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• Harrison Antonio Mira Nilo

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Integración polar y aplicaciones

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

11.1. CAMBIO DE COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES. Coordenadas polares El plano Euclidiano tiene asociadas dos rectas perpendiculares una horizontal(eje de las abscisas X) y otra vertical(eje de las ordenadas Y) con intersección en un punto O = (0, 0 ) llamado origen. En este plano el par ( x, y) identifica un punto P en coordenadas rectangulares , donde x es un valor en el eje X, y es un valor en el eje Y.

y

P(x,y)

O

x

Así mismo el plano polar tiene asociada una semirrecta horizontal OX (eje polar), la semirrecta inicia en el punto O llamado polo ó origen polar, el par (r, q) identifica un punto P donde r es la distancia dirigida de O hacia P, q es el ángulo desde OX hacia la recta que contiene el radio →

vector OP (antihorario positivo, horario negativo).

En este caso (r, θ) son llamadas coordenadas polares de P. La recta perpendicular al eje polar en el origen polar es llamado eje a

p 2

p P(r,θ)

2 r θ

x

O

Observación: Las coordenadas polares (r, q) de un punto P no son únicas pues ((-1)n r, q+nπ) ; n∈Z serán también coordenadas polares de P. Por ejemplo (2, π), (-2, 2π), (2,3π), (-2, - π), …….. son coordenadas polares de un mismo punto.

Cambio de coordenadas Consideremos los sistemas de coordenadas rectangulares y polares y hagamos coincidir el eje polar OX con el semieje positivo de las abscisas X+ . - 177 -

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Las coordenadas de un punto P en coordenadas rectangulares y coordenadas polares son respectivamente (x, y) y (r, q) en estas condiciones podemos establecer una relación entre estas dos coordenadas:

x = r cosq Cambio de coordenadas polares a rectangulares:   x = rsenq r = ± x 2 + y 2  Cambio de coorden adas rectangulares a polares:  y  q = Arct  x     p 2

y

P(r,θ) r θ

x

O

Distancia en coordenadas polares La distancia polar entre dos puntos A(r1 , q 1 ) , B (r2 , q 2 ) podemos obtenerlo según la ley de cosenos d ( A, B ) = r12 + r22 − 2r1r2 cos(q 2 − q 1 )

p

B d(A, B )

2 r2 θ2

r1

A

θ1

O

x

11.2. ECUACIONES Y FUNCIONES POLARES. Ecuaciones y funciones polares Así como en coordenadas cartesianas E(x, y) = 0 representa una ecuación, en coordenadas polares se tendrá E(r, q) = 0 . Además si en la ecuación polar podemos despejar r = f(q) esta será llamada función polar. Ecuación polar de la recta i) Si la recta L pasa por el polo su ecuación es dada por q = b (constante). ii) Si la recta L no pasa por el polo. Para determinar su ecuación podemos considerar la recta L´ que pasa por el polo y es perpendicular a L en Q(s, b ) entonces L es dada por: - 178 -

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L

p

P

2

L : r cos(q − b ) = s

r

L´

θ-β θ

s

Q

β

O

x

Ecuación polar de la circunferencia i) Si la circunferencia C tiene centro en el polo su ecuación es dada por r = ± d . ii) Si la circunferencia C tiene centro C(s, β ) distinto del polo y radio d . Podemos usar la ley de cosenos para determinar la ecuación polar de C . P p 2

d

r

C

C : r 2 + s 2 − 2 rs cos(q − b ) = d 2

θ-β θ

s

β

O

x

Ecuación polar de la cónica i)

Si la cónica ℑ tiene foco F en el polo y directriz D perpendicular al eje polar a izquierda d (P, F ) del polo. Sabemos que ℑ : = e donde e es la excentricidad de la cónica . d ( P, D ) Considerando el gráfico: p

D

P

2 r d B

O=F

θ

M

x

Así d ( P, F ) = r , d ( P, D) = d (M , B ) = d (M , O) + d (O, B ) = r cos(q ) + d (O, B ) Si hacemos d = d (O, B ) = d (O, D ) enton ces d ( P, D) = d + r cos(q ) r Por tanto ℑ : =e d + r cos(q )

- 179 -

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entonces ℑ : r =

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ed ; d = d (O, D ) 1 − e cos(q )

ii) Si la cónica ℑ tiene foco F en el polo y directriz D perpendicular l eje polar a derecha del ed polo. Tenemos ℑ : r = ; d = d (O , D ) 1 + e cos(q ) iii) Si la cónica ℑ tiene foco F en el polo y directriz D paralela al eje polar. Tenemos ed ℑ: r = ; d = d (O, D ) 1 ± e sen(q )

11.3. DISCUSIÓN POLAR DE GRÁFICOS Y RECTAS TANGENTES. Discusión del gráfico de una ecuación polar Dada una ecuación polar E(r, q) = 0 para analizar su gráfico se debe tener en cuenta:

1.- Intersecciones con el eje polar, eje a 90º y el polo. Con el eje polar: En E(r, q) = 0 hacemos q = np determinamos (r, q). Con el eje a

p 2

: En E(r, q) = 0 hacemos q =

p 2

+ np determinamos (r, q).

Con el polo: En E(r, q ) = 0 hacemos r = 0 determinamos (r, q).

2.- Simetrías respecto del eje polar, eje a 90º y el polo. Con el eje polar: En E(r q) = 0 hacemos q = −q ∨ [r = −r ∧ q = q − p ] si la ecuación no se altera tenemos simetría respecto del eje polar. p

p 2

2

(r, θ)

(r, θ) π -θ

θ

O

θ

-θ

x (-r, π-θ)

(r, -θ)

Con el eje a

p 2

: En E(r, q) = 0 hacemos q = p − q ∨ [r = −r ∧ q = −q ] si la ecuación no se

altera tenemos simetría respecto del eje a

p

.

2

Con el polo: En E(r, q) = 0 hacemos r = −r ∨ q = q + p ] si la ecuación no se altera tenemos simetría respecto del polo .

3.- Extensión ó recorridos. Se determinan los valores que pueden tomar r y q. - 180 -

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

4.- Tabulación. Considerando algunos valores para r ó q se determina (r, q) en un cuadro tabular. 5.- Trazo del gráfico. Tomando en cuenta los puntos anteriores se traza el gráfico. Ejemplo : Dada la ecuación r = a(1 − cosq ) ; a > 0 tenemos: Intersecciones: Con el eje polar: En r = a(1 − cosq ) ; a > 0 hacemos q = np obtenemos (0,0), (2a, p ) p

Con el eje a

2

: En r = a(1 − cosq ) ; a > 0 hacemos q =

p 2

p

p

2

2

+ np determinamos (a, ), (a,− ) .

Con el polo: En r = a(1 − cosq ) ; a > 0 hacemos r = 0 determinamos (0, 2kp ) polo.

Simetrías: Con el eje polar: En r = a(1 − cosq ) ; a > 0 hacemos q = −q ∨ [r = −r ∧ q = q − p ] la ecuación no cambia por lo hay simetría. Con el eje a

p 2

: En r = a(1 − cosq ) ; a > 0 hacemos q = p − q ∨ [r = −r ∧ q = −q ] la

ecuación se altera por lo que no hay simetría respecto del eje a

p

.

2

Con el polo: En r = a(1 − cosq ) ; a > 0 hacemos r = −r ∨ q = q + p ] la ecuación se altera por lo que no hay simetría respecto del polo.

Recorridos: Recorrido de r sabemos que − 1 ≤ cos t ≤ 1 ⇒ 0 ≤ a(1 − cosq ) ≤ 2a ⇒ r ∈ [0, 2a ] Recorrido de q como r = a(1 − cosq ) ∈ IR, ∀q ∈ IR ⇒ q ∈ IR Tabulación: q 3

0 0

p

p

p

p

2p

5p

6 0.13a

4 0.29a

3 0.5a

2 a

3 1.5a

6 2.86a

p 2a

Gráfico: p 2

p (a ,

)

p

2 4

(2a, π)

O

- 181 -

x

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Derivadas y rectas tangentes en coordenadas polares Dada la función polar r = f(q ) sabemos que (r, q ) es representada cartesianamente por:

 x = r cosq = f (q ) cos q   y = rsenq = f (q )senq Que son las ecuaciones paramétricas de la función polar. Si existen x´(q ), y´(q ) entonces

dy y ' (q ) f ' (q )tg(q ) + f (q ) = = dx x ' (q ) f ' (q ) − f (q )tg(q ) dr tg (q ) +r d q = dr − rtg(q ) dq

Ahora si LT es una recta tangente al gráfico de r = f(q) con ángulo de inclinación α en P(r, q ) Entonces la pendiente de LT es dada por: dr tg(q ) +r dy d q = tg (a ) = dr dx − rtg(q ) dq −→

Por otro lado si β es el ángulo que forma el radio vector OP y LT se tienen los casos: i) a = q + b ⇒ tg( b ) = tg (a − q ) p

LT

2

r=f(θ)

P(r, θ) β

θ

α

O

ii)

b = a + p −q

x

⇒ tg (b ) = tg(p + (a − q )) = tg(a − q ) p LT P(r, θ) α

r=f(θ)

2

β θ

π -θ O

x

De los caso (i) y (ii) se tiene tg( b ) = tg (a − q )

tg(a ) − tg (q ) r (1 + tg 2 (q )) r f (q ) Entonces tg( b ) = = = = dr 1 + tg (a )tg(q ) dr f ' (q ) (1 + tg 2 (q )) dq dq - 182 -

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Ejercicio Hallar los ángulo s α , β , las ecuaciones cartesiana y polar de la recta tangente a la curva r = 4(1 + sen(q )) en P(4, 0º). Solución: Según el grafico p 2

 8, p   2   LT

γ

α β

(4, π)

x

(4, 0) L´T

dr dr = 4 cos(q ) ⇒ |q =0 = 4 dq dq 4 + 4tg(0) 4 p Entonces tg(a ) = = =1 ⇒ a = 4 − 4tg(0) 4 4 f (0) 4 p Además tg( b ) = = =1 ⇒ b = f ' (0) 4 4  x = r cos(q ) Ahora si P(r, q ) = P( 4, 0º ) entonces   y = rsen(q )  x=4 entonces  ⇒ P(x0 , y0 ) = P(4, 0)  y =0 Entonces LT pasa por (4,0) y tiene pendiente m L = 1 T

Cartesianamente se tiene LT : x - y - 4 = 0. Para la forma polar sea L´T la recta perpendicular a LT por el polo entonces L´T : y = -x 7p Por la forma de LT se debe tener g = ángulo de inclinación de L´T 4 7p 7p 7p Entonces LT : r (cos(q − )) = s ⇔ LT : x cos( ) + ysen( ) = s 4 4 4 Intersectando LT ∩ L 'T = ( x 0 , y 0 ) = (−2, 2) ⇒ s = 2 2 7p Por tanto polarmente se tiene LT : r (cos(q − )) = 2 2 4

- 183 -

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11.4. INTEGRACIÓN POLAR Y APLICACIONES. Área en coordenadas polares : Considerar la función polar r = f(q) contínua y f (q ) ≥ 0 , q ∈ [a , b ] En coordenadas polares para hallar el área de la región R formada por el gráfico de f con las rectas q = a , q = b . Tomamos una partición P = {q 0 = a ,......., q n = b } de [a , b ] p

θ= β

2

r = f(θ) ri ∆θi

R

θ= α

θi-1

θi

O

x

Nos aproximamos por área Ai de sectores circulares en el subintervalo [q i −1 , q i ] el cuál es el semiproducto del radio al cuadrado por el arco. Ai =

1 2

1

ri (ri (q i − q i −1 )) = ri ∆q i 2

2

Si | P | → 0 usamos integral de Riemann para obtener: AR =

1

b

∫ r 2 a

2

dq =

1

b

∫ ( f (q )) 2 a

2

dq

Observación: Dadas las funciones polares r = f (q) , r = g(q) contínu as y g (q ) ≥ f (q ) ≥ 0 , q ∈ [a , b ] . Entonces el área de la región R limitada por f, g y las rectas q = a , q = b es dada por: AR =

1

b

∫ [( g (q )) 2 a

p

2

− ( f (q )) ]dq 2

θ= β

2 R

β

θ= α

r = g(θ) α

O

r = f(θ) x

- 184 -

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Ejercicio Hallar el área interior de la región limitada por 2 r = 3, r = −9 cos(2q ) Solución: 3 2 3 2 Primero r = es una circunferencia con centro en el polo y radio . 2 2 2 Segundo r = −9 cos(2q ) es una lenniscata sobre el eje a 90º pasa por el polo e interfecta el eje 2

p

polar en (3, 0), (3, p ) y el eje a 90º en (9, ) . 2

Para identificar la región R necesitamos los puntos de intersección. Por simetría basta hallar un solo punto de intersección: reemplazando r =

r = −9 cos(2q ) tenemos cos(2q ) = 2

2p . 3

3 2 p   ,  .  2 3  3 2 p   3 2 2p Por simetría se tienen las intersecciones:  ,  ,  ,  2 3  2 3 Entonces q =

3 2 2

p obteniendo la intersección 3

  , 

 3 2 4p  ,  2 3

p 2

p 3

p 4

R1 O

p 1 p 2  1 3 Entonces AR = 4 R1 = 4 ∫p r d q + ∫p2 r 2 d q  2  2 4  3 p 1 p  1 9 = 4 ∫p3 − 9 cos(2q )d q + ∫p2 dq  2 3 2 2 4 

3

= (6 + p − 3 3 ) 2

- 185 -

x

  , 

 3 2 5p  ,  2 3

  

en

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Longitud de arco en coordenadas polares Considerar la función polar r = f(q) con derivada contínua ∀ q ∈ [a , b ] En coordenadas polares para hallar la longitud de arco formado por el gráfico de f desde q = a , q = b . Consideremos las ecuaciones paramétricas de la función polar:

  ⇒   

 x = f (q ) cosq   y = f (q )senq 2

dx = f ' (q ) cosq − f (q )sen(q ) dq dy = f ' (q ) senq + f (q ) cos(q ) dq

2

 dx   dy  2 2 Entonces   +  = [f (q )] + [f ' (q )]  dq   dq  Tomamos una partición P = {q 0 = a ,......., q n = b } de [a , b ] . Si | P | → 0 podemos usar integral de Riemann en longitud de arco para obtener: L=

∫a

b

[ f (q )] 2 + [ f ' (q )] 2 d q

Ejercicio Hallar la longitud de arco de la cardioide r = 4(1 + cos(q )) Solución: Esta cardioide es simétrica respecto del eje polar. p 2 (r, θ) r

θ (8, π)

Ahora dada r = 4(1 + cos(q )) entonces Entonces L = 2∫

x

dr = −4sen(q ) dq

[4(1 + cos(q ))]2 + [−4sen(q )]2 dq = 2 8 ∫

p

p

0

0

p

= 2 8∫

0

q

q

2

2

2 cos( )dq = 32[sen( )]0 p

1 + cos(q ) dq

= 321

Volumen de sólidos de revolución en coordenadas polares Considerar la función polar r = f(q) contínua en q ∈ [a , b ] . Para determinar el volumen del sólido de revolución S obtenido al rotar una región R formada por el gráfico de f con las rectas q = a , q = b alrededor del eje polar. Tomamos una partición P = {q 0 = a ,......., q n = b } de

[a , b ] . Luego nos aproximamos por volúmenes de sólidos Si obtenidos al rotar las regiones Ri (sectores circulares) alrededor del eje polar. - 186 -

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

p

θ= β

y=

2

2

r

−x

2

r = f(θ) y = xtg(θ2)

r

R

Ri

θ= α

θ1

θ2

O

x

y = xtg(θ1)

En coordenadas cartesianas sabemos que: V Si = p ∫

r cos(q 2 )

0

x tg (q 2 )dx + p ∫ 2

2

r cos(q1 )

r cos(q 2 )

(r 2 − x 2 )dx − p ∫

r cos(q 1 )

0

2

2

x tg (q 1 )dx

2p 3 r (cos(q1 ) − cos(q 2 )) 3 2p 3  cos(q1 + ∆q1 ) − cos(q1 )  ∆q1 = r − 3  ∆q1  Si | P | → 0 p odemos usar integral de Riemann para obtener: =

VS =

2p 3

b 3

∫a r

sen(q )d q =

2p 3

b

∫a ( f (q ))

3

sen(q )dq

Ejercicio: Hallar el volumen del sólido obtenido al girar la cardioide r = 2(1 + cos(q )) alrededor del eje polar. p 2 R x

(4, 0)

O

Por simetría basta rotar la parte superior de la cardioide. VS =

2p 3

p

∫0 r

3

sen(q )d q =

2p 3

p

∫0 (2(1 + cos(q )))

3

sen(q )d q =

64 p 3

Centro de masa de una región en coordenadas polares Considerar la función polar r = f(q) contínua en q ∈ [a , b ] . Para determinar el centro de masa ( x, y ) de una región R formada por el gráfico de f con las rectas q = a , q = b . Tomamos una

- 187 -

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partición P = {q 0 = a ,......., q n = b } de [a , b ] . Y nos aproximamos con los centros de masa Ci de los triángulos Ri que es el baricentro(intersección de las medianas) p

θ= β

2

Si Ri

yi

r = f(θ) R

2

Ci= ( xi , 3

2 3

yi )

θ= α

θ

O

xi

2  2 Recordando que en coordenadas cartesianas para Ri se tiene: C i =  xi , y i  3  3 2 Momento respecto del eje X es dado por. MX = r y i ARi ; y i = rsen(q ) 3 2 Momento respecto del eje Y es dado por. M Y = r xi ARi ; x i = r cos(q ) 3 1 2 Si | P | → 0 se tiene ARi → AS i donde AS i = ri ∆q i área del sector circular. 2 Entonces para la región R usamos integral de Riemann: MX =

2 b 1 2 1 b 3 r ∫ rsen(q ) r dq = r ∫ r sen(q )dq 3 a 2 3 a

MY =

2 b 1 2 1 b 3 r ∫ r cos(q ) r dq = r ∫ r cos(q )d q 3 a 2 3 a

M M  Entonces ( x, y ) =  Y , X  : m = r AR m   m 1 a 3 1 a 3  ∫b r cos(q )dq ∫b r sen(q )dq ( x, y ) =  3 ,3 AR AR   

- 188 -

     

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11.5. RELACIÓN DE EJERCICIOS. I.- Discutir y trazar la gráfica de: 1) r = 4cos(2θ) Rosa de 3 pétalos. 3) r = 2-4cos(θ) Caracol. 5) r = θ/2 Espiral de Arquímedes. 7) r = 2atg(θ)sen(θ) Cisoide.

2) 4) 6) 8)

II.- Hallar los puntos de intersección de: 1) r = 2csc(θ) , r = 4sen(θ) 3) r = 4cos(θ) , r(1+cos(θ)) =1 5) r2 sen(2θ) = 8 , rcos(θ) = 8

r = asen(2θ) Rosa de 4 pétalos. r = e θ Espiral logarítmica. r = b+acos(θ) Limaron b>a>0. r = a(2+cos(θ)) Caracol de Pascal.

2) r = a , r = 2acos(2θ) 4) r = 4tg(θ)sen(θ) , r = 4cos(θ) 6) r = a(1+sen(θ)) , r = a(1 -sen(θ))

III. - Hallar el ángulo α, β y la pendiente de la recta tangente en los puntos dados.  a p 1) r2 = a2 cos(2θ) , P =  ,   2 6  p 2) r(1+sen(θ)) = 4 , P =  2,   2  p 3) r = 4sen(3θ) , P =  4,   6

IV.- Hallar el área de la región R limitada por: 1) r = acos(5θ ) 2) r = asen(2θ) 3) r = b+acos(θ) ;0 0 , 0 ≤ θ ≤ π. 2) Del sólido obtenido al girar r = a cos2 (θ) alrededor del eje polar. 3) Del sólido obtenido al girar r = 3sen(2θ) alrededor del eje polar. 4) Del sólido obtenido al girar r = atg(θ) ; θ = 0 , q =

- 189 -

p 2

alrededor del eje polar.