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• Ingenieria Civil Seccion II

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Apuntes de Geometría Analítica Plana

Parábola La ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje el eje x es:

Donde el foco es el punto (p,0), la ecuación de la directriz es X=-p. Lado recto es |4p|, si p >0, la parábola abre a la derecha , si p 0, la parábola se abre hacia arriba, si p c |

|

√

,|

|

√

√

√

Para simplificar la ecuación (2), pasamos el segundo radical al segundo miembro, elevamos al cuadrado, simplificamos y agrupamos los términos semejantes. Esto nos da: Cx+

√

.

Elevando nuevamente al cuadrado, obtenemos:

De donde; ( Como 2a > 2c, es número positivo

( y , es decir:

Si en (3) reemplazamos

(3). , es un número positivo que puede ser reemplazado por el (4).

por

, obtenemos

(5) Y dividimos por +

, se obtiene finalmente: (6)

Las coordenadas del vértice son (a,0) y (-a, 0). La longitud del eje mayor es igual a 2ª. Las intersecciones con el eje y son b , -b; por lo tanto los lados de eje menos son (0,b)y (0,-b) y la longitud del eje menos es 2b. La longitud del lado recto para el foco F y del foco F’ es

.

La excentricidad se define por la razón: √

Ecuación de la elipse de centro (h,k) y ejes paralelos a los coordenados

+

=1

La Hipérbola Definición: Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante positiva y menos a la distancia entre los focos. Primera ecuación ordinaria de la hipérbola: consideremos la hipérbola de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje x. Los focos F y F’ están entonces sobre el eje x. Como el centro 0 es el punto medio del segmento FF’, las coordenadas de F y F’ serán (c,0)y (-c,0), respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la hipérbola, entonces por definición de la hipérbola, el punto p debe satisfacer la condición geométrica que expresa que el valor absoluto de la diferencia de las distancias del punto a los focos es una cantidad constante.

||

|

Donde a es una constante positiva y 2 a < 2c. La condición geométrica en 1 es equivalente a las 2 relaciones siguientes: | |

| |

La relación (2) es verdadera cuando p esta sobre la rama izquierda de la hipérbola; la relación (3) se verifica cuando p esta sobre la rama derecha. |

|

√

, |

=√

De manera que la condición geométrica (1) esta expresada analíticamente: √

√

√

√

(4) (5)

Correspondiendo las ecuaciones (4) y (5) a las relaciones (2) y (3) respectivamente y por el mismo procedimiento usado al transformar y simplificar la ecuación (2) para la elipse, podemos demostrar que las ecuaciones (4) y (5) se reduce cada una a: (

(6)

Por ser c > a, es un numero positivo que podemos designar por sustituyendo en la ecuación (6) la relación

, por lo tanto

(7) Obtenemos:

dividiendo por =1

(8).

Intersecciones con el eje x son a y –a. por tanto las coordenadas de los vértices V y V’ son (a,0) y (-a,0), respectivamente. Aunque no hay intersecciones con el eje y dos puntos , A (0,b) y A’ (0,-b), se toman como extremos del eje conjugado por lo tanto la longitud del eje conjugado es igual a 2b. La hipérbola no tiene asíntotas verticales ni horizontales, sin embargo tiene dos asíntotas oblicuas. El lado recto es La excentricidad e=

√

.

Si el centro de la hipérbola esta en el origen ,pero su eje focal coincide con el eje y , hallamos análogamente que la ecuación de la hipérbola es: =1 Distancia del centro a cada foco: . Asíntotas de la hipérbola: Si de la forma canoníca de la ecuación de la hipérbola: Despejamos y obtenemos: √

Y

(1)

Que puede escribirse de la forma: Y

√

(2)

Si un punto de la hipérbola se mueve a lo largo de la curva de manera que su abscisa x aumente numéricamente sin límite, el radical del segundo miembro de (2)se aproxima mas y mas a la unidad y la ecuación tiende a la forma : Y=

x