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10 EJERCICIOS RESUELTOS POR EL METODO DE CROSS

ANALISIS ESTRUCTURAL II Univ: Alcoba Trujillo Salomon 2011

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EJERCICIOS RESUELOS 1.-

RESOLVER LA ESTRUCTURA POR EL METODO DE CROSS

1t/m

B I

C

D

2I

1.7

4m

I I

A

E

3m

2m

F

4m

1º calculo de las rigideces y factores de distribución NUDO B 4 ∗  4 ∗ 1.7 ∗ 
   1.36  5 4 ∗ 
   2  2 
 3.36
 

NUDO C 4 ∗  4 ∗   2 
  2 4 ∗ 2 ∗ 
   2.66  3 4 ∗ 
   1  4
 

FACTORES DE DISTRIBUCION 1.36     0.4048 3.36   

2  0.5952 3.36

  1

FACTORES DE DISTRIBUCION 2    0.3529 5.667  

2.66  0.4706 5.667

 

1  0.1765 5.667

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 5.667

  1

NUDO d

FACTORES DE DISTRIBUCION 2.667    0.7273 3.667

4 ∗  4 ∗ 2 ∗    2.667  3 4 ∗    1  4


 



 

1  0.2727 3.667

  1


 3.667

2º CALCULO DE LOS MOMENTOS FIJOS

C

4m

E

     %

∗ 1∗3   0.75 !"# ∗ $ 12 12 ∗ 1∗3   %0.75 !"# ∗ $ 12 12

3º calculo del grado de desplazabilidad &  ' % ( &  3 % 2  1 ESTADO “0” Fic1

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estado “1”

1

1

AB

1

CB

desniveles

1

/

)  *+,!- .01  53.13º -CB CB

Δ  %

45

678 9:;

 %0.75 ∗ Δ1

45

Δ  F  0 9 hacia abajo; -0.2088 -0.1045 +HE*4=0

0,2792

F

E

0,02045 0,0656 0,0091

0,01023 0,0328 0,0046 0,1397

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HE=0.0783 t

>G  0 9 * H* IJ*KIL+M*; 0.0834+0.0417 -4 *HA -3VA=0 3VA=0 4Ha +3Va= 0.1249 .,,,,,,(1) >F  0 9 * H* IJKIL+M*; 0.0417 -0.3565 -4HA -5VA=0 5VA=0 4HA + 5VA=-0.3148 0.3148 …..(2) HA= 0.1961 t

VA= -0.2199 t >NO  0

R10= HA – HE +HF R10= 0.1961 -0.0783 0.0783 +0.1047 R10= 0.2225 ton.

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5to distribución de momentos en el estado “1” ΔPQRSTU 

100  Δ 

)

45

F  0 9 * H* IJKIL+M*; 60.5889 -69.68 -4*HA -5VA=0 5VA=0 4HA + 5VA=-9.092) HA= 85.1381 VA= -69.928 69.928 t >NO  0 R11= HA – HE +HF R11= 85.1381+12.98+24.136 R11= 122.26 ton.

Ecuaciones de compatibilidad R10 +k1*R11=0 0.225+K1*122.2640=0 K1=-0.0018 7TO MOMENTOS FINALES MAB= 0.0417 +(-0.0018)* 0.0018)* 60.5589=-0.0689 60.5589= ton*m MBA=0.0832 +(-0.0018)* 0.0018)* 70.177=-0.0445 70.177= ton*m MBC=0.0832 +(-0.0018)* 0.0018)* -70.177=-0.0445 ton*m MCB=-0.3565 +(-0.0018)* 0.0018)* -69.68=-0.2297 ton*m MDC=0.5653 +(-0.0018)* 0.0018)* 17.8146= 0.5329 ton*m MCD=-0.2792 +(-0.0018)* 0.0018)* -22.1375=-0.2389 ton*m MCE=-0.2088+(-0.0018)* 0.0018)* 51.86=-0.3032 51.86= ton*m

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MEC=-0.1045 +(-0.0018)* 0.0018)* 44.68=-0.1858 44.68= ton*m MDF=0.271 +(-0.0018)* 0.0018)* 22.1375=0.2389 ton*m MFD=0.1397 +(-0.0018)* 0.0018)* 29.81= 0.0854 ton*m

Diagrama de momentos finales 0.5329

0.0445

0.2389 0.0445

0.2297 0.2389 0.303 6 0.7391

0.1858 0.0686

0.0686

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2.A

B

2 m.C

D

3.5 m. E 4m.

5m

6m

1º calculo de las rigideces y factores de distribución NUDO B 4 ∗  3
   0.75  4 4 ∗ 
   0.7428  √29 
 1.49
 

NUDO C 4 ∗  4 ∗ 
   0.7428  √29 4 ∗ 
   0.6667  6
 


 1.409

FACTORES DE DISTRIBUCION 0.75     0.5024 1.49   

20.742  0.4976 1.49

  1 FACTORES DE DISTRIBUCION 0.7428    0.527 1.4095  

0.6667  0.473 1.4095

  1

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2º CALCULO DE LOS MOMENTOS FIJOS

A

B

4m

  

∗ 20 ∗ 4   %40 Y# ∗ $ 8 8

VOLADIZO 20 kn/m M

 

Z∗[\

 250
' ∗ $

3º calculo del grado de desplazabilidad GD=1 1

1

FIC1

1

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1

)

desniveles -CB

AB

)  *+,!- .[1  21.8º Δ  %

45

678 9:;

 2.5 ∗ Δ1

45

Δ  G  0 9 * H* IJ*KIL+M*; -152.87 +20*16/2 – VA*4=0 VA=1.7815 >F  0 9 * H* IJKIL+M*; R10*2 +20*81/2 -26.4398=0 -1.7815*9 –R10*2 R10=383.76 KN

4TO DISTRIBUCION DE MOMENTOS EN EL ESTADO “1” MOMENTOS FIJOS POR DESNIVELAMIENTO ΔPQRSTU 

100  Δ  2.5 ∗ Δ1 Δ  %2.692 ∗ Δ1

       

3 ∗  2.5 ∗ 100 ∗  46.87 !# ∗ $ 4 

6 ∗  %02.698 ∗ 100 ∗  %55.7086 !# ∗ $  √29

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ESTADO “1”

43.7648 0.0191 -0,2910 -7.3748 4.4380 46..875 0,5024

43.7647 -27.08 0.0189 0.1262 -0.038 0.038 -0.2394 -0.478 0.478 -0.076 0.9624 0.144 0.2882 1.92 -0.58 -3.65 -7.3 -1.15 14.67 2.187 4.69 29.358 -55.7 55.7 55.7086 0,4976 27.0832 0.1133 -0.068 1.7275 -1.04 26,35

R11

0,5024

0,4976

>G  0 9 * H* IJ*KIL+M*; 43.7647 – VA*4=0 VA=10.94 KN >F  0 9 * H* IJKIL+M*;

13.5416

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-10.9412*9 -2* R11 -27.0831=0 27.0831=0 R11= -62.777 KN 6 ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD R10 +K1 *R11=0 383.76 –K1*62.777=0 K1= 6.1131 CORRIGIENDO DE LA SIGUIENTE FORMA MFINAL= Mº + M1*K1 MBA= 114.664 MBC=-364.66 MCB=-192.0015 MCD=192.0015 MDC=96.0011 DIGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES -250

34.66

-192 114.6 6

-192

96

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3

10 KN/M B

C I I 6m. 2I

D

A 6m.

GRADOS DE DESPLAZABILIDAD= 2-1=1 2

1

1

2 m.

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1º calculo de las rigideces y factores de distribución NUDO B

FACTORES DE DISTRIBUCION 0.5     0.40 1.5

4 ∗  4 ∗ 2 ∗ 
   1  8 4 ∗   0.5 
  6 
 1.5
 

  

1  0.60 1.5

  1

NUDO C

FACTORES DE DISTRIBUCION 0.66    0.5 1.22

4 ∗  4 ∗ 
   0.66  6 4 ∗ 
   0.66  3
 

 

0.66  0.5 1.22

  1


 1.22

CROSS ESTADO “0” FACTOR DE DISTRIBUCIÓN

-1

-0,6

-0,4

-0,5

-0,5

-1

0

0

0

0

-30

-30

0

0

0

15

15

0

1º ITERACIÓN MOMENTOS FIJOS DISTRIBUCION

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2º ITERACIÓN 0

0

7,5

0

0

0

-4,5

-3

0

0

-2,25

0

0

-1,5

0

2,25

0

0

0,75

0,75

0

1,125

0,375

0

0

0

-0,9

-0,6

0

0

-0,45

0

0

-0,3

0

0,7875

0

0

0,15

0,15

0

0,39375

0,075

0

0

0

-0,28125

-0,1875

0

0

-0,140625 0,140625

0

0

-0,09375

0

0,25875

0

0

0,046875

0,046875

0

0,129375

0,0234375

0

0

0

-0,0916875

-0,061125

0

0

0,04584375

0

0

-0,0305625 0,0305625

0

0,08465625

0

0

0,01528125 0,01528125

7,5

TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 3º ITERACIÓN 0

TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 4º ITERACIÓN 0,375

TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 5º ITERACIÓN 0

TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 6º ITERACIÓN 0,075

TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 7º ITERACIÓN 0

TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 8º ITERACIÓN 0,0234375

TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 9º ITERACIÓN 0

TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 10ºº ITERACIÓN 0 TRANSMISIÓN

0,04232813 0,00764063

0

0

0,00764063

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0,02998125 -0,0199875

0

0

0

0

DISTRIBUCIÓN 11ºº ITERACIÓN 0,01499063

0

0

0,00999375

0,02768906

0

0

0,00499688 0,00499688

0

TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN

0,5071 -4,112 4,1125 14,033 -14,03 -22,02 MOMENTOS FINALES

>G  0 9 * H* IJ*KIL+M*; -HA*8 HA*8 + MAB + MBA +1*8*4=0 HA= (MAB + MBA + 32)/8 HB= (MCB + MDC )/6 R10= HA- HB R10=52.3

CALCULO DE MOMENTOS FIJOS POR DESNIVELAMIENTO Δ1 

100 

Δ  %Δ1 Δ  %Δ1

    

6 ∗ 92; 100 ∗%  %9 !# ∗ $ 8 

    CROSS ESTADO “1”

6 ∗  100 ∗%  %8 !# ∗ $ 6 

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FACTOR DE DISTRIBUCIÓN

0

-0,6

-0,4

-0,5

-0,5

-1

1º ITERACIÓN MOMENTOS FIJOS DISTRIBUCION 2º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 3º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 4º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 5º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 6º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 7º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 8º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 9º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 10ºº ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 11ºº ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN MOMENTOS FINALES

-9

-9

0

0

-8

-8

0

-5,4

-3,6

-4

-4

-8

-2,7 0

0 1,2

-2 0,8

-1,8 2,9

-4 2,9

-2 2

0,6 0

0 -0,87

1,45 -0,58

0,4 -0,7

1 -0,7

1,45 -1,45

-0,435 0

0 0,21

-0,35 0,14

-0,29 0,5075

-0,725 0,5075

-0,35 0,35

0,105 0

0 -0,15225

0,25375 -0,1015

0,07 -0,1225

0,175 -0,1225

0,25375 -0,25375

-0,076125 0,076125 0

0 0,03675

-0,06125 0,0245

-0,05075 0,0888125

-0,126875 0,0888125

-0,06125 0,06125

0,018375 0

0 0,04440625 0,01225 0,030625 0,04440625 0,02664375 -0,0177625 -0,0214375 0,0214375 -0,0214375 0,04440625

0,01332188 0 0,01071875 0,00888125 0,02220313 0,01071875 0 0,00643125 0,0042875 0,01554219 0,01554219 0,01071875 0,00321563 0

0 0,00777109 0,00214375 0,00535938 0,00777109 0,00466266 0,00310844 0,00375156 0,00375156 0,00777109

0,00233133 0 0,00187578 0,00155422 0,00388555 0,00187578 0 0,00112547 0,00075031 0,00271988 0,00271988 0,00187578 0,00056273 0

-6.90

0 0,00135994 0,00037516 0,00093789 0,00135994 0,00081596 0,00054398 0,00065652 0,00065652 0,00135994

-5.07

5.07

>G  0 9 * H* IJ*KIL+M*; HA*8 + MAB + MBA +1*8*4=0 -HA*8

4.70

-4.70

-6.45

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HA= (MAB + MBA + 32)/8 HB= (MCB + MDC )/6 R11= HA- HB R11=-41.7

K1= R10/R11 K1=52.3/-41.7= 1.25

MOMENTOS FINALES

MAB= 4.31 KN*M MBA= 10.67 KN*M MBC=-10.67KN*M MCB= -5.67KN*M MCD= 5.68 KN*M MDC= 5.31 KN*M

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4.-

G.D.= 2 – 2 = 0

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DIAGRAMA DE MOMENTOS FINALES

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5.-

G.D.= 2-2=0

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6.-

GRADO DE DESPLAZABILIDAD= 22-1 =1 CROSS ESTADO “0”

R10

0.65 -1.21 –R10= 0 R10 = -0.56

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CROSS ESTADO “1”

R11

1.68+1.68–R11= 0 R11 = 3.36 R10 +K1* R11=0 K1=0.56/3.36=0.17 CORRIGIENDO MOMENTOS TENEMOS DIAGRAMA DE MOMENTOS FINALES

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7.-

C

B

10 KN 10 KN

A

1º calculo de las rigideces y factores de distribución NUDO B 4 ∗  4 ∗    1  4 4 ∗    1  4


 



FACTORES DE DISTRIBUCION 1     0.5 2   

1  0.5 2

  1

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 2

NUDO C

FACTORES DE DISTRIBUCION 1    0.5 2

4 ∗  4 ∗ 
   1  4 4 ∗ 
   1  4
 

 

1  0.5 2

  1


 2

2º CALCULO DE LOS MOMENTOS FIJOS 10

A

B

4m

 

] ∗ 10 ∗ 4   5 !"# ∗ $ 8 8    %5 !"# ∗ $

10

C

4m

D

 

] ∗ 10 ∗ 4   5 !"# ∗ $ 8 8   %5 !"# ∗ $

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GRADOS DE DESPLAZABILIDAD= 2-1=1 2

1

1

CROSS ESTADO “0”

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-4.98 -4.98 –R10= 0 R10=-9.96

CALCULO DE MOMENTOS POR DESNIVELAMIENTO 5to distribución de momentos en el estado “1” ΔPQRSTU 

26.67  Δ  Δ1 Δ  Δ1

Momentos fijos por desnivelamiento.

    

6 ∗  26.67 ∗  10 !# ∗ $ 4 

   

6 ∗  26.67 ∗  10 !# ∗ $ 4 

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CROSS ESTADO “1”

R11

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-4.98 -4.98 –R11= 0 R11=-9.96

ECUACION DE COMPATIBILIDAD R10 + R11*K1=0 K1= R10/R11 K1= 1

7TO MOMENTOS FINALES MAB= 11.41 +1*11.41=22.82ton*m MBA=8.52 +1*8.52= 17.04 ton*m MBC=-8.52+1*-8.52= -17.04 17.04 ton*m MCB=-8.52 +1*-8.52= -17.04 17.04 ton*m MDC=11.41 +1*11.41=22.82ton*m MCD=8.52+1*8.52= 17.04 ton*m

-17.04

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17.0

22.8

8

17.04

22.82

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CALCULO DE FACTORES DE DISTRIBUCCION Y MOMENTOS FIJOS

GRADOS DE LIBERTAD= 0 `por ser la estructura simetrica y estar sometida a carga simetrica, no sufrirá desplazamiento.

CROSS

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DIAGRAMA DE MOMENTOS FINALES

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9

W=20 KN/m

B

10 kN

C

4m.

A

D

3m.

º

5m.

4m.

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GRADOS DE DESPLAZABILIDAD= 2-1 2 =1

CROSS ESTADO “0”

R10

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R10

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R10= 17.4 KN

CALCULO DE MOMENTOS FIJOS POR DESNIVELAMIENTO

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CROSS ESTADO “1”

R11

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R11(= 28.02 +33.2) /5=12.3 KN MOMENTOS FINALES MAB= -24.31 KN*M MBA= -22.86 KN*M MBC= 22.86 KN*M MCB= -24.39 KN*M MCD= 24.39 KN*M MDC= 16.63 KN*M

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10 1 t/m.

B

C I I 6m. 2I

D

A 6m.

2 m.

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GRADOS DE DESPLAZABILIDAD= 2-1=1 2

1

1

1º calculo de las rigideces y factores de distribución NUDO B 4 ∗  4 ∗ 2 ∗ 
   1  8 4 ∗ 
   0.5  6 
 1.5
 

NUDO C 4 ∗  4 ∗   0.66 
  6 4 ∗ 
   0.66  3
 


 1.22

FACTORES DE DISTRIBUCION 0.5     0.40 1.5   

1  0.60 1.5

  1

FACTORES DE DISTRIBUCION 0.66    0.5 1.22  

0.66  0.5 1.22

  1

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CROSS ESTADO “1” FACTOR DE DISTRIBUCIÓN

1

-0,6

-0,4

-0,5

-0,5

-1

5,33 0

-5,33

0

0

0

0

3,198

2,132

0

0

0

1,599 0

0 0

0 0

1,066 -0,533

0 -0,533

0 0

0 0

0 0,1599

-0,2665 0,1066

0 0

0 0

-0,2665 0,2665

0,07995 0

0 0

0 0

0,0533 -0,093275 0,093275

0,13325 -0,093275

0 0

0 0

0 0,0279825

-0,0466375 0,018655

0 0

0 0

-0,0466375 0,0466375

0,01399125

0

0

DISTRIBUCIÓN 7º ITERACIÓN

0

0

0

TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 8º ITERACIÓN TRANSMISIÓN

0 0

1º ITERACIÓN MOMENTOS FIJOS DISTRIBUCION 2º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 3º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 4º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 5º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 6º ITERACIÓN TRANSMISIÓN

0 0,00816156 0,00489694 0,00326463

0,00244847

0

0

DISTRIBUCIÓN 9º ITERACIÓN

0

0

0

TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 10ºº ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 11ºº ITERACIÓN

0 0

TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN

MOMENTOS FINALES

0,00042848 0

0 0

0 0,00142827 0,00085696 0,00057131 0 0

0 0

0 0,00024995 0,00014997 9,9979E-05

0,0093275 0,02331875 0,01632313 0,01632313

0 0

0 0

0,00163231 0,00408078 0,00285655 0,00285655

0 0

0 0

0,00028565 0,00071414 -0,0004999 0,0004999 -0,0004999

0 0

0 0

7,0258 -1,938 1,9382 0,4846 -0,485

0 0 0,00816156 0,00816156 0 0 0,00142827 0,00142827 0 0 0,00024995 0,00024995

0

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>G  0 9 * H* IJ*KIL+M*; -HA*8 HA*8 + MAB + MBA +1*8*4=0 HA= (MAB + MBA + 32)/8 HB= (MCB + MDC )/6 R10= HA- HB R10=44.6

CALCULO DE MOMENTOS FIJOS POR DESNIVELAMIENTO Δ1 

100 

Δ  Δ1 Δ  Δ1

    

6 ∗ 92; 100 ∗  9 !# ∗ $ 8 

   

6 ∗  100 ∗  8 !# ∗ $ 6 

CROSS ESTADO “1” FACTOR DE DISTRIBUCIÓN

0

-0,6

-0,4

-0,5

-0,5

-1

9

9

0

0

8

8

1º ITERACIÓN MOMENTOS FIJOS

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DISTRIBUCION 2º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 3º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 4º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 5º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 6º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 7º ITERACIÓN TRANSMISIÓN

0

-5,4

-3,6

-4

-4

-8

-2,7 0

0 1,2

-2 0,8

-1,8 2,9

-4 2,9

-2 2

0,6 0

0 -0,87

1,45 -0,58

0,4 -0,7

1 -0,7

1,45 -1,45

-0,435 0

0 0,21

-0,35 0,14

-0,29 0,5075

-0,725 0,5075

-0,35 0,35

0,105 0

0 -0,15225

0,25375 -0,1015

0,07 -0,1225

0,175 -0,1225

0,25375 -0,25375

0,076125 -0,076125 0

0 0,03675

-0,06125 0,0245

-0,05075 0,0888125

-0,126875 0,0888125

-0,06125 0,06125

0,018375

DISTRIBUCIÓN 8º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 9º ITERACIÓN TRANSMISIÓN

0

0,01332188 0 0,01071875 0,00888125 0,02220313 0,01071875 0 0,00643125 0,0042875 0,01554219 0,01554219 0,01071875 0,00321563

DISTRIBUCIÓN 10ºº ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 11ºº ITERACIÓN TRANSMISIÓN

0 0,04440625 0,01225 0,030625 0,04440625 0,02664375 -0,0177625 -0,0214375 0,0214375 -0,0214375 0,04440625

0

0 0,00777109 0,00214375 0,00535938 0,00777109 0,00466266 0,00310844 0,00375156 0,00375156 0,00777109

0,00233133 0 0,00187578 0,00155422 0,00388555 0,00187578 0 0,00112547 0,00075031 0,00271988 0,00271988 0,00187578 0,00056273

DISTRIBUCIÓN

0

MOMENTOS FINALES

6.90

0 0,00135994 0,00037516 0,00093789 0,00135994 0,00081596 0,00054398 0,00065652 0,00065652 0,00135994

5.07

-5.07

>G  0 9 * H* IJ*KIL+M*; -HA*8 HA*8 + MAB + MBA +1*8*4=0 HA= (MAB + MBA + 32)/8 HB= (MCB + MDC )/6

-4.70 4.70

4.70

6.45

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R11= HA- HB R11=41.7

K1= R10/R11 K1=44.6/41.7= 1.068

MOMENTOS FINALES

MAB= 14.31 KN*M MBA= 2.86 KN*M MBC=-2.86 KN*M MCB= -4.39 KN*M MCD=4.39 KN*M MDC= 6.63 KN*M