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• jhon ambrosio

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RECUPERACIÓN ANALISIS DE SENSIBILIDAD O CASOS DE USO 1. Se ha dicho que cada problema de programación lineal con una región factible tiene un número infinito de soluciones. Explique su respuesta. Efectivamente tiene un número infinito de soluciones, Pero en los vértices de la región factible encontramos la solución óptima. 2. ¿En qué condiciones es posible que un problema de programación lineal tenga más de una solución óptima? Es posible cuando una restricción es múltiplo de otra restricción. O la función objetivo es múltiplo de una restricción. 3. El gerente de producción de una gran empresa de manufactura en Cincinnati declaró una vez lo siguiente: “Me gustaría usar PL, pero es una técnica que opera en condiciones de certeza. Mi planta no tiene certezas: es un mundo de incertidumbre. De manera que la PL no se puede utilizar aquí”. ¿Cree que esta afirmación tiene algún mérito? Explique por qué el gerente pudo haberlo dicho. Si tiene algún mérito ya que está lleno de incertidumbres no podríamos aplicar un PL , pero si podríamos aplicar programación no lineal. 4. Un programa lineal tiene el objetivo de maximizar la utilidad = 12X + 8Y. La utilidad máxima es de $8,000. Usando una computadora se encuentra que el límite superior para la utilidad de X es 20 y el límite inferior es 9. Analice los cambios a la solución óptima (los valores de las variables y la utilidad) que se producirían si la utilidad de X se incrementara a $15. ¿Cómo cambiaría la solución óptima si la utilidad de X se incrementara a $25?

La solución óptima va a mejor porque el $25 está en el rango permitido sin variar la base óptima. 5. Un programa lineal tiene una utilidad máxima de $600. Una restricción de este problema es 4X + 2Y  80. Usando una computadora se encuentra que el precio dual para esta restricción es 3, y que hay un límite inferior de 75 y un límite superior de 100. Explique qué significa esto. 6. Se desea mezclar mineral de hierro de cuatro minas distintas para fabricar rodamientos destinados a un nuevo producto: un tractor tipo oruga de tamaño mediano, el E-6, diseñado especialmente para competir en el mercado europeo. Por medio de análisis se ha demostrado que, para producir una mezcla dotada de las cualidades de tracción adecuadas, deben cumplirse requerimientos mínimos en relación con tres elementos básicos que, para simplificar, señalaremos aquí como A, B y C. En términos específicos, cada tonelada de mineral deberá contener cuando menos 5 libras del elemento básico A, 100 libras del elemento básico B y 30 libras del elemento básico C. El mineral extraído de cada una de las cuatro minas posee los tres elementos básicos, pero en cantidades distintas. Estas composiciones, expresadas en libras por tonelada, se enumeran en la siguiente tabla: COMPOSICIONES OBTENIDAS DE CADA MINA Elemento MINA (libras por tonelada de cada elemento) básico 1 2 3 4 A 10 3 8 2 B 90 150 75 175 C 45 25 20 37 Nótese que una tonelada del mineral procedente de la primera mina contiene 10 libras del elemento básico A, y esto satisface los mínimos requerimientos de este elemento en 5 libras por tonelada. En forma similar, la misma tonelada contiene 90 libras del elemento básico B y 45 libras del elemento básico C, por lo cual logra satisfacer el requerimiento del elemento básico C, pero no el del elemento básico B. De igual manera, se puede comprobar que una tonelada de mineral de la segunda mina no logrará satisfacer los requerimientos de los elementos A o C. Una tonelada de la mina 3 no cumplirá los requerimientos de B o C y una tonelada extraída de la mina 4 no satisfará el requerimiento de A. Sin embargo, podemos encontrar muchas mezclas diferentes que satisfagan los requerimientos mínimos de los tres elementos básicos. Un ejemplo de dichas mezclas sería la combinación de media tonelada de material proveniente de la mina 1 y media tonelada de material de la mina 4. La cantidad del elemento básico A de esta tonelada de mezcla resultante se calcula como sigue: libras de A = (libras de A en 1 tonelada de la mina 1) (1/2) + (libras de A en 1 tonelada de la mina 4) (1/2) Por tanto libras de A = 10(1/2) + 2(1/2) = 5 + 1 = 6 Puesto que 6  5, esta mezcla cumple con el requerimiento mínimo del elemento básico A. Según la misma lógica, para nuestra tonelada de mezcla podemos calcular: libras de B = (libras de B en 1 tonelada de la mina 1) (1/2) + (libras de B en 1 tonelada de la mina 4) (1/2). Por tanto, libras de B = 90(1/2) + 175(1/2) = 132.5 De igual manera libras de C = 45(1/2) + 37(1/2) = 41.

Si comparamos la cifra 132.5 con el requerimiento de 100 libras de B, y la cifra 41 con el requerimiento de 30 libras de C, podemos apreciar que esta mezcla, constituida por media tonelada de material de la mina 1 y media tonelada de la mina 4, cumple con los requerimientos mínimos y, por esa razón, decimos que es una mezcla factible. Hay muchas otras mezclas posibles de 1 tonelada que lograrían satisfacer los requerimientos mínimos y que también serían factibles. Sin embargo, en virtud de que el mineral de cada mina tiene un costo diferente, las distintas mezclas también tendrían costos diferentes. Las cifras de costos aparecen en la tabla:

Mina 1 2 3 4

COSTO DEL MINERAL DE CADA MINA Costo den dólares por tonelada de mineral 800 400 600 500

Por ejemplo, el costo de la mezcla factible compuesta por media tonelada de la mina 1 y media tonelada de la mina 4 es (costo por tonelada de la mina 1) (1/2) + (costo por tonelada de la mina 4)(1/2) = 800(1/2) + 500(1/2) = $650. Compare este costo con los de otras mezclas factibles que haya descubierto. El objetivo de la administración es descubrir una mezcla factible de costo mínimo. a. Formule y resuelve el modelo. 1. Variables de decisión. X1: cantidad de mineral (porción) que proporciona la mina 1. X2: cantidad de mineral (porción) que proporciona la mina 2. X3: cantidad de mineral (porción) que proporciona la mina 3. X4: cantidad de mineral (porción) que proporciona la mina 4. 2. Función Objetivo. Z: costo total en la mezcla de 1 tonelada de mineral Min(Z)= 800X1+400X2+600X3+500X4 3. Restricciones. De requerimiento: 10X1+3X2+8X3+2X4>=5 …………………. Del elemento A 90X1+150X2+75X3+175X4>=100………... Del elemento B 45X1+25X2+20X3+37X4>=30…………….. Del elemento C X1+X2+X3+X4=1 De no negatividad: X1, X2, X3, X4>=0

SOLUCION EN SOLVER

b. Responde a las siguientes preguntas del gerente de producción: 1) ¿Cuál es la solución del modelo de PL?

X1 =0.26 X2 =0.7 X3 =0.04 X4 = 0 Z = 511.11 2) Si quisiera conservar los costos por debajo de $500 por tonelada. ¿Hay alguna manera de lograr esto? No, Hay ninguna manera para conservar los costos y que cumplan las restricciones. 3) ¿Qué se pueda hacer para mantener los costos por debajo de $500 por tonelada? Si quisiera conservar los costos por debajo de $500 tendría que modificar los requerimientos de los elementos A, B, C 4) ¿Hay alguna forma de indicar exactamente la cantidad de cada elemento indispensable que se usa en la mezcla óptima? Claro que si en las columnas que nos proporciona Excel nos muestra la cantidad exacta de cada elemento en la mezcla. 5) ¿Qué significa la columna rotulada como “Holgura”? Significa un excedente de los elementos A ,B Y C. 6) ¿Cuál es el excedente para la restricción A y si el requerimiento de A fue de 5 libras? El excedente de A es 0 y el requerimiento de A es 5 libras. Ya que que el excedente es 0 significa que se produce exactamente 5 lb de A. 7) Si el valor óptimo de una variable excedente A es cero. ¿Qué relación puede tener esto con la cantidad del elemento esencial en la mezcla final? El excedente es 0 entonces la mezcla optima contiene 5 libras de A 8) Si el valor óptimo de una variable excedente no es cero (ver elemento B) se puede pensar que la mezcla 9) ¿Entonces, para bajar los costos a $500 o menos que requerimientos tengo que cambiar? ¿Y cuánto? Para bajar los costos tendría que modificar los requerimientos de elemento A y C. 10) Que significa precio de sombra, cuales son para cada elemento El precio de sobra es la variación del valor optimo ante una modificación de los requerimientos. Precio sombra de A = +44,44 Precio sombra de B = 0 Precio sombra de C = +4,44 11) ¿Si se disminuye el requerimiento A a 4,5 libras cuanto se puede ahorrar? Si disminuyo A a 4,5 lb seria 0.25*44,44=11,11. Esto representa lo que ahorraría. 12) ¿En cuánto puedo disminuye el requerimiento A y cuanto se ahorra? A puede disminuir a 0.25 esto significa que de 5 puede bajar hasta 4.75. 13) ¿Si se varia el requerimiento C cuanto se puede ahorrar? Ahorro =7*precio de sobra =7*4,44= 31.08 14) ¿Se puede modificar los dos requerimientos en forma simultánea? ¿Qué sucedería entonces? No se podría tendría que volver a resolver el problema PL. 15) ¿Qué significado tiene columna “Incremento permisible”? Significa la cantidad que puedo aumentar sin cambiar la base optima 16) ¿Si el precio sombra de B es cero eso significa que el cambio del valor de 100 no tiene ningún efecto y esto quiere decir que no es necesaria una restricción en B? ¿Por qué? ¿Se pueda eliminar la restricción de B? No se puede eliminar porque. ahora podemos satisfacer los requerimientos de A y C con un costo mínimo. Automáticamente se satisface B. 17) ¿Si el costo del mineral de la localidad 2 aumentaría, como eso influye al modelo? 18) ¿Las restricciones de igualdad se consideran activas u obligatorias? ¿Qué tiene que ver con el costo del mineral procedente de la localidad 2?

Si son consideradas activas pero la restricción B está inactiva, pero esto se puede modificar haciendo cambios en el modelo PL. 19) ¿Qué sucede si el costo de T2 aumenta más de la cantidad permisible? Si aumenta más de la cantidad permisible significa que la función objetivo nunca va disminuir. 20) Que significa “solución no degenerada”. Solución no degenerada significa que la cantidad de variables totales es igual a la cantidad de restricciones totales. 21) ¿Si el costo por unidad de mineral procedente de la mina 2 aumenta en más de la cantidad permisible, que solución óptima se obtiene? ¿qué sucede si sólo llega al límite? Si se llega al límite la nueva solución óptima sigue siendo no degenerada porque será remplaza por otra solución óptima. 22) ¿Cuánto tendría que disminuir el costo de T4 para que empresa estuviera dispuesto a comprar su producto? ¿qué sucede con el valor de FO óptimo? 23) ¿Qué sucederá si la reducción es exactamente igual a $91,11? ¿el costo total bajara a menos de $511.11? 24) ¿Qué sucedería si no se cumple la condición de no degeneración? Sucedería que la solución se volvería degenerada. 25) ¿Qué hay acerca de la columna llamada Costo reducido? El costo reducido para que las variables sean positivas.

RECUPERACION SIMPLEX, DUAL SIMPLEX, DOS FASES (a mano) 1. El rendimiento estacional de las aceitunas de un viñedo, está muy influido por el proceso de la poda de las ramas. Si los olivos se podan cada dos semanas, la producción aumenta. Sin embargo, el proceso de poda requiere considerablemente más mano de obra que permitir que los olivos crezcan por sí mismos y den como resultado una aceituna de menor tamaño. También, permitiría que los olivos estén más cercanos. La producción de 1 barril de aceitunas mediante la poda requiere 5 horas de trabajo y un acre de terreno. La producción de 1 barril de aceitunas por el proceso normal requiere tan solo 2 horas de trabajo, pero 2 acres de terreno. Un oleicultor dispone de 250 horas de mano de obra y un total de 150 acres para el cultivo. Debido a la diferencia de tamaño, 1 barril de aceitunas producidas en los árboles podados se vende por $20, mientras que un barril de aceitunas regulares tiene un precio de mercado de $30. El oleicultor ha determinado que, debido a la incertidumbre de la demanda, se deben producir no más de 40 barriles de aceitunas de árboles podados. Determine a. la utilidad máxima posible. b. la mejor combinación de barriles de aceitunas de árboles podados y no podados. c. el número de acres que el oleicultor debería dedicar a cada proceso de crecimiento

2. El superintendente de educación de Arden County, Maryland, es responsable de asignar estudiantes a tres escuelas secundarias en su condado. Reconoce la necesidad de transportar a cierto número de estudiantes, ya que varios sectores del condado están más allá de una distancia que pueda recorrerse caminando. El superintendente hace una partición del condado en cinco sectores geográficos con la finalidad de intentar establecer un plan que minimice el número total de millas-estudiante viajadas en el autobús. También reconoce que si ocurre que un estudiante vive en cierto sector y es asignado a la escuela en ese sector, no hay necesidad de transportar a ese estudiante, ya que puede caminar a la escuela. Las tres escuelas están localizadas en los sectores B, C y E. La siguiente tabla refleja el número de estudiantes en edad de secundaria que viven en cada sector y la distancia en millas de cada sector a cada escuela: SECTOR A

ESCUELA EN EL SECTOR B 5

DISTANCIA A LA ESCUELA ESCUELA EN EL ESCUELA EN EL SECTOR C SECTOR E 8 6

NÚMERO DE ESTUDIANTES 700

B C D E

0 4 7 12

4 0 2 7

12 7 5 0

500 100 800 400 2,500

Cada escuela tiene una capacidad para 900 estudiantes. Establezca la función objetivo y las restricciones de este problema con PL, de manera que se minimice el número total de millas-estudiante viajadas en autobús. Resuelva el problema.

3. Una compañía fabrica automóviles y camiones. Cada automóvil contribuye con $300 a la utilidad y cada camión con $400. Los recursos necesarios para fabricar un automóvil y un camión se muestran a continuación: Vehículo Días en la maquina tipo 1 Días en la maquina tipo 2 Toneladas de acero Automóvil 0.8 0.6 2 camión 1 0.7 3 La compañía puede rentar todos los días hasta 98 máquinas tipo 1 a un costo de $50 por máquina. La compañía por ahora de 73 máquinas tipo 2 y 260 toneladas de acero. Las consideraciones del mercado señalan que por lo menos se deben producir 88 automóviles y por lo menos 26 camiones. La compañía desea determinar la producción diaria de automóviles y camiones, así como la cantidad adecuada de maquina tipo 1 que debe rentar diariamente a fin de maximizar sus utilidades. a. Formula el modelo matemático correspondiente. b. Construye su modelo dual. c. Resuelve el problema. d. Identifique la solución óptima diaria de ambos vehículos, la cantidad de máquinas que deben rentarse diariamente y la utilidad diaria que se alcanzaría. e. Utilice la información dada en la tabla optima obtenida en el inciso a y las fórmulas que relacionan el primal-dual para dar respuesta a las siguientes interrogantes: i. ¿Si los automóviles contribuyeran con $310 a la utilidad cual sería la nueva solución óptima del problema? ii. Calcule el intervalo de los valores del precio de un automóvil para el cual la base actual sigue siendo óptima. iii. La compañía planea fabricar jeeps. Un jeep contribuye con $600 la utilidad y requiere 1.2 días en la maquina 1, 2 días en la maquina 2 y 4 toneladas de acero. ¿Debería la compañía fabricar jeeps? Argumente su respuesta.

PROBLEMAS A RESOLVER CON SW 1. Los resultados por computadora que se muestran en las siguientes tablas son de un problema de mezcla de productos donde hay dos productos y tres restricciones de recursos. Utilice tales resultados para ayudarle a responder las siguientes preguntas. Suponga que desea maximizar las utilidades en cada caso. a. ¿Cuántas unidades del producto 1 y del producto 2 se deberían producir? X1=25 unidades X2=0 unidades b. ¿Cuánto de cada uno de los tres recursos se está utilizando? ¿Cuánta holgura hay en cada restricción? ¿Cuáles restricciones son obligatorias, y cuáles no son obligatorias? Primer recurso se usó 25. Tiene una holgura de: 20 Segundo recurso se usó 75. Tiene una holgura de: 12 Tercer recurso se usó todo. No tiene holgura. c. ¿Cuáles son los precios duales para cada recurso? Primer recurso su dual es 0 Segundo recurso su dual es 0 Tercer recurso su dual es 25 d. Si se pudiera obtener más de uno de los recursos, ¿cuál debería obtener? ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por esto? Optaría por el recurso numero 3 ya que su dual es 25 y esto aumentaría en mi ganancia por cada variación del recurso 3. e. ¿Qué le pasaría a la utilidad sí, con los resultados originales, la gerencia decidiera elaborar una unidad más del producto 2? Si nos fijamos en la tabla hay 0 unidades que se están produciendo por lo tanto si elaboramos una unidad del producto 2 mi ganancia disminuiría en 5 esto según el costo reducido. X1 X2 RHS Dual Maximice 50 20 Const. 1 1 2 45 0  Const.2 3 3 87 0  Const.3 2 1 50 25  Solución 25 0 1250 Variable

Valor

Costo reducido

Valor original

X1 X2 Constantes

25 0 Valor dual

0 5 Holgura

50 20 Valor original

Const. 1 Const.2 Const.3

0 0 25

20 12 0

45 87 50

Límite inferior 40 -infinito Límite inferior 25 75 0

Límite superior Infinito 25 Límite superior Infinito Infinito 58

2. Los tres príncipes de Serendip hicieron un pequeño viaje. No podían llevar mucho peso; más de 300 libras los hicieron dudar. Planearon llevar pequeñas cantidades. Cuando regresaron a Ceilán descubrieron que sus provisiones estaban a punto de desaparecer cuando, para su alegría, el príncipe William encontró un montón de cocos en el suelo. “Cada uno aportará 60 rupias”, dijo el príncipe Richard con una sonrisa. Como casi se tropieza con una piel de león. “¡Cuidado!”, grito el príncipe Robert con alegría cuando observó más pieles de león debajo de un árbol. “Estas valen aún más: 300 rupias cada una. Si tan solo pudiéramos llevarlas todas a la playa”. Cada piel pesaba quince libras y cada coco cinco, pero cargaron todo y lo hicieron con ánimo. El barco para regresar a la isla era muy pequeño 15 pies cúbicos de capacidad de equipaje, eso era todo. Cada piel de león ocupó un pie cúbico mientras que ocho cocos ocupaban el mismo espacio. Con todo guardado se hicieron a la mar y en el trayecto calculaban lo que su nueva riqueza podría ser. “¡Eureka!”, gritó el príncipe Robert, “Nuestra riqueza es tan grande que no hay otra forma de regresar en este estado. Cualquier otra piel o coco que pudiéramos haber traído ahora nos harían más pobres. Y ahora sé que voy a escribir, a mi amigo Horacio, en Inglaterra, porque seguramente tan solo él puede apreciar nuestro serendipity”. Formule y resuelva Serendipity. 1. VARIABLES DE DECISIÓN X1: cantidad total de cocos llevados del viaje. X2: cantidad total de pieles de león llevados del viaje.

3. FUNCION OBJETIVO Z: Riqueza con la cantidad de cocos y pieles traídos del viaje Max(Z)= 60X1+300X2 4. RESTRICCIONES Disponibilidad de peso en libras 5X1+15X2=0 SOLUCION JSIMPLEX

6.

Eddie Kelly está en la competencia para la reelección como alcalde de un pequeño condado de Alabama. Jessica Martínez, la jefa de campaña de Kelly durante esta elección, está planeando la campaña de marketing y sabe que existe una competencia cerrada. Martínez seleccionó cuatro formas de propaganda: spots de televisión, anuncios de radio, carteles espectaculares e inserciones en periódicos. Los costos, la audiencia expuesta por tipo de medio y el número máximo de cada uno se muestran en la siguiente tabla:

Además, Martínez decidió que debería haber al menos seis anuncios en TV o radio, o alguna combinación de estos. La cantidad gastada en espectaculares y periódicos juntos no debe exceder la cantidad gastada en TV. Aunque la recolección de fondos continúa, el presupuesto mensual para propaganda se estableció en $15,000. ¿Cuántos anuncios de cada tipo debería colocar para maximizar el número de personas expuestas?