2
ˆ
A 3, l
Cálculo de B x 2 ,y 2 :
PQ r l QB
ˆ
2 x2 l 2 2 y2 5 2
x2 0 y2 8
B 0,8
La longitud del segmento MN es igual a l3; su origen está en el punto M 3, 2 ; la proyección sobre el eje de abscisas es igual a l2 . Hallar las coordenadas del otro extremo del segmento, si forma con el eje de ordenadas un ángulo dado.
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Solución:
Si
AB l2 x 3 l2 x 9
Si
MN l3
ˆ
x 3 2 y 2 2
l3
y 7
N x, y 9, 7
Tres de los vértices de un paralelogramo son A l,4 , B l, l y C 6,l . Si la ordenada del cuarto vértice es 6. ¿Cuál es su abscisa? Solución:
Sea D x ,6 el punto pedido. AD BC
x l 2 6 4 2
6 l 2 l l 2
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
Efectuando operaciones: x 2 2x 24 0 xl 4 x 2 6 Luego :
D x ,6
D 4,6
El punto medio de cierto segmento es el punto M l,2 y uno de sus extremos es el punto N 2,5 . Hallar las coordenadas del otro extremo. Solución:
Sea P x, y el punto pedido. xM yM
ˆ
x xN 2 y yN 2
l
x2 2
x 4
2
y5 2
y l
P x, y 4, l
Los vértices de un triángulo ABC son A 2, l , B 4,7 y C 8,0 . Calcular las coordenadas del baricentro de dicho triángulo. Solución: Sabemos que :
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
x
xl x 2 x 3 3
x
248 3
x
6 2 3
y
yl y 2 y 3 3
y
l 7 0 3
y
6 2 3
ˆ
G x, y 2,2
¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que une los puntos A l, l y B 4,5 en la dirección AB, para que su longitud se triplique? Solución:
Sea P x, y el punto pedido. Sabemos :
AB BP
l 2
BP 2AB
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
x 4 2 y 5 2
2
4 I2 5 I2
Efectuando operaciones : x 2 y 2 8x IOy I39 O
También :
AB BP AP
4 I2 5 I2 x 42 y 5 2
x I2 y I2
Efectuando operaciones : x 2 y 2 8x IOy I4 O
De
ˆ
y :
xI IO ; x 2 2 ;
P x, y IO,I7
yI I7 y 2 7
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Capítulo
2
GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS Discutir y graficar las curvas, cuyas ecuaciones son:
l6x 2 y O Solución:
E x,y : l6 x 2 y O
1º. Intercepciones con los ejes: 2
Eje X :
y O l6x
Eje Y :
xO yO
O x O
0 O,O
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
2º. Simetría: E x, y E x, y E x, y E x, y E x, y E x, y
Eje X : Eje Y : 0rigen :
Curva simétrica sólo con el eje X
3º. Extensión: De
y I6x 2 ; x u
:
4º. Asíntotas: No tiene asíntotas, ni horizontales ni verticales. 5º. Cuadro de valores: x
O
I
I
I2
I 2
....
y
O
I6
I6
4
4
....
6º. Gráfico:
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
xy 2x I O Solución:
E x, y :
xy 2x I O
1º. Intercepciones con los ejes:
A I 2,O
Eje X :
y O x I 2;
Eje Y :
x O ò intercepción con el eje X
2º. Simetría: Eje X : Eje Y :
0rigen :
Ex, y E x, y E x, y E x, y E x, y E x, y
3º. Extensión: De
:
xy 2x I O y
I 2x ; xO x
4º. Asíntotas: De
:
I 2 x x I x ; y2 y
xO
y 2 O y 2
5º. Cuadro de valores: x
I
2
y
3
52
I 2
....
I
....
32
Curva no simétrica ni con los ejes ni con el origen
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
6º. Gráfico:
x 3 y 2 4y 4 O Solución:
E x, y :
x 3 y 2 4y 4 O
1º. Intercepciones con los ejes:
A I.6,O
Eje X :
y O x I.6;
Eje Y :
x O y 2; B O,2
2º. Simetría: Eje X : Eje Y : 0rigen :
Ex, y E x, y Curva no simétrica ni con E x, y E x, y los ejes ni con el origen E x, y E x, y
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
3º. Extensión:
:
De
3 y 2 x ; x O
4º. Asíntotas: No tiene asíntotas, ni horizontales ni verticales. 5º. Cuadro de valores: x
O
8 5
I
2
....
y
2
O
I3 IO
24 5, 4 5
....
6º. Gráfico:
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
x2 I y 2 2 x 4 Solución: Ex, y :
x2 I y 2 2 x 4
1º. Intercepciones con los ejes:
A I,O
Eje X :
y O x I;
Eje Y :
x O y I 2; B O, I 2
2º. Simetría: Curva simétrica con los ejes y con el origen. 3º. Extensión:
:
De
x2 I y 2 x 4
x , 2
I,I
2,
4º. Asíntotas:
:
De
x 2 4 O x 2
x2 I y 2 x 4
y 2 I O y I
4 y2 I x y2 I 5º. Cuadro de valores: x
I
I
O
3
4
I 2
.....
y
O
O
I 2
I3
II IO
24 5
....
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
6º. Gráfico:
y x2 I 4 Solución:
E x, y :
2 y x I 4
1º. Intercepciones con los ejes: Eje X :
y O ò intercepción con el eje X
Eje Y :
x O y 4;
A O,4
2º. Simetría: Curva simétrica sólo con el eje Y.
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
3º. Extensión: De
:
y
2
4
x 2 I O; x u
x I
4º. Asíntotas: De
:
y
4 x I
x 2 I O x u
2
x
4y y
y O y O
5º. Cuadro de valores: x
O
I
2
3
....
y
4
2
45 25
....
6º. Gráfico:
Eje
X
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Una recta pasa por los dos puntos A 2,3 y B 4,I . Si un punto de abscisa IO pertenece a la recta. ¿Cuál es su ordenada? Solución:
Sea
C IO, y el punto pedido.
Dado que :
AB BC AC
36 I6 36 y I2
IO 22 y 3 2
Efectuando operaciones : y5
Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los dos puntos A 2,2 y B 4,I es siempre igual a I2. Solución:
Sea P x, y el punto pedido. Entonces de la condición del problema tenemos : BP
2
AP
2
I2
De donde :
x 42 y I2
2
2
x 22 y 22
I2
Luego, efectuando operaciones :
4x 6y 3 O
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
Un segmento rectilíneo de longitud 4 se mueve de tal manera que uno de los puntos extremos permanece siempre sobre el eje X y el otro permanece siempre sobre el eje Y. Hallar la ecuación del lugar geométrico del punto medio del segmento. Solución: De la condición : PA PB 4
x x 22 y 22
x 22 y
2 y 4 2
Efectuando operaciones :
x 2 y 2 I6
Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto P x, y , tal que la distancia de P al punto A O,6 es igual a la mitad de la distancia de P al eje X. Solución: De la condición : AP I y x 2 y 62 I y 2 2 Luego, efectuando operaciones :
4x 2 3y 2 48y I44 O
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Capítulo
3
LA LÍNEA RECTA Hallar la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos A 4,2 y B 5,7 . Solución: Sea ‹ la recta buscada. Dado que se conocen dos puntos de la recta, se puede conocer su pendiente.
A 4,2 5 72 ‹ : m ‹ m AB
ˆ ‹:
B 5,7 y2
5 x 4 9
54
9
‹ : 5x 9y 38 0
Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA
Calcular el área del triángulo que forma la recta 3x 4y 12 con los O ejes coordenados. Solución: