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• Ismael Domínguez

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PROBLEMA 1(4-11) CONDUCTIVIDAD DE CALOR TRANSITORIO

PLANTEAMIENTO: Refrigeración de bisteces evitando al mismo tiempo la quemadura por el frío En una planta de procesamiento de carne se deben enfriar bisteces de 1 in de grueso, que están inicialmente a 75°F,

en las rejillas de un refrigerador grande que se mantiene a 5°F. Los bistec es se colocan cercanos entre sí, de modo

que la transferencia de calor desde los bordes de 1 in de espesor es despreciable. El bistec completo se debe enfriar por debajo de 45°F, pero su temperatura no debe caer por debajo de 35°F en cualquier punto durante la refrigeración

para evitar la “quemadura por el frío”. El coeficiente de transferencia de calor por convección y, por lo tanto, la razón de la transferencia de calor desde el bistec se puede controlar al variar la velocidad de un ventilador que hace circular el aire en el interior. Determine el coeficiente de transferencia de calor h que permitirá satisfacer las dos restricciones con respecto a la temperatura, manteniendo a la vez el tiempo de refrigeración en un mínimo. El bistec se puede tratar como una capa homogénea que tiene las propiedades 𝜌=

74.9𝑙𝑏𝑚 𝑓𝑡 3

, 𝐶𝑝 =

0.98𝐵𝑡𝑢 𝑙𝑏𝑚

∙ °F, k =

0.26Btu h

∙ ft ∙ °F y α = 0.0035𝑓𝑡 2 /ℎ.

DATOS 𝜌=

74.9𝑙𝑏𝑚 𝑓𝑡 3

𝐶𝑝 = k=

0.98𝐵𝑡𝑢 𝑙𝑏𝑚

0.26Btu h

∙ °F

∙ ft ∙ °F

α = 0.0035𝑓𝑡 2 /ℎ. ESQUEMA

SUPUESTOS 1. La conducción de calor a través de los bisteces es unidimensional, ya que éstos forman una capa grande en relación con su espesor y se tienesimetría térmica con respecto al plano central. 2. Las propiedades térmicas de los trozos de bistec y el coeficiente de transferencia de calor son constantes. 3. El número de Fourier es Ƭ > 0.2, de modo que pueden aplicarse las soluciones aproximadas de un término.

MODELO MATEMÁTICO 1 𝑘 = 𝐵𝑖 ℎ𝐿 𝑇(𝐿, 𝑡) − 𝑇∞ 𝑇𝑂 − 𝑇∞

SIMBOLOGÍA 𝐵𝑖 = Es el número de Biot ℎ = Coeficiente de transferencia de calor 𝑇0 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑇1 = Temperatura inicial 𝑇∞ =Tempratura medio ambiente

α =Es la difusividad térmica del material τ=

Número de Fourier

RESOLUCION 𝑋 0.5𝑖𝑛 = =1 𝐿 0.5𝑖𝑛 𝑇(𝐿, 𝑡) − 𝑇∞ 35 − 5 = = 0.75 𝑇𝑂 − 𝑇∞ 45 − 5

1 𝑘 = = 1.5 𝐵𝑖 ℎ𝐿

Lo cual da 1 𝑘 ℎ= = 1.5 𝐿

0.26Btu ∙ ft ∙ °F h = 4.16 Btu/h ∙ ft ∙ °F 0.5 1.5( ) 12𝑓𝑡

2. 4.12 El refrigerante 134a en un cilindro se calienta a presión constante hasta que su temperatura aumenta a un valor especificado. El trabajo de frontera realizado durante este proceso está por determinar. Suposiciones El proceso es cuasi- equilibrio. .

Propiedades Al observar que la presión permanece constante durante este proceso, los volúmenes específicos en los estados inicial y final son. Análisis: El trabajo delimitador se determina a partir de su definición Discusión. El signo positivo indica que el trabajo es realizado por el sistema.

P= presión KPa V1=

𝑝1 = 900𝐾𝑃𝑎 𝑣1 = 𝑣𝑓@900𝐾𝑃𝑎 =

0.0008580𝑚3 𝑘𝑔

𝑝2 = 900𝐾𝑃𝑎 𝑣2 = 𝑣2 =

𝑚=

0.02741𝑚3 𝑘𝑔

𝑣1 0.2𝑚3 = 𝑣2 0.0008580𝑚3 /𝐾𝑔

2

𝑊𝑏.𝑐𝑜𝑢𝑡 = ∫ 𝑃𝐷𝑣 = 𝑃(𝑣2 − 𝑣1 ) = 𝑚𝑃(𝑣2 − 𝑣1 ) 1

= (233.1𝑘𝑔)(0.027413 − 0.0008580)𝑚3 /𝐾𝑔 (

1 𝑘𝑔 ) 1𝐾𝑃𝑎𝑚3

= 5571𝐾𝐽

EJERCICIO 4 (4.7) Considere una papa que se cuece en un horno mantenido a una temperatura constante. Se observa que la temperatura de la papa se eleva en 5°C durante el primer minuto. Durante el segundo minuto, ¿la temperatura aumentará menos de 5°C, los mismos 5°C o más de 5°C? ¿Por qué?

El aumento de temperatura de la papa durante el segundo minuto será inferior a 5 ° C, ya que la temperatura de un cuerpo se aproxima asintóticamente a la temperatura del medio circundante y, por lo tanto, cambia rápidamente al principio, pero lentamente más adelante. PROBLEMA 5(4-8C) Considere una esfera y un cilindro de volumen igual hechos de cobre. Tanto la esfera como el cilindro están al principio a la misma temperatura y se exponen a convección en el mismo medio ambiente. ¿Cuál piensa usted que se enfriará más rápido, el cilindro o la esfera? ¿Por qué? Tema: Transferencia de calor y masa Interpretacion

El cilindro se enfriará más rápido que la esfera ya que la tasa de transferencia de calor es proporcional al área de superficie,

y la esfera tiene el área más pequeña para un volumen dado. En que medio es más probable que pueda aplicarse el análisis dee sistemas concentrados: en el agua o en el aire.

PROBLEMA 6(4-52)

PLANTEAMIENTO: En el Libro de cocina de Betty Crocker, se afirma que una costilla de 3.2 kg inicialmente a 4.5°C tarda 2 h 45 min para asarse hasta un término de casi cruda, en un horno mantenido a 163°C. Se recomienda usar un termómetro para carne con el fin de controlar la cocción y se considera que la costilla está en un término de casi cruda cuando el termómetro insertado en el centro de la parte más gruesa de la carne registra 60°C. La costilla se puede considerar como un objeto esférico homogéneo con las propiedades 𝜌

=

1200𝐾𝑔 𝑚3

, 𝐶𝑝 =

4.1 𝐾𝑗 𝐾𝑔

∙ °C, k =

0.45W m

∙

°C y α = 0.91𝑥10−7 𝑚2 /𝑠. Determine a) el coeficiente de transferencia de calor por convección en las superficies de la costilla, b) la temperatura de la superficie de la costilla cuando está cocida, y c) la cantidad de calor transferido a ella. d) Con los valores obtenidos, prediga cuánto tiempo pasará para asar esta costilla hasta un término “medio”, lo cual ocurre cuando la temperatura en las partes más internas de ella llega a 71°C. Compare su resultado con el valor dado de 3 h 20 min. Si la costilla asada va a estar sobre el mostrador durante más o menos 15 min antes de rebanarla, se recomienda que se saque del horno cuando el termómetro registre alrededor de 4°C por debajo del valor indicado, porque la costilla seguirá cociéndose incluso después de haberse sacado. ¿Está usted de acuerdo con esta recomendación?

DATOS ESQUEMA

SUPUESTOS 1. La costilla es un objeto esférico homogéneo.

2. La conducción de calor en la costilla es unidimensional debido a la simetría del punto medio. 3. Las propiedades térmicas de la costilla son constantes. 4. El coeficiente de transferencia de calor es constante y uniforme en toda la superficie. 5. El número de Fourier es τ> 0.2, de modo que las soluciones aproximadas de un término (o las tablas de temperatura transitoria) son aplicables (se verificará esta suposición). MODELO MATEMÁTICO

𝑽=

𝟒 𝟑 𝝅𝒓 𝟑 𝟎

𝜏= 𝜃0,𝑠𝑝ℎ =

𝛼𝑡 𝑟𝑜2

𝑇𝑜 − 𝑇∞ 2 = 𝐴1 𝑒 −𝜆1 𝜏 𝑇𝑖 − 𝑇∞

𝑄𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑐𝑝 (𝑇𝑖 − 𝑇∞ )

SIMBOLOGÍA 𝐵𝑖 = Es el número de Biot ℎ = Coeficiente de transferencia de calor 𝑇0 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑇1 = Temperatura inicial 𝑇∞ =Tempratura medio ambiente

α =Es la difusividad térmica del material τ=

Número de Fourier

V = Volumen

ρ = Densidad m = Masa

RESOLUCION

𝒎 = 𝝆𝑽 ⟶ 𝑽 =

𝑽=

𝟑 𝟑(𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟔𝟔𝟕𝒎𝟑 ) 𝟑 𝟑𝑽 𝟒 𝟑 𝝅𝒓𝟎 ⟶ 𝒓𝟎 = √ =√ = 𝟎. 𝟎𝟖𝟔𝟎𝟑𝒎 𝟑 𝟒𝝅 𝟒𝝅

𝜏=

𝛼𝑡 = 𝑟𝑜2

𝜃0,𝑠𝑝ℎ = 𝐵𝑖 = 𝜃(𝑟0 , 𝑡)𝑠𝑝ℎ =

𝒎 𝟑. 𝟐𝒌𝒈 = = 𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟔𝟔𝟕𝒎𝟑 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒌𝒈 𝝆 𝒎𝟑

0.91 × 10−7 𝑚2 ( ) (2 × 3600 + 45 × 60)𝑠 𝑠 (0.08603𝑚)2

= 0.1217

𝑇𝑜 − 𝑇∞ 60 − 163 2 2 = 𝐴1 𝑒 −𝜆1 𝜏 ⟶ = 0.65 = 𝐴1 𝑒 −𝜆1 (0.1217) 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 4.5 − 163

ℎ𝑟𝑜 𝑘𝐵1 (0.45𝑊/𝑚 ∙ °C)(30) →ℎ= = = 156.9𝑊/𝑚2 ∙ °𝐶 𝑘 𝑟0 (0.08603𝑚)

𝑇(𝑟𝑜 , 𝑡) − 𝑇∞ sin(3.0372𝑟𝑎𝑑) 2 sin(𝜆1 𝑟/𝑟𝑜 ) 2 = 𝐴1 𝑒 −𝜆1 𝜏 = (1.9898)𝑒 −(3.0372) (0.1217) 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 𝜆1 𝑟/𝑟𝑜 3.0372 𝑇(𝑟𝑜 , 𝑡) − 163 = 0.0222 ⟶ 𝑇(𝑟𝑜 , 𝑡) = 159.5°𝐶 4.5 − 163

𝑄𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑐𝑝 (𝑇𝑖 − 𝑇∞ ) = (3.2𝐾𝑔)(4.1𝑘𝑗/𝑘𝑔 ∙ °𝐶)(163 − 4.5)°𝐶 = 2080𝑘𝑗 𝑄 𝑄𝑚𝑎𝑥

= 1 − 3𝜃0,𝑠𝑝ℎ

sin(𝜆1 ) − 𝜆1 𝐶𝑜𝑠(𝜆1 ) sin(3.0372) − (3.0372) cos(3.0372) = 1 − 3(0.65) = 0.783 (3.0372)3 𝜆13 𝑄 = 0.783𝑄𝑚𝑎𝑥 = (0.783)(2080𝑘𝑗) = 1629𝑘𝑗

𝜃0,𝑠𝑝ℎ =

𝑇𝑜 − 𝑇∞ 71 − 163 2 2𝜏 = 𝐴1 𝑒 −𝜆1 𝜏 ⟶ = (1.9898)𝑒 −(3.0372) → 𝜏 = 0.1336 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 4.5 − 163 𝜏𝑟𝑜2 (0.1336)(0.08603𝑚)2 𝑡= = = 10.866𝑠 = 181𝑚𝑖𝑛 = 3ℎ 𝛼 (0.91 × 10−7 )

INTERPRETACION: Este resultado está cerca del valor listado de 3 horas y 20 minutos. La diferencia entre los dos resultados se debe a que el número de Fourier es inferior a 0.2 y, por lo tanto, el error en la aproximación de un término.

EJERCICIO 8 (4.54)

CONDUCCION DE CALOR EN REGIMEN TRANSITORIO

Planteamiento: Para los fines de la transferencia de calor, un huevo se puede considerar como una esfera de 6 cm de diámetro que tiene las propiedades del agua. Un huevo que está inicialmente a 8°C se deja caer en el agua hirviendo a 100°C. Se

estima que el coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie del huevo es de 800 𝑊/𝑚2 · °C. Si se considera que el huevo está cocido cuando la temperatura en su centro llega a 60°C, determine cuánto tiempo debe mantenerse en el agua hirviendo. Suposiciones: 1. El huevo es de forma esférica con un radio de r0 = 3 cm. 2.

La conducción de calor en el huevo es unidimensional debido a la simetría del punto medio.

3.

Las propiedades térmicas del huevo son constantes.

4.

El coeficiente de transferencia de calor es constante y uniforme en toda la superficie.

5.

El número de Fourier es τ> 0.2, de modo que las soluciones aproximadas de un término (o las tablas de temperatura transitoria) son aplicables (se verificará esta suposición).

Propiedades: de conductividad térmica y la difusividad de los huevos pueden ser aproximadas por el agua a temperatura ambiente para ser 𝑘 = 0607𝑊/𝑚2 ℃, α = k /pC =0.146𝑋102 𝑚2 /𝑠 (Tabla A- 9). Análisis: El número de Biot.

ℎ𝑟0 (800𝑊/𝑚2 . °𝐶) 𝐵𝑖 = = = 39.5 𝑘 (0.607𝑊/𝑚. °𝐶) Las constantes de 𝜆1 𝑦𝐴1 estas corresponde a numero biot:

𝜆1 = 3.0606 𝑦 𝐴1 = 1.9938 Entonces el numero de Fourier y el periodo del tiempo es: 𝜃0,𝑠𝑝ℎ =

𝑇0 − 𝑇∞ 60 − 100 2 2 = 𝐴1 𝑒 −𝜆1 𝑟 → = (1.9938)𝑒 −(3.0606) 𝜏 → 𝜏 = 0.1626 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 8 − 100

𝑡=

𝜏𝑟02 (0.1626)(0.03𝑚)2 = = 1002 𝑠 = 16.7 𝑚𝑖𝑛 𝛼 0.146 𝑥 10−6 𝑚/𝑠

Que es algo por debajo del valor de 0,2. Por lo tanto, la solución aproximada de un término (o las tablas de temperatura transitoria) aún se puede utilizar, en la inteligencia de que el error involucrado será un poco más del 2%. Luego, se determina que el tiempo durante el cual el huevo debe mantenerse en agua hirviendo es:

𝜋 2 (0.1626)(0.03𝑚)2 𝑡= = = 1002𝑠 = 𝟏𝟔. 𝟕𝒎𝒊𝒏 𝛼 0.146𝑥10−6 𝑚2 /𝑠

PROBLEMA 10 (4-56) PLANTEAMINETO_ENUNCIADO Las frutas cítricas son muy susceptibles al tiempo frío y la exposición prolongada a temperaturas por debajo de la de congelación puede destruirlas. Considere una naranja de 8 cm de diámetro que está en un principio a 15°C. En una noche se mueve un frente frío y la temperatura ambiente cae de manera repentina hasta _6°C, con un coeficiente de transferencia de calor por convección de 15 W/m 2· °C. Por medio de las propiedades del agua para la naranja y si las condiciones del ambiente permanecen constantes durante 4h antes de que pase el frente frío, determine si alguna parte de la naranja se congelará esa noche. DATOS 𝑻𝟏 = 𝟏𝟓°𝑪 𝑻𝟐_ = −𝟔°𝑪 𝑫𝒊𝒏𝒕 = 𝟖 𝒄𝒎 𝑸̇ = 𝟏𝟓 𝑾/𝒎 𝟐° 𝑪 ESQUEMA

SUPUESTOS 1 La naranja es de forma esférica con un diámetro de 8 cm. 2 La conducción del calor en la naranja es unidimensional. Por la simetría del punto medio. 3 Las propiedades térmicas de la naranja son constantes, y son las del agua. 4 El coeficiente de transferencia de calor es constante y uniforme en toda la superficie. 5 El número de Fourier es τ> 0.2 para que el término de un término Se aplican las soluciones aproximadas (o las tablas de temperatura transitoria) (se verificará esta suposición) MODELOS MATEMATICOS 𝐵𝑖 = Es el número de Biot ℎ = Coeficiente de transferencia de calor 𝑟𝑜 = es el radio 𝑘 = Conductividad térmica 𝑇0 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑇1 = Temperatura inicial 𝑇∞ =Tempratura medio ambiente 𝜃 = Temperatura adimensional 2

𝑒 − λ1 𝑟 = Función exponencial de decaimiento

𝐴1 = La determinación delas constantes α =Es la difusividad térmica del material τ=

Número de Fourier

RESOLUCION 𝐵𝑖

ℎ𝑟0 (15𝑊/𝑚2 . °𝐶)(0.04𝑚) = = 1.051 ≈ 1.0 𝑘 (0.571𝑊/𝑚2 . ° 𝐶)

𝜆1=1.5708 𝐴1=1.2732 𝛼𝑡 (0.136𝑥10−6 𝑚2 /𝑠)(4ℎ𝑥3600𝑠/ℎ) 𝜏 2= = 1.224 > 0.2 (0.04𝑚)2 𝑟0 𝜃(𝑟0 , 𝑡)𝑠𝑝ℎ =

𝑇(𝑟0 ,𝑡)−𝑇∞ 𝑇1 −𝑇∞

2

= 𝐴1 𝑒 −𝜆1 𝜏

𝑠𝑖𝑛(𝜆1 𝑟1 /𝑟0 ) 𝜆1 𝑟0 /𝑟0

2 (1.224)

= (1.2732𝑒 −(1.5708)

𝑠𝑖𝑛 (1.5708𝑟𝑎𝑑) 1.5708

= 0.0396

𝑇(𝑟0 , 𝑡) − (−6) = 0.0396 ⟹ 𝑇(𝑟0 , 𝑡) = −5.2°𝐶 15 − (−6) INTERPRETACION DE LA SOLUCION Se calculo que la transferencia de calor es de 0.8 ° C en este tiempo prolongado que llega a la naranja.

Ejercios 12(4.58)io Una persona pone unas cuantas manzanas en un refrigerador a 15°C con el fin de enfriarlas con rapidez para los invitados que están a punto de llegar. Inicialmente, las manzanas están a una temperatura uniforme de 20°C y el coeficiente de transferencia de calor sobre las superficies es de 8 W/m2 · °C. Visualizando las manzanas como esferas de 9 cm de diámetro y tomando sus propiedades como r = 840 kg/m3, cp = 3.81 kJ/kg · °C, k = 0.418 W/m · °C y a = 1.3 = 10.7 m2/s, determine las temperaturas en el centro y la superficie de las manzanas en 1 h. Asimismo, calcule la cantidad de transferencia de calor desde cada manzana. Datos. r = 840 kg/m3, cp = 3.81 kJ/kg · °C k = 0.418 W/m · °C 𝛼= 1.3 = 10.7 m2/s,

𝑊 ℎ𝑟0 (8 ⁄𝑚2 . ℃)(0,045𝑚) 𝐵𝑖 = = 0.861 𝑘 (0.418 𝑊⁄𝑚 . ℃) 𝜆1 = 1,476 𝑦 𝐴1 = 1.2390 ∝ 𝑡 (1,3 ∗ 10 𝜏 2 = 𝑟0

−7 𝑚2⁄

𝑠 𝑠)(1ℎ ∗ 3600 ⁄ℎ) = 0,231 > 0,2 (0,045𝑚)2

𝜃𝑜, 𝑠𝑝ℎ =

𝑇0 −𝑇∞ 𝑇1 −𝑇∞

2

= 𝐴1 𝑒 −𝜆1

sin(𝜆1 𝑟0 \𝑟0 ) 𝜆1 𝑟0 \𝑟0

= (1.239)𝑒 −(1,476)

2 (0,231)

sin(1.476𝑟𝑎𝑑) =0,505 1.476

𝑇(𝑟0 𝑡) − (−15) = 0,505 . , . . , , . , , . 𝑇(𝑟0 𝑡) = 5,2℃ 25 − (−15)

4

4

𝑚 = 𝜌𝑉 = 𝜌 3 𝜋𝑟03 = (840𝑘𝑔\𝑚3 )( 3 𝜋(0.045𝑚)3 = 0.3206𝑘𝑔 𝑄𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑐𝑝 (𝑇1 − 𝑇∞ ) = (0,3206𝑘𝑔)(3,81𝑘𝐽\𝑘𝑔. ℃)(25 − (−15))℃ = 48,9𝑘𝐽 𝑄 𝑄𝑚𝑎𝑥

= 1 − 3𝜃𝑜,𝑠𝑝ℎ

sin( 𝜆1 ) − 𝜆1 cos( 𝜆1 ) sin( 1.476𝑟𝑎𝑑) − (1,476) cos( 1.476𝑟𝑎𝑑) = 1 − 3(0,749) = 0,402 3 (1,476)13 𝜆1

𝑄 = 0,402𝑄𝑚𝑎𝑥 = (0.402)(48,9𝑘𝐽) = 19.6𝑘𝐽

PROBLEMA: 14) 4-61 ENUNCIADO Papas blancas (k =0.50 W/m · °C y α= 0.13X10-6m2/s) que están inicialmente a una temperatura uniforme de 20°C y tienen un diámetro promedio de 6 cm se van a enfriar por medio de aire refrigerado a 2°C que fluye a una velocidad de 3 m/s. Se determina experimentalmente que el coeficiente promedio de transferencia de calor entre las papas y el aire es de 19 W/m2 · °C. Determine cuánto tiempo transcurrirá para que la temperatura del centro de las papas caiga hasta 6°C. Asimismo, determine si alguna parte de las papas experimentará daños por el enfriamiento durante este proceso. DATOS k =0.50 W/m · °C α= 0.13X10-6m2/s

d=6cm A refrigerado=2°C V=3m/s Cp=19 W/m2 · °C

GRAFICA.

SUPUESTOS: 1.- Las papas son de forma esférica con un radio de r0 = 3 cm. 2.- La conducción de calor en la papa es unidimensional en la dirección radial debido a la simetría del punto medio. 3.- Las propiedades térmicas de la papa son constantes. 4.- El coeficiente de transferencia de calor es constante y uniforme en toda la superficie.

5.- El número de Fourier es τ> 0.2, de modo que las soluciones aproximadas de un término (o los gráficos de temperatura transitoria) son aplicables (se verificará esta suposición) MODELO MATEMÁTICO 𝐵𝑖 = 𝜃0,𝑠𝑝ℎ = 𝑡= SIMBOLOGÍA 𝐵𝑖 = Es el número de Biot ℎ = Coeficiente de transferencia de calor 𝑟𝑜 = es el radio 𝑘 = Conductividad térmica 𝑇0 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎

τ𝑟 20 α

ℎ𝑟0 𝑘

𝑇0 − 𝑇∞ 2 = 𝐴1 𝑒 − λ1 𝑟 𝑇1 − 𝑇∞

𝑇1 = Temperatura inicial 𝑇∞ =Tempratura medio ambiente 𝜃 = Temperatura adimensional 2

𝑒 − λ1 𝑟 = Función exponencial de decaimiento 𝐴1 = La determinación delas constantes α =Es la difusividad térmica del material τ = Número de Fourier EJERCICIO RESUELTO 19𝑊 ℎ𝑟𝑜 ( 𝑚2 ∙ °C) (0.03𝑚) 𝐵𝑖 = = = 1.14 0.5𝑊 𝑘 𝑚 ∙ °C 𝑇𝑜 − 𝑇∞ 6−2 2 2𝜏 𝜃𝑜 = = 𝐴1 𝑒 −𝜆1 𝜏 ⟶ = 1.302𝑒 −(1.635) ⟶ 𝜏 = 0.661 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 20 − 2 𝛼𝑡 𝜏𝑟𝑜2 (0.661)(0.03𝑚)2 𝜏= 2⟶𝑡= = = 4579𝑠 = 1.27ℎ 0.13Χ10−6 𝑚2 𝑟𝑜 𝛼 𝑠 𝑇(𝑟) − 𝑇∞ sin (𝜆 𝑟/𝑟 ) 𝑇(𝑟) − 𝑇∞ sin(𝜆1 𝑟/𝑟𝑜 ) 𝑇𝑜 − 𝑇∞ sin(𝜆1 𝑟/𝑟𝑜 ) 2 1 𝑜 = 𝐴1 𝑒 −𝜆1 𝜏 ⟶ = 𝜃𝑜 = 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 𝜆1 𝑟/𝑟𝑜 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 𝜆1 𝑟/𝑟𝑜 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 𝜆1 𝑟/𝑟𝑜 𝑇(𝑟𝑜 ) − 2 6 − 2 sin(1.635 𝑟𝑎𝑑) =( ) ⟶ 𝑇(𝑟𝑜 ) = 4.44°C 20 − 2 20 − 2 1.635 0.5𝑊 1 𝑘 𝑚 ∙ °C = = = 0.877 𝐵𝑖 ℎ𝑟𝑜 (19𝑊 ∙ °C) (0.03𝑚) 𝑚2 𝑇𝑜 − 𝑇∞ 6−2 = = 0.222 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 20 − 2 𝜏=

𝛼𝑡 = 0.65 𝑟𝑜2

𝜏𝑟𝑜2 (0.65)(0.03𝑚)2 𝑡= = = 4500𝑠 = 1.25ℎ 0.13Χ10−6 𝑚2 𝛼 𝑠 1 𝑘 = = 0.877 𝐵𝑖 ℎ𝑟𝑜 𝑟 =1 𝑟𝑜 𝑇(𝑟) − 𝑇∞ = 0.6 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 𝑇𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 = 𝑇∞ + 0.6(𝑇𝑜 − 𝑇∞ ) = 2 + 0.6(6 − 2) = 4.4°C

Interpretación.La ligera diferencia entre los dos resultados se debe al error de lectura de los gráficos. 15: 4.62 Los pollos deben enfriarse manteniéndolos en salmuera agitada durante 2,75 h. Se deben determinar las temperaturas centrales y de la superficie de los pollos, y si alguna parte de los pollos se congelará durante este proceso de enfriamiento, se evaluará. SUPOSICIONES : Los pollos son de forma esférica. 2 La conducción de calor en los pollos es unidimensional en la dirección radial debido a la simetría del punto medio. 3 Las propiedades térmicas de los pollos son constantes. 4 El coeficiente de transferencia de calor es constante y uniforme en toda la superficie. 5 El número de Fourier es τ> 0.2, de modo que las soluciones aproximadas de un término (o las tablas de temperatura transitoria) son aplicables (se verificará esta suposición). 6 Los efectos de cambio de fase no se consideran, y por lo tanto las temperaturas reales serán mucho más altas que los valores determinados, ya que una parte considerable del proceso de enfriamiento ocurrirá durante el cambio de fase (congelación de pollo). Propiedades La conductividad térmica, la difusividad térmica y la densidad de los pollos se consideran k = 0,45 W / m⋅ ° C, α = 0,13 × 10-6 m2 / s, y ρ = 950 kg / m3. Estas propiedades se utilizarán tanto para pollos frescos como congelados. Análisis Primero encontramos el volumen y el radio equivalente de los pollos:

Grafico:

Datos:

𝑉=

𝑚 0.95𝑔 = 1700𝑔 ( ) = 1789𝑐𝑚³ 𝜌 𝑐𝑚3

3 1 1 ̸ 3 3 𝑟ₒ = ( 𝑣) /3 = ( ) = 7.53𝑐𝑚 = 0.0753𝑚 4𝜋 4𝜋1789𝑐𝑚3

Tenga en cuenta que 2.02270.0> = τ, y por lo tanto, la solución de un término es aplicable. De la Tabla 4-2 leemos, para una esfera, λ1 = 3.094 y A1 = 1.998. Sustituyendo estos valores en la solución de un término da 𝜃𝑜 = 𝑇𝑜 −

𝑇∞ −7 −7 − 𝑇𝛼 = 𝐴𝑙𝑒ˉ𝜆2 ˉ1 𝑟 → 𝑇𝑜 − − − (−7) = 1.998℮ˉ(3.094)2 (0.2270) = 0.2274 → 𝑇𝑜 𝑇𝑖 15 15 = −2.0°𝑐

La temperatura más baja durante el enfriamiento se producirá en la superficie (r / ro = 1), y se determina que es: λ1r ro λ1r → T(ro) − Tα − Tα = θo sin (λ1ro) ro Ti ro λ1ro 21 T(r) − T∞ − T∞ = Aleˉλ rsin( = To − T∞ − T Ti ro Ti ⋈ sin

𝜆1𝑟𝑜 𝑟𝑜 𝜆1𝑟𝑜

/𝑟𝑜

Sustituyendo: 𝒓(𝒓𝒐) −

𝟕− 𝟑. 𝟎𝟗𝟒𝒓𝒂𝒅 − (−𝟕) = 𝟎. 𝟐𝟐𝟕𝟒 𝒔𝒊𝒏 . 𝟎𝟗𝟒 → 𝑻(𝒓𝒐) = −𝟔. 𝟗°𝒄 𝟏𝟓 𝟑

La mayoría de las partes del pollo se congelarán durante este proceso, ya que el punto de congelación del pollo es -2.8 ° C. Discusión También podríamos resolver este problema utilizando tablas de temperatura transitoria, pero los datos en este caso caen en un punto de la tabla que es muy difícil de leer: 𝑡

𝑟 =∝ 𝑟 2 𝑜 = (0.13 ×

10ˉ6 𝑚2 𝑠

×

2.75×3600𝑠 0.0753m2

= 0.227} To −

T∞ Ti

− T∞ = 0.15.030? ?

𝑙 𝐾 0.45𝑤 𝑐 = = ° = 0.0136 440𝑤 𝐵𝑖 ℎ𝑟𝑜 𝑚 ( 2 °. 𝑐) (0.0753𝑚) 𝑚

EJERCICIO 16 (4.63) Una res abierta en canal (k 0.47 W/m · °C y a 0.13 106 m2/s) de 65 kg, inicialmente a una temperatura uniforme de 37°C se va a enfriar por medio de aire refrigerado a –10°C que fluye a una velocidad de 1.2 m/s. El coeficiente promedio de transferencia de calor entre la carne y el aire es de 22 W/m2 · °C. Visualizando la res como un cilindro de 24 cm de diámetro y 1.4 m de altura, y descartando la transferencia de calor desde las superficies de la base y la parte superior, determine cuánto tiempo transcurrirá para que la temperatura del centro caiga hasta 4°C. Asimismo, determine si alguna parte de la res se congelará durante este proceso. La temperatura central de una canal de carne de vacuno debe reducirse a 4 ° C durante el enfriamiento. Se determinará el tiempo de enfriamiento y si alguna parte de la carcasa sufrirá lesiones por congelación durante este proceso de enfriamiento.

Supuestos 1 La carcasa de carne de res puede ser aproximada como un cilindro con superficies superior e inferior aisladas con un radio de 𝑟0 = 12 cm y una altura de H = 1.4 m. 2 La conducción de calor en la carcasa es unidimensional en la dirección radial debido a la simetría de la línea central. 3 Las propiedades térmicas de la carcasa son constantes. 4 El coeficiente de transferencia de calor es constante y uniforme en toda la superficie.

5 El número de Fourier es τ> 0.2, de modo que las soluciones aproximadas de un término (o las tablas de temperatura transitoria) son aplicables (se verificará esta suposición). Propiedades La conductividad térmica y la difusividad térmica de la carcasa se dan para ser

𝑊

𝑘 = 0,47 𝑚 ∙ °𝐶 𝑦 𝛼 =

0,13𝑋10−6 𝑚2 /𝑠.

Análisis Primero encontramos el número de Biot: 𝒉𝒓𝟎 (𝟐𝟐𝑾/𝒎𝟐 ∙ °𝑪)(𝟎, 𝟏𝟐𝒎) 𝑩𝒊 = = = 𝟓, 𝟔𝟐 𝒌 𝟎. 𝟒𝟕𝑾/𝒎 ∙ °𝑪 De la Tabla 4-2 leemos, para un cilindro, 𝜆1 = 2.027 y 𝐴1 = 1.517. Sustituyendo estos valores en la solución de un término da 𝜽𝟎 =

𝑻𝟎 − 𝑻∞ 𝟒 − (−𝟏𝟎) 𝟐 𝟐 = 𝑨𝟏 𝒆−𝝀𝟏 𝒓 → = 𝟏. 𝟓𝟏𝟕𝒆−(𝟐,𝟎𝟐𝟕) 𝒓 → 𝒓 = 𝟎, 𝟑𝟗𝟔 𝑻𝒊 − 𝑻∞ 𝟑𝟕 − (−𝟏𝟎)

Que es mayor que 0.2 y por lo tanto la solución de un solo término es aplicable. Entonces el tiempo de enfriamiento se convierte en

𝜶𝒕 𝜸𝒓𝟐𝟎 (𝟎, 𝟑𝟗𝟔)(𝟎, 𝟏𝟐𝒎)𝟐 𝒓= 𝟐→𝒕= = = 𝟒𝟑, 𝟖𝟔𝟓𝒔 = 𝟏𝟐, 𝟐𝒉 𝜶 𝟎, 𝟏𝟑𝑿𝟏𝟎−𝟔 𝒎𝟐 /𝒔 𝒓𝟎 La temperatura más baja durante el enfriamiento se producirá en la superficie (𝑟/𝑟0= 1), y se determina que es

𝑻𝟎 − 𝑻∞ 𝝀𝟏 𝒓 𝑻(𝒓𝟎 ) − 𝑻∞ 𝝀𝟏 𝒓 𝑻𝟎 − 𝑻∞ 𝝀𝟏 𝒓 𝟐 = 𝑨𝟏 𝒆−𝝀𝟏 𝒓 𝑱𝟎 ( )→ 𝜽𝟎 𝑱𝟎 ( )= 𝑱𝟎 ( ) 𝑻𝒊 − 𝑻∞ 𝒓𝟎 𝑻𝒊 − 𝑻∞ 𝒓𝟎 𝑻𝒊 − 𝑻∞ 𝒓𝟎

Sustituyendo,

𝑻(𝒓𝟎 ) − (−𝟏𝟎) 𝟒 − (−𝟏𝟎) =( ) 𝑱 (𝝀 ) = 𝟎, 𝟐𝟗𝟕𝟗𝑿𝟎. 𝟐𝟎𝟖𝟒 𝟑𝟕 − (−𝟏𝟎) 𝟑𝟕 − (𝟏𝟎) 𝟎 𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟔𝟐𝟏 → 𝑻(𝒓𝟎 ) = −𝟕, 𝟏°𝑪

Que está por debajo de la temperatura de congelación de -1.7 ° C. Por lo tanto, la parte exterior de la carcasa de carne de res se congelará durante este proceso de enfriamiento. Solución alternativa También podríamos resolver este problema utilizando tablas de temperatura transitoria de la siguiente manera:

𝟏 𝒌 𝟎, 𝟒𝟕𝑾/𝒎 ∙ °𝑪 𝜶𝒕 = = 𝟎. 𝟏𝟕𝟖𝒓 = = 𝟎, 𝟒 𝑩𝒊 𝒉𝒓𝟎 (𝟐𝟐𝑾/𝒎𝟐 ∙ °𝑪)(𝟎. 𝟏𝟐𝒎) 𝒓𝟐𝟎 𝑻𝟎 − 𝑻∞ 𝟒 − (𝟏𝟎) = = 𝟎, 𝟐𝟗𝟖 𝑻𝒊 − 𝑻∞ 𝟑𝟕 − (−𝟏𝟎)

Por lo tanto

𝜸𝒓𝟐𝟎 (𝟎, 𝟒)(𝟎. 𝟏𝟐𝒎)𝟐 𝒕= = = 𝟒𝟒, 𝟑𝟎𝟖𝒔 ≅ 𝟏𝟐, 𝟑𝒉 𝜶 𝟎. 𝟏𝟑𝑿𝟏𝟎−𝟔 𝒎𝟐 /𝒔 La temperatura de la superficie se determina a partir de 𝟏 𝑩𝒊

=

𝒌 𝒉𝒓𝟎

= 𝟎, 𝟏𝟕𝟖

𝑻(𝑹)−𝑻∞ 𝑻𝟎 −𝑻∞

= 𝟎, 𝟏𝟕

𝒓 =𝟏 𝒓𝟎

Lo que da 𝑻𝒔𝒖𝒑𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆 = 𝑻∞ + 𝟎, 𝟏𝟕(𝑻𝟎 − 𝑻∞ ) = −𝟏𝟎 + 𝟎, 𝟏𝟕[𝟒 − (−𝟏𝟎)] = −𝟕, 𝟔°𝑪

La diferencia entre los dos resultados se debe al error de lectura de los gráficos. PROBLEMA 18) :4-65 ENUNCIADO Capas de trozos de carne (k _ 0.26 Btu/h · ft · °F y a _ 1.4 _ 10_6 ft2/s) de 6 in de espesor, inicialmente a una temperatura uniforme de 50°F se van a enfriar por medio de aire refrigerado a 23°F hasta una temperatura de 36°F en su centro, en 12 h. Estime el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección durante este proceso de enfriamiento. DATOS k =0.26 Btu/h in=6 T1=50°F T2=36°F A refrigerado=23°F t=12h

GRAFICA.

SUPUESTOS: 1.- Las losas de carne se pueden aproximar como paredes planas muy grandes de medio espesor L = 3 pulgadas. 2.- La conducción de calor en las placas de carne es unidimensional debido a la simetría del plano central. 3.- Las propiedades térmicas de las losas de carne son constantes. 4.- El coeficiente de transferencia de calor es constante y uniforme en toda la superficie.

5.- El número de Fourier es τ> 0.2, de modo que las soluciones aproximadas de un término (o las tablas de temperatura transitoria) son aplicables (se verificará esta suposición).

MODELO MATEMÁTICO 𝑩𝒊 = 𝜽𝟎,𝒔𝒑𝒉 = 𝒕=

𝒉𝒓𝟎 𝒌

𝑻𝟎 − 𝑻∞ 𝟐 = 𝑨𝟏 𝒆 − 𝛌𝟏 𝒓 𝑻𝟏 − 𝑻∞ 𝟐 𝟎

𝛕𝒓 𝛂

SIMBOLOGÍA 𝑩𝒊 = Es el número de Biot 𝒉 = Coeficiente de transferencia de calor 𝒓𝒐 = es el radio 𝒌 = Conductividad térmica 𝑻𝟎 = 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒆𝒓𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂 𝑻𝟏 = Temperatura inicial 𝑻∞ =Tempratura medio ambiente 𝜽 = Temperatura adimensional 𝟐

𝒆 − 𝛌𝟏 𝒓 = Función exponencial de decaimiento 𝑨𝟏 = La determinación delas constantes 𝛂 =Es la difusividad térmica del material 𝛕 = Número de Fourier

EJERCICIO RESUELTO 𝛼𝑡 𝑡 2= 𝐿

(1.4 ∗

6

10 𝑠

𝑓𝑡

) (12 ∗ 3600𝑠)

3 2 ( ) 12𝑓𝑡

= 0.968

𝑇0 − 𝑇∞ 36 − 23 = = 0.481 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 50 − 23 1 = 0.7 𝐵𝑖 ℎ=

𝑘𝑏𝑖 (0.26𝐵𝑡𝑢\. ˚𝐹)(1\0.7) = = 1.5𝐵𝑡𝑢\ℎ. 𝑓𝑡². ˚𝐹 𝑙 (3\12)𝑓𝑡

Interpretación.Podríamos evitar la incertidumbre asociada con la lectura de las tablas y obtener un resultado más preciso utilizando la relación de solución de un término para una pared plana infinita, pero requeriría un enfoque de prueba y error ya que el número Bi no se conoce 19.- 4-66 Naranjas (𝑘 = 0.26𝐵𝑡𝑢/ℎ. 𝑓𝑡. °𝐹 y 𝛼 = 1.4𝑥10−6 𝑓𝑡 2 /𝑠) de 2.5 de in de diámetro, inicialmente a una temperatura uniforme de 78 °F se van a enfriar por medio de aire refrigerado a 25°F que fluye a una velocidad de 1 ft/s. Se determina experimentalmente que el coeficiente promedio de transferencia de calor entre las naranjas y el aire es de 4.6

𝐵𝑡𝑢 ℎ

. 𝑓𝑡 2 . °𝐹 Determine cuánto tiempo transcurrirá para que la temperatura del centro de las naranjas caiga

hasta 40°F. Asimismo, determine si alguna parte de las naranjas se congelará durante este proceso.

Datos: 𝑘 = 0.26𝐵𝑡𝑢/ℎ. 𝑓𝑡. °𝐹 𝛼 = 1.4𝑥10−6 𝑓𝑡 2 /𝑠) d = 2.5 de in 𝑇0 = 78°𝐹 𝑇𝑓= 25°𝐹 𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 1𝑓𝑡/𝑠 ℎ = 4.6

𝐵𝑡𝑢 ℎ

. 𝑓𝑡 2 . °𝐹

ESQUEMA:

Suposiciones: 1.- Las naranjas son de forma esférica con un radio de 𝑟0 =1.25 in = 0.1042 ft. 2.- La conducción de calor en la naranja es unidimensional en la dirección radial debido a la simetría del punto medio. 3.- Las propiedades térmicas de la naranja son constantes. 4.- El coeficiente de transferencia de calor es constante y uniforme en toda la superficie. 5.- El número de Fourier es 𝜏> 0.2, de modo que las soluciones aproximadas de un término (o las tablas de temperatura transitoria) son aplicables (se verificará esta suposición). EXPRESIONES MATEMATICAS: 𝐵𝑖 = 𝜃0 =

ℎ𝑟0 = 𝑘

𝑇0 − 𝑇∞ 2 = 𝐴1 𝑒 −𝜆1 𝜏 𝑇𝑖 − 𝑇∞

𝛼𝑡 𝜋02 𝜏= 2→𝑡= 𝛼 𝑟0 𝑇(𝑟) − 𝑇∞ 𝑇(𝑟𝑜 ) − 𝑇∞ sin(𝜆1 𝑟/𝑟0 ) 𝑇0 − 𝑇∞ sin(𝜆1 𝑟/𝑟0 ) 2 sin(𝜆1 𝑟/𝑟0 ) = 𝐴1 𝑒 −𝜆1 𝜏 → = 𝜃0 = 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 𝜆1 𝑟/𝑟0 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 𝜆1 𝑟/𝑟0 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 𝜆1 𝑟/𝑟0

RESOLUCION: Primero encontramos el número de Biot: 𝐵𝑡𝑢 2 ℎ𝑟0 (4.6 ℎ . 𝑓𝑡 . °𝐹)(1.25/12𝑓𝑡) 𝐵𝑖 = = = 1.843 𝑘 0.26 𝐵𝑡𝑢/ℎ. 𝑓𝑡. °𝐹 𝜆 = 1.9569 𝑦 𝐴1 = 1.447 Sustituyendo estos valores en la solución de un término da: 𝜃0 =

𝑇0 − 𝑇∞ 40 − 25 2 2𝜏 = 𝐴1 𝑒 −𝜆1 𝜏 → = 1.447𝑒 −(1.9569) → 𝜏 = 0.426 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 78 − 25

Que es mayor que 0.2 y por lo tanto la solución de un solo término es aplicable. Entonces el tiempo de enfriamiento se convierte en 𝛼𝑡 𝜋2 𝜏= 2→𝑡= 0 𝛼 𝑟0

=

(0.426)(1.25/𝑓𝑡) 2

1.4𝑥10−6𝑓𝑡 /𝑠

2

= 3302 𝑠 = 𝟓𝟓. 𝟎 𝒎𝒊𝒏

La temperatura más baja durante el enfriamiento se producirá en la superficie (r / 𝑟0 = 1), y se determina que es: 𝑇(𝑟) − 𝑇∞ 𝑇(𝑟𝑜 ) − 𝑇∞ sin(𝜆1 𝑟/𝑟0 ) 𝑇0 − 𝑇∞ sin(𝜆1 𝑟/𝑟0 ) 2 sin(𝜆1 𝑟/𝑟0 ) = 𝐴1 𝑒 −𝜆1 𝜏 → = 𝜃0 = 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 𝜆1 𝑟/𝑟0 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 𝜆1 𝑟/𝑟0 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 𝜆1 𝑟/𝑟0

Sustituyendo: 𝑇(𝑟0 ) − 25 40 − 25 sin(1.9569)𝑟𝑎𝑑 =( ) → 𝑇(𝑟0 ) = 32.1°𝐹 78 − 25 78 − 25 1.9569 INTERPRETACION:

La temperatura de congelación esta por encima de 31 ° F para las naranjas. Por lo tanto, ninguna parte de las naranjas se congelará durante este proceso de enfriamiento.

PROBLEMA 20(4-84) PLANTEAMIENTO: 52W

Un recipiente grande de hierro fundido (k = m ∙ °C y α = 1.70𝑥10−5 𝑚2 /𝑠.) con paredes de 4 cm de espesor está inicialmente a una temperatura uniforme de 0°C y lleno con hielo a 0°C. Ahora las superficies exteriores del recipiente se exponen a agua caliente a 55°C con un coeficiente de transferencia de calor muy grande. Determine cuánto tiempo pasará para que el hielo del interior empiece a fundirse. Asimismo, si el coeficiente de transferencia de calor por convección sobre la superficie del recipiente es 250 W/m2 · °C, determine la razón de la transferencia de calor hacia el hielo a través de una sección de la pared de 1.2 m de ancho y 2 m de alto, cuando se alcanzan las condiciones estacionarias de operación. Suponga que el hielo empieza a fundirse cuando la temperatura de su superficie interior se eleva hasta 0.1°C. ESQUEMA

SUPUESTOS 1. La temperatura en las paredes del contenedor se ve afectada por las condiciones térmicas solo en las superficies externas y el coeficiente de transferencia de calor por convección del exterior es muy grande.

Por lo tanto, se puede considerar que la pared es un medio semi-infinito con una temperatura de superficie específica. 2. Las propiedades térmicas de la pared son constantes.

MODELO MATEMÁTICO

SIMBOLOGÍA 𝑇0 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑇1 = Temperatura inicial

α =Es la difusividad térmica del material τ=

Número de Fourier

𝑇𝑠 = 𝑃omedio aritmético

RESOLUCION 𝑇(𝑥, 𝑡) − 𝑇𝑖 𝑥 = 𝑒𝑟𝑓𝑐 ( ) 𝑇𝑠 − 𝑇𝑖 2√𝛼𝑡 𝑇(𝑥, 𝑡) − 𝑇𝑖 0.1 − 0 = = 0.00182 ⟶ 0.00182 = 𝑒𝑟𝑓𝑐(2.206) 𝑇𝑠 − 𝑇𝑖 55 − 0 𝑥 2√𝛼𝑡

= 2.206 → 𝑡 = 𝑅𝑐𝑜𝑛,𝑖 =

(0.04𝑚)2 𝑥2 = = 4.84𝑠 4 × (2.206)2 𝛼 4(2.206)2 (1.7 × 10−5 𝑚2 /𝑠)

1 0.04𝑚 = = 0.00167°C/W ℎ𝑖 𝐴 (250𝑊/𝑚2 ∙ °C)(1.2 × 2𝑚2 )

𝑅𝑤𝑎𝑙𝑙 =

1 1 = = 0.00032°C/W 2 𝑘𝐴 (52𝑊/𝑚 ∙ °C)(1.2 × 2𝑚2 ) 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,0 =

1 1 = = 0°C/W ℎ0 𝐴 (∞)(1.2 × 2𝑚2 )

𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙= 𝑅𝑐𝑜𝑛,𝑖 + 𝑅𝑤𝑎𝑙𝑙 + 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,0 + 0.00167 + 0.00032 + 0 = 0.00199°

C W

𝑄̇ =

𝑇2 − 𝑇1 (55 − 0)°C = = 27.600𝑊 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 0.00199°C/W

EJERCICIOS: 21: 4-103: Los tipos comunes de microorganismos son bacterias, levaduras, mohos y virus. Los cambios indeseables causados por los microorganismos son sabores desagradables y colores, producción de limo, cambios en la textura y apariencia, y el deterioro de los alimentos. 23.- 4-105 ¿Cuáles son los factores ambientales que afectan la velocidad de desarrollo de los microorganismos en los alimentos? Los factores ambientales que afectan la tasa de crecimiento de los microorganismos son la temperatura, la humedad relativa, el nivel de oxígeno del ambiente y el movimiento del aire. 29.- 4-111 ¿Cómo afecta la velocidad de la congelación la suavidad, el color y el goteo de la carne durante la descongelación? La tasa de congelación puede afectar el color, la sensibilidad y el goteo. La congelación rápida aumenta la sensibilidad y reduce el daño al tejido y la cantidad de goteo después de la descongelación. 72.- 9-27 Está hirviendo agua en una cacerola de 12 cm de profundidad con un diámetro exterior de 25 cm, que está colocada sobre la parte superior de una estufa. El aire ambiente y las superficies circundantes están a una temperatura de 25°C y la emisividad de la superficie exterior de la cacerola es 0.80. Suponiendo que toda la cacerola está a una temperatura promedio de 98°C, determine la razón de la pérdida de calor desde la superficie lateral cilíndrica de la misma hacia los alrededores por a) convección natural y b) radiación. c) Si el agua está hirviendo a razón de 1.5 kg/h a 100°C, determine el cociente entre calor perdido desde la superficie lateral de la cacerola y el perdido por la evaporación del agua. El calor de vaporización del agua a 100°C es de 2257 kJ/kg. DATOS: D: 12cm y 25 de profundidad 𝑇1 = 25°𝐶 𝑇2 = 98°𝐶

̇ 𝑎100°𝐶 𝑄 = 1.5𝑘𝑔/ℎ El calor de vaporización del agua a 100°C es de 2257 kJ/kg.

ESQUEMA:

SUPOSICIONES: 1.- Existen condiciones operativas estables. 2.- El aire es un gas ideal con propiedades constantes.

3.- La presión atmosférica local es de 1 atm. EXPRESIONES MATEMATICAS 𝟏

(𝑻𝒔 + 𝑻∞ )/𝟐

𝜷=𝑻

𝒇

𝑔𝛽(𝑇𝑠 − 𝑇∞ 𝑣2

𝑅𝑎 = 35𝐿 𝐺𝑟 1/4

RESOLUCION: (Ts +T∞ ) 2

=

98+25 2

= 61.5°C k = 0.02819 W/m°C v = 1.910x10−5 m2 /s Pr = 0.7198 β=

1 1 = = 0.00299K −1 Tf (61.5 + 273)

La longitud característica en este caso es la altura de la sartén,𝐿𝑐 = 𝐿 = 0.12𝑚 entonces: 𝑚2 (9.81 𝑠 ) (0.00299K −1 )(98 − 25𝐾)(0.12𝑚)3 𝑔𝛽(𝑇𝑠 − 𝑇∞ 𝑹𝒂 = 𝑃𝑟 = = (0.7198) = 7.299𝑥106 𝑣2 (1.910x10−5 m2 /𝑠)2 Podemos tratar este cilindro vertical como una placa vertical ya que: 35𝐿 𝐺𝑟 1/4

35(0.12)

35𝐿

= (7.299𝑥106 /0.7198)1/4 = 0.07443 < 0.25 Y por lo tanto 𝐷 ≥ 𝐺𝑟 1/4

Por lo tanto:

𝑘 ℎ = 𝑁𝑢 = 𝐿

0.02819𝑊 . °𝐶 𝑚 (28.60) = 6.720 𝑊/𝑚2 . °𝐶 0.12𝑚

𝐴1 = 𝜋𝐷𝐿 = 𝜋(0.25𝑚)(0.12𝑚) = 0.09425𝑚2 Y 6.720𝑊 𝑄̇ = ℎ𝐴𝑠 (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) = ( . °𝐶) (0.09425𝑚2 )(98 − 25)°𝐶 = 46.2𝑊 𝑚2 La pérdida de calor por radiación de la sartén es 𝑄𝑟𝑎𝑑 = 𝜀𝐴𝑠𝜎 (𝑇𝑠̇ 4 − 𝑇𝑠𝑜𝑙𝑡𝑎𝑟)4 =

(0.80)(0.09425𝑚2 )

5.67𝑥10−8 𝑊 4 ( . 𝐾 ) [(98 + 273𝐾)4 − (25 + 273𝐾)4 ] = 47.3𝑊 𝑚2

La pérdida de calor por evaporación del agua es: ̇ 𝑘𝑗/𝑘𝑔) = 0.9404 𝑘𝑊 = 940𝑊 𝑄 = 𝑚̇ℎ𝑓𝑔 = (1.5/3600 𝑘𝑔/𝑠)(2257 Luego, la relación entre la pérdida de calor de las superficies laterales de la sartén y la evaporación del agua se convierte en: 𝑓=

46.2 + 47.3 = 0.099 = 𝟗. 𝟗% 940

PROBLEMA 24 (4-106) PLANTEAMINETO_ENUNCIADO ¿Cuál es el efecto de la cocción sobre los microorganismos en los alimentos? ¿Por qué es importante que la temperatura interna de un asado en un horno se eleve a más de 70°C? La cocción mata los microorganismos en los alimentos y, por lo tanto, evita el deterioro de los alimentos. Es importante elevar la interna.

La temperatura de un asado en un horno a más de 70ºC ya que la mayoría de los microorganismos, incluidos algunos que causan enfermedades, pueden sobrevivir. Temperaturas inferiores a 70ºC.

EJERCICIO 26(4.108) ¿Cómo afectan a) el movimiento del aire, y b) la humedad relativa del medio ambiente el desarrollo de los microorganismos en los alimentos?

(a) El movimiento de aire elevado retarda el crecimiento de microorganismos en los alimentos al mantener las superficies de los alimentos secas y creando un ambiente indeseable para los microorganismos. (b) Los ambientes de humedad relativa baja (secos) también retardan el crecimiento de microorganismos al privarlos del agua que necesitan para crecer. El aire húmedo suministra a los microorganismos el agua que necesitan y, por lo tanto, fomenta su crecimiento. Las humedades relativas por debajo del 60 por ciento previenen la tasa de crecimiento de la mayoría de los microorganismos en las superficies de los alimentos.

Problema 27 4- 109 (página 287) ENUNCIADO  El enfriamiento de una res abierta en canal desde 37°C hasta 5°C con aire refrigerado a 0°C en un cuarto de enfriamiento tarda alrededor de 48 h. Para reducir el tiempo de enfriamiento se propone enfriar la res con aire refrigerado a –10°C. ¿Cómo evaluaría el lector esta propuesta?

Explicación: El enfriamiento de la carcasa con aire refrigerado es de -10 ºC sin duda reduciría el tiempo de enfriamiento, pero esta propuesta debe ser rechazada ya que hará que las partes externas de las canales se congelen, lo que es indeseable. Además, la unidad de refrigeración va a consumir más potencia para reducir la temperatura a -10 º C, y por lo tanto tendrá una menor eficiencia.

29.- 4-111 ¿Cómo afecta la velocidad de la congelación la suavidad, el color y el goteo de la carne durante la descongelación? La tasa de congelación puede afectar el color, la sensibilidad y el goteo. La congelación rápida aumenta la sensibilidad y reduce el daño al tejido y la cantidad de goteo después de la descongelación.

PROBLEMA 30 (4-112) Se afirma que la carne de res se puede almacenar hasta por dos años a -23°C pero no por más de un año a -12°C

¿Es razonable esta afirmación? Explique

Esta afirmación es razonable ya que cuanto más baja es la temperatura de almacenamiento, más larga es la vida de almacenamiento de la carne de res. Esto se debe a que parte del agua permanece descongelada incluso a temperaturas bajo cero, y cuanto más baja es la temperatura, menor es el contenido de agua descongelada de la carne. 31. (4-113C) ¿Qué es una plataforma refrigerada de embarque? ¿Cómo reduce la carga de refrigeración de los cuartos fríos de almacenamiento? Es un tipo de contenedor intermodal equipado con un motor refrigerador que permite el transporte de mercancías sensibles a la temperatura, como frutas, verduras, lácteos, carnes, chocolate, vino, productos farmacéuticos, productos químicos, etc. Carga de refrigerante es un término utilizado para indicar el tipo y masa de refrigerante utilizado en una planta de refrigeración para que funcione a las condiciones indicadas. Las cargas de refrigeración que análogamente, se refiere a las producidas en las condiciones de la estación cálida (físicamente, calor ganado por los locales en la unidad de tiempo)

PROBLEMA 32.(114) ¿Cómo se pueden usar los diagramas de temperatura transitoria cuando se especifica la temperatura superficial de la configuración geométrica en lugar de la temperatura del medio circundante y el coeficiente de transferencia de calor por convección?

Este caso puede manejarse ajustando el coeficiente de transferencia de calor h hasta el infinito , ya que la temperatura del medio circundante en este caso es equivalente a la temperatura de la superficie.

EJERCICIOS 33 4-115C ¿Cuál es la temperatura apropiada de almacenamiento de las aves de corral congeladas? ¿Cuáles son los métodos primarios de congelación para las aves? La temperatura de almacenamiento adecuada de las aves congeladas es aproximadamente -18ºC o inferior. Los principales métodos de congelación de las aves de corral son la congelación del túnel de chorro de aire, las placas frías, la congelación por inmersión y el enfriamiento criogénico. PROBLEMA 34 (4-116) ¿Cuáles son los factores que afectan la calidad del pescado congelado? Los factores que afectan la calidad del pescado congelado son la condición del pescado antes de la congelación, la congelación. Método, y la temperatura y humedad durante el almacenamiento y transporte, y la duración del tiempo de almacenamiento

35 4-117

A menudo se corta una sandía a la mitad y se pone en el congelador para enfriarla con rapidez. Pero con frecuencia olvidamos comprobar su estado y se finaliza con una sandía con una capa congelada en la parte superior. Para evitar este problema potencial, una persona quiere fijar el medidor de tiempo de tal forma que se apague cuando la temperatura de la superficie expuesta de la sandía caiga hasta 3°C. Considere una sandía esférica de 25 cm de diámetro que se corta en dos partes iguales y se pone en un congelador a 12°C. Inicialmente la sandía completa está a una temperatura uniforme de 25°C y el coeficiente de transferencia de calor sobre las superficies es de 22 W/m2 · °C. Si la sandía tiene las propiedades del agua, determine cuánto tiempo pasará para que el centro de las superficies cortadas expuestas caiga hasta 3°C

Una sandía esférica que se corta en dos partes iguales se coloca en un congelador, el tiempo que tomará para que el centro de la superficie de corte expuesta se enfríe de 25 a 3 está demasiado determinado

Suposiciones: La temperatura de las superficies extendidas de la sandía se ve afectada por la transferencia de calor de convencimiento solo en esas superficies. Por lo tanto, la sandía puede considerarse como un medio semi-infinito. Sus propiedades térmicas de la sandía son constantes.

Propiedades: Las propiedades térmicas del agua se aproximan mucho a las del agua a temperatura ambiente 𝜅 = 𝑊 𝜅 0.607 𝑚 ̊𝐶 𝛼 = 𝜌𝑐𝑝 = 0.146 ∗ 10−6 𝑚2 / s

Análisis: Utilizamos la tabla de transitorios en este caso por conveniencia

PROBLEMA 38) :4-120 ENUNCIADO

Se van a enfriar pollos con un contenido de agua de 74%, a una temperatura inicial de 32°F y una masa de alrededor de 7.5 lbm con aire refrigerado a 40°F. Por medio de la figura , determine cuánto tiempo transcurrirá para reducir la temperatura de la superficie interior de los pollos hasta 25°F. ¿Cuál sería su respuesta si la temperatura del aire fuera de 80°F? DATOS T1=32°F T2=25°F m=7.5lbm

GRAFICA

SUPUESTOS: 1.- Existen condiciones operativas estables. 2.- Las propiedades térmicas de los pollos son constantes. MODELOS MATEMATICOS 𝜽𝟎,𝒔𝒑𝒉 = 𝒕=

𝟐 𝟎

𝛕𝒓 𝛂

SIMBOLOGIA 𝑻𝟎 = 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒆𝒓𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂 𝑻𝟏 = Temperatura inicial 𝑻∞ =Tempratura medio ambiente 𝜽 = Temperatura adimensional 𝟐

𝒆 − 𝛌𝟏 𝒓 = Función exponencial de decaimiento 𝑨𝟏 = La determinación delas constantes

𝑻𝟎 − 𝑻∞ 𝟐 = 𝑨𝟏 𝒆 − 𝛌𝟏 𝒓 𝑻𝟏 − 𝑻∞

𝛂 =Es la difusividad térmica del material 𝛕 = Número de Fourier

RESOLUCION t ≅ 2.3 horas Si la temperatura del aire fuera de -80 ° F, el tiempo de congelación sería de 1.4 horas. Por lo tanto, el tiempo requerido para enfriar los pollos a 25 ° F se reduce considerablemente cuando la temperatura del aire refrigerado disminuye Interpretación.El tiempo requerido para enfriar los pollos se reduce considerablemente cuando la temperatura del aire refrigerado disminuye Problema 39 (4-121) Tema conducción de calor transitorio Enunciado Pavos con un contenido de agua de 64% que están inicialmente a 1°C y que tienen una masa de más o menos 7 kg se van a congelar sumergiéndolos en salmuera a –29°C. Usando la figura 4-55 determine cuánto tiempo se requerirá para reducir la temperatura de la pechuga de pavo a una profundidad de 3.8 cm hasta –18°C. Si la temperatura a una profundidad de 3.8 cm en la pechuga representa la temperatura promedio del pavo, determine la cantidad de transferencia de calor por pavo suponiendo que a) se congela todo el contenido de agua del pavo y b) sólo se congela 90% del contenido de agua de éste a –18°C. Tome los calores específicos del pavo como 2.98 y 1.65 kJ/kg · °C, arriba y abajo del punto de congelación a –2.8°C, respectivamente, y el calor latente de fusión del mismo como 214 kJ/kg. Datos

Esquema

Supuestos

1 Existen condiciones operativas estables. 2 Las propiedades térmicas de los pavos son constantes. Modelo Matemático 𝑸𝒆𝒏𝒇𝒓𝒊𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐,𝒇𝒓𝒆𝒔𝒄𝒐 = (𝒎𝒄𝒑 ∆𝑻)𝒇𝒓𝒆𝒔𝒄𝒐 𝑸𝒓𝒆𝒇𝒓𝒆𝒔𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆 = 𝒎𝒉𝒍𝒂𝒕𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑸𝒄𝒐𝒏𝒈𝒆𝒍𝒂𝒅𝒐 = (𝒎𝒄𝒑 ∆𝑻)𝒄𝒐𝒏𝒈𝒆𝒍𝒂𝒅𝒐

Simbologia Q = conduccion m =masa cp= calor especifico ∆𝑇 = incremento de temperatura h =coeficiente de transferencia de calor Resolucion (a) Suponiendo que todo el contenido de agua del pavo está congelado, la cantidad de calor que debe eliminarse del pavo a medida que se enfría de 1 ° C a -18 ° C es Enfriamiento a -2.8ºC: 𝑸𝒆𝒏𝒇𝒓𝒊𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐,𝒇𝒓𝒆𝒔𝒄𝒐 = (𝒎𝒄𝒑 ∆𝑻)𝒇𝒓𝒆𝒔𝒄𝒐 = (𝟕𝒌𝒈) (𝟐.

𝟗𝟖𝑲𝑱 . º𝑪) [𝟏 − (−𝟐. 𝟖)º𝑪] = 𝟕𝟗. 𝟑𝑲𝑱 𝑲𝒈

Congelación a -2.8ºC: 𝑸𝒓𝒆𝒇𝒓𝒆𝒔𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆 = 𝒎𝒉𝒍𝒂𝒕𝒆𝒏𝒕𝒆 = (𝟕𝒌𝒈) (𝟐𝟏𝟒

𝑲𝑱 ) = 𝟏𝟒𝟗𝟖𝑲𝑱 𝒌𝒈

Enfriamiento -18ºC: 𝑸𝒄𝒐𝒏𝒈𝒆𝒍𝒂𝒅𝒐 = (𝒎𝒄𝒑 ∆𝑻)𝒄𝒐𝒏𝒈𝒆𝒍𝒂𝒅𝒐 = (𝟕𝑲𝒈)(𝟏. 𝟔𝟓

𝑲𝑱 . 𝑪[−𝟐. 𝟖 − (𝟏𝟖)]𝑪 = 𝟏𝟕𝟓. 𝟔𝑲𝑱 𝑲𝒈

Por lo tanto, la cantidad total de eliminación de calor por pavo es 𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑄𝑒𝑛𝑓𝑟𝑖𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜,𝑓𝑟𝑒𝑠𝑐𝑜 + 𝑄𝑓𝑟𝑒𝑠𝑐𝑜 + 𝑄𝑒𝑛𝑓𝑖𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜,𝑐𝑜𝑛𝑔𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜 = 79.3 + 1498 + 175.6 = 1753𝐾𝐽 (b) Suponiendo que solo el 90 por ciento del contenido de agua del pavo está congelado, la cantidad de calor que debe eliminarse del pavo a medida que se enfría de 1 ° C a -18 ° C es

Enfriamiento a -2.8ºC: 𝑄𝑒𝑛𝑓𝑟𝑖𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜,𝑓𝑟𝑒𝑠𝑐𝑜 = (𝑚𝑐𝑝 ∆𝑇)𝑓𝑟𝑒𝑠𝑐𝑜 = (7𝑘𝑔) (2.

98𝐾𝐽 . º𝐶) [1 − (−2.8)º𝐶] = 79.3𝐾𝐽 𝐾𝑔

Congelación a -2.8ºC: 𝑄𝑟𝑒𝑓𝑟𝑒𝑠𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑚ℎ𝑙𝑎𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 = (7𝑋0.9𝐾𝑔)(

214𝐾𝐽 𝐾𝑔

)=1348Kj

Enfriamiento -18ºC: 𝑄𝑐𝑜𝑛𝑔𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜 = (𝑚𝑐𝑝 ∆𝑇)𝑐𝑜𝑛𝑔𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜 = (7𝑥0.9𝐾𝑔) (1.65

𝐾𝐽 . 𝐶) [−2.8 − (18)]. 𝐶 = 158𝐾𝐽 𝐾𝑔

𝑄𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑒𝑙𝑎𝑟 = (𝑚𝑐𝑝 ∆𝑇)𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑒𝑙𝑎𝑟 = (7𝑥0.1𝐾𝑔) (2.98

𝐾𝐽 . 𝐶) [−2.8 − (18)𝐶] = 31.7𝐾𝐽 𝐾𝑔

Por lo tanto, la cantidad total de eliminación de calor por pavo es 𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑄𝑒𝑛𝑓𝑟𝑖𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜,𝑓𝑟𝑒𝑠𝑐𝑜 + 𝑄𝑓𝑟𝑒𝑠𝑐𝑜 + 𝑄𝑒𝑛𝑓𝑖𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜,𝑐𝑜𝑛𝑔𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑦 sin 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑒𝑙𝑎𝑟 = 79.3 + 1348 + 158 + 31.7 = 1617𝐾𝐽

40. (4-126) 4-26

Una columna cilíndrica de 30 cm de diámetro y 4 m de alto de una casa hecha de concreto (k = 0.79 W/m

· °C, α = 5.94 X10_7 m2/s, ƿ = 1 600 kg/m3, y cp = 0.84 kJ/kg · °C) enfriada hasta 14°C durante una noche fría se calienta una vez más durante el día al exponerse al aire ambiental a una temperatura promedio de 28°C, con un coeficiente promedio de transferencia de calor de 14 W/m2 · °C. Determine a) Cuánto tiempo transcurrirá para que

la temperatura de la superficie de la columna se eleve hasta 27°C, b) la cantidad de transferencia de calor hasta que

la temperatura en el centro llegue hasta 28°C y, c) la cantidad de transferencia de calor hasta que la temperatura de la superficie llegue hasta 27°C. Tema: Transferencia de calor y masa Planteamiento o enunciado Una columna de hormigón cilíndrica fría está expuesta al aire ambiente cálido durante el día. El tiempo lo hará tomar para que la temperatura de la superficie aumente a un valor especificado, las cantidades de transferencia de calor para Se determinarán los valores del centro y las temperaturas de la superficie.

Supuestos 1 La conducción de calor en la columna es unidimensional, ya que es larga y tiene una simetría térmica sobre la línea central. 2 Las propiedades térmicas de la columna son constantes. 3 El coeficiente de transferencia de calor es constante y uniforme en toda la superficie. 4 El número de Fourier es τ> 0.2, de modo que el indicador de tiempo

Las soluciones aproximadas (o las tablas de temperatura transitoria) son aplicables (esta suposición será Verificado).

Datos

Propiedades Las propiedades del hormigón se dan para ser k = 0.79 W/m.°C, α = 5.94×10-7 m2/s, ρ = 1600 kg/m3 y cp = 0.84 kJ/kg °C Esquema

Modelo matemático 𝐵𝑖 =

ℎ𝑟° 𝑘

𝑇(𝑟° . 𝑡) − 𝑇∞ = 𝐴𝑖 𝑒 −λi2r 𝐽° ((𝜆𝑖𝑟° /𝑟° ) 𝑡𝑖− 𝑡∞ 𝑇(𝑟° . 𝑡) − 𝑇∞ = 𝐴𝑖 𝑒 −λi2r 𝐽° ((𝜆𝑖𝑟° /𝑟° ) 𝑡𝑖− 𝑡∞ 𝑟° 2 𝑡= 𝛼 𝑚 = ƿ𝑉 = ƿԯr 2 𝐿 𝑄max = 𝑚𝑐 𝑝[𝑇α − 𝑇I ] 𝑇(0, 𝑡) − 𝑡 ∝ = 𝐴𝑖 𝑒 −λi2r 𝑡𝑖− 𝑡∞

[

𝑄 𝑇𝑜 − 𝑇 ∝ 𝐽𝑖 (λ𝑖 ) ] cy1 = 1 − 2 [ ] 𝑄max 𝑡𝑖− 𝑡∞ λ𝑖

Simbología Θ= Temperatura adimensional Θ= Energía total de un fluido que fluye, kJ/kg ∞= Lejos de una superficie; condiciones de flujo libre ꚍ = Esfuerzo cortante, N/m2 ꚍ = Transitividad; número de Fourier e = Energía específica total, kJ/kg

t = Tiempo, s t = Espesor, m T = Temperatura, °C o K Bi = Número de Biot

Resolución Análisis (a) El número de Biot es

𝐵𝑖 =

𝐵𝑖 =

ℎ𝑟° 𝑘

ℎ𝑟° (14𝑊/𝑚2 . °𝐶), (0.15𝑚) = = 2.658 𝑘 (0.79𝑊/𝑚°𝐶)

Las constantes λ1 y A1 correspondientes a esta los números de Biot son, de la Tabla 4-2, λ1 = 1.7240 and 𝐴1 = 1.3915

Una vez que la constante J0= 0.3841 se determina a partir de la Tabla 4-3 correspondiente a la constante J0 λ 1, el número de Fourier es determinado a ser 𝑇(𝑟° . 𝑡) − 𝑇∞ 27 − 28 = 𝐴𝑖 𝑒 −λi2r 𝐽° ((𝜆𝑖𝑟° /𝑟° ) → = (1.3915)𝑒 −(1.7240)2r (0.3841) → 𝑟 = 0.6771 𝑡𝑖− 𝑡∞ 14 − 28 Que está por encima del valor de 0.2. Por lo tanto, la solución aproximada de un término (o la temperatura transitoria gráficos) se pueden utilizar. Entonces, el tiempo que tomará la temperatura de la superficie de la columna para elevarse a 27 ° C se convierte en

𝑡=

𝑟° 2 (0.6771)(0.15𝑚)2 = = 25,650𝑠 = 7.1 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝛼 5.94𝑋10−7 𝑚2 /𝑠

(b) La transferencia de calor a la columna se detendrá cuando la temperatura central de la columna alcance el ambiente. La temperatura, que es de 28 ° C. Es decir, se nos pide que determinemos la máxima transferencia de calor entre los el aire ambiente y la columna. 𝑚 = ƿ𝑉 = ƿԯr 2 𝐿 = (1600𝐾𝑔/𝑚3 )[ԯ(0.15𝑚)2 (4𝑚)] = 452𝑘𝑔 𝑄max = 𝑚𝑐 𝑝[𝑇α − 𝑇I ] = (452.4𝐾𝑔)(0.84𝐾𝐽/𝐾𝑔. °𝐶)(28 − 14)°𝐶 = 5320𝐾𝐽 (c) Para determinar la cantidad de transferencia de calor hasta que la temperatura de la superficie alcance los 27 ° C, primero determinar 𝑇(0, 𝑡) − 𝑡 ∝ = 𝐴𝑖 𝑒 −λi2r = (1.3915)𝑒 −(1.7240))2(0.6771) = 0.1860 𝑡𝑖− 𝑡∞ Una vez que la constante J1 = 0.5787 se determina a partir de la Tabla 4-3 correspondiente a la constante λ 1, la cantidad de transferencia de calor se convierte en [

𝑄 𝑇𝑜 − 𝑇 ∝ 𝐽𝑖 (λ𝑖 ) 0.5787 ] cy1 = 1 − 2 [ ] = 1 − 2𝑋0.1860𝑋 = 0.875 𝑄max 𝑡𝑖− 𝑡∞ λ𝑖 1.7240 𝑄 = 0875𝑄max 𝑄 = 0875(5320𝑘𝐽) = 𝟒𝟔𝟔𝟎

41. (4-151)

Una fundición de acero se enfría hasta 90% de la diferencia original de temperatura en aire estático. El tiempo que

tarda en enfriarse esta misma fundición hasta 90% de la diferencia original de temperatura en un flujo de aire, cuyo coeficiente de transferencia de calor por convección es 5 veces el del aire estático, es a) 3 min

b) 6 min

d) 12 min

e) 15 min

c) 9min

Tema: Transferencia de calor y masa Planteamiento o enunciado

Una fundición de acero enfría hasta el 90 por ciento de la diferencia de temperatura original en 30 minutos en aire en calma. Los el tiempo que se tarda en enfriar este mismo colado hasta el 90 por ciento de la diferencia de

temperatura original en un aire en movimiento corriente cuyo coeficiente de transferencia de calor por convección es 5 veces mayor que la del aire en reposo. Datos

Esquema Modelo matemático Simbología Resolución

SOLUCIÓN Se hierve agua a una presión de 1 atm sobre una superficie de acero inoxidable. Se deben determinar la razón de la transferencia de calor hacia el agua y la rapidez de la evaporación de esta última. Suposiciones 1

Existen condiciones estacionarias de operación. 2 Las pérdidas de calor desde el calentador y la cacerola son despreciables. Propiedades Las propiedades del agua a la temperatura de saturación de 100°C son σ = 0,0589 N/

Asimismo, f = 0,0130 y n = 1,0 para la ebullición del agua sobre una superficie de acero inoxidable pulida mecánicamente. Análisis a) En este caso, la temperatura en exceso es ΔT = Ts − Tsat = 108 − 100 = 8°C, la cual es relativamente baja (menos de 30°C). Por tanto, se tendrá ebullición nucleada. En este caso se puede determinar el flujo de calor con base en la relación de Rohsenow como El área superficial del fondo de la cacerola es A = πD2 4 = π(0,3 m) 2 / 4 = 0,07069m2

Interpretación Es decir, el agua en la cacerola hervirá a razón de más de 2 gramos por segundo. 42. (4-155C) CONDUCCION DE CALOR TRANSITORIO Calentamiento de placas grandes de latón en un horno Enunciado. En una instalación de producción, placas grandes de latón de 4 cm de espesor que se encuentran inicialmente a una temperatura uniforme de 20°C se calientan al pasar por un horno que se mantiene a 500°C (figura 4-23). Las placas permanecen en el horno durante un periodo de 7 min. Si el coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación como h _ 120W/m2 · °C, determine la temperatura superficial de las placas cuando salen del horno. Datos: e= 4cm ti= 20oC

t2= 500°C T= 7 min K= h 120W/m2 · °C, Ts= ? Esquema

Suposiciones 1 La conducción de calor en la placa es unidimensional ya que su longitud es grande en relación con su espesor y se tiene simetría térmica con respecto al plano central. 2 Las propiedades térmicas de la placa y el coeficiente de transferencia de calor por convección son constantes. 3 El número de Fourieres t > 0.2, de modo que se pueden aplicar las soluciones de un término. Resolución

Por consiguiente, al salir del horno, la temperatura superficial de las placas será de 282°C. Interpretación Se advierte que, en este caso, el número de Biot es Bi _ 1/45.8 _0.022, el cual es mucho menor que 0.1. Por lo tanto, se espera que sea aplicable el análisis de sistemas concentrados. Esto también resulta evidente con base en (T – T_)/(T0 – T_) _ 0.99, lo cual indica que la temperatura en el centro y en la superficie de la placa, con relación a la temperatura de los alrededores, se encuentran con una diferencia de menos de 1% entre sí. Dado que, por lo general, el error en el que se incurre en la lectura de los diagramas de Heisleres por lo menos de unas cuantas unidades porcentuales, el análisis de sistemas concentrados puede conducir en este caso a resultados muy exactos con menos esfuerzo. El área superficial de transferencia de calor es 2A, donde A es el área de la cara de la placa (ésta transfiere calor a través de sus dos superficies) y el volumen de ella es V _ (2L) A, donde L es la mitad de su espesor. Se determina que el exponente b usado en el análisis de sistemas concentrados es:

Interpretación 2 Se puede determinar la temperatura de un lugar específico, en un instante dado, a partir de los diagramas de Heisler o las soluciones de un término. En este ejemplo se usan los diagramas para demostrar su uso. Puesto que la mitad del espesor de la placa es L _ 0.02 m. 44. (4-160C) CONDUCCION DE CALOR TRANSITORIO Enfriamiento de un cilindro corto de latón Enunciado. Un cilindro corto de latón de diámetro D _ 10 cm y altura H _ 12 cm está inicialmente a una temperatura uniforme Ti _ 120°C. Ahora el cilindro se coloca en aire atmosférico a 25°C, donde la transferencia de calor tiene lugar por convección, con un coeficiente de transferencia de calor de h _ 60 W/m2 · °C. Calcule la temperatura en a) el centro del cilindro y b) el centro de la superficie superior del cilindro 15 min después del inicio del enfriamiento. Datos: D= 10 cm H= 12 cm Ti= 120°C T2= 25°C h= 60 W/m2 · °C Esquema

Suposiciones 1 La conducción de calor en el cilindro corto es bidimensional y, por lo tanto, la temperatura varía tanto en la dirección x axial como en la r radial. 2 Las propiedades térmicas del cilindro y el coeficiente de transferencia de calor son constantes. 3 El número de Fourier es t 0.2, de modo que pueden aplicarse las soluciones aproximadas de un término. Resolución

De manera análoga, en el centro del cilindro, se tiene

Por lo tanto,

y

Ésta es la temperatura en el centro del cilindro corto, el cual también es el centro del cilindro largo y de la placa.

Entonces

Por lo tanto,

y

Que es la temperatura en el centro de la superficie superior del cilindro. Interpretación Este cilindro corto se puede formar físicamente por la intersección de un cilindro largo de radio ro _ 5 cm y una pared plana de espesor 2L _ 12 El centro de la superficie superior del cilindro todavía es el centro del cilindro largo (r _ 0), pero en la superficie exterior de la pared plana (x _ L). Por lo tanto, en primer lugar se necesita hallar la temperatura superficial de la pared. Dado que x _ L _ 0.06 m.

EJERCICIO 49 (6.13) Durante el enfriamiento por aire de naranjas, toronjas e híbridos de mandarinatoronja el coeficiente de transferencia de calor por convección, radiación y evaporación combinadas, para velocidades del aire de 0.11 V 0.33 m/s se determina experimentalmente y se expresa como h 5.05 kaireRe1/3/D, donde el diámetro D es la longitud característica. Las naranjas se enfrían por medio de aire refrigerado que está a 3°C y 1 atm, a una velocidad de 0.3 m/s. Determine a) la razón inicial de la transferencia de calor desde una naranja de 7 cm de diámetro que está inicialmente a 15°C, con una conductividad térmica de 0.70 W/m°C, b) el valor del gradiente inicial de temperatura en la superficie hacia adentro de la naranja y c) el valor del número de Nusselt.

Se proporciona la expresión del coeficiente de transferencia de calor para el enfriamiento por aire de algunas frutas. La tasa inicial de transferencia de calor de una naranja, el gradiente de temperatura en la superficie de la naranja y el valor del número de Nusselt se deben determinar. Supuestos 1 Existen condiciones operativas estables. 2 La naranja es de forma esférica. 3 El coeficiente de transferencia de calor por convección es constante en toda la superficie. 4 propiedades del agua se utilizan para naranja.

Propiedades La conductividad térmica de la naranja se da para ser k = 0.70 W / m. ° C. ) / 2 = (15 + 5) / 2 = 10 ° C 𝑲 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟒𝟑𝟗𝑾/𝒎°𝑪, 𝒗 = 𝟏, 𝟒𝟐𝟔𝑿𝟏𝟎−𝟓 𝒎𝟐 /𝒔 Análisis (a) El número de Reynolds, el coeficiente de transferencia de calor y la velocidad inicial de transferencia de calor desde una naranja son 𝑨𝒔 = 𝝅𝑫𝟐 = 𝝅(𝟎, 𝟎𝟕𝒎)𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟓𝟑𝟗𝒎𝟐 𝑹𝒆 =

𝑽𝑫 (𝟎, 𝟑𝒎/𝒔)(𝟎, 𝟎𝟕𝒎) = = 𝟏𝟒𝟕𝟑 𝑽 𝟏. 𝟒𝟐𝟔𝑿𝟏𝟎−𝟓 𝒎𝟐 /𝒔

𝟏

𝟏

𝟓. 𝟎𝟓𝒌𝒂𝒊𝒓𝒆 𝑹𝒆𝟑 𝟓. 𝟎𝟓(𝟎. 𝟎𝟐𝟒𝟑𝟗𝑾/𝒎 ∙ °𝑪)(𝟏𝟒𝟕𝟑)𝟑 𝒉= = 𝑫 𝟎. 𝟎𝟕𝒎

= 𝟐𝟎. 𝟎𝟐𝑾/𝒎𝟐 ∙ °𝑪 𝟏

𝑸̇ = 𝒉𝑨𝒔 (𝑻𝒔 − 𝑻∞ ) = (𝟐𝟎. 𝟎𝟐𝑾/𝒎𝟐 ∙ ℃)(𝟎. 𝟎𝟏𝟓𝟑𝟗𝒎𝟐 )(𝟏𝟒𝟕𝟑)𝟑 (𝟏𝟓 − 𝟑)℃ = 𝟑. 𝟕𝟎𝑾 (b) El gradiente de temperatura en la superficie naranja se determina a partir de

𝒒̇ 𝒄𝒐𝒏𝒗 = 𝒒̇ 𝒄𝒐𝒏𝒅 = −𝒌 (

𝝏𝑻 = 𝒉(𝑻𝒔 − 𝑻∞ ) ) 𝝏𝒓 𝒓=𝑹 𝟏

𝒉(𝑻𝒔 − 𝑻∞ ) (𝟐𝟎. 𝟎𝟐𝑾/𝒎𝟐 ∙ ℃)(𝟎. 𝟎𝟏𝟓𝟑𝟗𝒎𝟐 )(𝟏𝟒𝟕𝟑)𝟑 (𝟏𝟓 − 𝟑)℃ =− =− = −𝟑𝟒𝟑℃/𝒎 𝒌 𝟑. 𝟕𝟎𝑾/𝒎℃ (c) El número de Nusselt es 𝒉𝑫 (𝟐𝟎. 𝟎𝟐𝑾/𝒎𝟐 ∙ ℃)(𝟎. 𝟎𝟕𝒎) 𝑵𝒖 = = = 𝟓𝟕. 𝟓 𝑲 𝟎. 𝟕𝟎𝑾/𝒎 ∙ ℃ CAPAS LÍMITE DE LA VELOCIDAD Y TÉRMICA EJERCICIO 50 6-14C ¿Qué es la condición de no deslizamiento? ¿Qué la causa? Un fluido en contacto directo con una superficie sólida se adhiere a la superficie y no hay deslizamiento. Esto se conoce como condición de no deslizamiento y se debe a la viscosidad del fluido.

EJERCICIO 52 (6.16) ¿Qué es la viscosidad? ¿Qué causa la viscosidad en los líquidos y en los gases? Típicamente, ¿la viscosidad dinámica es más alta para un líquido o para un gas? La viscosidad es una medida de la "pegajosidad" o "resistencia a la deformación" de un fluido. Se debe a la fuerza de fricción interna que se desarrolla entre las diferentes capas de fluidos cuando se ven obligados a moverse entre sí. La viscosidad es causada por las fuerzas cohesivas entre las moléculas en los líquidos y por las colisiones moleculares en los gases. Los líquidos tienen viscosidades dinámicas más altas que los gases. PROBLEMA 53 (6.17) Considere dos pequeñas bolas idénticas de vidrio que se dejan caer en dos recipientes idénticos, uno lleno con agua y el otro con aceite. ¿Cuál de las dos bolas llegará primero hasta el fondo del recipiente? ¿Por qué? La bola llega al fondo del recipiente primero en agua debido a la menor viscosidad del agua en comparación con el aceite. EJERCICIO 56 6-20C

¿Cuál es el significado físico del número de Prandtl? ¿El valor del número de Prandtl depende del tipo de flujo o de la configuración geométrica de éste? ¿Cambia el número de Prandtl del aire con la presión? ¿Cambia con la temperatura? El número Prandtl Pr = α / ν es una medida de las magnitudes relativas de la difusividad del momento (y, por lo tanto, el desarrollo de la capa límite de velocidad) y la difusividad del calor (y, por lo tanto, el desarrollo de la capa límite térmica). La Pr es una propiedad fluida y, por lo tanto, su valor es independiente del tipo de flujo y la geometría del flujo. El Pr cambia con la temperatura, pero no con la presión. Problema 57 (6-21) ¿Se desarrollará una capa límite térmica en el flujo sobre una superficie incluso si tanto el fluido como la superficie se encuentran a la misma temperatura? Una capa límite térmico no se desarrollará en el flujo sobre una superficie si tanto el fluido como la superficie están a la misma temperatura, ya que en ese caso no habrá transferencia de calor. 58 6.22. Se dan la potencia de salida y la tasa de consumo de combustible de una planta de energía. La eficiencia térmica debe ser determinada. Supuestos La planta opera de manera constante. Propiedades El valor calorífico del carbón es de 30,000 kJ / kg. Análisis La tasa de suministro de calor a esta central eléctrica es.

Entonces la eficiencia térmica de la planta se convierte Expresiones matemáticas 𝑅

2 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑚 = ∫ 𝑢 (𝑟)𝑟𝑑𝑟 𝑅2 0

̇ 𝑚̇ = 𝑃𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚 𝐴𝑐 = ∫ 𝐴𝑐 𝑃𝑢(𝑟)𝑑𝐴𝑐 ̇ 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑚 = ∫ 𝐴𝑐 𝑃𝑣(𝑟)𝑑𝑐𝐴𝑐 𝑅

= ∫ 𝑃𝑣 0

(𝑟)𝑑𝑐𝐴𝑐 𝜌𝜋𝑅 2

SIMBOLOGIA 𝑸̇ = 𝑹𝒂𝒛𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒐𝒓. 𝒎̇ = 𝑭𝒍𝒖𝒋𝒐 𝒎𝒂𝒔𝒊𝒄𝒐. H= coeficiente de transferencia de calor por convección W/m3

P= presión KPa

̇ 𝑐𝑜𝑎𝑙 𝑄𝐻̇ = 𝑚𝑐𝑜𝑢𝑡 𝑞𝐻𝑉. 60.000𝑘𝑔 30.000𝐾𝐽 =( )( ) = 1.8 𝑥 109 𝐾𝐽/ℎ ℎ 𝐾𝑔 = 500𝑀𝑊 𝑛𝑡ℎ𝑎 =

𝑊̇𝑛𝑒𝑡.𝑜𝑢𝑡 ̇ 150𝑀𝑊 = = 0.300 = 30.0% 500𝑀𝑊 𝑄̇𝐻̇

59 6-23 ¿Cuál es el mecanismo físico que causa que el factor de fricción sea tan alto en el flujo turbulento?

En el flujo turbulento las partículas se mueven en trayectorias irregulares, que no son suaves ni fijas. El flujo es turbulento si las fuerzas viscosas son débiles en relación con las fuerzas inerciales.

La turbulencia según la definición de Taylor y von Kármán, puede producirse por el paso del fluido sobre superficies de frontera, o por el flujo de capas de fluido, a diferentes velocidades que se mueven una encima de la otra. EJERCICIO 59(6.23) ¿En qué difiere el flujo turbulento del laminar? ¿Para cuál flujo es más elevado el coeficiente de transferencia de calor? Un movimiento fluido es laminar cuando implica líneas de corriente suaves y movimiento altamente ordenado de moléculas, y turbulento cuando involucra fluctuaciones de velocidad y movimiento altamente desordenado. El coeficiente de transferencia de calor es mayor en el flujo turbulento. Problema 60 (6-24) ¿Qué representa el coeficiente de fricción en el flujo sobre una placa plana? ¿Cómo está relacionado con la fuerza de arrastre que actúa sobre la placa?

El coeficiente de fricción representa la resistencia al flujo de fluido sobre una placa plana. Es proporcional a la fuerza de arrastre que actúa sobre la placa. El coeficiente de arrastre para una superficie plana es equivalente al coeficiente de fricción medio. Problema 62 6- 26 (página 410) ENUNCIADO  ¿Qué es viscosidad turbulenta? ¿Qué la causa? Explicación: Es aquel en el que hay fluctuaciones en el flujo todo el tiempo y las partículas invaden la trayectoria de las partículas adyacentes, mezclándose y desplazándose de una manera aleatoria. Representado por la imagen en el siguiente grafico.

Problema 64 (6-28) Tema: Fundamentos de convección Enunciado Considere un flujo sobre una superficie con los siguientes perfiles de temperatura y velocidad: u(y) = C1(y + y2 - y3) T(y) = C2 – e-2C2y Donde los coeficientes C1 y C2 son constantes. Determine las expresiones para el coeficiente de fricción (Cf) y el coeficiente de transferencia de calor por convección (h). Suposiciones 1 El fluido es newtoniano. 2 Las propiedades son constantes. 3 Condición antideslizante en la superficie de la placa. Modelo Matemático

El coeficiente de fricción es 2τ 𝜇 𝑣 𝐶𝑓 = 𝜌𝑉𝑠2 = 2𝐶1 𝜌𝑉 2 = 2𝐶1 𝑉 2 El coeficiente de convección de la transferencia de calor es ℎ=

−𝐾𝐹𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 (𝜕𝑇/𝜕𝑦)𝑦=0 𝑇𝑠 −𝑇∞

=

−𝐾𝐹𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 [2𝐶2 𝑒 −2𝑐2𝑦 ]𝑦=0 𝑇𝑠 −𝑇∞

Simbologia cf = es el coeficiente de fricción adimensional 𝜌 = Densidad

=

−22𝑘𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝐶2 −1−𝑇∞

𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑇𝑠 = 𝑇(0) = 𝐶2 − 1

V= 𝜇 / 𝜌 es la viscosidad cinemática K= es la conductividad térmica h = coeficiente de transferencia de calor Ts= Temperatura superficial 𝑇∞ = Temperatura de la corriente libre 𝜇 = Es la viscosidad dinámica Discusión La obtención de expresiones para los coeficientes de transferencia de calor por fricción y convección es simple si se conocen los perfiles de velocidad y temperatura. Sin embargo, determinar los perfiles de velocidad y temperatura generalmente no es un asunto simple en la práctica.

PROBLEMA 65(8.34) ¿Considere un sólido semi infinito caliente a una temperatura inicial de Ti expuesta a convección hacia un medio más frío a una temperatura constante de T, con un coeficiente de transferencia de calor de h. Explique cómo puede determinar la cantidad total de transferencia de calor desde el sólido hasta un instante específico To.? La cantidad total de transferencia de cabezal desde un sólido semi infinito hasta un tiempo especificado hasta puede determinarse por integración desde

Donde la temperatura de la superficie T (0, t) se obtiene de la ecuación. 4-47 sustituyendo x = 0

TEMA DEL CAPÍTULO 8. – Transferencia de calor por convención forzada Problema

66 8-36 (Pág. 510)

1. Enunciado. –

Agua a 15°C (𝜌 = 999.1 kg/𝑚3 y 𝜇 = 1.138 x 10–3 kg/𝑚3 . s) fluye de manera estacionaria a razón de 7 L/s en un tubo horizontal de 4 cm de diámetro y 25 m de largo hecho de acero inoxidable. Determine a) la caída de presión y b) la potencia de bombeo requerida para vencer esta caída de presión. 2. Datos. – 𝜌 = 999.1 kg/𝑚3 𝜇 = 1.138 x 10–3 kg/𝑚3 . S D = 4 cm

3. Esquema. –

4. Supuestos. – 1 El flujo es estable e incompresible. 2 Los efectos de entrada son insignificantes y, por lo tanto, el flujo está completamente desarrollado. 3 La tubería no involucra componentes tales como curvas, válvulas y conectores. 4 La sección de tuberías no involucra dispositivos de trabajo tales como bombas y turbinas.

5. Expresiones matemáticas, modelos, formula, ecuación y simbología. – 1) 𝑩𝒊 =

𝒉 𝒓𝟎 𝑲

Simbología, 𝐵𝑖 = El número de Biot (adimensional) ℎ = Coeficiente de transferencia de calor 𝑘 = Conductividad térmica 𝑟𝑜 = El radio

2) 𝜽𝟎 =

𝑻𝟎 −𝑻∞ 𝑻𝒊 −𝑻∞

𝟐

= 𝑨𝟏 𝒆−𝛌𝟏 𝛌

Simbología, 𝑇𝑖 = Temperatura inicial 𝑇∞ =Tempratura (constante) 2

𝑒 − λ1 𝑟 = Función exponencial de decaimiento 𝐴1 = La determinación de las constantes 𝜃0 = Temperatura adimensional 𝝀 = La determinación de las constantes

3) 𝝉 = Simbología, τ = Tiempo adimensional (número de Fourier) α = La difusividad térmica del material t = Tiempo r = Radio

∝𝒕 𝒓𝟐𝟎

4)

𝑻(𝒓)− 𝑻∞ 𝑻𝒊 − 𝑻∞

𝟐

= 𝑨𝟏 𝒆−𝝀𝟏 𝝉

𝒔𝒊𝒏(𝝀𝟏 𝒓⁄𝒓𝟎 ) 𝝀𝟏 𝒓/𝒓𝟎

Simbología, 𝑇𝑖 = Temperatura inicial 𝑇∞ =Tempratura (constante) 2

𝑒 − λ1 𝑟 = Función exponencial de decaimiento 𝐴1 = La determinación de las constantes 𝝀 = La determinación de las constantes 𝑟𝑜 = El radio

6. Resolución. – 

Análisis Primero encontramos el número de Biot: 𝑩𝒊 =

𝐵𝑖 =

𝒉 𝒓𝟎 𝑲

(4,6 𝐵𝑡𝑢⁄ℎ ∗ 𝑓𝑡 2 ∗ ℉)(1,2 5⁄12 𝑓𝑡) 0,26 𝐵𝑡𝑢⁄ℎ ∗ 𝑓𝑡 ∗ ℉ 𝐵𝑖 = 1,843

 

Resp //

De la Tabla 4-2 leemos, para una esfera, λ𝟏 = 1,9569 y 𝑨𝟏 = 1,447 Sustituyendo estos valores en la solución de un término da: 𝑻𝟎 − 𝑻∞ 𝟐 𝜽𝟎 = = 𝑨𝟏 𝒆−𝛌𝟏 𝛌 𝑻𝒊 − 𝑻∞ 40 − 25 2 = 1,447 𝑒 − (1,9569) 𝜏 78 − 25 𝜏 = 0,426 Resp //

 

Que es mayor que 0.2 y por lo tanto la solución de un solo término es aplicable. Entonces el tiempo de enfriamiento se convierte en:

𝑡=

𝝉=

∝𝒕 𝒓𝟐𝟎

𝑡=

𝜏 𝑟02 ∝

(0,426)(1,25⁄12𝑓𝑡)2 1,4 ∗ 10−6 𝑓 𝑡 2 ⁄𝑠 𝑡 = 3302 𝑠

𝑡 = 55,0 𝑚𝑖𝑛 Resp //



La temperatura más baja durante el enfriamiento se producirá en la superficie (r / r0 = 1), y se determina que es: 𝑻(𝒓) − 𝑻∞ 𝒔𝒊𝒏(𝝀𝟏 𝒓⁄𝒓𝟎 ) 𝟐 = 𝑨𝟏 𝒆−𝝀𝟏 𝝉 𝑻𝒊 − 𝑻∞ 𝝀𝟏 𝒓/𝒓𝟎 𝑇(𝑟0 ) − 𝑇∞ 𝑠𝑖𝑛(𝜆1 𝑟⁄𝑟0 ) = 𝜃0 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 𝜆1 𝑟0 /𝑟0 𝑇0 − 𝑇∞ 𝑠𝑖𝑛(𝜆1 𝑟⁄𝑟0 ) 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 𝜆1 𝑟0 /𝑟0

Sustituyendo: 𝑇(𝑟0 ) − 25 40 − 25 𝑠𝑖𝑛(1,9569 𝑟𝑎𝑑) =( ) 78 − 25 78 − 25 1,9569 𝑇(𝑟0 ) = 32,1 ℉ Resp // 7. Resultado final. – a) 𝒕 = 𝟓𝟓, 𝟎 𝒎𝒊𝒏

b) 𝑻(𝒓𝟎 ) = 𝟑𝟐, 𝟏 ℉ 8. Interpretacion. – a) 𝒕 = 𝟓𝟓, 𝟎 𝒎𝒊𝒏



el tiempo de 55,0 min no resulta un buen tiempo ta que la temperatura propuesta no fue adecuada para la congelacion de las partes de las naranjas

b) 𝑻(𝒓𝟎 ) = 𝟑𝟐, 𝟏 ℉ 

Que está por encima de la temperatura de congelación de 31 ° F para las naranjas. Por lo tanto, ninguna parte de las naranjas se congelará durante este proceso de enfriamiento.

67 9-1 ¿Qué es convección natural? La convección natural es un mecanismo, o tipo de transporte de calor, en qué el movimiento fluido no es generado por cualquier fuente externa (como una bomba, ventilador, dispositivo de succión, etc.) pero sólo por diferencias

de densidad en el fluido ocurriendo debido a gradientes de temperatura. En convección natural, el fluido que rodea una fuente de calor recibe calor y por la expansión térmica se hace menos denso y asciende. ¿En qué se diferencia de la convección forzada?

La convección forzada se produce cuando añadimos un mecanismo (ventilador, turbina) que acelera la velocidad de las corrientes de convección natural. Por consiguiente no obtendremos más potencia calorífica con un sistema o con otro. La diferencia estará en que, con el sistema de ventilación forzada, el calor se reparte más y se calienta el ambiente en menos tiempo. EJERCICIO 68 9-1C ¿Qué es convección natural? ¿En qué se diferencia de la convección forzada? ¿Qué fuerza causa las corrientes de convección natural? La convección natural es el modo de transferencia de calor que se produce entre un sólido y un fluido que se mueve bajo la influencia de medios naturales. La convección natural difiere de la convección forzada en que el movimiento del fluido en la convección natural es causado por efectos naturales como la flotabilidad PROBLEMA 69(9-2C) ¿En cuál modo de transferencia de calor suele ser más Alto el coeficiente de transferencia de calor por convección, en la convección natural o en la forzada? ¿Por qué? El coeficiente de transferencia de calor por convección suele ser mayor en la convección forzada debido a las altas velocidades del fluido involucradas

Problema 70 9 – 4 C (página 565) ENUNCIADO  Considere un huevo cocido caliente en una nave espacial que en todo momento está llena con aire a la presión y temperatura atmosféricas. ¿El huevo se enfriará más rápida o más lentamente cuando está en la nave espacial que cuando está sobre la Tierra? Explique.

Explicación: El huevo hervido caliente en una nave espacial se enfría más rápido cuando la nave está en el suelo ya que no hay gravedad en el espacio, y por lo tanto no habrá corrientes de convección natural que es debido a la fuerza de flotación. PROBLEMA 71(9.18) PLANTEAMIENTO Las paredes de un horno están hechas de concreto (k 0.64 Btu/h · ft · °F y a 0.023 ft2 /h) de 1.2 ft de espesor. Al principio, el horno y el aire circundante están en equilibrio térmico a 70°F. Entonces se enciende el horno y las superficies interiores del mismo se exponen a gases calientes a 1 800°F, con un coeficiente de transferencia de calor muy grande. Determine cuánto tiempo pasará para que la temperatura de la superficie exterior de las paredes del horno se eleve hasta 70.1°F. Suposición: 1. La temperatura en la pared se ve afectada por las condiciones térmicas solo en las superficies internas y el coeficiente de transferencia de calor por convección en el interior es muy grande. por lo tanto, se puede considerar que la pared es

un medio semi infinito con una temperatura especificada de 1800°F. 2. Las propiedades térmicas del muro de hormigón son constantes. Propiedades: que las propiedades térmicas del hormigón se dan para ser

Análisis: la distribución de temperatura transitoria unidimensional en la pared para ese período de tiempo se puede

determinar a partir de

72.- 9-27 Está hirviendo agua en una cacerola de 12 cm de profundidad con un diámetro exterior de 25 cm, que está colocada sobre la parte superior de una estufa. El aire ambiente y las superficies circundantes están a una temperatura de 25°C y la emisividad de la superficie exterior de la cacerola es 0.80. Suponiendo que toda la cacerola está a una temperatura promedio de 98°C, determine la razón de la pérdida de calor desde la superficie lateral cilíndrica de la misma hacia los alrededores por a) convección natural y b) radiación. c) Si el agua está hirviendo a razón de 1.5 kg/h a 100°C, determine el cociente entre calor perdido desde la superficie lateral de la cacerola y el perdido por la evaporación del agua. El calor de vaporización del agua a 100°C es de 2257 kJ/kg. DATOS: D: 12cm y 25 de profundidad 𝑇1 = 25°𝐶 𝑇2 = 98°𝐶 ̇ 𝑎100°𝐶 𝑄 = 1.5𝑘𝑔/ℎ El calor de vaporización del agua a 100°C es de 2257 kJ/kg.

ESQUEMA:

SUPOSICIONES: 1.- Existen condiciones operativas estables. 2.- El aire es un gas ideal con propiedades constantes. 3.- La presión atmosférica local es de 1 atm. EXPRESIONES MATEMATICAS

𝟏

(𝑻𝒔 + 𝑻∞ )/𝟐

𝜷=𝑻

𝒇

𝑔𝛽(𝑇𝑠 − 𝑇∞ 𝑣2

𝑅𝑎 = 35𝐿 𝐺𝑟 1/4

RESOLUCION: (Ts +T∞ ) 2

=

98+25 2

= 61.5°C k = 0.02819 W/m°C v = 1.910x10−5 m2 /s Pr = 0.7198 β=

1 1 = = 0.00299K −1 Tf (61.5 + 273)

La longitud característica en este caso es la altura de la sartén,𝐿𝑐 = 𝐿 = 0.12𝑚 entonces: 𝑚2 (9.81 ) (0.00299K −1 )(98 − 25𝐾)(0.12𝑚)3 𝑔𝛽(𝑇𝑠 − 𝑇∞ 𝑠 𝑹𝒂 = 𝑃𝑟 = = (0.7198) = 7.299𝑥106 𝑣2 (1.910x10−5 m2 /𝑠)2 Podemos tratar este cilindro vertical como una placa vertical ya que: 35𝐿 𝐺𝑟 1/4

35(0.12)

35𝐿

= (7.299𝑥106 /0.7198)1/4 = 0.07443 < 0.25 Y por lo tanto 𝐷 ≥ 𝐺𝑟 1/4

Por lo tanto:

𝑘 ℎ = 𝑁𝑢 = 𝐿

0.02819𝑊 . °𝐶 𝑚 (28.60) = 6.720 𝑊/𝑚2 . °𝐶 0.12𝑚

𝐴1 = 𝜋𝐷𝐿 = 𝜋(0.25𝑚)(0.12𝑚) = 0.09425𝑚2 Y 6.720𝑊 𝑄̇ = ℎ𝐴𝑠 (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) = ( . °𝐶) (0.09425𝑚2 )(98 − 25)°𝐶 = 46.2𝑊 𝑚2 La pérdida de calor por radiación de la sartén es 𝑄𝑟𝑎𝑑 = 𝜀𝐴𝑠𝜎 (𝑇𝑠̇ 4 − 𝑇𝑠𝑜𝑙𝑡𝑎𝑟)4 = (0.80)(0.09425𝑚2 ) (

5.67𝑥10−8 𝑊 4 . 𝐾 ) [(98 + 273𝐾)4 − (25 + 273𝐾)4 ] = 47.3𝑊 𝑚2

La pérdida de calor por evaporación del agua es: ̇ 𝑘𝑗/𝑘𝑔) = 0.9404 𝑘𝑊 = 940𝑊 𝑄 = 𝑚̇ℎ𝑓𝑔 = (1.5/3600 𝑘𝑔/𝑠)(2257 Luego, la relación entre la pérdida de calor de las superficies laterales de la sartén y la evaporación del agua se convierte en: 𝑓=

46.2 + 47.3 = 0.099 = 𝟗. 𝟗% 940

TEMA DEL CAPÍTULO 9. – Ebullición y condensación Problema

73 9-28 (Pág. 284)

9. Enunciado. –

El granizo se forma en nubes de gran altitud a 253 º K. Considere que un granizo con un diámetro de 20 mm cae por el aire cuya temperatura es de 15 ºC y un coeficiente de transferencia de calor por convección de 163 W/𝑚2 * °C. Si se supone que el granizo es una esfera con las propiedades del hielo a 253 º K, determine cuánto tarda la superficie del granizo en alcanzar el punto de fusión. 10. Datos. – Alt = 253 º K ρ = 922 kg / 𝑚2 Cp = 1945 J / kg * °K K = 2,03 W / m * °K

h = 163 W/𝑚2 * °C d = 20 mm

𝑇∞ = 15 ºC 𝑇𝑖 = 20 ºC 11. Esquema. –

12. Supuestos. – 1 Existen condiciones de funcionamiento estables. 2 El aire es un gas ideal con propiedades constantes. 3 La presión atmosférica local es de 1 atm.

13. Expresiones matemáticas, modelos, formula, ecuación y simbología. – a) 𝑩𝒊 =

𝒉 𝒓𝟎 𝑲

Simbología, 𝐵𝑖 = El número de Biot (adimensional) ℎ = Coeficiente de transferencia de calor 𝑘 = Conductividad térmica 𝑟𝑜 = El radio

b) 𝜽𝒔𝒑𝒉 =

𝑻(𝒓,𝒕)−𝑻∞ 𝑻𝒊 −𝑻∞

𝟐

= 𝑨𝟏 𝒆−𝛌𝟏 𝛌

Simbología, 𝑇𝑖 = Temperatura inicial 𝑇∞ =Tempratura (constante) 2

𝑒 − λ1 𝑟 = Función exponencial de decaimiento 𝐴1 = La determinación de las constantes 𝜃0,𝑠𝑝ℎ = Temperatura adimensional 𝝀 = La determinación de las constantes 𝑟𝑜 = El radio

c) 𝝉 = Simbología, -

∝𝒕 𝒓𝟐𝟎

𝒔𝒊𝒏(𝝀𝟏 𝒓⁄𝒓𝟎 ) 𝝀𝟏 𝒓⁄𝒓𝟎

τ = Tiempo adimensional (número de Fourier) α = La difusividad térmica del material t = Tiempo r = Radio

d) 𝒕 =

𝝉 𝒓𝟐𝟎 𝝆𝒄𝒑 𝑲

Simbología, τ = Tiempo adimensional (número de Fourier) α = La difusividad térmica del material t = Tiempo r = Radio 𝑐𝑝 = Calor especifico 𝜌 = Densidad 𝑘 = Conductividad térmica

14. Resolución. – 

Análisis Primero encontramos el número de Biot: 𝑩𝒊 =

𝐵𝑖 =

𝒉 𝒓𝟎 𝑲

(163 W⁄𝑚2 ∗ °C) (0,010 𝑚 ) 2.03 W / m ∗ °K

𝐵𝑖 = 0,80 resp// 

De la Tabla 4-2, las constantes correspondientes 𝜆1 y 𝐴1 son

𝜆1 = 1,4320 

Para una esfera, tenemos

𝜽𝒔𝒑𝒉 = 

𝑦 𝐴1 = 1,2236

𝑻(𝒓, 𝒕) − 𝑻∞ 𝟐 𝒔𝒊𝒏(𝝀𝟏 𝒓⁄𝒓𝟎 ) = 𝑨𝟏 𝒆−𝛌𝟏 𝛌 𝑻𝒊 − 𝑻∞ 𝝀𝟏 𝒓⁄𝒓𝟎

Para que la superficie de granizo (r = ro) alcance el punto de fusión (0 ° C), el número de Fourier es:

0 − 15 2 𝒔𝒊𝒏(𝟏, 𝟒𝟑𝟐𝟎) = (1,2236) 𝑒 − (1,4320) 𝜏 −20 − 15 𝟏, 𝟒𝟑𝟐𝟎

𝜏 = 0,3318 resp//  El tiempo requerido para que la superficie de granizo alcance el punto de fusión es:

𝝉=

𝜏=

∝𝒕 𝒓𝟐𝟎

𝐾𝑡 𝜌𝑐𝑝 𝑟02

𝜏 𝑟02 𝜌𝑐𝑝 𝑡= 𝐾 0.3318 𝑟02 𝜌𝑐𝑝 𝑡= 𝐾 𝑡=

0,3318 (0,01)2 (922 K / 𝑚3 ) (1945 J / Kg ∗ °K) 2,03 W / m ∗ °K 𝑡 = 29,3 𝑠𝑒𝑔 resp//

15. Resultado final. –

a) 𝑩𝒊 = 𝟎, 𝟖𝟎 b) 𝝉 = 𝟎, 𝟑𝟑𝟏𝟖 c) 𝒕 = 𝟐𝟗, 𝟑 𝒔𝒆𝒈 16. Interpretacion. –

a) 𝑩𝒊 = 𝟎, 𝟖𝟎 

Es muy impórtate el estudio de la transferencia de calor ya que me interesa saber cuánto de concentrado debo necesitar para el siguiente calculo

b) 𝝉 = 𝟎, 𝟑𝟑𝟏𝟖 

Depende de la altitud en la que se forma el granizo se obtiene un Tiempo adimensional

c) 𝒕 = 𝟐𝟗, 𝟑 𝒔 

Dependiendo de la altitud en la que se forma el granizo, es posible que su superficie ni siquiera alcance el punto de fusión antes de golpear el suelo



Por lo tanto, se debe esperar por lo menos 29,3 s para que la temperatura sea un punto de fusión

PROBLEMA 74 (9-54) Se debe calentar agua en un tanque de 40 L de 15°C hasta45°C por medio de un calentador esférico de 6 cm de diámetro cuya temperatura superficial se mantiene a 85°C. Determine: Cuánto tiempo debe mantenerse encendido el calentador.

Supuestos 1 Existen condiciones operativas estables. 2 La temperatura de la superficie exterior de la esfera es constante. Propiedades Utilizando la temperatura promedio para el agua (15 + 45) / 2 = 30 ° C como la temperatura del fluido, las propiedades del agua a la temperatura de la película de (Ts + T∞) / 2 = (85 + 30) / 2 = 57.5 °C Datos Grafica 57.5C are (Table A-15) k  0.6515 W/m.C

Resistance heater Ts = 85C D = 6 cm

  0.49310 6 m 2/s Pr  3.12

Water T,avg = 30C

  0.50110 3 K -1 Además, las propiedades del agua a 30

D = 6 cm

  996 kg/m 3 and c p  4178 J/kg.C , Análisis La longitud característica en este caso es Lc = D = 0.06 m. Entonces Ra 

g (Ts  T )D 3

Pr 

(9.81 m/s 2 )(0.50110 3 K -1)(85  30 K)(0.06 m) 3 (3.12)  7.495108 (0.49310 6 m 2/s) 2

2 0.589Ra1/ 4 Nu  2 

h

1 0.469 / Pr  

9 / 16 4 / 9

 2 

0.589(7.495108 )1/ 4

1  0.469 / 3.12 

9 / 16 4 / 9

 87.44

k 0.6515 W/m.C Nu  (87.44)  949.5 W/m 2.C D 0.06 As  D 2   (0.06 m) 2  0.01131 m 2 La velocidad de transferencia de calor por convección es

Q& conv  hAs (Ts  T )  (949.5 W/m 2 .C)(0.0113 1m 2 )(85  30)  590.6 W

La masa de agua en el recipiente es m  V  (996 kg/m3 )(0.040 m3 )  39.84 kg La cantidad de transferencia de calor al agua es Q  mc p (T2  T1)  (39.84 kg)(41 78 J/kg. C)(4515)C = 4.994 106 J

Entonces el tiempo que el calentador debe estar encendido se convierte en Then the time the heater should be on becomes

75: 9-111: E Una tubería de agua caliente pasa a través de un sótano. Se debe determinar la caída de temperatura del agua en el sótano debido a la pérdida de calor de la tubería. Supuestos 1 Existen condiciones operativas estables. 2 El aire es un gas ideal con propiedades constantes. 3 La presión atmosférica local es de 1 atm. Propiedades Las propiedades del aire a 1 atm y la temperatura de película anticipada de (Ts + T∞) / 2 = (150 + 60) / 2 = 105 ° F (Tabla A-15E) Datos: K= 0.015441Btuhft°F V= 0.1838×10ˉ3ft² ̸s Β= 1̸Tf=1̸(105+460)R=0.00177Rˉ4 GRAFICO:

MODELO MATEMATICO:

𝑘 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑸̇ = 𝒎̇𝒄𝒑 (𝑻𝒆 − 𝑻𝒊 ) 𝑸̇ = 𝑹𝒂𝒛𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒐𝒓. 𝒄𝒑 = 𝑪𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒊𝒇𝒊𝒄𝒐. 𝑻𝒆 = 𝑳𝒂 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒆𝒓𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓.

𝑻𝒊 = 𝑳𝒂 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒆𝒓𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓.

∆𝑻𝒆 = 𝑻𝒔 − 𝑻𝒆 ∆𝑻𝒆 = 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒆𝒓𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓. 𝑻𝒔 = 𝑻𝒆𝒎𝒑𝒆𝒓𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍. 𝑻𝒆 = 𝑳𝒂 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒆𝒓𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓

∆𝑻𝒊 = 𝑻𝒔 − 𝑻𝒊 ∆𝑻𝒊 = 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒆𝒓𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓. 𝑻𝒔 = 𝑻𝒆𝒎𝒑𝒆𝒓𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍. 𝑻𝒊 = 𝑳𝒂 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒆𝒓𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 RESOLUCION: Análisis Esperamos que la temperatura de la tubería sea muy cercana a la temperatura del agua y comenzamos los cálculos "adivinando" que la temperatura promedio de la superficie exterior de la tubería sea de 150 ° F para la evaluación de las propiedades y h. Verificaremos la precisión de esta suposición más adelante y repetiremos los cálculos si es necesario. La longitud característica en este caso es el diámetro exterior del tubo, Lc = Do = 1.2 in. Luego,

𝑅𝑎 = 𝑔𝛽1(𝑇∞ − 𝑇)𝐷3 ° ̸ 𝑣 2 𝑃𝑟 2 ̸ 1 )3 (0.1838 × 10ˉ3 𝑓𝑡 2̸ 𝑠) (0.7253) = (32.2𝑓𝑡̸𝑆 2 × 0.00177𝑅ˉ = 1.101 × 10₅̸(0.1838 × 10ˉ³𝑓𝑡̸𝑆 El número de convección natural de Nusselt se puede determinar a partir de: 6 2

𝑁𝑢 = {0.6 + ̶0.387𝑅𝑎1̸ } [1 + (0.559̸𝑃𝑟)9̸16]8/27} = {0.6 + 0.387(1.101 × 105 )1 /₆̸[1 + (0.559̸. 7253)9/16]8/27}₂ = 7.998 ℎ𝑎 =

𝑘 0.01541𝐵𝑡𝑢 𝐹 1.232𝐵𝑡𝑢 °𝑁𝑢 = ° = . 𝑓𝑡 2 . °𝐹 1.2 𝐷 ℎ𝑓𝑡 ℎ ( 12 ) 𝑓𝑡(7.998) 1 𝐴1 = 𝜋𝐷𝑖𝐿 = 𝜋 ( ) (50𝑓𝑡) = 13.09𝑓𝑡₂ 12𝑓𝑡

1.2 𝐴° = 𝜋 ( ) (50𝑓𝑡) = 15.708𝑓𝑡₂ 12𝑓𝑡 Usando el valor supuesto de la temperatura del vidrio, se determina que el coeficiente de transferencia de calor por radiación es: ℎ𝑟𝑎𝑑 = 𝜖𝜎(𝑇 1 + 𝑇𝑠𝑢𝑟𝑟)(𝑇1 + 𝑇𝑠𝑢𝑟𝑟 2 ) 2 8

= (0.5) (0.1714 × 10ˉ 𝐵𝑡𝑢

𝑅 4 ) (150 + 460) + (60 + 460))][(150 + 460)₂ + (60

+ 460)₂]𝑅³ =

0.6222𝐵𝑡𝑢 . 𝑓𝑡 2 . 𝑅 ℎ

Entonces, el coeficiente de convección y de transferencia de calor por radiación exterior se convierte en: ℎₒ𝑐𝑜𝑛𝑣𝑖𝑛𝑒𝑑 = ℎₒ + ℎ𝑟𝑎𝑏 = 1.232 + 0.6222 =

1.854𝐵𝑡𝑢 . 𝑓𝑡 2 . 𝑅 ℎ

1 𝜑 = 𝑇𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟 − 𝑇 ∝ ̸ 1̸ℎ𝑖𝐴𝑖 + ln(𝐷° 𝐷𝑖 + ° 𝐴° 4𝜋𝑘𝐿 ℎ 60 1.2 ln ( 1 ) 1 = 150 − + = 2440𝐵𝑡𝑢/ℎ 4𝜋(30)(50) (1.854)(15.708)

El caudal másico del agua. 1 61.2𝑙𝑏𝑚 1.335𝑙𝑏𝑚 12𝑓𝑡 𝑚 = 𝜌𝐴2 𝑣 = ( )[𝜋 ( )= = 4807𝑙𝑏𝑚/ℎ 3 𝑓𝑡 𝑠 𝑠

Entonces la caída de temperatura del agua a medida que fluye a través de la tubería se convierte en 𝜑 2440𝐵𝑡𝑢 4807𝑙𝑏𝑚 1.0𝐵𝑡𝑢 𝜑 = 𝑚𝑐𝜌∆→ ∆𝑇 = = /( )( °𝐹 = 0.51°𝐹 𝑚𝑐𝜌 ℎ ℎ 𝑙𝑏𝑚 Problema 76 9-124 (Pág. 284) Transferencia de calor por convención forzada

1. Enunciado. – Considere un calentador eléctrico de agua de 2 m de alto que tiene un diámetro de 40 cm y que mantiene el agua caliente a 60°C. El tanque está ubicado en un cuarto pequeño a 20°C cuyas paredes y el techo están más o menos a la misma temperatura. Dicho tanque está colocado en un casco de lámina metálica de 44 cm de diámetro de espesor despreciable y el espacio entre ellos está lleno con aislamiento de espuma. La temperatura promedio y la emisividad de la superficie exterior del casco son 40°C y 0.7, respectivamente. El precio de la electricidad es de 0.08 dólar/kWh. En el mercado, existen equipos para el aislamiento de tanques de agua caliente suficientemente grandes como para envolver el tanque completo con un costo aproximado de 60 dólares. Si el mismo propietario de la casa instala ese tipo de aislamiento sobre el tanque de agua, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que este aislamiento adicional se pague por sí mismo? Descarte cualquier pérdida de calor por las superficies superior e inferior y suponga que el aislamiento reduce las pérdidas de calor en 80 por ciento. 2. Datos. 𝑑1 = 0 𝑚 𝑑2 = 1 𝑚 k = 0.9 W / m - ℃ alfa = 1,6 𝑒 −5 𝑚2 / s Ti = 15 ℃ Tinfinito = -8 ℃ h = 40 W / 𝑚2 - ℃ tiempo = 10 * 3600 s x = 0,1 m

3. Esquema. –

4. Supuestos. – 1 Existen condiciones de funcionamiento estables. 2 El aire es un gas ideal con propiedades constantes. 3 La presión atmosférica local es de 1 atm. 4 Cualquier transferencia de calor desde las superficies superior e inferior del tanque no se tiene en cuenta. 5 La resistencia térmica de la chapa metálica es despreciable.

5. Expresiones matemáticas, modelos, formula, ecuación y simbología. –

6. Resolución. – El problema se resuelve utilizando EES, y la solución se da a continuación.

7. Resultado final. –

8. Interpretacion. – 

Con una profundidad de 0 m nos da una temperatura de -7,615 ℃, al aumentar la profundidad como 0,2 m la temperatura -4,224 ℃ y con 0,3 m la temperatura marca a -2,569 ℃ pero al 1 m la temperatura cambia a 7,16 ℃, ya que al aumentar los metros la temperatura va adquiriendo una temperatura ambiental ya que al 0 m se tiene una temperatura muy frio

TEMA DEL CAPÍTULO 9. – Ebullición y condensación Problema

77 9-133 (Pág. 284)

1. Enunciado. – Una tabla gruesa de madera (k = 0,17 W/m * °C y ∝ = 1,28 x 10−7 m2/s) que está inicialmente a una temperatura uniforme de 25 °C se expone a gases calientes a 550 °C durante un periodo de 5 min. El coeficiente de transferencia de calor entre los gases y la tabla es de 35 W/m2 * °C. Si la temperatura de ignición de la madera es de 450 °C, determine si se encenderá. 2. Datos. – k = 0,17 W / m * ° C α = 1,28 × 10−7 𝑚2 / s h = 35 W/𝑚2 * °C t = 5 min 𝑇𝑖 = 25 °C 𝑇∞ = 550 °C

3. Esquema. –

4. Supuestos. – 1 Existen condiciones de funcionamiento estables. 2 El aire es un gas ideal con propiedades constantes. 3 La transferencia de calor desde la superficie de la base no se tiene en cuenta. 4 La presión del aire dentro del recinto es de 1 atm.

5. Expresiones matemáticas, modelos, formula, ecuación y simbología. – 𝑻 (𝒙, 𝒕) − 𝑻𝒊 𝒙 𝒉𝒙 𝒉𝟐 ∝ 𝒕 𝒙 𝒉 √∝ 𝒕 = 𝒆𝒓𝒇𝒄 ( ) − 𝐞𝐱𝐩 ( + ) [𝒆𝒓𝒇𝒄 ( + )] 𝑻∞ − 𝑻𝒊 𝒌 𝑲𝟐 𝑲 𝟐 √∝ 𝒕 𝟐√∝ 𝒕

Simbología, 𝑇𝑖 = Temperatura inicial 𝑇∞ =Tempratura (constante) 𝝀 = La determinación de las constantes ℎ = Coeficiente de transferencia de calor 𝑘 = Conductividad térmica t = Tiempo α = La difusividad térmica del material

6. Resolución. – 

La distribución de la temperatura transitoria unidimensional en la madera se puede determinar a partir de 𝑻 (𝒙, 𝒕) − 𝑻𝒊 𝒙 𝒉𝒙 𝒉𝟐 ∝ 𝒕 𝒙 𝒉 √∝ 𝒕 = 𝒆𝒓𝒇𝒄 ( ) − 𝐞𝐱𝐩 ( + ) [𝒆𝒓𝒇𝒄 ( + )] 𝟐 𝑻∞ − 𝑻𝒊 𝒌 𝑲 𝑲 𝟐 √∝ 𝒕 𝟐√∝ 𝒕

Donde ℎ √∝ 𝑡 (35 𝑊 ⁄𝑚2 ∗ ℃)√(1,28 ∗ 10−7 𝑚2 /𝑠)(5 ∗ 60 𝑠) = = 1,276 𝐾 0,17 𝑊 ⁄𝑚 ∗ ℃ ℎ2 ∝ 𝑡 ℎ √∝ 𝑡 =( ) = 1,2762 = 1,628 2 𝐾 𝐾



Notando que x = 0 en la superficie y usando la Tabla 4-4 para los valores erfc: 𝑻(𝒙, 𝒕) − 𝟐𝟓 = 𝒆𝒓𝒇𝒄(𝟎) − 𝐞𝐱𝐩(𝟎 + 𝟏, 𝟔𝟐𝟖) 𝒆𝒓𝒇𝒄(𝟎 + 𝟏, 𝟐𝟏𝟔) 𝟓𝟓𝟎 − 𝟐𝟓 = 1 − (5,093)(0,0712) = 0,637 Resp //



Resolviendo para T (x, t) da: 𝑇(𝑥, 𝑡) = 360 ℃ Resp //

7. Resultado final. – a)

𝑻(𝒙, 𝒕) = 𝟑𝟔𝟎 ℃

8. Interpretacion. – a)

𝑻(𝒙, 𝒕) = 𝟑𝟔𝟎 ℃



Que es menor que la temperatura de ignición de 450 ° C. Por lo tanto, la madera no se encenderá. Ya que debe tener una ignición igual a 450 ° C o mayor para así la madera se podrá encender como se deseaba



Problema 78 9 – 139 (página 579) ENUNCIADO  Un tramo de 4 m de largo de un tubo horizontal de 5 cm de diámetro, en el cual fluye un refrigerante, pasa a través de un cuarto que está a 20°C. El tubo no está bien aislado y se observa que la temperatura de la superficie exterior del mismo es de – 10°C. La emisividad de la superficie del tubo es 0.85 y las superficies circundantes están a 15°C. La fracción de calor transferido al tubo por radiación es: a. b. c. d. e.

0,24 0,30 0,37 0,48 0,58

Datos: L= 4m D= 5 cm T1= 20°C Ti= -10°C S= 0,85 C= 15°C Esquema:

1) Cantidad neta de calor que entra en el volumen de control por conducción en la unidad de tiempo y por unidad de volumen. 2) Cantidad de energía generada en la unidad de tiempo y por unidad de volumen en el interior del volumen de control. 3) Aumento de la energía interna en la unidad de tiempo en el interior del volumen de control. La ecuación se puede expresar como

Problema 79 10-1 (Pág. 284) Ebullición y condensación 1. Enunciado. – ¿Qué es ebullición? ¿Qué mecanismos son responsables de los muy elevados coeficientes de transferencia de calor en la ebullición nucleada? 2. Resultado final. – Puede definirse a la ebullición como el fenómeno físico mediante el cual un líquido modifica su estado y se vuelve gaseoso. Dicho traspaso se produce cuando la temperatura de todo el líquido alcanza el denominado punto de ebullición a una presión determinada. El punto de ebullición es la

temperatura en la que la presión de vapor resulta igual a la presión del medio que está situado en torno al líquido. Ebullición La ebullición es el proceso físico en el que la materia pasa a estado gaseoso. Se realiza cuando la temperatura de la totalidad del líquido iguala al punto de ebullición del líquido a esa presión  

Ebullición en convección natural (hasta el punto A sobre la curva de ebullición)



Ebullición nucleada (entre los puntos A y C)



Ebullición nucleada (entre los puntos A y C)



Ebullición de transición (entre los puntos e y D sobre la curva de ebullición)



Ebullición en película (más allá del punto D)

TEMA DEL CAPÍTULO 10. – Transferencia de calor en la ebullición Problema 81 10-3 (Pág. 284) 1. Enunciado. – ¿Cuál es la diferencia entre evaporación y ebullición? 2. Resultado final. – Evaporación La evaporación es un proceso físico que consiste en el paso lento y gradual de un estado líquido hacia un estado gaseoso, tras haber adquirido suficiente energía para vencer la tensión superficial. Las burbujas no pueden formar ya que la presión de vapor es menor que la presión atmosférica Las burbujas se pueden formar y elevarse ya que la presión de vapor puede superar la presión atmosférica Ebullición La ebullición es el proceso físico en el que la materia pasa a estado gaseoso. Se realiza cuando la temperatura de la totalidad del líquido iguala al punto de ebullición del líquido a esa presión De acuerdo a las definiciones presentadas, la principal diferencia entre evaporación y ebullición la conforman: -La evaporación ocurre de forma lenta y gradual. La ebullición ocurre de forma tumultuosa al alcanzar cierta temperatura.

-La evaporación ocurre a cualquier temperatura. En la ebullición ocurre a una temperatura determinada. -En la evaporación ocurre en la superficie del líquido; la ebullición ocurre en cualquier parte del líquido (superficie o interior) -El signo principal de la ebullición es la formación de burbujas; signo que no se presenta en la evaporación.

82(10-15)

Se va a hervir agua a la presión atmosférica sobre un calentador de acero de 3 cm de diámetro pulido mecánicamente. De ebullición nucleada y la temperatura superficial del calentador en ese caso. Tema: Transferencia de calor en la ebullición Planteamiento o enunciado El agua se hierve a 1 atm de presión y, por lo tanto, a una temperatura de saturación (o ebullición) de Tsat = 100 ° C por un elemento de calefacción de acero inoxidable pulido mecánicamente. El máximo flujo de calor en la ebullición nucleada. El régimen y la temperatura de la superficie del calentador para ese caso deben ser determinados. Supuestos 1 Existen condiciones operativas estables, 2 Las pérdidas de calor de la caldera son despreciables. Propiedades Las propiedades del agua en la saturación. Temperatura de 100 ° C son (Tablas 10-1 y A-9) Además, Csf= 0.0130 y n = 1.0 para hervir agua en una superficie de acero inoxidable pulida mecánicamente. Tenga en cuenta que expresamos las propiedades en unidades especificadas

en las ecuaciones. 10-2 y 10-3 en Conexión con sus definiciones para evitar manipulaciones unitarias. Para un gran calentamiento horizontal. Elemento, Cα = 0.12 (cuadro 10-4). (Se puede mostrar que L* = 5.99> 1.2 y, por lo tanto, la restricción en la Tabla 10-4 está satisfecho). Datos

Esquema

Modelo matemático 𝑞max = Ccr h ℎ𝑓𝑔 [𝜃𝑔ƿ2 𝑣 (ƿ𝑡 − ƿ𝑣 )]1/4

Simbología Θ= Temperatura adimensional Θ= Energía total de un fluido que fluye, kJ/kg ∞= Lejos de una superficie; condiciones de flujo libre ꚍ = Esfuerzo cortante, N/m2 ꚍ = Transitividad; número de Fourier e = Energía específica total, kJ/kg t = Tiempo, s t = Espesor, m T = Temperatura, °C o K

Resolución

Análisis El flujo de calor máximo o crítico se determina a partir de 𝑞max = Ccr h ℎ𝑓𝑔 [𝜃𝑔ƿ2 𝑣 (ƿ𝑡 − ƿ𝑣 )]1/4 = = 0.12(2257𝑋103 )[0.589𝑥9.8𝑥(0.6)2 (957.9 − 0.60)]1/4 = 1,017,00 𝑊/𝑚2 La relación de Rohsenow que proporciona el flujo de calor de ebullición nucleado para una temperatura de superficie específica puede también se puede utilizar para determinar la temperatura de la superficie cuando se proporciona el flujo de calor. Sustituyendo el máximo flujo de calor en la relación de Rohsenow junto con otras propiedades da

𝑞𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑎𝑟 = µ1 ℎ𝑓𝑔 [𝑔

(ƿ𝑡 − ƿ𝑣 ) (𝑐ƿ1 (𝑇𝑠 − 𝑇𝑠𝑎𝑡 ) 3 ]1/2( )) 𝜃 𝐶𝑠𝑓 ℎ𝑓𝑔 𝑃𝑟 n1

Interpretación Por lo tanto, la temperatura de la superficie del calentador será de solo 19.3 ° C por encima de la temperatura de ebullición del agua. Cuando se produce el agotamiento.