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• alejo gutierrez condori

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PROBLEMAS Encontrar el desplazamiento vertical del punto medio de las siguientes vigas simplemente apoyadas, y comprobar el resultado.

Mx = Mx =

P x 2

;0 ≤ x ≤

l Px − 2 2

L 2

L ; ≤x≤L 2

Determinamos los elementos mecánicos para la carga unitaria:

mx = mx =

l

x 2

x L − (x − ) 2 2

l 1 2 Px x l Px l x δ = (∫ . dx + ∫ ( − ) ( − ) dx) l 2 EI 0 2 2 2 2 2 2

δ=−

1 3 l (P − 3) 96EI

; 0≤x≤ ;

L 2

L ≤x≤L 2

Determinamos los elementos mecánicos del sistema de cargas:

𝑃

𝑀𝑥 = 2 𝑥 𝑀𝑥 =

𝐿

; 0≤𝑥≤2

𝑃 𝐿 𝑥 − 𝑃 (𝑥 − ) 2 2

;

𝐿 ≤𝑥≤𝐿 2

Determinamos los elementos mecánicos para la carga unitaria:

𝑚𝑥 = 𝑚𝑥 =

𝑥 2

𝑥 𝐿 − (𝑥 − ) 2 2

Determinamos el desplazamiento vertical. 𝑙

1 2 𝑃𝑥 𝑥 1 𝑙 𝑙 𝑃𝑥 𝑙 𝑥 𝛿=( ∫ . 𝑑𝑥 + ∫ ( − ) ( − ) 𝑑𝑥) 2𝐸𝐼 0 2 2 𝐸𝐼 𝑙 2 2 2 2 2

𝛿=

1 −1 3 𝑃𝑙 3 + 𝑙 (2𝑃 − 3) 192𝐸𝐼 96𝐸𝐼 𝛿=−

1 3 𝑙 (𝑃 − 2) 64𝐸𝐼

Determinamos los elementos mecánicos del sistema de cargas:

;0 ≤ 𝑥 ≤ ;

𝐿 2

𝐿 ≤𝑥≤𝐿 2

𝑀𝑥 =

𝑃𝑥 2

; 0≤𝑥≤

𝑀𝑥 =

𝑃𝑥 2

;

𝐿 4

𝐿 𝐿 ≤𝑥≤ 4 2

𝑀𝑥 =

𝑃 𝐿 𝑥 − 𝑃 (𝑥 − ) 2 2

;

𝐿 3𝐿 ≤𝑥≤ 2 4

𝑀𝑥 =

𝑃 𝐿 𝑥 − 𝑃 (𝑥 − ) 2 2

;

3𝐿 ≤𝑥≤𝐿 4

Determinamos los elementos mecánicos para la carga unitaria:

𝑚𝑥 =

𝑥 2

; 0≤𝑥≤

𝑚𝑥 =

𝑥 2

;

𝐿 4

𝐿 𝐿 ≤𝑥≤ 4 2

𝑀𝑥 =

𝑥 𝐿 − (𝑥 − ) 2 2

;

𝐿 3𝐿 ≤𝑥≤ 2 4

𝑀𝑥 =

𝑥 𝐿 − (𝑥 − ) 2 2

;

3𝐿 ≤𝑥≤𝐿 4

Determinamos el desplazamiento vertical 𝑙

𝑙

3𝑙

1 4 𝑃𝑥 𝑥 1 2 𝑃𝑥 𝑥 1 4 𝑙 𝑃𝑥 𝑙 𝑥 𝛿= ∫ . 𝑑𝑥 + ∫ . 𝑑𝑥 + ∫ ( − ) ( − ) 𝑑𝑥 𝐸𝐼 0 2 2 2𝐸𝐼 𝑙 2 2 2𝐸𝐼 𝑙 2 2 2 2 4

1 𝑙 𝑙 𝑃𝑥 𝑙 𝑥 + ∫ ( − ) ( − ) 𝑑𝑥 𝐸𝐼 3𝑙 2 2 2 2

2

4

𝛿=

−1 3 𝑙 (7𝑃 − 24) 1536𝐸𝐼

Determinamos los elementos mecánicos del sistema de cargas:

𝑀𝑥 =

𝑃𝑥 2

; 0≤𝑥≤

𝑀𝑥 =

𝑃𝑥 2

;

𝐿 4

𝐿 𝐿 ≤𝑥≤ 4 2

𝑀𝑥 =

𝑃 𝐿 𝑥 − 𝑃 (𝑥 − ) 2 2

;

𝐿 3𝐿 ≤𝑥≤ 2 4

𝑀𝑥 =

𝑃 𝐿 𝑥 − 𝑃 (𝑥 − ) 2 2

;

3𝐿 ≤𝑥≤𝐿 4

Determinamos los elementos mecánicos para la carga unitaria:

𝑚𝑥 =

𝑥 2

; 0≤𝑥≤

𝑚𝑥 =

𝑥 2

;

𝐿 4

𝐿 𝐿 ≤𝑥≤ 4 2

𝑀𝑥 =

𝑥 𝐿 − (𝑥 − ) 2 2

;

𝐿 3𝐿 ≤𝑥≤ 2 4

𝑀𝑥 =

𝑥 𝐿 − (𝑥 − ) 2 2

;

3𝐿 ≤𝑥≤𝐿 4

Determinamos el desplazamiento vertical 𝑙

𝑙

3𝑙

1 4 𝑃𝑥 𝑥 1 2 𝑃𝑥 𝑥 1 4 𝑙 𝑃𝑥 𝑙 𝑥 𝛿= ∫ . 𝑑𝑥 + ∫ . 𝑑𝑥 + ∫ ( − ) ( − ) 𝑑𝑥 𝑙 2𝐸𝐼 0 2 2 𝐸𝐼 2 2 𝐸𝐼 𝑙 2 2 2 2 4

2

1 𝑙 𝑙 𝑃𝑥 𝑙 𝑥 + ∫ ( − ) ( − ) 𝑑𝑥 2𝐸𝐼 3𝑙 2 2 2 2 4

𝛿=

−1 3 𝑙 (19𝑃 − 78) 3072𝐸𝐼

5

Solución: Determinamos los elementos mecánicos del sistema de cargas:

𝑀𝑥 =

𝑃𝑥 2

𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤

𝑀𝑥 =

𝑃𝑥 2

𝑝𝑎𝑟𝑎

𝑀𝑥 =

𝑃 𝐿 𝑥 − 𝑃 (𝑥 − ) 2 2

𝑝𝑎𝑟𝑎

𝐿 𝐿 ≤𝑥≤ 4 2

𝑃 𝐿 𝑥 − 𝑃 (𝑥 − ) 2 2 3𝐿 ≤ 4

𝑀𝑥 =

𝐿 4

𝑝𝑎𝑟𝑎

𝐿 ≤𝑥 2

3𝐿 ≤𝑥≤𝐿 4

Determinamos los elementos mecánicos para la carga unitaria:

𝑚𝑥 =

𝑥 2

𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤

𝑚𝑥 =

𝑥 2

𝑝𝑎𝑟𝑎

𝐿 𝐿 ≤𝑥≤ 4 2

𝑀𝑥 =

𝑥 𝐿 − (𝑥 − ) 2 2

𝑝𝑎𝑟𝑎

𝐿 3𝐿 ≤𝑥≤ 2 4

𝑀𝑥 =

𝑥 𝐿 − (𝑥 − ) 2 2

𝑝𝑎𝑟𝑎

3𝐿 ≤𝑥≤𝐿 4

Determinamos el desplazamiento vertical 𝑙

𝑙

3𝑙

1 4 𝑃𝑥 𝑥 1 2 𝑃𝑥 𝑥 1 4 𝑙 𝑃𝑥 𝑙 𝑥 𝛿= ∫ . 𝑑𝑥 + ∫ . 𝑑𝑥 + ∫ ( − ) ( − ) 𝑑𝑥 𝑙 2𝐸𝐼 0 2 2 𝐸𝐼 2 2 𝐸𝐼 𝑙 2 2 2 2 4

2

1 𝑙 𝑙 𝑃𝑥 𝑙 𝑥 + ∫ ( − ) ( − ) 𝑑𝑥 2𝐸𝐼 3𝑙 2 2 2 2 4

𝐿 4

𝛿=

−1 3 𝑙 (19𝑃 − 78) 3072𝐸𝐼

Calcular el valor del desplazamiento bajo la carga concentrada, en las estructuras. Para EI=Ctes.

6

Calculamos las reacciones en los apoyos tanto para carga externa y virtual, respectivamente: 1

2 ton

  

𝐿

0 ≤ 𝑥 ≤ 3 ; 𝑀(𝑥) = 2𝑥 ; 𝑚(𝑥) = 𝐿 2𝐿 ≤𝑥≤ 3 3 2𝐿 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿; 3

1 3

2 3

1 ton

2𝑥 3

−𝑥 𝐿 +3 3 −𝑥 𝐿 +3 3

; 𝑀(𝑥) = −𝑥 + 𝐿 ; 𝑚(𝑥) = 𝑀(𝑥) = −𝑥 + 𝐿 ; 𝑚(𝑥) =

Por lo tanto, resolvemos el desplazamiento de la viga como efecto de la aplicación de la carga: 

Aplicando scientific Word Place, para la resolución de la expresión: 𝑙

2𝑙

1 3 4𝑥 2 1 2 𝑥 1 1 𝑙 1 𝑥 𝛿= ∫ 𝑑𝑥 + ∫ (−𝑥 + 𝑙) . (− + )𝑑𝑥 + ∫ (−𝑥 + 𝑙) ( − ) 𝑑𝑥 𝐸𝐼 0 3 𝐸𝐼 𝑙 2 3 𝐸𝐼 2𝑙 3 3 3

3

𝛿=

4𝑙 3 81𝐸𝐼

7

Calculamos las reacciones en los apoyos tanto para carga externa y virtual, respectivamente:

1

2 3

𝑃 3

2𝑃 3

0≤𝑥≤

1 3

𝐿 2𝑥𝑃 2𝑥 ; 𝑀(𝑥) = ; 𝑚(𝑥) = 3 3 3

𝐿 2𝐿 −𝑥𝑃 𝐿𝑃 −𝑥 𝐿 ≤𝑥≤ ; 𝑀(𝑥) = + ; 𝑚(𝑥) = + 3 3 3 3 3 3 2𝐿 −𝑥𝑃 𝐿𝑃 −𝑥 𝐿 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿; 𝑀(𝑥) = + ; 𝑚(𝑥) = + 3 3 3 3 3 Por lo tanto, resolvemos el desplazamiento de la viga como efecto de la aplicación de la carga: 

Aplicando scientific Word Place, para la resolución de la expresión:

𝑙

2𝑙

1 3 2𝑃𝑥 2𝑥 1 2 𝑝𝑥 𝑥 𝑙 𝛿= ∫ ( )( ) 𝑑𝑥 + ∫ (− + 𝑝𝑙) . (− + )𝑑𝑥 𝑙 2𝐸𝐼 0 3 3 2𝐸𝐼 3 2 3 3

1 𝑙 𝑝𝑥 𝑝𝑙 1 𝑥 + ∫ (− + ) ( − ) 𝑑𝑥 𝐸𝐼 2𝑙 3 3 3 3 3

𝛿=

13𝑙 3 𝑝 1458𝐸𝐼

8

Calculamos las reacciones en los apoyos tanto para carga externa y virtual, respectivamente: 1

2𝑃 3   

2 3

𝑃 3

1 3

𝐿

2𝑥𝑃 2𝑥 ; 𝑚(𝑥) = 3 3 𝐿 2𝐿 −𝑥𝑃 𝐿𝑃 −𝑥 𝐿 ≤𝑥≤ ; 𝑀(𝑥) = + ; 𝑚(𝑥) = + 3 3 3 3 3 3 2𝐿 −𝑥𝑃 𝐿𝑃 −𝑥 𝐿 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿; 𝑀(𝑥) = + ; 𝑚(𝑥) = + 3 3 3 3 3

0 ≤ 𝑥 ≤ 3 ; 𝑀(𝑥) =

Para 3EI Para 2EI Para EI

Por lo tanto, resolvemos el desplazamiento de la viga como efecto de la aplicación de la carga: 

Aplicando scientific Word Place, para la resolución de la expresión: 𝑙

2𝑙

1 3 2𝑃𝑥 2𝑥 1 2 𝑝𝑥 𝑥 𝑙 𝛿= ∫ ( )( ) 𝑑𝑥 + ∫ (− + 𝑝𝑙) . (− + )𝑑𝑥 𝑙 2𝐸𝐼 0 3 3 2𝐸𝐼 3 2 3 3

1 𝑙 𝑝𝑥 𝑝𝑙 1 𝑥 + ∫ (− + ) ( − ) 𝑑𝑥 𝐸𝐼 2𝑙 3 3 3 3 3

𝛿=

35𝑙 3 𝑝 4374𝐸𝐼

Determinar los desplazamientos bajo las cargas de las vigas siguientes. EI constantes en todos los casos.

9

Calculamos las reacciones en los apoyos, para posteriormente aplicar el teorema del trabajo virtual y lugar castigliano: 2P

P

4P/3

5P/3 0≤𝑥≤

𝐿 4𝑥𝑃 ; 𝑀(𝑥) = 3 3

𝐿 2𝐿 𝑥𝑃 𝐿𝑃 ≤𝑥≤ ; 𝑀(𝑥) = + 3 3 3 3 2𝐿 −5𝑥𝑃 𝐿𝑃 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿; 𝑀(𝑥) = + 3 3 3 Por lo tanto, resolvemos el desplazamiento de la viga como efecto de la aplicación de las cargas: 

Aplicando scientific Word Place, para la resolución de la expresión:

𝛿5 =

170𝑙 3 243𝐸𝐼

𝛿5 =

85𝑙 3 486𝐸𝐼

10

Calculamos las reacciones en los apoyos, para posteriormente aplicar el teorema del trabajo virtual y lugar castigliano: 2P

P

4P/3

5P/3

0≤𝑥≤

𝐿 4𝑥𝑃 ; 𝑀(𝑥) = 3 3

𝐿 2𝐿 𝑥𝑃 𝐿𝑃 ≤𝑥≤ ; 𝑀(𝑥) = + 3 3 3 3 2𝐿 −5𝑥𝑃 𝐿𝑃 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿; 𝑀(𝑥) = + 3 3 3 Por lo tanto, resolvemos el desplazamiento de la viga como efecto de la aplicación de las cargas: Aplicando scientific Word Place, para la resolución de la expresión:

17 𝑝2 𝑑(243 𝑙 3 𝐸𝐼 ) 34 3 𝑝 𝛿𝑝 = = 𝑙 𝑑𝑝 243 𝐸𝐼

𝛿2𝑝

17 4𝑝2 𝑑(243 𝑙 3 4𝐸𝐼 ) 17 3 𝑝 = = 𝑙 𝑑2𝑝 486 𝐸𝐼