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Profesor: Ing. Yury Málaga Tejada

Calculo Integral Ing. Civil Integrantes: Gutiérrez Valdivia, Mariella Marín Soto, Tatiana Mendoza Arregui, Joel Reinoso Aliaga, Miguel CENTRO DE MASA

El centro de gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo, además del centro de gravedad aparecen los conceptos de centro de masa y de centro geométrico o centroide que, aunque pueden coincidir con el centro de gravedad, son conceptualmente diferentes. Centro de masa y centro de gravedad: El centro de masas coincide con el centro de gravedad sólo si el campo gravitatorio es uniforme; es decir, viene dado en todos los puntos del campo gravitatorio por un vector de magnitud y dirección constante. Centro geométrico (Centroide) y centro de masa: El centro geométrico de un cuerpo material coincide con el centro de masa si el objeto es homogéneo (densidad uniforme) o cuando la distribución de materia en el sistema es simétrico. En nuestros estudios de Ingeniería Civil se asume que el cuerpo se encuentra en “condición ideal”, es decir, el campo gravitatorio es uniforme y el objeto motivo de estudio es homogéneo; luego el centro de gravedad, el centro de masa y el centroide coinciden en un mismo punto. Los dos métodos más utilizados para el cálculo del CENTROIDE de una figura geométrica plana son el Método de las áreas y el Método de integración directa. Si una figura geométrica posee un eje de simetría, el centroide de la figura coincide con este eje. 1. METODO DE LAS AREAS:

Para calcular el centroide de una figura plana que está limitada por arriba por la función “f(x)” , por debajo por la función “g(x)”, por la izquierda por la recta “X = a” y por la derecha por la recta “X = b”



Para este cálculo se utilizan las siguientes fórmulas: X=

Y=

∫

[ ( )

∫ [ ( )

( )]

( ) ]

Donde “A” representa el área de la figura plana a la que se le está calculando el centroide.

A= ∫ [ ( ) EJERCICIOS:

( )]

CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA DE INTEGRALES IMPROPIAS 1) Sean a 2 IR y f una función real de una variable integrable en el intervalo [a; M], para todo M > a. Si el límite:

Existe y es finito, se dice que la integral impropia de primera especie

Es convergente, y se define:

En caso contrario, se dice que es divergente. 2) Sean b 2 IR y f una función real de una variable integrable en el intervalo [m; b], para todo m < b. Si el límite

Existe y es finito, se dice que la integral impropia de primera especie.

Es convergente, y se define

En caso contrario, se dice que es divergente. EJERCICIOS:

COORDENADAS POLARES Todo punto del plano complejo (plano cartesiano) puede representarse con sus coordenadas , que son los puntos de cada uno de los ejes donde cortan las dos perpendiculares a los mismos que podemos trazar desde la propia representación del punto (esto es, las coordenadas que todos conocemos desde siempre). Estas coordenadas se denominan coordenadas rectangulares o cartesianas. Esta forma de asignar coordenadas a los puntos del plano no es la única (de hecho en muchas ocasiones ni siquiera es la más aconsejable). Vamos a ver otra manera de asignar coordenadas a los puntos del plano: las coordenadas polares DEFINICIÓN: Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia El sistema de coordenadas polares consiste de una distancia y la medida de un ángulo respecto de un punto fijo (polo) y una semirecta fija (eje polar)

1. RELACIÓN ENTRE COORDENADAS POLARES Y RECTANGULARES.

2. TRAZADOS DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES Sea la curva expresada en coordenadas polares C= {(r, Ɵ) € RxR/r= ƒ (Ɵ)} DISCUSIÓN DE UNA ECUACIÓN POLAR a) Las Intersecciones Con el eje polar: Con el eje 90°: b) Simetría. Con respecto al eje polar E(r, Ɵ)=E(r,- Ɵ)

Se hace Ɵ =nπ, € nƒZ Ɵ=π/2+nπ, n€Z

Con respecto al a eje 90° E(r, Ɵ)=E(r,- Ɵ) ʌ E(r, Ɵ)=E(-r,- Ɵ) Con respecto al polo: E(r, Ɵ)=E(r,- Ɵ) c) Tabulación: Se determina los valores de r correspondientes a los valores asignados a Ɵ. d) Trazado de la gráfica: En el sistema coordenado se localizan los puntos hallados y se traza la curva. 3. GRÁFICAS DE COORDENADAS POLARES:

a) ROSA DE N PÉTALOS

r = a.Cos (n Ɵ) r = a.Sen (n Ɵ)

Si n es par tiene 2n pétalos Si n es impar, tiene n pétalos

b) LA CARDIODE

r = a ± b.Cos Ɵ r = a ± b.Sen Ɵ

c) CÍRCULOS

d) LEMNISCATA

r2 = a2 .Cos Ɵ r2 = a2 .Sen Ɵ

e) ESPIRAL DE ARQUÍMIDES: r = a.cos Ɵ

EJERCICIOS: