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• Hely Giovanny Alvizu

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EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRIA PLANA

Capítulo

1

SISTEMA DE COORDENADAS y B  3,5  ; C  7,2 y D  4,2

Demostrar que los puntos A  

0,1 son los vértices de un cuadrado. Solución:    

AB  9  16  BC   16  9 AD  



CD  9  16 

25  5 25  5 25  5 25  5



16  9 

Como :

AB  BC  AD  CD  5

ˆ

ABCD es un cuadrado.

LQQD

Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A  l,l y B  3,l . Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Dos casos). 

Solución:



Sea C  x,y  el tercer vértice. 



BC  AC

x  3 2  y  l2

 



  

 De

ˆ



x  l2  y  l2





BC  AB

x  3 2  y  l2  y :







 x l   y  l 2 3

C  l,l 2 3



 l6



 Dados los puntos Pl  2,3  y P2  l,2 encontrar sobre Pl P2 el punto que diste doble de Pl que P2 . Solución: 

Sea P  x,y  el punto pedido. PP 2  r  l  2 P2P l  x  r x 2 2  2 l  x  l   l r l 2 

22 0  0 3 3



 x  0





y  r y 2  3  2 2   3  4 l    y l  l 2 3 3 l r



y 

l 3

 l P  x, y   0,   3 

ˆ 

 El lado de un rombo es igual a 5 l0 y dos de sus vértices opuestos son los puntos P  4,9  y Q   2,l . Calcular el área de este rombo. Solución: PQ  36  64  l00  l0





x 2  5 l0

2  5 2  250  25



Luego : : A  l0

Dd 2



 x 2  225



30  2

   l50



A  l50 m 2



x  l5

Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento que es dividido en tres partes iguales por los puntos P  2,2 y Q  l,5  . Solución:  Cálculo de A  x l ,y l  : AP  r  l PQ l x l   2   xl  3  2     yl  5   y l  l  2   2

ˆ

A  3,  l

 Cálculo de B  x 2 ,y 2  :

PQ  r l  QB

ˆ

2  x2   l  2    2  y2  5   2



x2  0



y2  8

B  0,8 

La longitud del segmento MN es igual a l3; su origen está en el punto M  3,  2  ; la proyección sobre el eje de abscisas es igual a l2 . Hallar las coordenadas del otro extremo del segmento, si forma con el eje de ordenadas un ángulo dado.

Solución:

                       

 Si

AB  l2 x  3  l2  x  9

 Si

MN  l3

ˆ



x  3  2  y  2 2

 l3

y  7

N  x, y    9,  7 

 

Tres de los vértices de un paralelogramo son A   l,4  , B  l,  l y C  6,l . Si la ordenada del cuarto vértice es 6. ¿Cuál es su abscisa? Solución: 

Sea D   x ,6  el punto pedido. 

AD  BC



x  l 2  6  4 2



6  l 2  l l2

Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS

Efectuando operaciones:  x 2  2x  24  0  x l  4   x 2  6

 Luego :

 

 D   x ,6  

D  4,6  

El punto medio de cierto segmento es el punto M   l,2  y uno de sus extremos es el punto N  2,5  . Hallar las coordenadas del otro extremo. Solución: 

Sea P  x, y  el punto pedido.  xM   yM 

    

ˆ

x  xN 2 y  yN 2

 l 

x2 2

 x  4

2

y5 2

 y  l



P  x, y    4,  l

 

Los vértices de un triángulo ABC son A  2,  l , B   4,7  y C  8,0  . Calcular las coordenadas del baricentro de dicho triángulo. Solución: Sabemos que :

                       

x  x2  x3  x l 3

 x

248 3

 x

6 2 3

y  y 2  y3  y l 3

 y

 l 7  0 3

 y

6 2 3

ˆ

G  x, y   2,2 

 ¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que une los puntos A  l,  l y B  4,5  en la dirección AB, para que su longitud se triplique? Solución: 

Sea P  x, y  el punto pedido.  Sabemos :

AB l  BP 2

 BP  2AB

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA



x  4 2  y  5 2

2

4  I2  5  I2

Efectuando operaciones :  x 2  y 2  8x  IOy  I39  O





 

También : 



AB  BP  AP

4  I2  5  I2  x  4 2  y  52

 x  I2  y  I2

Efectuando operaciones :  x 2  y 2  8x  IOy  I4  O



 

De

ˆ

 y :

  

xI  IO ; x 2  2 ;

P  x, y   IO,I7 

y I  I7 y 2  7



Capítulo

2

GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS Discutir y graficar las curvas, cuyas ecuaciones son:

l6x 2  y  O Solución: 

Ex,y  :

l6x 2  y  O





 1º. Intercepciones con los ejes: Eje X :

yO

 l6x 2  O

Eje Y :

xO





yO

 x  O

   0  O,O  

2º. Simetría: Ex, y   Ex, y    E x, y   Ex, y    E x, y   Ex, y  

Eje X : Eje Y : 0rigen :



 Curva simétrica sólo con el eje X

3º. Extensión: De

:

y  I6x 2 ;

 xu

4º. Asíntotas: No tiene asíntotas, ni horizontales ni verticales. 5º. Cuadro de valores: x

O

I

I

I2

I 2

....

y

O

I6

I6

4

4

....

6º. Gráfico:

xy  2x  I  O Solución: Ex, y  :

xy  2x  I  O





 1º. Intercepciones con los ejes: 



A   I 2,O 

Eje X :

yO

 x  I 2;

Eje Y :

xO

 ò intercepción con el eje X

2º. Simetría: Eje X : Eje Y : 

0rigen :

Ex, y   Ex, y    E x, y   Ex, y    E x, y   Ex, y 

 3º. Extensión: De

:

xy  2x  I  O y 

I 2x ; x

xO

4º. Asíntotas: De

:

I 2 x x I ;  x  y2

 y

xO





y2O

 y  2

5º. Cuadro de valores: x

I

2

y

3

52

I  2

....

I

....

32

 Curva no simétrica ni con los ejes ni con el origen

6º. Gráfico:

x 3  y 2  4y  4  O Solución:



Ex, y  :

x 3  y 2  4y  4  O





1º. Intercepciones con los ejes: 





yO

Eje Y :

x  O  y  2; B  O,2 

2º. Simetría: Eje X : Eje Y : 0rigen :

 x  I.6;

A   I.6,O 

Eje X :





Ex, y   Ex, y    Curva no simétrica ni con E x, y   Ex, y    los ejes ni con el origen E x, y   Ex, y 

3º. Extensión:

:

De



y  2   x 3 ;

xO

4º. Asíntotas: No tiene asíntotas, ni horizontales ni verticales. 5º. Cuadro de valores: x

O

8 5

I

2

....

y

2

O

I3 IO

24 5,  4 5

....

6º. Gráfico:

x2  I y 2  x2  4 Solución: x2  I y 2  x2  4

Ex, y  :





1º. Intercepciones con los ejes: 



yO

Eje Y :

x  O  y   I 2; B  O, I 2 



 x  I;

A   I,O 

Eje X :

2º. Simetría: Curva simétrica con los ejes y con el origen. 3º. Extensión:

:

De

y  

x2  I

 x   ,  2

x2  4



 I,I



2,  

4º. Asíntotas:

 : 

De

 y  

 



2 x I

x2  4

   x2  4  O 



 x   2

   y 2  I  O  y  I 

4 y2  I  x   y2  I 5º. Cuadro de valores: x

I

I

O

3

4

I 2

.....

y

O

O

I 2

I 3

 II IO

 24 5

....

6º. Gráfico:





y x2  I  4 Solución: Ex, y  :





2 y x I  4







1º. Intercepciones con los ejes: Eje X :

yO

Eje Y :

x  O  y  4;



ò intercepción con el eje X 



A  O,4 

2º. Simetría: Curva simétrica sólo con el eje Y.

3º. Extensión: De

:

4 y 2  x 2  I  O; x I

 xu

4º. Asíntotas: De



:





4   y  2 x I  x    

4y y

  x 2  I  O  x  u

 y  O

5º. Cuadro de valores: x

O

I

2

3

....

y

4

2

45 25

....

6º. Gráfico:



 y  O

 Eje

X 

Una recta pasa por los dos puntos A   2,3  y B  4,I . Si un punto de abscisa IO pertenece a la recta. ¿Cuál es su ordenada? Solución: 

C  IO, y  el punto pedido.

Sea

Dado que : 

AB  BC  AC 

36  I6  36  y  I2 



IO  2 2  y  3 2



Efectuando operaciones : y5



Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los dos  puntos A  2,2  y B  4,I es siempre igual a I2. Solución: 

Sea P  x, y  el punto pedido. Entonces de la condición del problema tenemos : 

BP

2

 AP

2

 I2

De donde :



   

x 4 2  y  I2 

  

2



 2

x 2 2  y  22  

 I2

Luego, efectuando operaciones : 

4x  6y  3  O

Un segmento rectilíneo de longitud 4 se mueve de tal manera que uno de los puntos extremos permanece siempre sobre el eje X y el otro permanece siempre sobre el eje Y. Hallar la ecuación del lugar geométrico del punto medio del segmento. Solución: De la condición : 

PA  PB  4

x x 22   y 22







x 22  y



2  y 2  4

Efectuando operaciones : 

x 2  y 2  I6

Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto P  x, y  , tal que la  distancia de P al punto A  O,6  es igual a la mitad de la distancia de P al eje X. Solución: De la condición : 

AP 

I I 2 y  x 2  y  6   y 2 2

Luego, efectuando operaciones : 

4x 2  3y 2  48y  I44  O

Capítulo

3

LA LÍNEA RECTA Hallar la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos A  4,2  y B   5,7  . Solución: Sea

‹ la recta buscada.

Dado que se conocen dos puntos de la recta, se puede conocer su pendiente.

  A  4,2  5 72 ‹ :  m ‹  m    AB 

ˆ ‹:

B   5,7  y2  

5 x  4   9

54

9

‹ : 5x  9y  38  0

Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA

Calcular el área del triángulo que forma la recta 3x  4y  12  O ejes coordenados. Solución: 

< : 3 x 4 y 12  O

Luego : 

< : 3 x 4 y  12

Dividiendo  2 : 